搜索: a048651-编号:a048652
|
|
|
|
0, 3, 2, 6, 4, 1, 2, 1, 9, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 5, 1, 2, 1, 1, 6, 1, 2, 5, 79, 6, 4, 5, 1, 1, 1, 1, 12, 1, 1, 2, 5, 1, 659, 2, 17, 1, 5, 2, 3, 2, 6, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 6, 1, 1, 3, 11, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 11, 2, 1, 3, 4, 2, 2, 1, 3, 1, 71, 1, 1, 1, 19, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 49, 3, 1, 2, 2, 11, 1, 11, 10, 1, 2, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0.2个
|
|
评论
|
常数积{k>=1}(1-1/2^k)^(-1)=3.46274661945506361(A065446号)给出了基本相同的序列。
|
|
参考文献
|
史蒂文·芬奇,《数学常数》,剑桥,2003年,第354-361页。
|
|
链接
|
|
|
例子
|
0.2887880950866024212788997219294585937270...
0.288788095086602421278899721... = 0 + 1/(3 + 1/(2 + 1/(6 + 1/(4 + ...)))). -哈里·史密斯2009年5月2日
|
|
数学
|
连续分数[N[乘积[1/(1-1/2^k),{k,1,无穷}],500],49]
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI){allocateem(932245000);默认值(realprecision,21000);x=prodinf(k=1,-1/2^k,1);z=contfrac(x);对于(n=1,20001,写入(“b048652.txt”,n-1,“”,z[n]);}\\哈里·史密斯2009年5月7日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n,cofr公司
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A002884号
|
| GF(2)上非奇异n×n矩阵的个数(群GL(n,2)的阶);Chevalley群A_n的阶(2);射影特殊线性群PSL_n(2)的阶。 (原M4302 N1798)
|
|
+10 86
|
|
|
1, 1, 6, 168, 20160, 9999360, 20158709760, 163849992929280, 5348063769211699200, 699612310033197642547200, 366440137299948128422802227200, 768105432118265670534631586896281600, 6441762292785762141878919881400879415296000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
评论
|
此外,GF(2^n)超过GF(2)的碱基数。
另外,GF(2)上n×n矩阵的(显然)个数具有永久性=1-雨果·普福尔特纳2003年11月14日
前面的评论是正确的,因为GF(2)上的永久数和行列式是相同的-乔格·阿恩特2008年3月7日
(Z_2)^n的自同构数(Z_2的n个拷贝的直积)-彼得·伊斯特伍德2015年4月6日
注意n!由于由所有置换矩阵组成的GL(n,2)的子群同构于S_n(第n对称群),因此对a(n)进行除法-宋佳宁2022年10月29日
|
|
参考文献
|
Carter,Roger W.Lie类型的简单群。《纯粹与应用数学》,第28卷。约翰·威利父子公司,伦敦-纽约-西德尼,1972年。viii+331页。MR0407163(53号10946)。请参见第2页。
J.H.Conway、R.T.Curtis、S.P.Norton、R.A.Parker和R.A.Wilson,有限群的ATLAS。牛津大学出版社,1985年,第xvi页。
H.S.M.Coxeter和W.O.J.Moser,《离散群的生成器与关系》,第4版,纽约州施普林格出版社,1984年再版,第131页。
Horadam,K.J.,Hadamard矩阵及其应用。普林斯顿大学出版社,新泽西州普林斯顿,2007年。xiv+263页,见第132页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
|
|
链接
|
宗多戴(Zong Duo Dai)、所罗门·W·戈隆姆(Solomon W.Golomb)和广功(Guang Gong),无重复生成所有线性正态,离散数学。205 (1999), 47-55.
P.F.Duvall,Jr.和P.W.Harley,III,关于矩阵计数的一点注记,SIAM J.应用。数学。,20 (1971), 374-377.
N.Ilievska和D.Gligoroski,使用线性拟群的错误检测代码《2014年ICT创新》,《智能系统和计算进展》第311卷,2015年,第309-318页。
A.Meyerowitz和N.J.A.Sloane,通信1979
|
|
配方奶粉
|
a(n)=产品{i=0..n-1}(2^n-2^i)。
a(n)=2^(n*(n-1)/2)*产品{i=1..n}(2^i-1)。
当n>2时,a(n)=(6*a(n-1)^2*a(n3)-8*a(n-1)*a(-n2)^2)/(a(n-2)*a-Seiichi Manyama先生2016年10月20日
|
|
例子
|
PSL_2(2)与6阶对称群S_3同构。
|
|
MAPLE公司
|
#第一个程序
#第二个程序
A002884号:=n->2^(n*(n-1)/2)*乘积(2^i-1,i=1..n);
|
|
数学
|
表[乘积[2^n-2^i,{i,0,n-1}],{n,0,13}](*哈维·P·戴尔2011年8月7日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)a(n)=prod(i=2,n,2^i-1)<<二项式(n,2)\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月13日
(Magma)[1]猫[(&*[2^n-2^k:k在[0.n-1]]中):n在[1.15]]中//G.C.格鲁贝尔2023年8月31日
(SageMath)[范围(n)中j的乘积(2^n-2^j),范围(16)中n的乘积]#G.C.格鲁贝尔2023年8月31日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A005329号
|
| a(n)=产品{i=1..n}(2^i-1)。也称为2阶乘数。 (原M3085)
|
|
+10 70
|
|
|
1, 1, 3, 21, 315, 9765, 615195, 78129765, 19923090075, 10180699028325, 10414855105976475, 21319208401933844325, 87302158405919092510875, 715091979502883286756577125, 11715351900195736886933003038875, 383876935713713710574133710574817125
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
评论
|
等于q=(-2)的q-Fibonacci级数,如果n是偶数,级数以1:(1,1,1、3、21,…)点(1,-2,4,-8,…)开头;如果n是奇数,级数则以(-1,2,-4,8,…)结尾。例如,a(3)=21=(1,1,1、3)点(-1,2,-4,8)=(-1,2中,-4,24)和a(4)=315=(1、1、1,3,21)点(1,-2,4,-8 16)=(1;-2,4;-24,336)-加里·亚当森2009年4月17日
A_n(K)建筑中的房间数量,其中K=GF(2)是两个元素的字段。这也是两个元素的域上的n维向量空间中的最大标志的数量-马科斯·斯普雷菲科2012年3月22日
给定无穷过程第n阶段出现结果的概率p=1/2^n,然后从n=1开始,A114604号(n)/A006125号(n+2)=1-a(n)/A006125号(n+1)是结果在第n次迭代之前(包括第n次)发生的概率。极限比为1-A048651号~ 0.7112119. 这些观察是约书亚·祖克(Joshua Zucker)2005年12月14日评论的一个更为正式和概括的陈述-鲍勃·塞尔科,2016年3月2日
同时也是n-三角形蜂窝状rook图中支配集的数量-埃里克·韦斯特因2017年7月14日
经验:让Q表示有理数域上一元多项式环t的分数域上对称函数的Hall-Littlewood Q基,让h表示完全齐次基,a(n)等于2的绝对值^A000292号(n) 乘以Q{(n,n-1,…,1)}中h{1^(n*(n+1)/2)}的系数,t取1/2-约翰·M·坎贝尔2018年4月30日
级数f(x)=Sum_{n>=0}x^(2^n-1)/a(n)满足f'(x)=f(x^2),f(0)=1-卢卡斯·拉森2022年1月5日
|
|
参考文献
|
Annie Cuyt、Vigdis Brevik Petersen、Brigitte Verdonk、Haakon Waadeland和William B.Jones,《特殊函数连分式手册》,纽约斯普林格出版社,2008年。(见19.2.1)
史蒂文·芬奇,《数学常数》,剑桥大学出版社,2003年,第358页。
马克·罗南(Mark Ronan),《建筑讲座》(数学透视;第7卷),学术出版社,1989年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
a(n)/2^(n*(n+1)/2)->c=0.288788095086602421278997219294585937270…(参见A048651号,A048652号).
G.f.:总和_{n>=0}2^(n*(n+1)/2)*x^n/(乘积_{k=0..n}(1+2^k*x))。
比较:1=Sum_{n>=0}2^(n*(n+1)/2)*x^n/(Product_{k=1..n+1}(1+2^k*x))。(结束)
G.f.满足:A(x)=1+Sum_{n>=1}x^n/n!*d^n/dx^n x*A(x)-保罗·D·汉纳2012年4月21日
a(n)=2^(二项式(n+1,2))*(1/2;1/2){n},其中(a;q){n{是q-Pochhammer符号-G.C.格鲁贝尔2015年12月23日
O.g.f.作为Stieltjes’类型的连分数:a(x)=1/(1-x/(1-2*x/(1-6*x/。参见Cuyt等人19.2.1)。
A(x)=1/(1+x-2*x/(1-(2-1)^2*x/(1+x-2^3*x/。(结束)
对于所有n>=0,0=a(n)*(a(n+1)-a(n+2))+2*a(n+1)^2-迈克尔·索莫斯2019年2月23日
|
|
例子
|
G.f.=1+x+3*x^2+21*x^3+315*x^4+9765*x^5+615195*x^6+78129765*x^7+。。。
|
|
MAPLE公司
|
A005329号:=proc(n)选项记忆;如果n<=1,则1其他(2^n-1)*procname(n-1);结束条件:;结束进程:seq(A005329号(n) ,n=0..15);
|
|
数学
|
文件夹列表[次数,1,2^范围[15]-1](*哈维·P·戴尔2011年12月21日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,(-1)^n QPochhammer[2,2,n]];(*迈克尔·索莫斯2018年1月28日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)a(n)=polcoeff(总和(m=0,n,2^(m*(m+1)/2)*x^m/prod(k=0,m,1+2^k*x+x*O(x^n)),n)\\保罗·D·汉纳2009年9月17日
(PARI)Dx(n,F)=局部(D=F);对于(i=1,n,D=导数(D));D类
a(n)=局部(a=1+x+x*O(x^n));对于(i=1,n,A=1+和(k=1,n,x^k/k!*Dx(k,x*A+x*O(x^n)));波尔科夫(A,n)\\保罗·D·汉纳2012年4月21日
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,prod(k=1,n,2^k-1))}/*迈克尔·索莫斯2018年1月28日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,(-1)^n*和(k=0,n+1,(-1/*迈克尔·索莫斯2018年1月28日*/
(Magma)[1]猫[&*[2^k-1:k在[1..n]]中:n在[1..16]]中//文森佐·利班迪2015年12月24日
(GAP)列表([0..15],n->产品([1..n],i->2^i-1))#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年5月18日
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000225号,A005321号,A006125号,A114604号,A006088号,A028362号,A027871号(3-fac),A027872号(5-fac),A027873号(6-fac),A048651号,A048652号,A075271号,A075272号,A032085型,A122746号.
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
Leslie Ann Goldberg(莱斯利(AT)dcs.warwick.ac.uk)提供的更好的定义,1999年12月11日
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A067080美元
|
| 如果n=十进制表示法中的ab...def,则左数字函数Ld(n)=ab...def*ab...de*ab.…d**ab*a。 |
|
+10 50
|
|
|
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290, 295, 360, 366, 372
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
评论
|
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
a(n)=产品{k=1..长度(n)}楼层(n/10^(k-1))-弗拉德塔·乔沃维奇2002年1月8日
a(n)=乘积{0<=k<=楼层(log_10(n)),楼层(n/10^k)},n>=1。
重复周期:
a(n)=n*a(楼层(n/10));
a(n*10^m)=n^m*10^(m(m+1)/2)*a(n)。
对于0<k<10,a(k*10^m)=k^(m+1)*10^(m(m+1)/2)。
a(n)<=b(n),其中b(n;等式适用于n=k*10^m,m>=0,1<=k<10。这里b(n)也可以写成n^(1+楼层(log_10(n)))/10^A000217号(地板(log_10(n)))。
此外:a(n)<=3^((1-log_10(3))/2)*n^^A000217号(log_10(n)),n=3*10^m的等式,m>=0。
a(n)>c*b(n),其中c=0.472362443816572…(参见常数A132026号).
另外:a(n)>c*2^((1-log_10(2))/2)*n^^A000217号(log_10(n))。
lim inf a(n)/b(n)=0.472362443816572…,对于n-->oo。
lim-sup a(n)/b(n)=1,对于n-->oo。
lim inf a(n)/n^((1+log_10(n))/2)=0.472362443816572…*sqrt(2)/2^log_10。
lim-sup a(n)/n^((1+log_10(n))/2)=sqrt(3)/3^log_10。
lim inf a(n)/a(n+1)=0.472362443816572…对于n-->oo(参见常数2013年12月26日).
a(n)=O(n^((1+log_10(n))/2))。(结束)
|
|
例子
|
Ld(256)=256*25*2=12800。
a(31)=楼层(31/10^0)*楼层(31/10^1)=31*3=93;
a(42)=168,因为42=42(以10为基数),所以a(42”=42*4(以-10为基数)=42*4=168。
|
|
数学
|
表[d=整数位数[n];rd=1;当[Length[d]>0时,rd=rd*FromDigits[d];d=下降[d,-1]];rd,{n,1,75}]
表[Times@@NestList[Quotient[#,10]&,n,IntegerLength[n]-1],{n,70}](*哈维·P·戴尔,2013年12月16日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)a(n)=我的(t=n);而(n=10,t*=n);t吨\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
(哈斯克尔)
a067080 n=如果n<=9,则n其他n*a067080n(n`div`10)
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
基础,非n,美好的
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A098844号
|
| a(1)=1,a(n)=n*a(楼层(n/2))。 |
|
+10 46
|
|
|
1, 2, 3, 8, 10, 18, 21, 64, 72, 100, 110, 216, 234, 294, 315, 1024, 1088, 1296, 1368, 2000, 2100, 2420, 2530, 5184, 5400, 6084, 6318, 8232, 8526, 9450, 9765, 32768, 33792, 36992, 38080, 46656, 47952, 51984, 53352, 80000, 82000, 88200, 90300
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
a(n)=product_{k=0..floor(log_2(n))}floor(n/2^k),n>=1。
重复周期:
a(n*2^m)=n^m*2^(m(m+1)/2)*a(n)。
a(n)<=n^((1+log2(n))/2)=2^A000217号(对数2(n));等式ifn是2的幂。
对于n!=2,
式中,c(n)=乘积_{k=1.floor(log_2(n)}(1-1/2^k);等式表示当n+1是2的幂。
a(n)>c*(n+1)^((1+log2(n+1
其中c=0.288788095086602421…(参见常数A048651号).
lim inf a(n)/n^((1+log_2(n))/2)=0.288788095086602421…对于n-->oo。
lim-supa(n)/n^((1+log_2(n))/2)=1,用于n-->oo。
lim inf a(n)/a(n+1)=0.288788095086602421…对于n-->oo(参见常数A048651号).
a(n)=O(n^((1+log_2(n))/2))。(结束)
|
|
例子
|
a(10)=楼层(10/2^0)*楼层(10/2 ^1)*楼层;
a(17)=1088,因为17=10001(基数2),因此a(17)=10001*1000*10*1(基数2)=17*8*4*2*1=1088。
|
|
数学
|
lst={};Do[p=n;s=1;当[p>1时,p=整数部分[p/2];s*=p;];附加到[lst,s],{n,1,6!,2}];第一次(*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2009年7月28日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)a(n)=如果(n<2,1,n*a(楼层(n/2))
(Python)
从数学导入prod
定义A098844号(n) :返回n*prod(n//2**k表示范围(1,n.bit_length()-1)中的k)#柴华武,2022年6月7日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
1, 2, 6, 14, 34, 74, 166, 350, 746, 1546, 3206, 6550, 13386, 27114, 54894, 110630, 222794, 447538, 898574, 1801590, 3610930, 7231858, 14480654, 28983246, 58003250, 116054034, 232186518, 464475166, 929116402, 1858449178, 3717247638, 7434950062, 14870628026, 29742206138, 59485920374, 118973809798, 237950730522, 475905520474
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0.2个
|
|
评论
|
将n分为2类:这些部分是无序的,但不是排序的;参见Wieder的示例和公式-乔格·阿恩特2013年4月28日
GF(2)上n×n矩阵的共轭类的个数。参考莫里森链接,第2.9节-杰弗里·克雷策2021年5月26日
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
a(n)渐近于c*2^n,其中c=3.46253527447396564949732-贝诺伊特·克洛伊特2003年10月26日。该常数的右值为c=1/A048651号= 3.46274661945506361153795734292443116454075790290443839132935303175891543974042... . -瓦茨拉夫·科特索维奇2014年9月9日
a(n)=S(n,1),其中S(n、m)=2+和{k=m.floor(n/2)}2*S(n-k,k)),S(n)=2,S(0,m)=1,S-弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年9月7日
a(n)=Sum_{lambda,mu,nu}(c^{λ}_{mu,nu})^2,其中lambda覆盖n的所有分区,mu和nu覆盖满足|mu|+|nu|=n和c的所有分区^{λ}_{mu,nu}表示Littlewood-Richardson系数-施瑞德2014年11月16日
通用公式:总和{i>=0}2^i*x^i/产品{j=1..i}(1-x^j)-伊利亚·古特科夫斯基2018年4月12日
G.f.:乘积_{j>=1}乘积_{i>=1}1/(1-x^(i*j))^A001037号(j) 莫里森链接第2.9节给出-杰弗里·克雷策2021年5月26日
|
|
例子
|
有一个(3)=14个分区,每个分区3个,有2个有序排序。这里p:s代表“s类的p部分”:
01: [ 1:0 1:0 1:0 ]
02: [ 1:0 1:0 1:1 ]
03: [ 1:0 1:1 1:0 ]
04: [ 1:0 1:1 1:1 ]
05: [ 1:1 1:0 1:0 ]
06: [ 1:1 1:0 1:1 ]
07: [ 1:1 1:1 1:0 ]
08:[1:1:1:1:1]
09: [ 2:0 1:0 ]
10: [ 2:0 1:1 ]
11: [ 2:1 1:0 ]
12: [ 2:1 1:1 ]
13:[3:0]
14: [ 3:1 ]
(结束)
|
|
MAPLE公司
|
b: =proc(n,i)选项记忆`如果`(n=0,1,`如果`(i<1,0,
b(n,i-1)+`if`(i>n,0,2*b(n-i,i)))
结束时间:
a: =n->b(n$2):
|
|
数学
|
系数列表[系列[积[1/(1-2t^k),{k,1,35}],{t,0,35}],t]
系数列表[级数[E^和[2^k*x^k/(k*(1-x^k)),{k,1,30}],{x,0,30}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年9月9日*)
(O[x]^20-1/QPochhammer[2,x])[[3]](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月20日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)N=66;q='q+O('q^N);Vec(1/总和(n=0,n,(-2)^n*q^(n*(n+1)/2)/prod(k=1,n,1-q^k))\\乔格·阿恩特2014年3月9日
(最大值)
S(n,m):=如果n=0,则1 else如果n<m,则0 else如果n=m,则2 else和(2*S(n-k,k),k,m,n/2)+2;
(岩浆)m:=50;R<x>:=PowerSeriesRing(基本原理(),m);系数(R!((&*[1/(1-2*x^k):k in[1..m]]))//G.C.格鲁贝尔,2018年10月31日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
沙伦·塞拉(sharonsela(AT)hotmail.com),2002年5月21日
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A238349型
|
| 行读取的三角形T(n,k):T(n、k)是n的组成数,其中k部分p位于位置p(固定点),n>=0,0<=k<=n。 |
|
+10 43
|
|
|
1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 3, 4, 1, 0, 0, 6, 7, 3, 0, 0, 0, 11, 16, 4, 1, 0, 0, 0, 22, 29, 12, 1, 0, 0, 0, 0, 42, 60, 23, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 82, 120, 47, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 161, 238, 100, 12, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 316, 479, 198, 30, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 624, 956, 404, 61, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1235, 1910, 818, 126, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,7
|
|
评论
|
通常,k列渐近于c(k)*2^n。常数c(k
c(0)=0.144394047543301210639449860964615390044455952420342=A048651号/2
c(1)=0.23199721622544522389420236754578783700531838988546098…=c(0)*A065442号
c(2)=0.104261929557371534733906196116707679501974368826074。。。
c(3)=0.01795631780689407343024911217251418606332716557720。。。
c(4)=0.001343254222922697613125145839110293324517874530073。。。
c(5)=0.00004645976701216920051487037952792359225887287888。。。
c(6)=0.000000768651747857094917953943327540619110335556499。。。
c(7)=0.000000006200599904985793344094393312042983316604040。。。
c(8)=0.0000000000 2465665216785151607617323669331090168122。。。
c(9)=0.000000000000048633746319332356416416110113745。。。
c(10)=0.00000000000000 47750743608910618576944191079881479。。。
c(20)=1.05217230403079700467566…*10^(-63)
对于大k是c(k)~m*2^(-k*(k+1)/2),其中m=1/(4*c(0))=1/(2*A048651号) = 1.7313733097275318...
(结束)
|
|
参考文献
|
M.Archibald、A.Blecher和A.Knopfmacher,合成和单词中的不动点,被整数序列杂志接受。
|
|
链接
|
M.Archibald、A.Blecher和A.Knopfmacher,作文和单词中的固定点,J.国际顺序。,第23卷(2020年),第20.11.1条。
|
|
例子
|
三角形开始:
00: 1,
01: 0, 1,
02: 1, 1, 0,
03: 2, 1, 1, 0,
04: 3, 4, 1, 0, 0,
05: 6, 7, 3, 0, 0, 0,
06: 11, 16, 4, 1, 0, 0, 0,
07:22、29、12、1、0、0、0、0,
08: 42, 60, 23, 3, 0, 0, 0, 0, 0,
09: 82, 120, 47, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
10: 161, 238, 100, 12, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
11: 316, 479, 198, 30, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
12: 624, 956, 404, 61, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
13: 1235, 1910, 818, 126, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
14: 2449, 3817, 1652, 258, 16, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
15: 4864, 7633, 3319, 537, 30, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
...
第n=5行统计以下成分(用点表示的空列):
(5) (14)(113)。
(23) (32) (122)
(41) (131) (1211)
(212) (221)
(311) (1112)
(2111)(1121)
(11111)
(结束)
|
|
MAPLE公司
|
b: =proc(n,i)选项记忆`如果`(n=0,1,展开(
加(b(n-j,i+1)*`如果`(i=j,x,1),j=1..n))
结束时间:
T: =n->(p->seq(系数(p,x,i),i=0..n))(b(n,1)):
seq(T(n),n=0..15);
|
|
数学
|
b[n_,i_]:=b[n,i]=如果[n==0,1,展开[Sum[b[n-j,i+1]*如果[i==j,x,1],{j,1,n}]];T[n_]:=函数[{p},表[系数[p,x,i],{i,0,n}][b[n,1]];表[T[n],{n,0,15}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2015年1月6日之后阿洛伊斯·海因茨*)
pq[y_]:=长度[Select[Range[Length[y]],#==y[[#]]&]];
表[Length[Select[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n],pq[#]==k&]],{n,0,9},{k,0,n}](*古斯·怀斯曼2022年4月3日*)
|
|
交叉参考
|
k=0-10列给出:A238351型,A240736型,A240737型,A240738型,A240739型,A240740型,A240741型,A240742型,A240743型,A240744型,A240745型.
下面是:comps=compositions,first=column k=0,stat=rank statistics。
|
|
关键词
|
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A008930号
|
| 对于所有i,n的组分(p_1、p_2、p_3…)的数量为1<=p_i<=i。 |
|
+10 36
|
|
|
1, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 21, 41, 80, 157, 310, 614, 1218, 2421, 4819, 9602, 19147, 38204, 76266, 152307, 304256, 607941, 1214970, 2428482, 4854630, 9705518, 19405030, 38800412, 77585314, 155145677, 310251190, 620437691, 1240771141, 2481374234
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
评论
|
a(n)是n的组成数(p_1,p_2,…),所有i的组成数均为1<=p_i<=i。为了获得对应关系,给定这样一条Dyck路径,在第一步到达高度i,i=1,2,…后分割路径,。。。,h,其中h是路径的最大高度,并在每个块中向上计数步数。示例:U-U-DUU-U-DDDD已按规定拆分,生成成分(1,1,2,1)-大卫·卡兰2004年2月18日
|
|
链接
|
Margaret Archibald、Aubrey Blecher、Arnold Knopfmacher和Stephan Wagner,次对角线和超对角线组合,艺术光盘。申请。数学。(2024). 见第5页。
罗兰·巴赫,泛型数值半群,hal-03221466[math.CO],2021。
M.托雷利,递增整数序列与哥德巴赫猜想《RAIRO:理论信息学与应用》,第40卷,第02期(2006年4月),第107-121页。
|
|
配方奶粉
|
通用公式:A(x)=和{n>=0}x^n*产品{k=1..n}(1-x^k)/(1-x)-保罗·D·汉纳2003年3月20日
通用公式:A(x)=1/(1-x/(1+x)/(1-x/(1+x+x^2)/(1-x/(1+x+x^2+x^3)/-保罗·D·汉纳2012年5月15日
|
|
例子
|
通用公式:A(x)=1+x+x^2+2*x^3+3*x^4+6*x^5+11*x^6+21*x*7+。。。
g.f.等于以下涉及q系数的系列:
A(x)=1+x+x^2*(1+x)+x^3*(1++x)*(1+x+x^2)+x^4*(1+/x)*。。。
有a(7)=21组分p(1)+p(2)++p(m)=7,使得p(k)<=k:
[ 1] [ 1 1 1 1 1 1 1 ]
[ 2] [ 1 1 1 1 1 2 ]
[ 3] [ 1 1 1 1 2 1 ]
[ 4] [ 1 1 1 1 3 ]
[ 5] [ 1 1 1 2 1 1 ]
[6][1 1 1 2 2]
[ 7] [ 1 1 1 3 1 ]
[ 8] [ 1 1 1 4 ]
[ 9] [ 1 1 2 1 1 1 ]
[10] [ 1 1 2 1 2 ]
[11] [1 1 2 2 1]
[12] [ 1 1 2 3 ]
[13] [ 1 1 3 1 1 ]
[14] [ 1 1 3 2 ]
[15] [ 1 2 1 1 1 1 ]
[16] [ 1 2 1 1 2 ]
[17] [ 1 2 1 2 1 ]
[18] [ 1 2 1 3 ]
[19] [ 1 2 2 1 1 ]
[20] [ 1 2 2 2 ]
[21] [ 1 2 3 1 ]
(结束)
|
|
MAPLE公司
|
b: =proc(n,i)选项记忆`如果`(i>=n,
ceil(2^(n-1)),加上(b(n-j,i+1),j=1..分钟(i,n))
结束时间:
a: =n->b(n,1):
seq(a(n),n=0..50)#阿洛伊斯·海因茨,2014年3月25日,2023年6月26日修订
|
|
数学
|
求和[x^n*乘积[(1-x^k)/(1-x),{k,1,n}],{n,0,40}]+O[x]^41
表[级数系数[1+和[x^j*积[(1-x^k)/(1-x),{k,1,j}],{j,1,n}],}x,0,n}],{n,0,40}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月17日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI){n=8;v=向量(n);对于(i=1,n,v[i]=向量(i!v[i][j]++);c}\\乔恩·佩里
(PARI)N=66;q='q+O('q^N);Vec(总和(n=0,n,q^n*产品(k=1,n,(1-q^k)/(1-q)))\\乔格·阿恩特2014年3月24日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
毛罗·托雷利(Torelli(AT)hermes.mc.dsi.unimi.it)
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A132038号
|
| Product_{k>0}的十进制展开式(1-1/10^k)。 |
|
+10 32
|
|
|
8, 9, 0, 0, 1, 0, 0, 9, 9, 9, 9, 8, 9, 9, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 9, 9
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,1
|
|
链接
|
菲利普·弗拉乔莱和罗伯特·塞奇威克,分析组合数学剑桥大学出版社,2009年,第49页。
|
|
配方奶粉
|
等于exp(-Sum_{n>0}sigma_1(n)/(n*10^n))。
等于(1/10;1/10){无穷},其中(a;q){无限}是q-Pochhammer符号-G.C.格鲁贝尔2015年11月30日
等于sqrt(2*Pi/log(10))*exp(log(10。
|
|
例子
|
0.8900100999989990000001000...
|
|
数学
|
数字=105;清除[p];p[n_]:=p[n]=RealDigits[Product[1-1/10^k,{k,1,n}],10,digits]//第一个;第[10]页;p[n=20];而[p[n]!=p[n/2],n=2*n];p【n】(*Jean-François Alcover公司2014年2月17日*)
N[Q手锤[1/10,1/10]](*G.C.格鲁贝尔2015年11月30日*)
|
|
黄体脂酮素
|
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
A259149号
|
| phi(exp(-2*Pi))的十进制展开式,其中phi(q)=Product_{n>=1}(1-q^n)是欧拉模函数。 |
|
+10 28
|
|
|
9、9、8、1、2、9、0、6、9、9、2、5、9、5、8、5、1、3、2、7、9、6、2、3、2、2、4、5、2、7、3、8、7、8、1、3、0、7、3、8、4、3、5、3、6、5、8、1、6、4、6、1、7、5、4、0、7、8、1、4、0、2、8、2、9、8、5、8、0、4、6、6,0,1,9,2,8,0,7,3,5,7,1,8,2,4,4,7,3,8,7,7,7,3,7,9,3,7,7,1,9
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,1
|
|
链接
|
Eric Weisstein的《数学世界》,无限乘积
|
|
配方奶粉
|
φ(q)=QPochhammer(q,q)=(q;q)_有限。
φ(q)也等于θ'(1,0,sqrt(q))^(1/3)/(2^(1/3)*q^(1/2)),其中θ'是椭圆θ函数θ(a,u,q)w.r.t.u的导数。
φ(exp(-2*Pi))=exp(Pi/12)*Gamma(1/4)/(2*Pi^(3/4))。
|
|
例子
|
0.99812906992595851327996232224527387813073843536581646175407814028299858...
|
|
数学
|
φ[q_]:=q赭锤[q,q];RealDigits[phi[Exp[-2Pi]],10,104]//第一个
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
搜索在0.050秒内完成
|