话题
搜索

无限乘积

下载Mathematica笔记本下载沃尔夫拉姆笔记本

A类产品涉及无限的术语数量。这些产品可以融合。事实上积极的 a_n（名词），的产品 产品_（n=1）^（infty）a_n收敛到一非零数若（iff） sum_（n=1）^（infty）lna_n聚合。

无限乘积可用于定义余弦

cosx=product_（n=1）^infty[1-（4x^2）/（pi^2（2n-1）^2）]，
（1）

伽马函数

伽马（z）=[ze^（gammaz）product_（r=1）^infty（1+z/r）e^（-z/r）]^（-1），
(2)

正弦、和sinc函数.它们也出现在多边形外接,

K=乘积_（n=3）^infty1/（cos（pi/n））。
(3)

一个有趣的欧拉无穷乘积公式圆周率和n个第个首要的 p_n号是

圆周率=2/（product_（n=1）^（infty）[1+（sin（1/2点n））/（p_n）]）
(4)
=2/（产品_（n=2）^（infty）[1+（（-1）^[（p_n-1）/2））/（p_n）]）
(5)

（Blatner，1997年）。克纳尔公式给出了伽马函数 伽马（x）用无穷乘积表示

伽马（1+v）=2^（2v）乘积_（m=1）^系数[pi^（-1/2）伽马（1/2+2^（-m）v）]。
(6)

A类正则化积身份由以下公式给出

英菲=product_（k=1）^^^inftyk=sqrt（2pi）
(7)

（穆尼奥斯·加西亚和佩雷斯·马尔科，2003年，2008年）。

梅林公式状态

产品_（n=0）^输入（1+y/（n+x））e^（-y/（n+x），
(8)

哪里psi0（x）是地高玛函数和伽马（x）是伽马函数.

以下类别的产品

产品_（n=2）^（infty）（n^2-1）/（n^2+1）=毕加索皮
(9)
产品_（n=2）^（infty）（n^3-1）/（n^3+1）=2/3
(10)
产品_（n=2）^（infty）（n^4-1）/（n^4+1）=-1/2pisinhpicsc[（-1）^（1/4）pi]csc[（-1”^（3/4）pi]
(11)
=（pisinh（pi））/（cosh（sqrt（2）pi）-cos（sqrt（2）π））
(12)
产品_（n=2）^（infty）（n^5-1）/（n^5+1）=（2伽马（-（-1）^（1/5））伽马（（-1）^（2/5））伽马（-（-1）^（3/5））伽马（（-1）^（4/5））/（5伽马（（（-1）^（1/5））伽马（-（-1）^（2/5））伽马（（（-1）^（3/5）））
(13)

（博尔文等。2004年，第4-6页），其中伽马（z）是伽马函数,第一种方法是在Borwein和Corless（1999）中给出的，可以进行分析。特别是，对于r> 1个,

产品_（n=1；n！=m）^系数（n^r-m^r）/（n^r+m^r，
(14)

哪里ω_k=e^（ipi/k）（博尔文等。2004年，第6-7页）。不知道是否(13)是代数的，尽管已知不满足次数较少的整数多项式小于21且欧氏范数小于5×10^(18)（博尔文等。2004年，第7页）。

以下形式的产品可以进行分析，

产品_（k=1）^infty（（1+k^（-1））^2）/（1+2k^产品_（k=1）^数量（（1+k^（-1）+k^（-2））^2）/（1+2k^（-1）+3k^（-2）=（3sqrt（2）cosh^2（1/2活塞（3））csch（活塞（2）））/pi乘积_（k=1）^系数（（1+k^（-1）+k^（-2）+kqu（-3））^2）/（1+2k^产品_（k=1）^系数（（1+k^（-1）+k^（-2）+k*（-3）+k*2）^2）/（1+2k*（-1）+3k*（-2）+4k*3）+5k*4）=产品_（i=1）*4（γ_i）/（γ_2（z_i）），
(15)

哪里x指数,y_i（y_i）、和z _ i是的根

x^3-5x^2+10x-10=0
（16）
年^4-6年^3+15年^2-20年+15年=0
(17)
z^4-5z^3+10z^2-10z+5=0,
(18)

也可以分别进行分析。请注意(17)和(18)Borwein和Corless（1999）不知道。这些是结果的特殊情况

product_（k=1）^infty（sum_（i=1）^（p）（a_i）/（k^i））/（sum_（i=0）^（q）（b_i）/（k^i））=（b_q）/（a_p）（product_（i=0）^（q）Gamma（-s_i））/（product_（i=0）^（p）Gamma（-r_i）），
(19)

如果a_0=b_0=1和a_1=b_1,哪里理化指数是我第个的根总和_（j=0）^（p）a_j/k^j和s _ i是我第个的根总和_（j=0）^（q）b_j/k^j（P.Abbott，pers.comm.，2006年3月30日）。

对于k> =2,

奇数k的乘积_（n=2）^系数（1-1/（n^k））={1/（k乘积_
(20)

（D.W.Cantrell，《公共事务委员会》，2006年4月18日）。前几个明确的例子是

产品_（n=2）^（infty）（1-1/（n^2））=1/2
(21)
产品_（n=2）^（infty）（1-1/（n^3））=（cosh（1/2磅/平方英寸（3））/（3磅/平方英寸）
(22)
=1/（3伽马（-1）^（1/3））伽马（-（-1）*（2/3））
(23)
产品_（n=2）^（infty）（1-1/（n^4））=（sinhpi）/（4pi）
(24)
产品_（n=2）^（infty）（1-1/（n^5））=1/（5Gamma（（-1）^（1/5））Gamma
(25)
产品_（n=2）^（infty）（1-1/（n^6））=（1+cosh（pisqrt（3）））/（12pi^2）。
（26）

这是一般公式的特例

产品_（k=1）^系数（1-（x^n）/（k^n））=-1/（x^n）产品_（k=0）^（n-1）1/（γ（-e^（2piik/n）x））
(27)

（普鲁德尼科夫等。1986年，第754页）。

同样，对于k> =2,

奇数k的乘积_（n=1）^inff（1+1/（n^k））={1/（乘积_
(28)

（D.W.Cantrell，《公共通讯》，2006年3月29日）。前几个明确的例子是

产品_（n=1）^（infty）（1+1/（n^2））=（sinhpi）/pi
(29)
产品_（n=1）^（infty）（1+1/（n^3））=1/picosh（1/2活塞（3））
(30)
产品_（n=1）^（infty）（1+1/（n^4））=（cosh（pisqrt（2））-cos（pisq（2）
(31)
=-（sin[（-1）^（1/4）pi]sin[（-1^（3/4）pi]）/（pi^2）
(32)
产品_（n=1）^（infty）（1+1/（n^5））=|伽马射线[exp（2/5pii）]
(33)
产品_（n=1）^（infty）（1+1/（n^6））=（sinhpi[coshpi-cos（sqrt（3）pi）]）/（2pi^3）。
(34)

这个d日-模拟的表达

[infty！]_d=product_（n=3）^infty（1-（2^d）/（n^d））
(35)

还有闭合形式表达式，

产品_（n=3）^（infty）（1-4/（n^2））=1/6
(36)
产品_（n=3）^（infty）（1-8/（n^3））=（新几内亚（皮斯克特（3））/（42皮斯克特）
(37)
产品（n=3）^（infty）（1-（16）/（n^4））=（正弦（2pi））/（120pi）
(38)
产品（n=3）^（infty）（1-（32）/（n^5））=|伽马射线[exp（1/5pii）]伽马射线[2exp（7/5pii）]|^（-2）。
(39)

这种类型的无限乘积的一般表达式包括

产品_（n=1）^（infty）[1-（z/n）^（2N）]=（sin（piz））/（piz^（2N-1））乘积_（k=1）^（N-1）|伽玛（ze^（2pii（k-N）/（2N））|^（-2）
(40)
产品_（n=1）^（infty）[1+（z/n）^（2N）]=1/（z^（2N））产品_（k=1）^（N）|Gamma（ze^（pii[2（k-N）-1]/（2N
(41)
产品_（n=1）^（infty）[1-（z/n）^（2N+1）]=1/（伽马（1-z）z^（2N））乘积_（k=1）^（N）|伽马（ze^（pii[2（k-N）-1]/（2N+1））|^（-2）
(42)
产品_（n=1）^（infty）[1+（z/n）^（2N+1）]=1/（伽马（1+z）z^（2N））乘积_（k=1）^（N）|Gamma（ze^（2-pii（k-N-1）/（2N+1）））|^（-2），
(43)

哪里伽马（z）是伽马函数和|z（z）|表示复模量（卡霍维奇）。(40)和(41)也可以重写作为

产品_（n=1）^（infty）[1-（z/n）^（2N）]=（sin（piz））/（pi^3z^2）[（sinh（piz
(44)
产品_（n=1）^（infty）[1+（z/n）^（2N）]=1/（pi^2z^2）[（sinh（piz））/（piz，
(45)

哪里|_x个_|是楼层功能,【x】是天花板函数,和模数（a，m）是的模量一（修订版米)（卡霍维奇）。

无限产品表单的

产品_（k=1）^（infty）（1-1/（n^k））=（n^（-1））_infty
(46)
=n^（1/24）[1/2theta_1^'（0，n^）（-1/2））]^（1/3）
(47)

收敛于n> 1个,哪里（q） _（_F）是一个问-Pochhammer符号和θn（z，q）是一个雅各比θ函数。这里n=2case正好是常量问数字分析中遇到的问题树搜索.

其他产品包括

产品_（k=1）^（数量）（1+2/k）^（（-1）^（k+1）k）=pi/（2e）
(48)
=0.57786367...
(49)
产品_（k=0）^（infty）（1+e^（-（2k+1）pi））=2^（1/4）e^（-pi/24）
(50)
产品_（k=3）^（infty）（1-（pi^2）/（2k^2））秒（pi/k）=0.86885742...
(51)

（组织环境信息系统A086056号和A247559型; 普鲁德尼科夫等。1986年，第757页）。注意Prudnikov等。(1986,第757页）也错误地给出了产品

产品_（k=1）^infty（1-e^（-2pik/sqrt（3）））=（e^，
（52）

哪里（q） _（_F）是一个问-Pochhammer符号，作为3^（1/4）e^（-pi/（6sqrt（3））），这与正确的结果不同通过1.8×10^(-5).

以下类似类别的产品也可以进行分析（J.Züñiga，pers.comm.，2004年11月9日），其中再次θn（z，q）是一个雅各比θ函数,

产品_（k=1）^（infty）（1+1/（n^k））=n（1/24）θ_4^（-1/2）（0，n（-1））[1/2θ_1^'（0，n^（-1）
(53)
产品_（k=1）^（infty）（（1-n^（-k））/（1+n^=产品_（k=1）^（infty）tanh（1/2klnn）
(54)
=θ_4（0，n^（-1））
(55)
产品_（k=1）^（infty）（（1-n^（-2k））/（1+n^=产品_（k=1）^（infty）和^2（klnn）
(56)
=（θ_1^'（0，n^（-1））/（θ_2（0，n ^（-1）））
（57）
产品_（k=1）^（infty）（（1-n^（-2k+1））/（1+n^=产品_（k=1）^（infty）tanh^2[（k-1/2）lnn]
(58)
=（θ_4（0，n^（-1））/（θ_3（0，n ^（-1）））
(59)
产品_（k=1）^（infty）（1-1/（n^（2k-1）））=n^（-1/24）θ_4^（1/2）（0，n^
(60)
产品_（k=1）^（infty）（1+1/（n^（2k-1）））=n^（-1/24）θ_3^（1/2）（0，n^
(61)
产品_（k=1）^（infty）[1+（-1）^=2^b_2F_1（a+b，b；a+1；-1）
(62)
=（sqrt（pi）伽马（a+1））/（2^a伽马（1/2（2+b-a））伽玛（1/2（1+b+a）））。
(63)

第一个可以用来表示斐波那契阶乘常数以封闭形式。

从巴恩斯G函数由提供

产品_（n=1）^infty（1+z/n）^ne^（-z+z^2/（2n））=（G（z+1））/（2pi）^（z/2））e^（[z（z+1+gammaz^2]/2），
(64)

哪里伽马射线是Euler-Mascheroni常数。对于z=1,2、3和4，显式乘积由

产品_（n=1）^（infty）（1+1/n）^ne^（1/（2n）-1）=（e^（1+伽马/2））/（平方（2pi））
(65)
产品_（n=1）^（infty）（1+2/n）^ne（4/（2n）-2）=（e^（3+2gamma））/（2pi）
(66)
产品_（n=1）^（infty）（1+3/n）^ne^（9/（2n）-3）=（e^（6+9gamma/2））/（sqrt（2）pi^（3/2））
(67)
产品_（n=1）^（数量）（1+4/n）^ ne ^（16/（2n）-4）=（3e^（10+8伽马））/（pi^2）。
(68)

有趣的身份

xproduct_（n=1）^infty（（1-x^（2n））^8）/（（1-x（2n-1））^8=sum_（n=1）^intty2^（3b（n））sigma_3（Od（n）
(69)

（Ewell 19952000），其中b（n）是2除以精确幂的指数n个,奇数（n）=n/2^（b（n））是奇数部分属于n个,σ_k（n）是除数函数属于n个、和

产品_（n=1）^（infty）（1+x^（2n-1））^8=产品_（n=1）^（infty）（1-x^（2n-1））^8+16x产品_（n=1）
(70)
=1+8x+28x^2+64x^3+134x^4+288x^5+。。。
（71）

（组织环境信息系统A101127号; 雅各比1829；福特等。1994; Ewell 1998，2000），后者被称为“aequatio identica弦论物理学文献中的“深奥的满足”，产生了联系使用τ函数.

一个意外的无限乘积，涉及黑褐色由提供

|产品_（k=0）^infty[棕色（2^kx）]^（1/（2^k））|=4sin^2x
(72)

（多宾斯基1876年，阿格纽和沃克1947年）。

Gosper首先注意到的一个奇怪的身份是由

产品_（n=1）^（infty）1/e（1/（3n）+1）^=平方（伽马（1/3）/（2pi））（3^（13/24）经验[1+（2pi^2-3psi_1（1/3））/（12pisqrt（3））]）/（A^4）
(73)
=1.012378552722912...
(74)

（组织环境信息系统A100072号)，其中伽马（z）是伽马函数,psi1（z）是三伽马函数、和A类是Glaisher-Kinkelin公司常数.

另请参阅

阿廷常数,巴恩斯G函数,余弦,d日-模拟,Dedekind Eta函数,迪里克莱Eta函数,多宾斯基公式,欧拉身份,尤勒·马切罗尼常量,欧拉产品,斐波那契阶乘常数,Gamma函数,哈达玛产品,雅可比三乘积,克纳尔公式,梅林公式,梅滕斯定理,五边形数定理,多边形外切,多边形书写,电力塔,Prime（主要）产品,Q函数,问-系列,黎曼-泽塔函数,Sinc公司功能,正弦,斯蒂芬斯常量,沃利斯公式

与Wolfram一起探索| Alpha

新型网络搜索引擎

更多需要尝试的事情：

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，第75页，1972年。阿格纽，R.P。和Walker，R.J。“三角无穷乘积。”阿默尔。数学。每月 54,206-211, 1947.Arfken，G.《无限产品》第5.11节数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第346-351页，1985D.布拉特纳。这个皮的喜悦。纽约：Walker，第119页，1997年。Borwein，J。；Bailey，D。；和Girgensohn，R.“两种产品”第1.2节实验数学：发现的计算途径。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，第4-7页，2004年。J.M.博文。和Corless，R.M。“新兴市场实验数学工具。"阿默尔。数学。每月 106,899-909, 1999.多宾斯基（Dobinski，G.），《非商业因素的产品》档案数学。u.物理。 59, 98-100, 1876.埃尔德莱伊，A。；马格纳斯，W。；Oberhettinger，F。；和F.G.特里科米。较高的先验函数，第1卷。纽约：Krieger，第6页，1981年。好吧，J.A.公司。“六元组产品标识的算术后果。”Rocky Mtn.J.数学。 25, 1287-1293, 1995.J.A.埃维尔。“关于雅可比恒等式的注记。”程序。阿默尔。数学。索克。 126,421-423, 1998.J.A.埃维尔。“拉马努扬的新代表Tau函数。"程序。阿默尔。数学。索克。 128, 723-726, 2000.芬奇，S.R.公司。《开普勒-布坎普常数》§6.3数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第428-429页，2003福特，D。；麦凯，J。；和诺顿，S.P。“有关可复制的更多信息功能。"Commun公司。藻类。 22, 5175-5193, 1994.汉森，埃及共和国。A类系列和产品表。新泽西州恩格尔伍德克利夫斯：普伦蒂斯·霍尔，1975年。雅各比，C.G.公司。J。“E formulis（7.），（8.）sequitur aequatio identica satis austrusa：(14.)[（1-q）（1-q^3）（1-q^5）..]^8+16q[（1+q^2）."基础新星理论功能椭圆星。德国哥尼斯堡：Regiomonti，Sumtibus fratrum Borntraeger，1829年。重印于格萨梅尔特Werke，乐队。 1.普罗维登斯，RI:Amer。数学。《社会学杂志》，第147页，1969年。杰弗里斯，H.和Jeffreys，B.S。“无限产品”§1.14英寸方法数学物理第三版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第52-53页，1988年。S.G.将军。“无限乘积。“§8.1.6手册复杂变量的。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第104-105页，1999年。穆尼奥斯García，E.和Pérez Marco，R.“所有素数的乘积是第4页^2."预印IHES/M/03/34。2003年5月。http://inc.web.ihes.fr/prepub/PREPRINTS/M03/Resu/Resu-M03-34.html.穆尼奥斯García，E.和Pérez Marco，R.“所有素数的乘积是4π^2."Commun公司。数学。物理。 277, 69-81, 2008.Prudnikov，A.P。；于·布里奇科夫。答：。；和O.I.Marichev。“无限产品”§6.2在里面积分和系列，第1卷：基本函数。纽约：Gordon&Breach，第753-757页，1986年。J.F.里特。“分析的表示作为无限产品发挥作用。"数学。Z。 32, 1-3, 1930.斯隆，新泽西州。答：。序列A048651号,A086056号,A100072号,A100220号,A100221号,A100222号,A101127号、和A247559型在“整数序列在线百科全书”中惠塔克，E.T.公司。和G.N.Watson。§7.5-7.6英寸A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。

参考Wolfram | Alpha

无限乘积

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“无限产品。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/InfiniteProduct.html

主题分类