搜索： a098844-编号：a098844
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A005187号
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| a（n）=a（楼层（n/2））+n；1/sqrt（1-x）展开的分母为2^a（n）；也是2n——在2n的二进制展开中1的个数。
（原名M2330）
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232
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0, 1, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 31, 32, 34, 35, 38, 39, 41, 42, 46, 47, 49, 50, 53, 54, 56, 57, 63, 64, 66, 67, 70, 71, 73, 74, 78, 79, 81, 82, 85, 86, 88, 89, 94, 95, 97, 98, 101, 102, 104, 105, 109, 110, 112, 113, 116, 117, 119, 120, 127, 128
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.3
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评论
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以二进制形式写入n：1ab。。yz，则a（n）=1ab。。yz+…+1ab+1a+1-拉尔夫·斯蒂芬2003年8月27日
维基百科上关于“惠特尼浸入定理”的文章提到，a（n）维球体产生于1985年拉尔夫·科恩证明的浸入猜想-乔纳森·沃斯邮报2010年1月25日
对于n>0，具有o.g.f.1/sqrt（1-tx+x^2）的勒让德多项式的连续整数分子多项式L（n+1，x）对的分母-汤姆·科普兰，2016年2月4日
a（n）是完全跳过列表的前n个元素中的指针总数-阿洛伊斯·海因茨2017年12月14日
a（n）是第n个a（从0开始索引）在同态a->aab，b->b的不动点中的位置-杰弗里·沙利特2020年12月24日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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劳伦特·阿隆索、爱德华·莱因戈尔德和雷内·斯科特，确定多数，通知。过程。莱特。47（1993），第5253-255号。
Laurent Alonso、Edward M.Reingold和RenéSchott，确定多数的平均案例复杂性，SIAM J.计算。26（1997），第1期，第1-14页。
黄显奎（Xien-Kuei Hwang）、斯万特·简森（Svante Janson）和蔡宗希（Tsung-Hsi Tsai），分治递归二分法的精确解和渐近解：理论和应用《ACM算法事务》，13:4（2017），#47；内政部：10.1145/3127585。
基思·约翰逊（Keith Johnson）和基拉·谢贝尔胡特（Kira Scheibelhut），在斐波那契数处取整数值的有理多项式，《美国数学月刊》123.4（2016）：338-346。见第340页。
Tanya Khovanova，没有巧合，arXiv预印本1410.2193[math.CO]，2014。
Michael E.Saks和Michael Werman，通过比较计算多数《组合数学》11（1991），第4期，383-387。
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配方奶粉
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对于m>0，设q=地板（log_2（m））；a（2m+1）=2^q+3m+总和{k>=1}层（（m-2^q）/2^k）；a（2m）=a（2m+1）-1-伦·斯迈利
通用公式：A（x）=和{k>=0}x ^（2^k）/（（1-x）*（1-x^（2 ^k）））-拉尔夫·斯蒂芬2002年12月24日
推测：a（n）=2n+O（log（n））-贝诺伊特·克洛伊特2003年10月7日[a（n）=2*n-hamming_weight（2*n）为真。乔格·阿恩特，2019年6月10日]
重现性：a（n）=n+a（楼层（n/2））；a（2n）=2n+a（n）；a（n*2^m）=2*n*（2^m-1）+a（n）。
a（2^m）=2^（m+1）-1，m>=0。
渐近行为：a（n）=2n+O（log（n）），a（n+1）-a（n）=O（log（n））；这源于下面的不等式。
a（n）<=2n-1；2的权力是平等的。
a（n）>=2n-1层（log2（n））；等式适用于n=2^m-1，m>0。
lim-inf（2n-a（n））=1，对于n-->oo。
lim-sup（2n-log_2（n）-a（n））=0，对于n-->oo。
lim-sup（a（n+1）-a（n）-log_2（n））=1，对于n-->oo。（结束）
PURRS演示结果：初始条件a（1）=1:a（n）>=-2+2*n-log（n）*log（2）^（-1），a（n-亚历山大·波沃洛茨基2008年4月6日
如果n=2^a_1+2^a_2+…+2^a_k，则a（n）=n-k。这可以用来证明2^n最大除（2n！）/n-乔恩·佩里2009年7月16日
a（n）=log2（分母（二项式（-1/2，n）））-彼得·卢什尼2011年11月25日
通用公式：（1/（1-x））*Sum_{k>=0}（2^（k+1）-1）*x^（2*k）/（1+x^-伊利亚·古特科夫斯基2017年7月23日
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例子
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G.f.=x+3*x^2+4*x^3+7*x^4+8*x^5+10*x^6+11*x^7+15*x^8+。。。
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MAPLE公司
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数学
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a[0]=0；a[n_]：=a[n]=a[楼层[n/2]]+n；表[a[n]，{n，0，50}]（*或*）
表[IntegerExponent[（2n）！，2]，{n，0，65}](*罗伯特·威尔逊v2006年4月19日*）
表[2n-数字计数[2n，2，1]，{n，0，70}](*哈维·P·戴尔2014年5月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，赋值（（2*n）！，2））}/*迈克尔·索莫斯2002年10月24日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，和（k=1，n，（2*n）\2^k））}/*迈克尔·索莫斯2002年10月24日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，2*n-子集（Pol（二进制（n），x，1））}/*迈克尔·索莫斯2007年8月28日*/
（PARI）a（n）=我的（s=n）；而（n>>=1，s+=n）；秒\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年4月7日
（哈斯克尔）
a005187 n=a005187_列表！！n个
a005187_list=0:zipWith（+）[1..]（映射（a005187.（`div`2））[1..]]）
（鼠尾草）
@缓存函数
（岩浆）[n+估值（阶乘（n），2）:n in[0..70]]//文森佐·利班迪2019年6月11日
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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经核准的
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A011371号
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| a（n）=n减去（n的二进制展开式中的1个数）。也是2除以n！的最高幂！。 |
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0, 0, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 7, 7, 8, 8, 10, 10, 11, 11, 15, 15, 16, 16, 18, 18, 19, 19, 22, 22, 23, 23, 25, 25, 26, 26, 31, 31, 32, 32, 34, 34, 35, 35, 38, 38, 39, 39, 41, 41, 42, 42, 46, 46, 47, 47, 49, 49, 50, 50, 53, 53, 54, 54, 56, 56, 57, 57, 63, 63, 64, 64, 66, 66, 67, 67, 70
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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评论
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这个序列说明了为什么二进制文件中只有0和1是两个数字n，使得n等于其连续幂的位数之和（相当于以10为基数的序列A032799号). 提升到任意连续幂的1仍然是1，因此任何n>1提升到连续幂的任何数字之和都不等于该序列第n项的n值-阿隆索·德尔·阿特2004年7月27日
对于n>1，具有o.g.f.1/sqrt（1-t*x+x^2）的勒让德多项式的积分分子多项式L（n，x）的分母-汤姆·科普兰，2016年2月4日
这个序列的定义解释了为什么对于n>1，2除以n的最高幂！在n的二进制展开中加上1等于n。这个结果是由法国数学家阿德里安·勒让德（1752-1833）得出的[见Honsberger参考文献]-伯纳德·肖特2017年4月7日
a（n）是前n个正整数的素因式分解中2的总数。整数n的因式分解中2的期望值为1（作为n->无穷大）。通常，p的期望值（对于素数p）是1/（p-1）-杰弗里·克雷策2017年6月5日
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参考文献
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K.Atanassov，《关于Smarandache的一些问题》，第61个问题第7节，第42页，美国研究出版社，1999年，16-21。
G.Bachman，《p-Adic数与估值理论导论》，学术出版社，1964年；参见引理3.1。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第305页。
H.Davenport，《高等算术》，第7版，1999年，剑桥大学出版社，第216页，练习1.07。
R.Honsberger，《数学宝石II》，Dolciani数学博览会，1976年，第1-6页。
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链接
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劳伦特·阿隆索、爱德华·莱因戈尔德和雷内·斯科特，确定多数，通知。过程。莱特。47（1993），第5期，253-255。
劳伦特·阿隆索、爱德华·莱因戈尔德和雷内·斯科特，确定多数的平均案例复杂性，SIAM J.计算。26（1997），第1期，第1-14页。
基思·约翰逊（Keith Johnson）和基拉·谢贝尔胡特（Kira Scheibelhut），在斐波那契数处取整数值的有理多项式，《美国数学月刊》123.4（2016）：338-346。见omega_2。
A.Mir、F.Rossello和L.Rotger，一种新的系统发育树平衡指数，arXiv预印本arXiv:1202.1223[q-bio.PE]，2012。
Michael E.Saks和Michael Werman，通过比较计算多数《组合数学》11（1991），第4期，383-387。
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配方奶粉
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a（n）=a（楼层（n/2））+楼层-亨利·博托姆利2001年4月24日
通用公式：A（x）=（1/（1-x））*和{k>=1}x^（2^k）/（1-x^-拉尔夫·斯蒂芬2002年4月11日
a（n）=Sum_{k=2..n}Sum_{j|k，j>=2}（楼层（log_2（j））-楼层（log_2（j-1）））。
g.f.可以用朗伯级数表示，其中g（x）=L[b（k）]（x）/（1-x），其中
L[b（k）]（x）=Sum_{k>=0}b（k。
G.f.：G（x）=（1/（1-x））*Sum_{k>0}c（k）*x^k，其中c（k。
重复周期：
a（n）=楼层（n/2）+a（楼层（n/3））；
a（2*n）=n+a（n）；
a（n*2^m）=n*（2^m-1）+a（n）。
a（2^m）=2^m-1，m>=0。
渐进行为：
a（n）＝n+O（log（n）），
a（n+1）-a（n）=O（log（n）），由以下不等式得出。
a（n）<=n-1；2的权力是平等的。
a（n）>=n-1层（log2（n））；等式适用于n=2^m-1，m>0。
lim-inf（n-a（n））=1，对于n->oo。
lim-sup（n-log2（n）-a（n））=0，对于n->oo。
lim-sup（a（n+1）-a（n）-log2（n））=0，对于n->oo。（结束）
a（n）=Sum_{k=0..floor（log_2（n+1））}f^（k+1）（n），其中f（n）=（n-（n mod 2））/2和f^-约瑟夫·麦特，2018年3月1日
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例子
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a（3）=1，因为二进制中的3是11（两个1），并且3-2=1。
a（4）=3，因为二进制中的4是100（1和2个0），而4-1=3。
a（5）=3，因为二进制中的5是101（两个1之间的零），而5-2=3。
a（100）=97。
a（10^3）=994。
a（10^4）=9995。
a（10^5）=99994。
a（10^6）=999993。
a（10^7）=999999 2。
a（10^8）=99999988。
a（10^9）=9999999 87。
G.f.=x ^2+x ^3+3*x ^4+3*x^5+4*x ^6+4*x^7+7*x ^8+7*x^9+8*x ^10+。。。
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MAPLE公司
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A011371号（n） =返回（（（2^（l））-1）+总和（'（j*楼层（（n-（2^l）+2^j）/（2^j+1）））'，'j'=1..l））；#继K.Atanassov之后。这里的l是[log2（n）]。
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数学
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-1+长度[Last[Split[Integer Digits[2（n！），2]]]，FoldList[Plus，0，Fold[Flatten[{#1，#2，#1}]&，0，Range[6]]
表[IntegerExponent[n！，2]，{n，0，127}]
表[n-数字计数[n，2，1]，{n，0，127}]
表[t=0；p=2；而[s=楼层[n/p]；t=t+s；s>0，p*=2]；t、 {n，0，100}]
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，赋值（n！，2））}/*迈克尔·索莫斯2002年10月24日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，和（k=1，n，n \ 2^k））}/*迈克尔·索莫斯2002年10月24日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n-子集（Pol（二进制（n），x，1））}/*迈克尔·索莫斯2007年8月28日*/
（PARI）a（n）=总和（k=1，log（n+1）\log（2），n>>k）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年10月3日
（PARI）a（n）=n-汉明重量（n）\\米歇尔·马库斯2014年6月5日
（岩浆）[估值（因子（n），2）：[0.80]]中的n//布鲁诺·贝塞利2013年8月5日
（哈斯克尔）
（Python）[n-bin（n）[2:].count（“1”）表示范围（101）中的n#因德拉尼尔·戈什2017年4月9日
（Python）#3.10+
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A048651号
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| Product_{k>=1}的十进制展开式（1-1/2^k）。 |
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+10
99
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2, 8, 8, 7, 8, 8, 0, 9, 5, 0, 8, 6, 6, 0, 2, 4, 2, 1, 2, 7, 8, 8, 9, 9, 7, 2, 1, 9, 2, 9, 2, 3, 0, 7, 8, 0, 0, 8, 8, 9, 1, 1, 9, 0, 4, 8, 4, 0, 6, 8, 5, 7, 8, 4, 1, 1, 4, 7, 4, 1, 0, 6, 6, 1, 8, 4, 9, 0, 2, 2, 4, 0, 9, 0, 6, 8, 4, 7, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 2, 4, 2, 8, 4, 3, 1, 9, 3, 3, 4, 8, 0, 7, 8, 2
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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该常数非常接近2^（13/24）*sqrt（Pi/log（2））/exp（Pi^2/（6*log（2-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月21日
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参考文献
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史蒂文·芬奇，《数学常数》，剑桥，2003年，第354-361页。
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链接
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马文·盖塞尔哈特（Marvin Geiselhart）、艾哈迈德·埃尔克雷什（Ahmed Elkelesh）、穆斯塔法·埃巴达（Moustafa Ebada）、塞巴斯蒂安·卡默勒（Sebastian Cammerer）和斯蒂芬·滕·布林克（Stephan ten Brink），关于极码的自同构群，arXiv:22101.09679[cs.IT]，2021年。
维克托·米勒，平方计数矩阵，arXiv:1606.09299[math.GR]，2016年。
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配方奶粉
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Lim-inf产品_｛k=0.floor（log_2（n））｝floor（n/2^k）*2^k/n对于n->oo-希罗尼穆斯·费舍尔2007年8月13日
Product_{k>=1}（1-1/2^k）=（1/2；1/2）_{infinity}，其中（a；q）_{infinity是q-Pochhammer符号-G.C.格鲁贝尔2015年11月27日
（和{k>0}（4^k-1）/（积{i=1..k}（（4^i-1）*（2*4^i-l）））*2=2/7+2/（3*7*31）+2/（3+7*15*31*127）+2/。。。（推测）-沃纳·舒尔特2016年12月22日
等于和{k=-oo..oo}（-1）^k/2^（（3*k+1）*k/2）（根据欧拉五边形数定理）-阿米拉姆·埃尔达尔，2020年8月13日
常数C=Sum_{n>=0}（-1）^n/（Product_{k=1..n}（2^k-1））。Schulte的上述推测结果是通过成对添加该系列的项得出的。
C=（1/2）*Sum_{n>=0}（-1/2）^n/（Product_{k=1..n}（2^k-1））。
C=（3/8）*Sum_{n>=0}（-1/4）^n/（Product_{k=1..n}（2^k-1））。
1/C=和{n>=0}2^（n*（n-1）/2）/（乘积{k=1..n}（2^k-1））。
C=1-和{n>=0}（1/2）^（n+1）*Product_{k=1..n}（1-1/2^k）。
后一个恒等式概括为：
C=Sum_{n>=0}（1/4）^（n+1）*Product_{k=1..n}（1-1/2^k），
3*C=1-和{n>=0}（1/8）^（n+1）*积{k=1..n}（1-1/2^k），
3*7*C=6+Sum_{n>=0}（1/16）^（n+1）*Product_{k=1..n}（1-1/2^k），
3*7*15*C=91-和{n>=0}（1/32）^（n+1）*积{k=1..n}（1-1/2^k），
（结束）
等于sqrt（2*Pi/log（2））*exp（log（2。
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例子
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(1/2)*(3/4)*(7/8)*(15/16)*... = 0.288788095086602421278899721929230780088911904840685784114741...
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数学
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RealDigits[乘积[1-1/2 ^i，{i，100}]，10，111][1](*罗伯特·威尔逊v2011年5月25日*）
RealDigits[QPochhammer[1/2]，10，100][[1](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2015年11月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=生产信息（k=1，-1/2^k，1）；x*=10；对于（n=0，20000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b048651.txt”，n，“”，d））\\哈里·史密斯，2009年5月7日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002884号,A001318号,A005327号,A005329号,A048652号,A079555号,A098844号,A067080型,A100220号,A132019号,A132020型,A132026号,A132038号,A070933号,A261584型,A335764飞机.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18, 19
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,11
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评论
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或者，a（n）等于base-5表示的扩展A007091号（n） n（即，从右到左的连续位置代表5^n或A000351号（n） ）在符号刻度下，其从右到左的连续位置代表（5^n-1）/4或A003463号（n） ；例如，n=7392具有base-5表达式2*5^5+1*5^4+4*5^3+0*5^2+3*5^1+2*5^0，因此a（7392）=2*781+1*156+4*31+0*6+3*1+2*0=1845-Lekraj Beedassy公司2010年11月3日
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参考文献
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M.Gardner，“阶乘奇数”，第4章，《数学魔术秀：科学美国人的更多谜题、游戏、消遣、幻觉和其他数学智慧》。纽约：Vintage，1978年，第50-65页。
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链接
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David S.Hart、James E.Marengo、Darren A.Narayan和David S.Ross，关于n！，大学数学。J.，39（2）：139-1452008年。
S.Ikeda、K.Matsuoka、，关于某些整数序列生成的超越数，Siauliai数学。塞米恩。，8 (16) 2013, 63-69.
A.M.Oller-Marcén。n的尾随零的新外观！，arXiv:0906.4868v1[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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a（n）=总和{i>=1}层（n/5^i）。
G.f.：G（x）=和{k>0}x^（5^k）/（1-x^。
a（n）=总和{k=5..n}总和{j|k，j>=5}（楼层（log_5（j））-楼层（log_ 5（j-1）））。
G.f.：G（x）=L[b（k）]（x）/（1-x）
其中L[b（k）]（x）=和{k>=0}b（k。
G.f.：G（x）=和{k>0}c（k）*x^k/（1-x），
其中c（k）=总和{j>1，j|k}楼层（log_5（j））-楼层（log_ 5（j-1））。
重复周期：
a（n）=楼层（n/5）+a（楼层（n/6））；
a（5*n）=n+a（n）；
a（n*5^m）=n*（5^m-1）/4+a（n）。
a（k*5^m）=k*（5^m-1）/4，对于0<=k<5，m>=0。
渐进行为：
a（n）=n/4+O（对数（n）），
a（n+1）-a（n）=O（log（n）），由以下不等式得出。
a（n）<=（n-1）/4；5的权力是平等的。
a（n）>=n/4-1层（log5（n））；等式适用于n=5^m-1，m>0。
lim-inf（n/4-a（n））=1/4，对于n->oo。
lim-sup（n/4-log5（n）-a（n））=0，对于n->oo。
lim-sup（a（n+1）-a（n）-log5（n））=0，对于n->oo。
（结束）
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例子
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a（100）=24。
a（10^3）=249。
a（10^4）=2499。
a（10^5）=24999。
a（10^6）=249998。
a（10^7）=2499999。
a（10^8）=24999999。
a（10^9）=249999998。
a（10^n）=10^n/4-3对于10<=n<=15，除了a（10*14）=10*14/4-2-M.F.哈斯勒2019年12月27日
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MAPLE公司
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0，seq（添加（楼层（n/5^i），i=1..楼层（log[5]（n）），n=1..100）#罗伯特·伊斯雷尔2014年11月13日
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数学
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表[t=0；p=5；而[s=楼层[n/p]；t=t+s；s>0，p*=5]；t、 ｛n，0，100｝]
zOF[n_Integer？正]：=模块[{maxpow=0}，而[5^maxpow<=n，maxpow++]；加上@@表[商[n，5^i]，{i，maxpow-1}]]；属性[zOF]={可列表}；连接[{0}，zOF[Range[100]]](*哈维·P·戴尔2022年4月11日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a027868 n=总和$takeWhile（>0）$map（n`div`）$tail a000351_list
（Python）
从sympy导入多重性
对于范围（5，10**3，5）中的n：
p5+=多重性（5，n）
（Python）
（岩浆）[估值（因子（n），5）:n in[0.80]]//布鲁诺·贝塞利2021年10月11日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A054899号,A007953号,A112765型,A067080型,A098844号,A132027号,A067080型,A098844号,A132029号,A054999号,112765英镑,A191610型,A000351号.
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关键词
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非n,基础,美好的,容易的
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作者
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 11, 11, 11
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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10的最高幂除以多因子Product_{k>=1}M（10^k，10^k*floor（n/10^k））/（Product_{k>=1}M（10_（k-1），10^（k-1。这是因为多因素的商计算为乘积10^ floor（n/10）*10^ flower（n/100）*-Hieronymus Fischer公司2007年6月14日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=楼层（n/10）+楼层（n-100）+楼板（n/1000）+。。。
a（n）=总和{k>0}层（n/10^k）。
a（n）=总和{k=10..n}总和{j|k，j>=10}（楼层（log_10（j））-楼层（log_ 10（j-1）））。
G.f.：G（x）=（和{k>0}x^（10^k）/（1-x^。
G.f.以Lambert级数表示：
g（x）=L[b（k）]（x）/（1-x）其中L[b。
G.f.：G（x）=（总和{k>0}c（k）*x^k）/（1-x），其中c（k）=总和{j>1，j|k}（floor（log_10（j））-floor（log_10（j-1））。
a（n）=和{k=0..floor（log_10（n））}ds_10（floor（n/10^k））*10^k-n，其中ds_10。
a（n）=总和{k=0..层（log_10（n））}A007953号（地板（n/10^k））*10^k-n。
重复周期：
a（n）=楼层（n/10）+a（楼层（n/10））。
a（10*n）=n+a（n）。
a（n*10^m）=n*（10^m-1）/9+a（n）。
a（k*10^m）=k*（10^m-1）/9，对于0<=k<10，m>=0。
渐进行为：
a（n）=n/9+O（对数（n）），
a（n+1）-a（n）=O（log（n）），由以下不等式得出。
a（n）<=（n-1）/9；10的权力是平等的。
a（n）>=n/9-1层（log_10（n））；等式适用于n=10^m-1，m>0。
lim-inf（n/9-a（n））=1/9，对于n-->oo。
lim-sup（n/9-log_10（n）-a（n））=0，对于n-->oo。
lim-sup（a（n+1）-a（n）-log_10（n））=0，对于n-->oo。（结束）
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例子
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a（11）=1
a（111）=12。
a（1111）=123。
a（11111）=1234。
a（111111）=12345。
a（1111111）=123456。
a（11111111）=1234567。
a（111111111）=12345678。
a（1111111111）=123456789。
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数学
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表[t=0；p=10；而[s=楼层[n/p]；t=t+s；s> 0，p*=10]；t、 {n，0，100}]
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黄体脂酮素
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（岩浆）
m： =10；
如果n等于0，则返回0；
否则返回a（楼层（n/m））+楼层（n/m）；
结束条件：；端函数；
（SageMath）
定义a（n）：如果（n==0）else a（n//m）+（n//m），则返回0
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 30, 30, 30, 31, 31, 31, 32, 32, 32, 34, 34, 34, 35, 35
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a（n）=楼层（n/3）+楼层（n/9）+楼层。
通用公式：（1/（1-x））*和{k>0}x^（3^k）/（1-x^。
a（n）=总和{k=3..n}总和{j>=3，j|k}（楼层（log_3（j））-楼层（log.3（j-1）））。
G.f.：L[b（k）]（x）/（1-x），其中L[b。
G.f.：（1/（1-x））*Sum_{k>0}c（k）*x^k，其中c（k。
重复周期：
a（n）=楼层（n/3）+a（楼层（n%3））；
a（3*n）=n+a（n）；
a（n*3^m）=n*（3^m-1）/2+a（n）。
a（k*3^m）=k*（3^m-1）/2，对于0<=k<3，m>=0。
渐进行为：
a（n）=n/2+O（log（n）），
a（n+1）-a（n）=O（对数（n））；这源于下面的不等式。
a（n）<=（n-1）/2；3的权力是平等的。
a（n）>=（n-2）/2层（log3（n））；当n=3^m-1，m>0时，等式成立。
对于n->oo，lim-inf（n/2-a（n））=1/2。
对于n->oo，lim-sup（n/2-log3（n）-a（n））=0。
对于n->oo，lim-sup（a（n+1）-a（n）-log3（n））=0。（结束）
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例子
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a（100）=48。
a（10^3）=498。
a（10^4）=4996。
a（10^5）=49995。
a（10^6）=499993。
a（10^7）=4999994。
a（10^8）=49999990。
a（10^9）=499999993。
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MAPLE公司
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（n-转换（convert（n，base，3），`+`））/2；
结束进程：
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数学
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（+@@Floor[#/3^Range[Length[IntegerDigits[#，3]-1]]&）/@Range[0，100](*彼得·J·C·摩西2012年4月7日*）
FoldList[Plus，0，IntegerExponent[Range[100]，3]](*T.D.诺伊，2012年4月10日*）
表[整数指数[n！，3]，｛n，0，80｝](*哈维·P·戴尔2015年2月5日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
（岩浆）[估值（阶乘（n），3）:n in[0.80]]//布鲁诺·贝塞利2013年8月5日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A067080型
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| 如果n=十进制表示法中的ab...def，则左数字函数Ld（n）=ab...def*ab...de*ab.…d**ab*a。 |
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+10
50
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290, 295, 360, 366, 372
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a（n）=产品{k=1..长度（n）}楼层（n/10^（k-1））-弗拉德塔·乔沃维奇2002年1月8日
a（n）=乘积{0<=k<=楼层（log_10（n）），楼层（n/10^k）}，n>=1。
重复：
a（n）=n*a（楼层（n/10））；
a（n*10^m）=n^m*10^（m（m+1）/2）*a（n）。
对于0<k<10，a（k*10^m）=k^（m+1）*10^（m（m+1）/2）。
a（n）<=b（n），其中b（n；等式适用于n=k*10^m，m>=0，1<=k<10。这里b（n）也可以写成n^（1+楼层（log_10（n）））/10^A000217号（地板（log_10（n）））。
此外：a（n）<=3^（（1-log_10（3））/2）*n^^A000217号（log_10（n）），当n=3*10^m时相等，m>=0。
a（n）>c*b（n），其中c=0.472362443816572…（参见常数A132026号)。
另外：a（n）>c*2^（（1-log_10（2））/2）*n^^A000217号（log_10（n））。
lim inf a（n）/b（n）=0.472362443816572…，对于n-->oo。
lim-sup a（n）/b（n）=1，对于n-->oo。
lim inf a（n）/n^（（1+log_10（n））/2）=0.472362443816572…*sqrt（2）/2^log_10。
lim-sup a（n）/n^（（1+log_10（n））/2）=sqrt（3）/3^log_10。
lim inf a（n）/a（n+1）=0.472362443816572…对于n-->oo（参见常数A132026号)。
a（n）=O（n^（（1+log_10（n））/2））。（结束）
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例子
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Ld（256）=256*25*2=12800。
a（31）=楼层（31/10^0）*楼层（31/10^1）=31*3=93；
a（42）=168，因为42=42（以10为基数），所以a（42”=42*4（以-10为基数）=42*4=168。
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数学
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表[d=整数位数[n]；rd=1；当[Length[d]>0时，rd=rd*FromDigits[d]；d=下降[d，-1]]；rd，{n，1，75}]
表[Times@@NestList[Quotient[#，10]&，n，IntegerLength[n]-1]，{n，70}](*哈维·P·戴尔2013年12月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=我的（t=n）；而（n=10，t*=n）；t吨\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
（哈斯克尔）
a067080 n=如果n<=9，则n其他n*a067080（n`div`10）
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交叉参考
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关键词
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基础,非n,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A132038号
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| Product_{k>0}的十进制展开式（1-1/10^k）。 |
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+10
32
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8, 9, 0, 0, 1, 0, 0, 9, 9, 9, 9, 8, 9, 9, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 9, 9
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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链接
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菲利普·弗拉乔莱和罗伯特·塞奇威克，分析组合数学剑桥大学出版社，2009年，第49页。
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配方奶粉
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等于exp（-Sum_{n>0}sigma_1（n）/（n*10^n））。
等于（1/10；1/10）{无穷}，其中（a；q）{无限}是q-Pochhammer符号-G.C.格鲁贝尔2015年11月30日
等于sqrt（2*Pi/log（10））*exp（log（10。
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例子
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0.8900100999989990000001000...
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数学
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数字=105；清除[p]；p[n]：=p[n]=RealDigits[乘积[1-1/10^k，{k，1，n}]，10，数字]//第一；p[10]；p[n=20]；而[p[n]！=p[n/2]，n=2*n]；p【n】(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2014年2月17日*）
真数字[QPochhammer[1/10]，10，105][[1](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2015年11月18日*）
N[Q手锤[1/10，1/10]](*G.C.格鲁贝尔，2015年11月30日*）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A132026号
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| Product_{k>=0}的十进制展开式（1-1/（2*10^k））。 |
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+10
28
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4, 7, 2, 3, 6, 2, 4, 4, 3, 8, 1, 6, 5, 7, 2, 2, 3, 6, 5, 5, 1, 4, 1, 3, 3, 8, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 7, 3, 5, 3, 3, 4, 9, 6, 6, 4, 2, 9, 5, 8, 5, 0, 2, 2, 1, 9, 4, 6, 2, 1, 8, 8, 9, 0, 9, 6, 1, 1, 7, 7, 8, 7, 1, 9, 9, 4, 4, 2, 6, 0, 1, 3, 0, 7, 7, 9, 5, 4, 2, 9, 4, 3, 2, 5, 3, 0, 7, 2, 3, 0, 7, 8, 1, 1, 8, 1, 2
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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链接
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配方奶粉
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等于lim-inf_{n->oo}Product_{k=0..floor（log_10（n））}floor（n/10^k）*10^k/n。
等于lim-inf_{n->oo}A067080型（n） /n^（1+楼层（log_10（n）））*10^。
等于1/2*exp（-Sum_{n>0}10^（-n）*Sum_{k|n}1/（k*2^k））。
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例子
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0.472362443816572236551413383332...
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数学
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数字=103；乘积[1-1/（2*10^k），{k，0，无限}]//N[#，数字+1]//RealDigits[#，10，数字]//First(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2014年2月18日*）
真数字[QPochhammer[1/2，1/10]，10，100][[1](*简·曼加尔丹2017年1月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）生产信息（k=0，1-1/（2*10^k））\\阿米拉姆·埃尔达尔2023年5月9日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A132019号
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| Product_{k>=0}1-1/（2*3^k）的十进制展开式。 |
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+10
26
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3, 8, 2, 6, 6, 3, 1, 9, 6, 6, 7, 9, 0, 3, 3, 0, 2, 3, 2, 8, 8, 9, 5, 5, 0, 3, 3, 5, 3, 3, 1, 9, 1, 3, 2, 2, 7, 9, 5, 3, 7, 7, 1, 9, 7, 3, 1, 2, 7, 6, 7, 1, 1, 8, 0, 5, 5, 1, 4, 9, 5, 3, 5, 4, 6, 7, 8, 6, 8, 7, 5, 2, 4, 4, 0, 8, 2, 7, 5, 9, 9, 2, 7, 0, 3, 5, 3, 6, 4, 7, 1, 8, 8, 7, 4, 2, 5, 1, 6, 5, 6, 4, 6
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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链接
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配方奶粉
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等于极限inf_｛n->oo｝产品_｛k=0.floor（log_3（n））｝floor（n/3^k）*3^k/n。
等于lim-inf_{n->oo}A132027号（n） /n^（1+楼层（log_3（n）））*3^。
等于（1/2）*exp（-Sum_{n>0}3^（-n）*Sum_{k|n}1/（k*2^k））。
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例子
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0.3826631966790330232889550...
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数学
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数字=103；NProduct[1-1/（2*3^k），{k，0，Infinity}，NProductFactors->100，WorkingPrecision->digits+3]//N[#，digits+3]//RealDigits[#，10，digits]//First(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2014年2月18日*）
真数字[QPochhammer[1/2，1/3]，10，120][[1](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年5月8日*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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