搜索： a141809-编号：a141808
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A027748号
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| 第一行为1的不规则三角形，第n行（n>1）列出n的不同素因子。 |
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+10
227
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1, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2, 3, 2, 5, 11, 2, 3, 13, 2, 7, 3, 5, 2, 17, 2, 3, 19, 2, 5, 3, 7, 2, 11, 23, 2, 3, 5, 2, 13, 3, 2, 7, 29, 2, 3, 5, 31, 2, 3, 11, 2, 17, 5, 7, 2, 3, 37, 2, 19, 3, 13, 2, 5, 41, 2, 3, 7, 43, 2, 11, 3, 5, 2, 23, 47, 2, 3, 7, 2, 5, 3, 17, 2, 13, 53, 2, 3, 5, 11, 2, 7, 3, 19, 2, 29, 59, 2, 3, 5, 61, 2, 31
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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（结束）
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链接
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例子
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三角形开始：
1;
2;
三；
2;
5;
2, 3;
7;
2;
三；
2, 5;
11;
2, 3;
13;
2, 7;
...
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枫木
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使用（数字理论）：[seq（系数集（n），n=1..100）]；
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数学
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程序
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（哈斯克尔）
导入数据。列表（展开器）
a027748 n k=a027748_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a027748_tabl=映射a027748_row[1..]
a027748_行1=[1]
a027748_row n=展开器事实n，其中
事实1=无
事实x=只是（p，直到（>0）。（`mod`p））（`div`p）x）
其中p=a020639 x——x的最小素因子
（PARI）打印1（1）；对于（n=2,20，f=系数（n）[，1]；对于（i=1，#f，打印1（“，”f[i]））\\查尔斯·格里特豪斯四世，2013年3月20日
（Python）
从症状导入因子
对于范围（2101）内的n：
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，选项卡，美好的
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作者
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扩展
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Scott Lindhurst（ScottL（AT）校友.princeton.edu）提供的更多术语
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状态
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经核准的
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A008475型
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| 如果n=乘积（p_j^k_j），则a（n）=总和（p_j ^k_j）（a（1）=0，按惯例）。 |
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+10
58
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0, 2, 3, 4, 5, 5, 7, 8, 9, 7, 11, 7, 13, 9, 8, 16, 17, 11, 19, 9, 10, 13, 23, 11, 25, 15, 27, 11, 29, 10, 31, 32, 14, 19, 12, 13, 37, 21, 16, 13, 41, 12, 43, 15, 14, 25, 47, 19, 49, 27, 20, 17, 53, 29, 16, 15, 22, 31, 59, 12, 61, 33, 16, 64, 18, 16, 67, 21, 26, 14, 71, 17, 73
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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对于n>1，a（n）是使对称群S_m具有n阶元素的最小数m——Ahmed Fares（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年6月26日
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参考文献
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F.J.Budden，《团体的魅力》，剑桥，1972年；第322、573页。
József Sándor、Dragoslav S.Mitrinovic和Borislav Crstic，《数论手册一》，Springer科学与商业媒体，2005年，第四章，第147页。
许振中，《关于大可加数论函数的若干求和》，《北京师范大学学报》1984年第2期，第11-18页。
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链接
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约翰·班伯格、格兰特·凯恩斯和德文·基尔明斯特，晶体限制、排列和哥德巴赫猜想阿默尔。数学。《月刊》，第110卷，第3期（2003年3月），第202-209页。
罗杰·艾格尔顿和威廉·加尔文，整数主因子和的上界《数学杂志》，第77卷，第3期（2004年6月），第190-200页。
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配方奶粉
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a（p^e）=p^e的加法。
求和{k=1..n}a（k）~（Pi^2/12）*n^2/log（n）+O（n^2/log（n）^2）（Xuan，1984）-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月4日
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例子
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a（180）=a（2^2*3^2*5）=2^2+3^2+5=18。
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枫木
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添加（e[j][1]^e[j][2]，j=1..nops（e））结尾：
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数学
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f[n_]：=加@@Power@@FactorInteger@n；f[1]=0；阵列[f，73]
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程序
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（PARI）对于（n=1100，打印1（总和（i=1，ω（n），分量（分量（因子（n）），1），i）^分量
（PARI）a（n）=局部（t）；如果（n<1，0，t=系数（n）；sum（k=1，matsize（t）[1]，t[k，1]^t[k，2]）/*迈克尔·索莫斯2004年10月20日*/
（PARI）A008475型（n） ={my（f=因子（n））；vecsum（向量（#f~，i，f[i，1]^f[i、2]））；}\\安蒂·卡图恩2017年11月17日
（哈斯克尔）
a008475 1=0
a008475 n=总额$1141809_row n
（Python）
来自sympy导入因子
定义a（n）：
f=因子（n）
如果n==1，则返回0（[i**f[i]表示f中的i）#因德拉尼尔·戈什2017年5月20日
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交叉参考
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关键词
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非n，美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A115627号
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| 行读取的不规则三角形：T（n，k）=素数（k）的重数作为n！的除数！。 |
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+10
31
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1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 1, 7, 2, 1, 1, 7, 4, 1, 1, 8, 4, 2, 1, 8, 4, 2, 1, 1, 10, 5, 2, 1, 1, 10, 5, 2, 1, 1, 1, 11, 5, 2, 2, 1, 1, 11, 6, 3, 2, 1, 1, 15, 6, 3, 2, 1, 1, 15, 6, 3, 2, 1, 1, 1, 16, 8, 3, 2, 1, 1, 1, 16, 8, 3, 2, 1, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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2,4
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评论
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n！的因式分解！是n！=2^T（n，1）*3^T（n，2）**p_（pi（n））^T（n，pi（n））其中p_k=第k素数，pi=A000720号（n） ●●●●。
对于n=2、3、4和5，第n行的所有项都是奇数。还有其他这样的行吗-米歇尔·马库斯2018年11月11日
{}
1
0 1
2 0
0 0 1
1 1 0
0 0 0 1
3 0 0 0
0 2 0 0
1 0 1 0
列总和（8,4,2,1）为第10行。
（结束）
对于所有素数p>7，3*p>2*nextprime（p），所以对于任何n>21，总是有一个素数p除以n！指数为2时，所有条目都为奇数的行不再存在-查理·内德2019年6月3日
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链接
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H.T.Davis，数学函数表，卷。第1和第2版，1963年，第3卷（与V.J.Fisher合著），1962年；德克萨斯州圣安东尼奥三一大学普林西比出版社【第2卷204-208页注释扫描】见第206页表2。
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配方奶粉
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T（n，k）=Sum_{i=1..inf}楼层（n/（p_k）^i）。（虽然表示为无限和，但只有有限多个项是非零的。）
T（n，k）=总和{i=1..floor（log（n）/log（p_k）}floor（u_i），其中u_0=n和u_（i+1）=floor（（u_i/p_k）-大卫·A·科内斯，2014年6月22日
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例子
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三角形开始：
1
1 1
3 1
3 1 1
4 2 1
4 2 1 1
7 2 1 1
7 4 1 1
8 4 2 1
8 4 2 1 1
10 5 2 1 1
10 5 2 1 1 1
11 5 2 2 1 1
11 6 3 2 1 1
15 6 3 2 1 1
15 6 3 2 1 1 1
16 8 3 2 1 1 1
16 8 3 2 1 1 1 1
18 8 4 2 1 1 1 1
（结束）
m:5^m|101！：地板（log（101）/log（5））=2项。地板（101/5）=20。地板（20/5）=4。所以m=u_1+u_2=20+4=24-大卫·A·科内斯，2014年6月22日
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枫木
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A115627号：=程序（n，k）局部d，p；p:=i素数（k）；n-加（d，d=转换（n，基数，p））；%/（第1页）；结束进程：#R.J.马塔尔2010年10月29日
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数学
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扁平[Table[Transpose[FactorInteger[n！]][[2]]，{n，2，20}]](*T.D.诺伊2012年4月10日*）
T[n_，k_]：=模[{p，jm}，p=素数[k]；jm=楼层[Log[p，n]]；总和[楼层[n/p^j]，{j，1，jm}]]；表[Table[n，k]，{k，1，PrimePi[n]}]，{n，2，20}]//压扁(*Jean-François Alcover公司2015年2月23日*）
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程序
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（哈斯克尔）
a115627 n k=a115627_tabf！！（n-2）！！（k-1）
a115627_row=地图a100995。a141809低。a000142号
a115627_tabf=映射a115627行[2..]
（PARI）a（n）=我的（i=2）；当（n-素数pi（i）>1时，n-=素数（i）；i++）；p=素数（n-1）；总和（j=1，log（i）\log（p），i=p）\\大卫·A·科内斯2014年6月21日
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交叉参考
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关键词
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非n，选项卡
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作者
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状态
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经核准的
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A053585号
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| 如果n=p_1^e_1*…*p_k^e_k，p_1<…<p_k素数，则a（n）=p_k^e_k。 |
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+10
28
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1, 2, 3, 4, 5, 3, 7, 8, 9, 5, 11, 3, 13, 7, 5, 16, 17, 9, 19, 5, 7, 11, 23, 3, 25, 13, 27, 7, 29, 5, 31, 32, 11, 17, 7, 9, 37, 19, 13, 5, 41, 7, 43, 11, 5, 23, 47, 3, 49, 25, 17, 13, 53, 27, 11, 7, 19, 29, 59, 5, 61, 31, 7, 64, 13, 11, 67, 17, 23, 7, 71, 9, 73, 37, 25, 19, 11, 13, 79
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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设p是最大素数除以n，a（n）是p除以n的最大幂。
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（42）=7是因为42=2*3*7，a（144）=9是因为144=16*9=2^4*3^2。
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枫木
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a： =n->`if`（n=1，1，（i->i[1]^i[2]）（排序（ifactors（n）[2]）[-1]））：
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数学
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程序
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（哈斯克尔）
（PARI）a（n）=如果（n>1，my（f=因子（n））；f[#f~，1]^f[#f~，2]，1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年11月10日
（Python）
来自sympy导入因子，primefactors
定义a（n）：
如果n==1：返回1
p=素数（n）[-1]
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，美好的
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作者
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弗雷德里克·马加塔（Frederick.Magata（AT）uni-muenster.de），2000年1月19日
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扩展
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Andrew Gacek（Andrew（AT）dgi.net）提供的更多条款，2000年4月20日
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状态
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经核准的
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A028233号
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| 如果n=p_1^e_1*…*p_k^e_k，p_1<…<p_k素数，则a（n）=p_1^e_1，a（1）=1。 |
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+10
27
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1, 2, 3, 4, 5, 2, 7, 8, 9, 2, 11, 4, 13, 2, 3, 16, 17, 2, 19, 4, 3, 2, 23, 8, 25, 2, 27, 4, 29, 2, 31, 32, 3, 2, 5, 4, 37, 2, 3, 8, 41, 2, 43, 4, 9, 2, 47, 16, 49, 2, 3, 4, 53, 2, 5, 8, 3, 2, 59, 4, 61, 2, 9, 64, 5, 2, 67, 4, 3, 2, 71, 8, 73, 2, 3, 4, 7, 2, 79, 16, 81, 2, 83, 4, 5, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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例子
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如果n=10，则a（10）=2，因为10=2^1*5^1。
如果n=16，则a（16）=16，因为16=2^4。
如果n=29，则a（29）=29，因为29=29^1。
（结束）
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枫木
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局部spf，pf；
如果n=1，则
返回1；
结束条件：；
对于ifactors（n）[2]do中的pf
如果pf[1]=spf，则
返回pf[1]^pf[2]；
结束条件：；
结束do：
#第二个Maple项目：
a： =n->`if`（n=1，1，（i->i[1]^i[2]）（排序（ifactors（n）[2]）[1]））：
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数学
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程序
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（哈斯克尔）
a028233=水头。a141809_低
（PARI）a（n）=如果（n>1，n=系数（n）；n[1，1]^n[1，2]，1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年4月26日
（Python）
来自sympy导入因子
定义a（n）：
f=因子（n）
如果n==1，则返回1，否则为min（f）**f[min（f#因德拉尼尔·戈什2017年5月12日
（方案）
;; 天真地执行A020639号在该条目下给出。所有这些函数也可以用definec定义，以便在以后的调用中更快。请参见http://oeis.org/wiki/Memoization#方案
（定义(A028233号n） （如果（<n 2）n（let（（lpf(A020639号n） ））（let loop（（m lpf）（n（/n lpf）））（cond（（not（zero？（module n lpf）；；安蒂·卡图恩2017年5月29日
（GAP）列表（列表（列表）（列表（列出（[1..10^3]，因子），已收集），i->i[1]），j->j[1]^j[2]）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年1月27日
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交叉参考
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关键词
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非n，美好的，容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A034684号
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| 如果n=p_1^e_1*…*p_k^e_k，p_1<…<pk素数，则a（n）=min{pi^ei}。 |
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+10
24
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1, 2, 3, 4, 5, 2, 7, 8, 9, 2, 11, 3, 13, 2, 3, 16, 17, 2, 19, 4, 3, 2, 23, 3, 25, 2, 27, 4, 29, 2, 31, 32, 3, 2, 5, 4, 37, 2, 3, 5, 41, 2, 43, 4, 5, 2, 47, 3, 49, 2, 3, 4, 53, 2, 5, 7, 3, 2, 59, 3, 61, 2, 7, 64, 5, 2, 67, 4, 3, 2, 71, 8, 73, 2, 3, 4, 7, 2, 79, 5, 81, 2, 83, 3, 5, 2, 3, 8, 89, 2, 7, 4
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a（1）=1；对于n>1，n的最小幺正因子大于1。
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链接
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配方奶粉
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数学
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程序
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（PARI）A034684号（n） ={局部（f，m）；如果（n==1，1，f=因子（n）；m=f[1，1]^f[1,2]；对于（i=1，矩阵大小（f）[1]，m=min\\迈克尔·波特2010年1月28日
（哈斯克尔）
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交叉参考
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关键词
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非n，美好的，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0，1，2，1，0，3，1，1，4，1，0，2，0，1，2，5，1，0，1，6，1，3，2，1，0，0，0，7，1，1，0，8，1，0，2，2，1，4，9，1，0，1，3，0，1，5，2，0，1，1，1，0，0，0，0，0，2，3，1，1，1，0，12，1，7，2，4，1，0，0，2，13
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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不规则三角形T（n，k）=n的素因子p的指数的第一差。
我们可以连接行1<=n<=28，因为在此范围内k的值都不超过9:{0、1、2、10、3、11、4、100、20、12、5、101、6、13、21、1000、7、110、8、102、22、14、9、1001、30、15、200、103}；a（29）={10}，这需要大于9的数字。
按照惯例，a（1）=0。
a（0）未定义（即空集）。a（n）定义为正非零n。
a（乘积（p^e））是n的酉素数幂因子p^e的a（p^e）的串联，按素数p排序（即函数a（n）映射到A141809号).
T（n，k）可用于A054841美元（n） ●●●●。我们读取T（n，k）第n行的数据。如果T（n，1）=0，则写入0。如果T（n，1）>0，则从右侧增加第k位。对于k>1，在最后一个增加的位置右侧增加第k个位置。
T（n，k）可用于以十进制表示n。如果T（n，1）=0，则写1。如果T（n，1）>0，则将1乘以A000720号（T（n，1））。对于k>1，将前一乘积乘以pi（x）=A000720号（x） 每个k的T（n，k）运行总数的。
忽略n>1行中的零，并如上所述对T（n，k）的剩余值进行解码，得到n的方折射核=A007947号（n） ●●●●。
a（n）的前导零被删减，但在十进制记数法中，包含前导零的数字表示的是与没有前导零时相同的n。非零值之前的零只会将隐式1乘以自身，直到我们遇到非零值。因此，{0,0,2}=1*1*pi（2）=3，因为{2}=pi（3）=3。因此，对于T（n，k）的k=1，没有一行n>1具有0。
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（1）={0}根据约定。
a（2）={pi（2）}={1}。
a（4）={pi（2），pi（3）-pi（2）}，={1，0}，因为4=2*2。
a（6）={pi（2），pi（3）-pi（2）}={1,1}，因为6=2*3。
a（12）={pi（2），pi（3）-pi（2）-pi。
三角形开始于：
1: 0;
2比1；
3: 2;
4: 1, 0;
5: 3;
6: 1, 1;
7: 4;
8: 1, 0, 0;
9: 2, 0;
10: 1, 2;
11: 5;
12: 1, 0, 1;
13:6；
14: 1, 3;
15: 2, 1;
16: 1, 0, 0, 0;
17:7；
18: 1, 1, 0;
19: 8;
20: 1, 0, 2;
...
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数学
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表[Prepend[Differences@#，First@#]&Flatten[FactorInteger[n]/。{p，e}/；p>0:>ConstantArray[PrimePi@p，e]]，{n，41}]//展平(*迈克尔·德弗利格2017年5月23日*）
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交叉参考
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关键词
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非n，选项卡，容易的
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作者
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经核准的
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A080737号
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| a（1）=a（2）=0；对于n>2，具有n阶对称性的格的最小维数。 |
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+10
10
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0, 0, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 6, 8, 16, 6, 18, 6, 8, 10, 22, 6, 20, 12, 18, 8, 28, 6, 30, 16, 12, 16, 10, 8, 36, 18, 14, 8, 40, 8, 42, 12, 10, 22, 46, 10, 42, 20, 18, 14, 52, 18, 14, 10, 20, 28, 58, 8, 60, 30, 12, 32, 16, 12, 66, 18, 24, 10, 70, 10, 72, 36, 22, 20, 16, 14
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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链接
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J.Bamberg、G.Cairns和D.Kilminster，晶体限制、排列和哥德巴赫猜想阿默尔。数学。每月，110（2003年3月），202-209。
萨维尼恩·克雷奇曼（Savinien Kreczman）、卢卡·普里吉奥尼埃罗（Luca Prigioniero）、埃里克·罗兰（Eric Rowland）和马诺·斯蒂普兰蒂（Manon Stipulanti），周期序列中的幻数Liège大学（比利时，2023年）。见第7页。
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配方奶粉
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对于n>2，a（2^r）=2^（r-1）且r>1，a（p^r）=phi（p^r）且p>2素数，r>=1，其中phi是欧拉函数A000010号; 通常如果a（乘积p_i^e_i）=和a（p_i^e_i）。
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数学
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a[1]=a[2]=0；a[p_？素数Q]：=a[p]=p-1；a[n_]：=a[n]=如果[Length[fi=FactorInteger[n]]==1，EulerPhi[n]，总计[a/@（fi[[All，1]]^fi[[Al，2]]）]]；表[a[n]，｛n，1，78｝](*Jean-François Alcover公司2012年6月20日*）
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程序
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（PARI）对于（n=1,78，k=0；如果（n>1，f=系数（n）；k=总和（j=1，矩阵大小（f）[1]，欧拉式（f[j，1]^f[j、2]））；如果（f[1,1]==2&&f[1,2]==1，k-）；打印1（k，“，”）\\克劳斯·布罗克豪斯2003年3月10日
（哈斯克尔）
a080737 n=a080737_列表！！（n-1）
a080737_list=0:（映射f[2..]），其中
f n | mod n 4==2=a080737$div n 2
|否则=a067240 n
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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经核准的
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1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 4, 1, 5, 1, 2, 3, 1, 7, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 9, 1, 2, 5, 1, 11, 1, 2, 3, 4, 1, 13, 1, 2, 7, 1, 3, 5, 1, 2, 4, 8, 16, 1, 17, 1, 2, 3, 9, 1, 19, 1, 2, 4, 5, 1, 3, 7, 1, 2, 11, 1, 23, 1, 2, 3, 4, 8, 1, 5, 25, 1, 2, 13, 1, 3, 9, 27, 1, 2, 4, 7
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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链接
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例子
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1;
1, 2;
1, 3;
1、2、4；
1, 5;
1, 2, 3;
1, 7;
1, 2, 4, 8;
1, 3, 9;
1, 2, 5;
1, 11;
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数学
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表[Prepend[Select[Divisors[n]，PrimeNu[#]==1&]，1]，{n，1，10}]//网格(*杰弗里·克雷策，2015年2月8日*）
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程序
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（哈斯克尔）
a210208 n k=a210208_tabf！！（n-1）！！（n-1）
a210208_row n=a210208_tabf！！（n-1）
a210208_tabf=映射（过滤器（（==1））。a010055））a027750_tabf
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交叉参考
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关键词
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非n，选项卡
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作者
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经核准的
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1, 2, 2, 3, 4, 5, 2, 5, 7, 4, 9, 7, 4, 3, 7, 11, 8, 3, 11, 13, 2, 9, 5, 11, 13, 4, 5, 11, 13, 17, 4, 11, 13, 17, 19, 8, 3, 7, 13, 17, 19, 4, 7, 13, 17, 19, 23, 8, 25, 7, 17, 19, 23, 8, 27, 25, 17, 19, 23, 16, 9, 5, 17, 19, 23, 29, 2, 9, 5, 17, 19, 23, 29, 31
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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例子
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. ---+------------------------------+-------------+------------
. 0 [1] 1
. 1 [2] 2 2
. 2 [2,3] 6 3
. 3 [4,5] 20 5
. 4 [2,5,7] 70 7
. 5 [4,9,7] 252 9
.6[4，3，7，11]924 11
. 7 [8,3,11,13] 3432 13
. 8 [2,9,5,11,13] 12870 13
. 9 [4,5,11,13,17] 48620 17
. 10 [4,11,13,17,19] 184756 19
. 11 [8,3,7,13,17,19] 705432 19
. 12 [4,7,13,17,19,23] 2704156 23
. 13 [8,25,7,17,19,23] 10400600 25
. 14 [8,27,25,17,19,23] 40116600 27
. 15 [16,9,5,17,19,23,29] 155117520 29
. 16 [2,9,5,17,19,23,29,31] 601080390 31
.17[4,27,5,11,19,23,29,31]2333606220 31
. 18 [4,3,25,7,11,19,23,29,31] 9075135300 31
. 19 [8,3,25,7,11,23,29,31,37] 35345263800 37
. 20 [4,9,5,7,11,13,23,29,31,37] 137846528820 37 .
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枫木
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f： =n->加（i[2]*x^i[1]，i=i因子（n）[2]）：
b： =proc（n）局部p；
p： =加（f（n+i）-f（i），i=1..n）；
seq（`if`（系数（p，x，i）>0，
i^系数（p，x，i），空），i=1..度（p））
结束时间：
T： =n->`如果`（n=0，1，b（n））：
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数学
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程序
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（哈斯克尔）
a226078 n k=a226078_tabf！！不！！k个
a226078_row n=a226078 _ tabf！！n个
a226078_tabf=映射a141809_行a000984_列表
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