本文推广了一类新的紧致Hermite加权本质Runge-Kutta间断Galerkin的非振荡限制器（RKDG）方法，最近在[38]中针对结构化网格开发，将三维非结构化网格。该HWENO限制器的主要思想是重建利用DG解的整多项式构造新多项式在保持保守性质，然后使用经典的WENO方法来形成基于光滑性指标的这些重构多项式的凸组合以及相关的非线性权重。这种新型HWENO的主要优势限制器对非常强的冲击具有鲁棒性，特别是在实现上非常简单对于本文中考虑的非结构化网格，因为只有信息需要从目标细胞及其直接邻居处获取信息。两者的数值结果标量方程和系统方程用于测试和验证这个新限制器。

数值求解时间分数的计算工作和存储对于传统的直接方法来说，PDE通常很大，因为它们需要总计$\mathcal{O}$（$N_S$$N_T$）内存和$\mathcal{O{$（（$N-S$$N^2_T$）有效，其中$N_T美元和$N_S$表示总计空间中的时间步数和网格点数。为了克服这个困难，我们提出了一个计算α∈（0,1）阶Caputo分数阶导数$^C_0$$D^α_t$f（t）$的有效算法。该算法基于有效的指数和区间[∆t，t]上核$t^{−1-α}$的（SOE）近似，具有一致绝对值误差ε。我们给出了理论分析，表明对于T≈1，所需的指数$N_{exp}$的数量为$\mathcal{O}$（$log$N_T$），对于固定精度，则为$\mathcal{O}$（$log^2N_T$ε。生成的算法只需要$\mathcal{O}$（$N_SN_{exp}$）存储和$\mathcal{O{$（$N_SN_TN_{exp}$）工作在数值求解时间分数PDE时。此外，我们还给出了稳定性并对新方案进行了误差分析，并给出了几个数值例子来演示我们的方案的性能。

在本文中，我们提出了一种有效的缩放方案，用于计算扩展界面的长期动态。其思想是设计一个自适应时空映射，以便在新的时间尺度中，界面以对数方式演化生长初期速度较快，后期速度呈指数级增长。新的空间尺度确保界面封闭的面积/体积得到保护。比较使用[J.Compute.Phys.225（1）（2007）554-567]中的原始缩放方法当接口尺寸较小。我们的结果表明，最初的三周计算[J.Compute.Phys.225（1）（2007）554–567]可以在大约一个天使用自适应方案。然后我们展示了最大和最复杂的海勒-肖模拟最新。

采用格子Boltzmann方法模拟二维眼睑驱动半椭圆腔。雷诺数（Re）和垂直至水平半轴比（D）分别为500-5000和0.1-4。研究了Re和D对涡流结构和压力场的影响，分析了Re和D涡旋结构的演化特征细节。模拟结果表明，涡结构及其演化特征很大程度上取决于Re和D。稳定流动的特征是Re和D均较小时的半椭圆腔。随着Re的增加，外观涡结构变得更加复杂。当D小于1时，增加D使大涡变得更圆，D使涡的演化成为随着Re的增加更加复杂。当D大于1时，稳定流动由一系列相互叠加的大漩涡组成。作为Re和D增加，大涡的数量增加。此外半椭圆腔的左上角出现在Re较大时，且尺寸增大随着Re的增加而缓慢。最高压力出现在右上角腔体右上方区域的压力急剧变化。总数D固定的半椭圆腔中的压差随着增加而减小在主旋涡区域，压力等值线几乎与流线，特别是对于Re较大的空腔流。

本文的重点是介绍投影有限元方法演化闭球面上反应扩散方程组的求解应用于图案形成。投影有限元的优点单元法易于实现，并提供了“逻辑上”矩形的协调有限元离散化。此外，表面不是近似的，而是通过投影精确描述的。表面演变定律被纳入投影算子中，导致与时间相关操作员。与时间相关的投影算子由径向投影组成使用Lipschitz连续映射。投影运算符用于生成曲面网格，其连通性在曲面演化过程中保持不变。为了说明该方法，针对不同的诸如均匀各向同性（线性、逻辑和指数）的表面演化定律，各向异性和集中驱动。这种数值方法允许我们研究新的反应动力学，只在表面演化的情况下产生图案如激活剂-激活剂和短程抑制；远程激活。

Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov（FFLO）态是超导的库珀对具有非零总动量的相位，取决于对于自旋相反的电子，费米表面片的分裂。在无限系统中动量是温度的连续函数。在本文中，我们有通过费米的离散化几何，展示了系统的有限尺寸表面，通过引入不连续性影响FFLO状态的物理特性库珀对动量。我们在各向同性系统中的计算表明具有两个相反库珀对动量的超导态比纳米系统中也存在一个动量状态，其中有限尺寸效应起着关键角色。

Jiles-Atherton（J-A）模型是一种常用的基于物理的模型描述铁磁性材料的磁滞特性。然而，引用文献中对这一模型的解释一直不统一。解决方案该模型的数值求解方法尚未得到充分研究。在这个论文通过分析方程的数学性质和物理性质在节能机理方面，我们指出了一些不合理的描述并开发出一个相对更准确的修正J-a模型其数值求解方法。我们的方法采用不动点方法来计算非滞后磁化。我们得到了无滞后的磁化率值解析磁化并将四阶龙格库塔方法应用于求解总磁化强度的百分比。估算计算误差，然后计算精度验证了在描述各种材料时求解方法的正确性。最后，通过分析加速方法、迭代误差和步长对计算误差较大时，我们优化了数值方法，以达到较高的效果精度高，计算时间短。通过分析，我们确定了最佳一些关键参数的值，以实现快速准确的计算。

我们提出了一种数值方法来求解Vlasov-Poisson-Fokker-Planck使用[4、7、9]中建议的$NRxx$方法的（VPFP）系统。全局双曲线导出了类似于[23]中的力矩系统。在这个系统中，福克·普朗克（FP）算子项简化为力矩系数的线性组合，它可以在适当的截断下解析求解。非分裂法，它可以保持质量守恒和总动量平衡定律解决整个系统。VPFP系统的一个解析数值问题给出了用矩数表示谱收敛的解以及与网格大小的线性收敛。另外两个数值实验是测试以证明$NRxx$方法在应用于VPFP系统。

这是我们关于向前求解多步格式的系列论文之一倒向随机微分方程及其相关问题。在这里，我们在[W.Zhao，Y.Fu和T。周，SIAM J.Sci。计算。，36（2014），第A1731-A1751]页，用于求解二阶FBSDE（2FBSDE）。多步格式的关键特征是Euler方法用于离散前向SDE，这大大减少了整个计算复杂性。此外，还表明，通常感兴趣的量（例如2FBSDE的解元组（$Y_t$、$Z_t$、$1_t$、$Γ_t$）仍然具有高阶精度。几个数值算例表明了所提数值方法的有效性计划。数值格式在随机最优控制问题中的应用还介绍了。

受托卡马克磁流体动力学（MHD）模拟的启发通过等几何分析，我们给出了在矩形网格上定义的样条曲线复杂的拓扑结构，即具有异常顶点。这些花键是分段的双阶（d，d）多项式函数和$C^r$参数连续性。我们计算它们的维数并展示称为Hermite基的双三次基函数样条线空间。我们研究了它们在求解偏微分方面的潜在应用等距分析框架中物理域上的方程（PDE）。例如，我们分析了这些样条空间对$L^2$-范数的逼近性质；我们证明了最优逼近阶和数值收敛性速率是通过设置适当的参数来达到的，尽管事实上函数在异常顶点处是奇异的。

在本文中，我们提出了一些有效的数值格式来求解两相流动接触线边界流体动力学耦合相场模型条件。该模型是一个非线性耦合系统，由Navier-Stokes具有一般Navier边界条件或退化Navier的方程边界条件和Allen-Cahn型动态相场方程接触线边界条件或静态接触线边界。提议的方案是线性和无条件能量稳定的，其中能量稳定都得到了严格的证明。进行了各种数值试验，以证明其准确性以及此后的效率。

向列相液晶在拓扑约束下会产生缺陷在边界处。最近，缺陷的研究引起了很多关注，因为越来越具有理论和实践意义。在本文中，我们研究了二维缺陷与内部三维缺陷的关系限制在壳层中的向列相液晶。使用了高精度的光谱方法求解Landau-de-Gennes模型，得到缺陷的详细静态结构。有趣的是，当壳的厚度足够小时，解是径向不变的。随着壳厚度的增加，溶液发生对称性破坏重新配置向错线。我们研究这种三维重构在不同边界条件下，详细描述了向错线。特别是，我们发现温度在决定是否发生转变方面起着重要作用二维缺陷和三维缺陷之间是连续的还是不连续的对于内表面和外表面都具有平面锚固条件的壳体。我们还讨论了二维和三维缺陷的表征张量模型中的空间。