显示找到的45个结果中的1-10个。
1, 2, 3, 10, 69, 678, 8496, 128316, 2258262, 45292494, 1018882779, 25399668480, 694999352141, 20710476430548, 667708554093132, 23159551588872624, 860001996926543616, 34043670528120810846, 1431191816223150995395
配方奶粉
a（n）~4*（n-1）！/（27*（对数（3/2））^（n+1））-瓦茨拉夫·科特索维奇，2015年2月11日，2017年2月18日更新
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=polceoff（x/serreverse（x*exp（sum（m=1，n+1，sum（k=0，m，stirling（m，k，2）*（2^k）*k！）*x^m/m+x^2*O（x^n））），n）}
G.f.：总和_｛n>=0｝A004123号（n） ^2*log（1+x）^n/n！其中1/（1-2x）=和{n>=0}A004123号（n） *日志（1+x）^n/n！。
+20
1
1, 4, 48, 864, 20880, 632448, 23018688, 978179328, 47529084096, 2598928566336, 157937795847936, 10559489876375040, 770269715428025088, 60876094422772800000, 5181654464327251948032, 472584847824904789910016
评论
猜想：对于所有整数m>0，求和{n>=0}L（n）^m*log（1+x）^n/n！只要Sum_{n>=0}L（n）*log（1+x）^n/n！是整数系列。
在这种情况下，m=2和L（n）=A004123号（n） ，即n个点上的广义弱阶数。
例子
通用公式：A（x）=1+4*x+48*x^2+864*x^3+20880*x^4+632448*x*5+。。。
图A（x）=和{n>=0}A004123号（n） ^2*log（1+x）^n/n！：
A（x）=1+2^2*log（1+x）+10^2*log（1+x）^2/2！+74^2*log（1+x）^3/3！+730^2*日志（1+x）^4/4！+9002^2*log（1+x）^5/5！++A004123号（n） ^2*log（1+x）^n/n！+。。。
1/（1-2x）=1+2*对数（1+x）+10*对数（1+x）^2/2！+74*日志（1+x）^3/3！+730*log（1+x）^4/4！+9002*log（1+x）^5/5！++A004123号（n） *日志（1+x）^n/n！+。。。
黄体脂酮素
（PARI）{A004123号（n） =和（k=0，n，2^k*stirling（n，k，2）*k！）}
{a（n）＝polcoeff（sum（m＝0，A004123号（m） ^2*log（1+x+x*O（x^n））^m/m！），n） }
1, 3, 13, 87, 817, 9819, 143029, 2442783, 47817913, 1054997475, 25895101885, 699790692519, 20644163034049, 660099532324971, 22739373410768581, 839552217608213295, 33071685749731393225, 1384473468760664408307
评论
n点上广义弱阶数的部分和。等价地，一组基数n上两部分关系数的部分和。
配方奶粉
a（n）=和{i=1..n}和{k>=0}（k^n*（2/3）^k）/3。
a（n）=和{i=1..n}和{k=0..n}斯特林2（n，k）*（2^k）*k！。
黄体脂酮素
（鼠尾草）
定义A004123号（n） ：返回和（stirling_number2（n-1，k）*（2^k）*阶乘（k）for k in（0..n-1））
1, 1, 1, 4, 30, 305, 3905, 59828, 1063728, 21497921, 486476766, 12184618776, 334684804952, 10005219881472, 323438539163521, 11244331792094312, 418375698771595037, 16590419690069321454, 698526596162530976512
1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 6, 6, 0, 1, 14, 36, 24, 0, 1, 30, 150, 240, 120, 0, 1, 62, 540, 1560, 1800, 720, 0, 1, 126, 1806, 8400, 16800, 15120, 5040, 0, 1, 254, 5796, 40824, 126000, 191520, 141120, 40320, 0, 1, 510, 18150, 186480, 834120, 1905120, 2328480
评论
三角形T（n，k），0<=k<=n，由[0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7,0，…]DELTA[1，1,2,2,3,3,4,5,6,6,6，…]给定的行读取，其中DELTA是A084938号; 的另一个版本A019538年.
T（n，k）给出了标准（n-1）维单纯形的第一个重心细分内部的（k-1）维面数。例如，1-单纯形的重心细分为o--o-o-o，有1个内部顶点和2个内部边，得出T（2,1）=1和T（2,2）=2。
该三角形用于计算简单复数重心细分的面向量。设S是一个n维单形复形，用f_k表示S的k维面数，通常的约定是f_（-1）=1，因此f:=（f_（-1-），f_0，f_1，。。。，f_n）是S的f向量。如果M（n）表示由当前三角形的前n+1行和n+1列组成的平方矩阵，那么向量f*M（n。例如，帕斯卡三角形的行A007318号（但行和列索引从-1开始）是标准n-单形的f向量。由此可见A007318号*A131689型，等于A028246号，是标准n-单形的第一个重心细分的f向量数组。（结束）
这个三角形T（n，k）出现在o.g.f.g（n，x）=Sum_{m>=0}S（n，m）*x^m中，其中S（n、m）=Summ_{j=0..m}j^n表示n>=1，如g（n、x）=Sum_{k=1..n}（x^k/（1-x）^（k+2）））*T（n、k）。另请参见欧拉三角形A008292号2017年3月31日，对改写后的表格发表评论。例如，参见A028246号2017年3月13日发表评论-沃尔夫迪特·朗2017年3月31日
T（n，k）=长度为1的n个字符串的长度k的对齐次数。请参阅Slowinski。下面给出了一个示例。囊性纤维变性。A122193号（长度为2的字符串对齐）和A299041型（长度为3的字符串对齐）-彼得·巴拉2018年2月4日
还有长度为n且具有k个不同部分（或最大部分为k）的模式数，其中我们将模式定义为覆盖正整数初始区间的有限序列。例如，第n=3行对以下模式进行计数：
(1,1,1) (1,2,2) (1,2,3)
(2,1,2) (1,3,2)
(2,2,1) (2,1,3)
(1,1,2) (2,3,1)
(1,2,1) (3,1,2)
(2,1,1) (3,2,1)
（结束）
链接
F.Brenti和V.Welker，重心细分的f向量，arXiv:math/0606356[math.CO]，数学。Z.，259（4），849-8652008年。
杰里·梅茨格和托马斯·理查兹，囚犯问题变体《整数序列杂志》，第18卷（2015年），第15.2.7条。
配方奶粉
通用公式：f（x，t）=1+x*t+（x+x^2）*t^2/2！+（x+6*x^2+6*x*^3）*t^3/3！+…=和{n>=0}R（n，x）*t^n/n！。
行多项式R（n，x）满足递归R（n+1，x）=（x+x^2）*R'（n，x）+x*R（n、x），其中'表示关于x的微分-菲利普·德尔汉姆2013年2月11日
T（n，k）=[T^k]（n！[x^n]（1/（1-T*（exp（x）-1）））-彼得·卢什尼2017年1月23日
第n行多项式的形式为xoxo。。。o x（n因子），其中o表示Dukes和White的黑菱形乘法运算符。另见Bala，示例E8-彼得·巴拉2018年1月8日
例子
三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 0 1
2: 0 1 2
3: 0 1 6 6
4: 0 1 14 36 24
5: 0 1 30 150 240 120
6: 0 1 62 540 1560 1800 720
7: 0 1 126 1806 8400 16800 15120 5040
8: 0 1 254 5796 40824 126000 191520 141120 40320
9: 0 1 510 18150 186480 834120 1905120 2328480 1451520 362880
10: 0 1 1022 55980 818520 5103000 16435440 29635200 30240000 16329600 3628800
T（4,2）=14条长度为2的路线，共4条长度为1的字符串。示例包括
（i） A-（ii）A-（iii）A-
B-B-B
C-C-C
-D-D-D
有C（4,1）=4条类型为（i）且带有单个间隙字符的对齐-在第1列中，C（4,2）=6条类型（ii）且在第1栏中具有两个间隙字符的排列，C（4，3）=4对类型为（iii）且在第一列中具有三个间隙字符，总共有4+6+4=14条对齐。（结束）
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#或者：
A131689型_行：=进程（n）1/（1-t*（exp（x）-1））；展开（级数（%，x，n+1））；不*系数（%，x，n）；多项式工具：-系数列表（%，t）结束：
数学
T[n_，k_]：=如果[n<=0||k<=0，Boole[n==0&k==0]，求和[（-1）^（i+k）二项式[k，i]i^（n+k），{i，0，k}]]；(*迈克尔·索莫斯2018年7月8日*）
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=如果（n<0，0，sum（i=0，k，（-1）^（k+i）*二项式（k，i）*i^n））}；
（茱莉亚）
函数T（n，k）
如果k<0 | | k>n，则返回0 end
如果n==0&&k==0，返回1结束
k*（T（n-1，k-1）+T（n-1，k））
结束
对于0:7中的n
println（[T（n，k）for k in 0:n]）
结束
（SageMath）
@缓存函数
def F（n）：#Fubini多项式
R.<x>=多项式环（ZZ）
如果n==0：返回R（1）
返回R（总和（二项式（n，k）*F（n-k）*x（1..n）中的k））
对于（0..9）中的n：打印（F（n）.list（））#彼得·卢什尼2021年5月21日
交叉参考
列k=0..10为A000007号,A000012号,A000918号,A001117号,A000919号,A001118号,A000920号,A135456美元,A133068号,133360英镑,A133132号,
图案类别：
1, 1, 5, 37, 365, 4501, 66605, 1149877, 22687565, 503589781, 12420052205, 336947795317, 9972186170765, 319727684645461, 11039636939221805, 408406422098722357, 16116066766061589965, 675700891505466507541
参考文献
T.S.Motzkin，排序编号…：有关本文注释扫描版本的链接，请参阅A000262号.
T.S.Motzkin，《组合数学》，Proc。交响乐团。纯数学。19，AMS，1971年，第167-176页。
链接
S.Giraudo，幺半群的组合运算，arXiv预印本arXiv:1306.6938[math.CO]，2013。
N.J.A.Sloane和Thomas Wieder，层次排序的数量第21号命令（2004年），第83-89页。
配方奶粉
例如：（2-exp（x））/（3-2*exp（x））。
a（n）渐近于（1/6）*n/log（3/2）^（n+1）-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月30日
对于m级树（m>1），例如f.是（m-1-（m-2）*e^x）/（m-（m-1）*e*x），树的数量是1/（m*（m-1”）*sum（k>=0，（1-1/m）^k*k^n）。这里m=3，那么a（n）=（1/6）*和（k>=0，（2/3）^k*k^n）（对于n>0）-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月30日
a（n）=和{k=1..n}斯特林2（n，k）*k*2^（k-1）-弗拉德塔·乔沃维奇2003年9月28日
递归：a（n+1）=1+2*Sum_{j=1..n}二项式（n+1，j）*a（j）-乔恩·佩里2005年4月25日
其中p（n）=n的整数分区数，p（i）=n第i个分区的部分数，d（i）=n第i分区的不同部分数，p=j上的乘积：a（n）=sum_｛i=1｝^｛p（n）｝（n！/（prod_｛j=1｝^｛p（i）｝p（i，j）！）*（p（i）/（prod_{j=1}^{d（i）}m（i，j）！）*2^（p（i）-1）-托马斯·维德2005年5月18日
设f（x）=（1+x）*（1+2*x）。设D是算子g（x）->D/dx（f（x）*g（x））。然后，对于n>=1，a（n）=D^（n-1）（1）在x=1/2处进行评估。与结果进行比较A000670号（n） x=0时=D^（n-1）（1）。另请参见A194649号. -彼得·巴拉2011年9月5日
例如：1+x/（g（0）-3*x），其中g（k）=x+k+1-x*（k+1）/g（k+1；（连分数，欧拉第一类，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年7月11日
对于n>0，a（n）=（1/6）*Sum_{k>=1}k^n*（2/3）^k-保罗·D·汉纳2014年11月28日
例如，A（x）满意度0=2-A'（x）-7*A（x-迈克尔·索莫斯2014年11月28日
例子
G.f.=1+x+5*x^2+37*x^3+365*x^4+4501*x^5+66605*x^6+。。。
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带（combstruct）；SeqSeqSetL:=[T，{T=序列（S），S=序列（U，卡>=1），U=集合（Z，卡>=1）}，标记]；
数学
使用[{nn=20}，系数列表[Series[（2-E^x）/（3-2*E^x，{x，0，nn}]，x]Range[0，nn]！](*哈维·P·戴尔2012年2月29日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，n！级数系数[1/（2-1/（2-经验[x]）），{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年11月28日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（1/（2-经验（x+x*O（x^n））），n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n==0，1，（1/6）*圆（suminf（k=1，k^n*（2/3）^k*1））}\\保罗·D·汉纳2014年11月28日
（鼠尾草）
A050351号=λn：如果n>0，则求和（stirling_number2（n，k）*（2^（k-1））*（0..n）中k的阶乘（k）），否则为1
1, 4, 36, 484, 8676, 194404, 5227236, 163978084, 5878837476, 237109864804, 10625889182436, 523809809059684, 28168941794178276, 1641079211868751204, 102961115527874385636, 6921180217049667005284, 496267460209336700111076
配方奶粉
例如：1/（5-4*exp（x））。
例如：A_n=4*Sum_{k=0..n-1}C（n，k）*A_k的A（x）；A_0=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年1月27日
G.f.：2/G（0），其中G（k）=1+1/（1-8*x*（k+1）/（8*x*k+1）-1+10*x*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月30日
a（n）=log（5/4）*int{x=0..inf}（floor（x））^n*（5/4”^（-x）dx-彼得·巴拉2015年2月14日
a（0）=1；a（n）=4*a（n-1）-5*Sum_{k=1..n-1}（-1）^k*二项式（n-1，k）*a（n-k）-Seiichi Manyama先生2023年11月16日
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a： =proc（n）选项记忆；
`如果`（n=0，1，4*加（二项式（n，k）*a（k），k=0..n-1））
结束时间：
seq（a（n），n=0..20）；
黄体脂酮素
（岩浆）m:=20；R<x>：=LaurentSeriesRing（RationalField（），m）；b： =系数（R！（1/（5-4*Exp（x）））；[阶乘（n-1）*b[n]：[1..m]]中的n//布鲁诺·贝塞利2014年3月17日
（SageMath）
定义A094416号（n，k）：返回和（范围（k+1）中j的阶乘（j）*n^j*stirling_number2（k，j））#数组
（PARI）我的（N=25，x='x+O（'x^N））；Vec（塞拉普拉斯（1/（5-4*exp（x）））\\乔格·阿恩特2024年1月15日
反对偶读取数组：广义有序Bell数Bo（r，n）。
+10
19
1, 2, 3, 3, 10, 13, 4, 21, 74, 75, 5, 36, 219, 730, 541, 6, 55, 484, 3045, 9002, 4683, 7, 78, 905, 8676, 52923, 133210, 47293, 8, 105, 1518, 19855, 194404, 1103781, 2299754, 545835, 9, 136, 2359, 39390, 544505, 5227236, 26857659, 45375130, 7087261
评论
此外，r乘以具有n片叶子的（r+1）级标记线性根树的数量。
{r，r，r…}的“AIJ”（有序，模糊，标记）变换。
r^n*n！的Stirling变换！，例如f/（1-r*x）。
此外，Bo（r，s）是在x=1时计算的（（x*d/dx）^n）（1/（1+r-r*x））。
Bo（r，n）是概率参数=1/（r+1）的几何分布的第n个矩。这里，几何分布是首次成功之前的失败次数-杰弗里·克雷策2019年1月1日
行r（从r=0开始），Bo（r+1，n）是应用于r+1次幂的Akiyama-Tanigawa算法。请参阅下面的Python程序-谢尔·卡潘，2024年5月3日
配方奶粉
例如：1/（1+r*（1-exp（x）））。
Bo（r，n）=和{k=0..n}k*r^k*Stirling2（n，k）=1/（r+1）*Sum_{k>=1}k^n*（r/（r+1））^k，对于r>0，n>0。
递归：Bo（r，n）=r*Sum_{k=1..n}C（n，k）*Bo（r，n-k），其中Bo（l，0）=1。
Bo（r，0）=1，Bo（r，n）=r*Bo（r-n-1）-（r+1）*Sum_{j=1..n-1}（-1）^j*二项式（n-1，j）*Bo-Seiichi Manyama先生2023年11月17日
例子
数组开头为：
1, 3, 13, 75, 541, 4683, 47293, ...
2, 10, 74, 730, 9002, 133210, 2299754, ...
3, 21, 219, 3045, 52923, 1103781, 26857659, ...
4, 36, 484, 8676, 194404, 5227236, 163978084, ...
5, 55, 905, 19855, 544505, 17919055, 687978905, ...
6, 78, 1518, 39390, 1277646, 49729758, 2258233998, ...
数学
Bo[_，0]=1；Bo[r_，n_]：=Bo[r，n]=r*和[二项式[n，k]Bo[r、n-k]，{k，n}]；
黄体脂酮素
（岩浆）
A094416号：=func<n，k|（&+[阶乘（j）*n^j*StirlingSecond（k，j）：j in[0..k]]）>；
（SageMath）
定义A094416号（n，k）：返回和（范围（k+1）中j的阶乘（j）*n^j*stirling_number2（k，j））#数组
（Python）
#应用于r+1幂的Akiyama-Tanigawa算法
#生成行。添加一行（r=0）和一列（n=0）。
def f（n，r）：返回（r+1）**n
定义AT转换（r，len，f）：
A=[0]*长度
R=[0]*长度
对于范围内的n（len）：
R[n]=f（n，R）
对于范围（n，0，-1）中的j：
R[j-1]=j*（R[j]-R[j-1]）
A[n]=R[0]
返回A
对于范围（8）中的r：打印（[r]，ATtransform（r，8，f））#谢尔·卡潘，2024年5月3日
和{k>=0}（2*k-1）的展开*x^k/产品{j=1..k}（1-j*x）。
+10
15
1, 1, 4, 25, 217, 2416, 32839, 527185, 9761602, 204800551, 4801461049, 124402647370, 3529848676237, 108859319101261, 3625569585663484, 129689000146431205, 4958830249864725997, 201834650901695603296, 8712774828941647677019, 397596632650906687905565
配方奶粉
例如：1/sqrt（3-2*exp（x））。
a（n）=Sum_{k=0..n}斯特林2（n，k）*（2*k-1）！！。
a（n）~sqrt（2/3）*n^n/（log（3/2））^（n+1/2）*exp（n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年7月1日
猜想：a（n）=Sum_{k>=0}k^n*二项式（2*k，k）/（2^k*3^（k+1/2））-迭戈·拉塔吉2020年10月11日
O.g.f.推测：1/（1-x/（1-3*x/（1-3*x/-彼得·巴拉2020年12月6日
a（0）=1；a（n）=a（n-1）-3*和{k=1..n-1}（-1）^k*二项式（n-1，k）*a（n-k）-Seiichi Manyama先生2023年11月16日
MAPLE公司
b： =proc（n，m）选项记忆；
`如果`（n=0，双阶乘（2*m-1），m*b（n-1，m）+b（n-l，m+1））
结束时间：
a： =n->b（n，0）：
数学
nmax=19；系数列表[系列[Sum[（2k-1）！！x^k/乘积[1-j x，｛j，1，k｝]，｛k，0，nmax｝]，｛x，0，nmax｝]，x]
nmax=19；系数列表[系列[1/Sqrt[3-2 Exp[x]]，{x，0，nmax}]，x]范围[0，nmax]！
表[Sum[StirlingS2[n，k]（2 k-1）！！，{k，0，n}]，{n，0，19}]
1, 3, 15, 111, 1095, 13503, 199815, 3449631, 68062695, 1510769343, 37260156615, 1010843385951, 29916558512295, 959183053936383, 33118910817665415, 1225219266296167071, 48348200298184769895, 2027102674516399522623, 89990106205541777926215, 4216915299772659459872991
配方奶粉
O.g.f.：A（x）=和{n>=0}n！*3^n*x^n/产品{k=0..n}（1+k*x）。
O.g.f.：A（x）=1/（1-3*x/（1-2*x/。
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*3^k*斯特林2（n，k）*k！。
a（n）=log（3/2）*Integral_{x=0..oo}（上限（x））^n*（2/2）^（-x）dx-彼得·巴拉2015年2月6日
a（n）=1+2*Sum_{k=0..n-1}二项式（n，k）*a（k）-伊利亚·古特科夫斯基2020年6月8日
a（0）=1；a（n）=-3*Sum_{k=1..n}（-1）^k*二项式（n，k）*a（n-k）。
a（0）=1；a（n）=3*a（n-1）+2*Sum_{k=1..n-1}二项式（n-1，k）*a（n-k）。（结束）
例子
例如：E（x）=1+3*x+15*x^2！+111*x^3/3！+1095*x^4/4！+13503*x^5/5！+。。。
外径：A（x）=1+3*x+15*x^2+111*x^3+1095*x*^4+13503*x^5+。。。
其中A（x）=1+3*x/（1+x）+2*3^2*x^2/（（1+x）*（1+2*x））+3*3^3*x^3/（（1+x）*（1+2*x）*（1+3*x））+4*3^4*x^4/（（1+x）*（1+2*x）*（1+3*x）*（1+4*x））+。。。
MAPLE公司
seq（系数（级数（1/（3*exp（-x）-2），x，n+1）*n！，x、 n），n=0..30）#G.C.格鲁贝尔2020年6月8日
数学
表[总和[（-1）^（n-k）*3^k*箍筋S2[n，k]*k！，｛k，0，n｝]，｛n，0，20｝](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年6月13日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=n！*polceoff（exp（x+x*O（x^n））/（3-2*exp（x+x*0（x^n）），n）}
（PARI）{a（n）=polcoeff（总和（m=0，n，3^m*m！*x^m/prod（k=1，m，1+k*x+x*O（x^n）），n）}
（PARI）{斯特林2（n，k）=如果（k<0|k>n，0，和（i=0，k，（-1）^i*二项式（k，i）/k！*（k-i）^n））}
{a（n）=和（k=0，n，（-1）^（n-k）*3^k*斯特林2（n，k）*k！）}
（岩浆）[&+[（-1）^（n-j）*3^j*阶乘（j）*StirlingSecond（n，j）：j in[0..n]]：n in[0..20]]//G.C.格鲁贝尔2020年6月8日
（Sage）[sum（（-1）^（n-j）*3^j*阶乘（j）*stirling_number2（n，j）for j in（0..n））for n in（0..20）]#G.C.格鲁贝尔2020年6月8日
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