我们介绍了构造高阶有限差分的有效方法基于复合网格的偏微分方程离散化等级制度。我们对传统的点聚类算法进行了改进，通过添加控制最小补丁长度和缓冲区的大小。因此，界面细胞的数量减少观察。基于合理的几何网格设置，我们讨论了一种通用方法用于在复合网格环境中构建模具。直截了当的这种方法导致了一个不适定问题。在我们的方法中，我们规范了这个问题，并将其转化为求解对称的线性方程组。最后，a模板存储库的设计旨在进一步减少计算开销。这个离散化的有效性通过第二阶段的数值实验得到了证明阶椭圆微分方程。

控制电磁波在复杂色散介质中的传播通过与描述激发宏观极化的演变。我们认为“多分散性”材料由极化模型中的介电参数的分布表示。这项工作的重点是针对此类问题的一种新的计算框架，包括多项式混沌展开作为提高建模精度的一种方法Debye模型，允许使用时域有限差分进行简单模拟（FDTD）方法。对该方法进行稳定性和分散性分析在两个空间维度中使用二阶Yee格式。

将高阶Lax-Wendroff（ILW）逆过程推广到边界涉及笛卡尔网格上复杂几何体的处理。我们的方法确保边界和内部区域附近的数值分辨率使用两步反应模型。矩形阵列管中激波的传播首先通过组合五阶基本加权对凹槽进行数值模拟非振荡（WENO）格式和ILW边界处理。相比根据实验结果，ILW处理准确地捕获了冲击波与复杂障碍物相互作用时的冲击波。我们的数值结果与实验结果进一步吻合良好证明了ILW治疗的可靠性和准确性。与浸没边界法（IBM），很明显反射区明显大于衍射区。此外，我们还模拟了三种不同爆轰波在管中的传播过程位于下壁的壁挂式矩形障碍物的宽度。它是表明冲击压力沿水平线靠近矩形障碍物逐渐减小，爆轰波胞体尺寸变大且不规则障碍物宽度的减小。

位错是晶体材料中的线缺陷。佩埃尔斯·纳巴罗模型是将位错核的原子结构纳入连续体框架。在本文中，我们提出了一种广义基于快速多极子方法的弯曲位错的Peierls-Nabarro模型以及迭代网格重分布。快速多极子方法支持计算与网格点的总数。迭代网格重新分布会放置更多网格节点位错周围的区域比畴的其余区域更大，因此增加准确性和效率。这个数值方案改进了可用的数值文献中计算长程弹性相互作用的方法直接来自物理域中的总和；而且操作更灵活与以前基于FFT的边界条件相比，具有一般边界条件的问题只适用于周期性边界条件的方法。数值示例用这种方法研究铝、铜和外延中位错的核心结构给出了薄膜。

本文旨在开发一个有效的预条件并进行收敛离散问题解的相应预处理GMRES分析源于多群辐射扩散方程的问题。我们首先研究最广泛使用的预处理器（ILU（k）和AMG）及其组合（$B_{co}$和$\widetilde{乙}_{co}$），并提供了其可行性的缺点。其次，我们通过分析揭示了ILU（k）和AMG的潜在互补性使用更详细的多尺度测量值，适用于AMG的特征矩阵的性质和ILU（k）对多尺度性质的影响。此外，我们提出一个自适应组合预处理器$B^α_{co}$，包括一个改进的ILU（0）和其收敛约束。数值结果表明$B^α{co}$-GMRES持有最佳的健壮性和效率。最后，我们分析了GMRES的收敛性组合预处理不仅为我们的建议提供了有说服力的支持算法，还更新了现有的条件数估计理论组合预处理系统。

许多物理过程用椭圆或抛物线偏微分来描述方程。对于与此类方程相关的线性稳定性问题逆拉普拉斯算子提供了一种非常有效的预条件。此外，它也很容易在大多数科学计算中可用泊松解算器或隐式扩散时间步长。我们将拉普拉斯预处理并入逆阿诺迪方法，使用BiCGSTAB求解大型线性系统。两次成功实施描述：由Navier-Stokes方程描述的球形Couette流非线性薛定谔方程描述的玻色-爱因斯坦凝聚。

在这项工作中，我们开发了一种具有最优线性时间缩放，简称tMAM。主要思想是放松整合时间作为通过最佳线性时间缩放的过渡路径的函数不需要直接优化积分时间。费德林·文策尔作用泛函由有限元离散化，基于有限元的h型自适应性引入tMAM。自适应tMAM不需要对过渡路径。它可以应用于处理准势：1）当最小值由于临界点，动作路径受到无限积分时间的影响，tMAM与均匀网格的代数收敛速度低于最优网格。然而，自适应tMAM可以恢复最优收敛速度。2） 当最小动作路径受到有限积分时间的影响，具有均匀网格的tMAM收敛由于问题不是奇异的，所以以最优的速度，并且最优的积分时间可以直接从最小操作路径获得。数值实验有已在SODE和SPDE示例中实现。

我们提出了一种将等几何分析（IGA）与求解Allen-Cahn问题的内罚间断Galerkin（IPDG）方法由材料科学中相变产生的三维（3D）方程由多个面片组成的曲面。DG思想是在补丁级别采用的，即我们在每个补丁中使用标准IGA，并在整个补丁中使用IPDG方法修补接口。IGA非常适合求解偏微分方程（PDEs）在（3D）曲面上，使用IPDG方法将多个面片粘合在一起找到正确的解决方案。我们的方法同时利用了IGA和IPDG方法，这使我们能够设计出一个优越的半离散（及时）IPDG方案。第一个和最重要的是，传统有限元中耗时的网格生成过程不再需要分析（FEA）和细化，包括h细化和p-求精都保持了原始几何，可以很容易地执行在任何级别。此外，IPDG方法的灵活性使我们的方法非常灵活易于处理带有不合格补丁和不同程度的修补接口。此外，消除了几何误差（对于所有圆锥截面）或由于IGA的几何灵活性而在开始时显著减少基函数，尤其是多个补丁的使用。最后，这种方法可以易于制定和实施。之后，我们提出了我们的半离散IPDG方案概述问题，然后简要介绍时间推进法本文采用的方法。理论分析表明，我们的方法满足离散能量定律，并在到$L^2美元$规范。此外，我们提出了（3D）曲面上的椭圆投影算子并证明一个近似误差估计，它对我们获得中的误差估计$L^2美元$规范。通过数值试验验证了理论和评估我们方法的良好性能。

映射函数的方法首先由Henrick等人提出。计算。物理。207:542-547（2005）]调整五阶[0,1]中的非线性权重WENO格式，通过该格式，收敛阶的要求是该方案的性能得到了提高。与亨里克不同方法，本文提出了分段多项式函数的概念，并得到了相应的WENO方案。新方法的优点是函数可以在线性权重（或映射的非线性权重可以接近其线性对应项），因此是有利的用于提高分辨率。此外，该功能还具有灵活性在[0,1]的两个端点附近快速收敛到恒等式映射，这是有利的以提高数值稳定性。四阶、五阶和六阶多项式相应地构造了函数，并对上述内容进行了不同的强调平面度和收敛性。其中，五阶版本的轮廓最平坦。为了检查这些方法的性能，一维Shu-Osher问题对黎曼问题和双马赫反射进行了测试，并与WENO-M、WENO-Z和WENO-NS。提出的新方法显示出最佳分辨率用于描述黎曼问题的剪切层不稳定性在计算双马赫反射时显示高分辨率，其中只有所提出的方案成功地解决了涡喷现象。其他调查已经表明，单个多项式映射函数没有优势与建议的分段方法相比，使用建议的方法没有明显的好处对称五阶WENO的方法。总的来说，五阶分段多项式并提出了相应的WENO方案以提高分辨率。

本文提出了一种用于有限温度下原子模拟的热射流方法。热涨落从原子子系统注入原子子系统边界，而不修改内部域的控制方程。更多准确地说，我们设计了一个双向局部边界条件，并取传入部分热涨落输入的声子表示。这样，非热在有限温度下有效地进行了波传播模拟。我们进一步将此方法应用于具有莫尔斯势的非线性链。带有的链条碳和金的模型参数在室温下用保真度。

涉及圆柱交叉阵列的周期结构看起来很特殊三维光子晶体和交叉叠层光栅。这样的结构包括其中每个层在一个空间方向上是周期性的，并且在另一个方向不变。它们的制造相对简单，并且已经发现有价值的应用。为了分析此类结构的散射特性计算电磁学方法当然可以使用，但特殊方法利用几何特征的方法通常效率更高。在这个论文，一种基于算子映射电磁场分量的有效方法开发了两个空间方向之间的交叉结构分析圆柱阵列。该方法比基于早期方法的方法简单得多基于类似的思想，它不需要计算缓慢收敛的格和。

本文主要研究概率高阶数值完全非线性抛物偏微分方程Cauchy问题的格式。对于这种抛物线PDE，Cheridito、Soner、Touzi和Victoir[4]表明解决方案允许概率解释，即完全非线性的解决方案抛物线偏微分方程求解相应的二阶正倒向随机微分等式（2FBSDE）。我们的数值方案依赖于求解这些2FBSDE，通过扩展我们之前的结果[W.Zhao，Y.Fu和T.Zhou，SIAM J.Sci.Compute。，36（2014），第A1731-A1751页。]。此外，在我们的数值方案中，一个具有灵活性选择相关的前向SDE，一个合适的选择可以显著地降低了计算复杂度。各种数值示例，包括HJB给出的方程表明了所提出的数值方法的有效性和准确性计划。