搜索: a098844-编号:a098844
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A005187号
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| a(n)=a(楼层(n/2))+n;1/sqrt(1-x)展开式中的分母也是2^a(n);也就是2n——2n二进制展开中的1个数。 (原名M2330)
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+10 233
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0, 1, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 31, 32, 34, 35, 38, 39, 41, 42, 46, 47, 49, 50, 53, 54, 56, 57, 63, 64, 66, 67, 70, 71, 73, 74, 78, 79, 81, 82, 85, 86, 88, 89, 94, 95, 97, 98, 101, 102, 104, 105, 109, 110, 112, 113, 116, 117, 119, 120, 127, 128
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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以二进制形式写入n:1ab。。yz,则a(n)=1ab。。yz+…+1ab+1a+1-拉尔夫·斯蒂芬2003年8月27日
维基百科上关于“惠特尼浸入定理”的文章提到,a(n)维球体产生于1985年拉尔夫·科恩证明的浸入猜想-乔纳森·沃斯邮报2010年1月25日
对于n>0,具有o.g.f.1/sqrt(1-tx+x^2)的勒让德多项式的连续积分分子多项式对的分母L(n+1,x)-汤姆·科普兰2016年2月4日
a(n)是完全跳过列表的前n个元素中的指针总数-阿洛伊斯·海因茨2017年12月14日
a(n)是态射a->aab,b->b的不动点中第n个a(从0开始索引)的位置-杰弗里·沙利特2020年12月24日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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劳伦特·阿隆索、爱德华·莱因戈尔德和雷内·斯科特,确定多数,通知。过程。莱特。47(1993),第5期,253-255。
劳伦特·阿隆索、爱德华·莱因戈尔德和雷内·斯科特,确定多数的平均案例复杂性,SIAM J.计算。26(1997),第1期,第1-14页。
黄显奎(Xien-Kuei Hwang)、斯万特·简森(Svante Janson)和蔡宗希(Tsung-Hsi Tsai),分治递归二分法的精确解和渐近解:理论和应用《ACM算法事务》,13:4(2017),#47;内政部:10.1145/3127585。
基思·约翰逊(Keith Johnson)和基拉·谢贝尔胡特(Kira Scheibelhut),在斐波那契数处取整数值的有理多项式,《美国数学月刊》123.4(2016):338-346。见第340页。
Tanya Khovanova,没有巧合,arXiv预印本1410.2193[math.CO],2014。
Michael E.Saks和Michael Werman,通过比较计算多数《组合数学》11(1991),第4期,383-387。
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配方奶粉
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对于m>0,设q=地板(log_2(m));a(2m+1)=2^q+3m+总和{k>=1}层((m-2^q)/2^k);a(2m)=a(2m+1)-1-Len Smiley公司
通用公式:A(x)=和{k>=0}x ^(2^k)/((1-x)*(1-x^(2 ^k)))-拉尔夫·斯蒂芬2002年12月24日
重现性:a(n)=n+a(楼层(n/2));a(2n)=2n+a(n);a(n*2^m)=2*n*(2^m-1)+a(n)。
a(2^m)=2^(m+1)-1,m>=0。
渐近行为:a(n)=2n+O(log(n)),a(n+1)-a(n;这源于下面的不等式。
a(n)<=2n-1;2的权力是平等的。
a(n)>=2n-1层(log2(n));等式适用于n=2^m-1,m>0。
lim-inf(2n-a(n))=1,对于n-->oo。
lim-sup(2n-log_2(n)-a(n))=0,对于n-->oo。
lim-sup(a(n+1)-a(n)-log_2(n))=1,对于n-->oo。(结束)
PURRS演示结果:初始条件a(1)=1:a(n)>=-2+2*n-log(n)*log(2)^(-1),a(n-亚历山大·波沃洛茨基2008年4月6日
如果n=2^a_1+2^a_2+…+2^a_k,则a(n)=n-k。这可以用来证明2^n最大除(2n!)/n-乔恩·佩里2009年7月16日
a(n)=log2(分母(二项式(-1/2,n)))-彼得·卢什尼2011年11月25日
通用公式:(1/(1-x))*Sum_{k>=0}(2^(k+1)-1)*x^(2*k)/(1+x^-伊利亚·古特科夫斯基,2017年7月23日
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例子
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G.f.=x+3*x^2+4*x^3+7*x^4+8*x^5+10*x^6+11*x^7+15*x^8+。。。
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MAPLE公司
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数学
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a[0]=0;a[n_]:=a[n]=a[楼层[n/2]]+n;表[a[n],{n,0,50}](*或*)
表[IntegerExponent[(2n)!,2],{n,0,65}](*罗伯特·威尔逊v2006年4月19日*)
表[2n-数字计数[2n,2,1],{n,0,70}](*哈维·P·戴尔2014年5月24日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<0,0,赋值((2*n)!,2))}/*迈克尔·索莫斯2002年10月24日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,和(k=1,n,(2*n)\2^k))}/*迈克尔·索莫斯2002年10月24日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,2*n-子集(Pol(二进制(n),x,1))}/*迈克尔·索莫斯2007年8月28日*/
(PARI)a(n)=我的(s=n);而(n>>=1,s+=n);秒\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年4月7日
(哈斯克尔)
a005187 n=a005187_列表!!n个
a005187_list=0:zipWith(+)[1..](映射(a005187.(`div`2))[1..]])
(鼠尾草)
@缓存函数
(岩浆)[n+估值(阶乘(n),2):n in[0..70]]//文森佐·利班迪2019年6月11日
(Python)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A011371号
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| a(n)=n减去(n的二进制展开式中的1个数)。也是2除以n!的最高幂!。 |
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+10 138
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0, 0, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 7, 7, 8, 8, 10, 10, 11, 11, 15, 15, 16, 16, 18, 18, 19, 19, 22, 22, 23, 23, 25, 25, 26, 26, 31, 31, 32, 32, 34, 34, 35, 35, 38, 38, 39, 39, 41, 41, 42, 42, 46, 46, 47, 47, 49, 49, 50, 50, 53, 53, 54, 54, 56, 56, 57, 57, 63, 63, 64, 64, 66, 66, 67, 67, 70
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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评论
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这个序列说明了为什么二进制文件中只有0和1是两个数字n,使得n等于其连续幂的位数之和(相当于以10为基数的序列A032799号)。提升到任意连续幂的1仍然是1,因此任何n>1提升到连续幂的任何数字之和都不等于该序列第n项的n值-阿隆索·德尔·阿特,2004年7月27日
对于n>1,具有o.g.f.1/sqrt(1-t*x+x^2)的勒让德多项式的积分分子多项式L(n,x)的分母-汤姆·科普兰2016年2月4日
这个序列的定义解释了为什么当n>1时,2除以n的最大幂!在n的二进制展开中加上1等于n。这个结果是由法国数学家阿德里安·勒让德(1752-1833)得出的[见Honsberger参考文献]-伯纳德·肖特2017年4月7日
a(n)是前n个正整数的素因式分解中2的总数。整数n的因式分解中2的期望值为1(作为n->无穷大)。通常,p的期望值(对于素数p)是1/(p-1)-杰弗里·克雷策2017年6月5日
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参考文献
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K.Atanassov,《关于Smarandache的一些问题》,第61个问题第7节,第42页,美国研究出版社,1999年,16-21。
G.Bachman,《p-Adic数与估值理论导论》,学术出版社,1964年;参见引理3.1。
L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第305页。
H.Davenport,《高等算术》,第7版,1999年,剑桥大学出版社,第216页,练习1.07。
R.Honsberger,《数学宝石II》,Dolciani数学博览会,1976年,第1-6页。
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链接
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劳伦特·阿隆索、爱德华·莱因戈尔德和雷内·斯科特,确定多数,通知。过程。莱特。47(1993),第5期,253-255。
劳伦特·阿隆索、爱德华·莱因戈尔德和雷内·斯科特,确定多数的平均案例复杂性,SIAM J.计算。26(1997),第1期,第1-14页。
基思·约翰逊(Keith Johnson)和基拉·谢贝尔胡特(Kira Scheibelhut),在斐波那契数处取整数值的有理多项式,《美国数学月刊》123.4(2016):338-346。参见omega_2。
A.Mir、F.Rossello和L.Rotger,一种新的系统发育树平衡指数,arXiv预印本arXiv:1202.1223[q-bio.PE],2012。
Michael E.Saks和Michael Werman,通过比较计算多数《组合数学》11(1991),第4期,383-387。
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配方奶粉
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a(n)=a(楼层(n/2))+楼层-亨利·博托姆利2001年4月24日
通用公式:A(x)=(1/(1-x))*和{k>=1}x^(2^k)/(1-x^-拉尔夫·斯蒂芬2002年4月11日
a(n)=Sum_{k=2..n}Sum_{j|k,j>=2}(楼层(log_2(j))-楼层(log_2(j-1)))。
g.f.可以用Lambert级数表示,其中g(x)=L[b(k)](x)/(1-x),其中
L[b(k)](x)=Sum_{k>=0}b(k。
G.f.:G(x)=(1/(1-x))*Sum_{k>0}c(k)*x^k,其中c(k。
重复周期:
a(n)=楼层(n/2)+a(楼层(n/3));
a(2*n)=n+a(n);
a(n*2^m)=n*(2^m-1)+a(n)。
a(2^m)=2^m-1,m>=0。
渐进行为:
a(n)=n+O(log(n)),
a(n+1)-a(n)=O(log(n)),由以下不等式得出。
a(n)<=n-1;2的权力是平等的。
a(n)>=n-1层(log2(n));等式适用于n=2^m-1,m>0。
lim-inf(n-a(n))=1,对于n->oo。
lim-sup(n-log2(n)-a(n))=0,对于n->oo。
lim-sup(a(n+1)-a(n)-log2(n))=0,对于n->oo。(结束)
a(n)=Sum_{k=0..floor(log_2(n+1))}f^(k+1)(n),其中f(n)=(n-(n mod 2))/2和f^-约瑟夫·麦特,2018年3月1日
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例子
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a(3)=1,因为二进制中的3是11(两个1),并且3-2=1。
a(4)=3,因为二进制中的4是100(1和2个0),而4-1=3。
a(5)=3,因为二进制中的5是101(两个1之间的零),而5-2=3。
a(100)=97。
a(10^3)=994。
a(10^4)=9995。
a(10^5)=99994。
a(10^6)=999993。
a(10^7)=9999992。
a(10^8)=999999 88。
a(10^9)=9999999 87。
G.f.=x ^2+x ^3+3*x ^4+3*x^5+4*x ^6+4*x^7+7*x ^8+7*x^9+8*x ^10+。。。
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MAPLE公司
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A011371号(n) =返回(((2^(l))-1)+总和('(j*楼层((n-(2^l)+2^j)/(2^j+1)))','j'=1..l));#继K.Atanassov之后。这里的l是[log2(n)]。
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数学
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-1+长度[Last[Split[Integer Digits[2(n!),2]]],FoldList[Plus,0,Fold[Flatten[{#1,#2,#1}]&,0,Range[6]]
表[IntegerExponent[n!,2],{n,0,127}]
表[n-数字计数[n,2,1],{n,0,127}]
表[t=0;p=2;而[s=楼层[n/p];t=t+s;s>0,p*=2];t、 {n,0,100}]
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<0,0,赋值(n!,2))}/*迈克尔·索莫斯2002年10月24日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,和(k=1,n,n \ 2^k))}/*迈克尔·索莫斯2002年10月24日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n-子集(Pol(二进制(n),x,1))}/*迈克尔·索莫斯2007年8月28日*/
(PARI)a(n)=总和(k=1,log(n+1)\log(2),n>>k)\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年10月3日
(PARI)a(n)=n-汉明重量(n)\\米歇尔·马库斯2014年6月5日
(Magma)[估值(Factorial(n),2):n in[0..80]]//布鲁诺·贝塞利2013年8月5日
(哈斯克尔)
(Python)[n-bin(n)[2:].count(“1”)表示范围(101)内的n]#因德拉尼尔·戈什2017年4月9日
(Python)#3.10+
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A048651号
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| 乘积_{k>=1}的十进制展开式(1-1/2^k)。 |
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+10 99
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2, 8, 8, 7, 8, 8, 0, 9, 5, 0, 8, 6, 6, 0, 2, 4, 2, 1, 2, 7, 8, 8, 9, 9, 7, 2, 1, 9, 2, 9, 2, 3, 0, 7, 8, 0, 0, 8, 8, 9, 1, 1, 9, 0, 4, 8, 4, 0, 6, 8, 5, 7, 8, 4, 1, 1, 4, 7, 4, 1, 0, 6, 6, 1, 8, 4, 9, 0, 2, 2, 4, 0, 9, 0, 6, 8, 4, 7, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 2, 4, 2, 8, 4, 3, 1, 9, 3, 3, 4, 8, 0, 7, 8, 2
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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评论
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该常数非常接近2^(13/24)*sqrt(Pi/log(2))/exp(Pi^2/(6*log(2-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年8月21日
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参考文献
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史蒂文·芬奇,《数学常数》,剑桥,2003年,第354-361页。
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链接
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马文·盖塞尔哈特(Marvin Geiselhart)、艾哈迈德·埃尔克雷什(Ahmed Elkelesh)、穆斯塔法·埃巴达(Moustafa Ebada)、塞巴斯蒂安·卡默勒(Sebastian Cammerer)和斯蒂芬·滕·布林克(Stephan ten Brink),关于极码的自同构群,arXiv:2101.09679[cs.IT],2021。
维克托·米勒,平方计数矩阵,arXiv:1606.09299[math.GR],2016年。
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配方奶粉
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Product_{k>=1}(1-1/2^k)=(1/2;1/2)_{infinity},其中(a;q)_{infinity是q-Pochhammer符号-G.C.格鲁贝尔2015年11月27日
(和{k>0}(4^k-1)/(积{i=1..k}((4^i-1)*(2*4^i-l)))*2=2/7+2/(3*7*31)+2/(3+7*15*31*127)+2/。。。(推测)-沃纳·舒尔特2016年12月22日
等于和{k=-oo..oo}(-1)^k/2^((3*k+1)*k/2)(根据欧拉五边形数定理)-阿米拉姆·埃尔达尔2020年8月13日
常数C=Sum_{n>=0}(-1)^n/(Product_{k=1..n}(2^k-1))。Schulte的上述推测结果是通过成对添加该系列的项得出的。
C=(1/2)*Sum_{n>=0}(-1/2)^n/(产品_{k=1..n}(2^k-1))。
C=(3/8)*Sum_{n>=0}(-1/4)^n/(Product_{k=1..n}(2^k-1))。
1/C=和{n>=0}2^(n*(n-1)/2)/(乘积{k=1..n}(2^k-1))。
C=1-和{n>=0}(1/2)^(n+1)*Product_{k=1..n}(1-1/2^k)。
后一个身份概括为:
C=Sum_{n>=0}(1/4)^(n+1)*Product_{k=1..n}(1-1/2^k),
3*C=1-和{n>=0}(1/8)^(n+1)*积{k=1..n}(1-1/2^k),
3*7*C=6+Sum_{n>=0}(1/16)^(n+1)*Product_{k=1..n}(1-1/2^k),
3*7*15*C=91-和{n>=0}(1/32)^(n+1)*积{k=1..n}(1-1/2^k),
(结束)
等于sqrt(2*Pi/log(2))*exp(log(2)/24-Pi^2/(6*log(2)))*Product_{k>=1}(1-exp(-4*k*Pi^2/log(2)))(麦金托什,1995)。
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例子
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(1/2)*(3/4)*(7/8)*(15/16)*... = 0.288788095086602421278899721929230780088911904840685784114741...
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数学
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RealDigits[乘积[1-1/2 ^i,{i,100}],10,111][1](*罗伯特·威尔逊v2011年5月25日*)
RealDigits[QPochhammer[1/2],10,100][[1](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2015年11月18日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)默认值(realprecision,20080);x=生产信息(k=1,-1/2^k,1);x*=10;对于(n=0,20000,d=楼层(x);x=(x-d)*10;写入(“b048651.txt”,n,“”,d)\\哈里·史密斯2009年5月7日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002884号,A001318号,A005327号,A005329号,A048652号,A079555号,A098844号,A067080型,A100220号,A132019号,A132020型,A132026号,A132038号,A070933号,A261584型,A335764飞机.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18, 19
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,11
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评论
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或者,a(n)等于base-5表示的扩展A007091号(n) of n(即,从右到左的连续位置代表5^n或A000351号(n) )在符号刻度下,其从右到左的连续位置代表(5^n-1)/4或A003463号(n) ;例如,n=7392具有base-5表达式2*5^5+1*5^4+4*5^3+0*5^2+3*5^1+2*5^0,因此a(7392)=2*781+1*156+4*31+0*6+3*1+2*0=1845-Lekraj Beedassy公司2010年11月3日
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参考文献
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M.Gardner,“阶乘奇数”,第4章,《数学魔术秀:科学美国人的更多谜题、游戏、消遣、幻觉和其他数学智慧》。纽约:Vintage,1978年,第50-65页。
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链接
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David S.Hart、James E.Marengo、Darren A.Narayan和David S.Ross,关于n中尾随零的个数!,大学数学。J.,39(2):139-1452008年。
A.M.Oller-Marcén。n的尾随零的新外观!,arXiv:0906.4868v1[math.NT],2009年。
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配方奶粉
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a(n)=总和{i>=1}层(n/5^i)。
G.f.:G(x)=和{k>0}x^(5^k)/(1-x^。
a(n)=Sum_{k=5..n}Sum_{j|k,j>=5}(楼层(log_5(j))-楼层(log_5(j-1)))。
G.f.:G(x)=L[b(k)](x)/(1-x)
其中L[b(k)](x)=和{k>=0}b(k。
G.f.:G(x)=和{k>0}c(k)*x^k/(1-x),
其中c(k)=总和{j>1,j|k}楼层(log_5(j))-楼层(log_ 5(j-1))。
重复周期:
a(n)=楼层(n/5)+a(楼层(n/6));
a(5*n)=n+a(n);
a(n*5^m)=n*(5^m-1)/4+a(n)。
a(k*5^m)=k*(5^m-1)/4,对于0<=k<5,m>=0。
渐进行为:
a(n)=n/4+O(对数(n)),
a(n+1)-a(n)=O(log(n)),由以下不等式得出。
a(n)<=(n-1)/4;5的权力是平等的。
a(n)>=n/4-1层(log5(n));等式适用于n=5^m-1,m>0。
lim-inf(n/4-a(n))=1/4,对于n->oo。
lim-sup(n/4-log5(n)-a(n))=0,对于n->oo。
lim-sup(a(n+1)-a(n)-log5(n))=0,对于n->oo。
(结束)
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例子
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a(100)=24。
a(10^3)=249。
a(10^4)=2499。
a(10^5)=24999。
a(10^6)=249998。
a(10^7)=2499999。
a(10^8)=24999999。
a(10^9)=249999998。
a(10^n)=10^n/4-3对于10<=n<=15,除了a(10*14)=10*14/4-2-M.F.哈斯勒2019年12月27日
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MAPLE公司
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0,seq(加(楼层(n/5^i),i=1..楼层(log[5](n))),n=1..100)#罗伯特·伊斯雷尔2014年11月13日
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数学
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表[t=0;p=5;而[s=楼层[n/p];t=t+s;s>0,p*=5];t、 {n,0,100}]
表[IntegerExponent[n!],{n,0,80}](*罗伯特·威尔逊v*)
zOF[n_Integer?正]:=模块[{maxpow=0},而[5^maxpow<=n,maxpow++];加上@@表[商[n,5^i],{i,maxpow-1}]];属性[zOF]={可列表};连接[{0},zOF[Range[100]]](*哈维·P·戴尔2022年4月11日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a027868 n=总和$takeWhile(>0)$map(n`div`)$tail a000351_list
(Python)
从sympy导入多重性
对于范围(5,10**3,5)中的n:
p5+=多重性(5,n)
(Python)
(岩浆)[估值(因子(n),5):n in[0.80]]//布鲁诺·贝塞利2021年10月11日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A054899号,A007953号,A112765型,A067080型,A098844号,A132027号,A067080型,A098844号,A132029号,A054999号,A112765型,A191610型,A000351号.
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关键词
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非n,基础,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 11, 11, 11
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,21
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评论
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10的最高幂除以多因子Product_{k>=1}M(10^k,10^k*floor(n/10^k))/(Product_{k>=1}M(10_(k-1),10^(k-1。这是因为多因素的商计算为乘积10^ floor(n/10)*10^ flower(n/100)*-Hieronymus Fischer公司2007年6月14日
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链接
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配方奶粉
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a(n)=楼层(n/10)+楼层(n-100)+楼板(n/1000)+。。。
a(n)=总和{k>0}层(n/10^k)。
a(n)=总和{k=10..n}总和{j|k,j>=10}(楼层(log_10(j))-楼层(log_ 10(j-1)))。
G.f.:G(x)=(和{k>0}x^(10^k)/(1-x^。
G.f.用Lambert级数表示:
g(x)=L[b(k)](x)/(1-x)其中L[b。
G.f.:G(x)=(总和{k>0}c(k)*x^k)/(1-x),其中c(k)=总和{j>1,j|k}(floor(log_10(j))-floor(log_10(j-1))。
a(n)=和{k=0..floor(log_10(n))}ds_10(floor(n/10^k))*10^k-n,其中ds_10。
a(n)=总和{k=0..层(log_10(n))}A007953号(地板(n/10^k))*10^k-n。
重复周期:
a(n)=楼层(n/10)+a(楼层(n/10))。
a(10*n)=n+a(n)。
a(n*10^m)=n*(10^m-1)/9+a(n)。
a(k*10^m)=k*(10^m-1)/9,对于0<=k<10,m>=0。
渐进行为:
a(n)=n/9+O(log(n)),
a(n+1)-a(n)=O(log(n)),由以下不等式得出。
a(n)<=(n-1)/9;10的权力是平等的。
a(n)>=n/9-1层(log_10(n));等式适用于n=10^m-1,m>0。
lim-inf(n/9-a(n))=1/9,对于n-->oo。
lim-sup(n/9-log_10(n)-a(n))=0,对于n-->oo。
lim-sup(a(n+1)-a(n)-log_10(n))=0,对于n-->oo。(结束)
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例子
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a(11)=1
a(111)=12。
a(1111)=123。
a(11111)=1234。
a(111111)=12345。
a(1111111)=123456。
a(11111111)=1234567。
a(111111111)=12345678。
a(1111111111)=123456789。
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数学
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表[t=0;p=10;而[s=楼层[n/p];t=t+s;s> 0,p*=10];t、 {n,0,100}]
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黄体脂酮素
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(岩浆)
m: =10;
如果n等于0,则返回0;
否则返回a(楼层(n/m))+楼层(n/m);
结束条件:;端函数;
(SageMath)
定义a(n):如果(n==0)else a(n//m)+(n//m),则返回0
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 30, 30, 30, 31, 31, 31, 32, 32, 32, 34, 34, 34, 35, 35
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,7
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评论
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链接
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配方奶粉
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a(n)=楼层(n/3)+楼层(n/9)+楼层。
通用公式:(1/(1-x))*和{k>0}x^(3^k)/(1-x^。
a(n)=总和{k=3..n}总和{j>=3,j|k}(楼层(log_3(j))-楼层(log.3(j-1)))。
G.f.:L[b(k)](x)/(1-x),其中L[b。
G.f.:(1/(1-x))*Sum_{k>0}c(k)*x^k,其中c(k。
重复周期:
a(n)=楼层(n/3)+a(楼层(n%3));
a(3*n)=n+a(n);
a(n*3^m)=n*(3^m-1)/2+a(n)。
a(k*3^m)=k*(3^m-1)/2,对于0<=k<3,m>=0。
渐进行为:
a(n)=n/2+O(log(n)),
a(n+1)-a(n)=O(对数(n));这源于下面的不等式。
a(n)<=(n-1)/2;3的权力是平等的。
a(n)>=(n-2)/2层(log3(n));等式适用于n=3^m-1,m>0。
对于n->oo,lim-inf(n/2-a(n))=1/2。
lim-sup(n/2-log_3(n)-a(n))=0,对于n->oo。
对于n->oo,lim-sup(a(n+1)-a(n)-log3(n))=0。(结束)
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例子
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a(100)=48。
a(10^3)=498。
a(10^4)=4996。
a(10^5)=49995。
a(10^6)=499993。
a(10^7)=4999994。
a(10^8)=49999990。
a(10^9)=499999993。
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MAPLE公司
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(n-转换(convert(n,base,3),`+`))/2;
结束进程:
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数学
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(+@@Floor[#/3^Range[Length[IntegerDigits[#,3]-1]]&)/@Range[0,100](*彼得·J·C·摩西2012年4月7日*)
FoldList[Plus,0,IntegerExponent[Range[100],3]](*T.D.诺伊2012年4月10日*)
表[IntegerExponent[n!,3],{n,0,80}](*哈维·P·戴尔2015年2月5日*)
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黄体脂酮素
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(鼠尾草)
(岩浆)[估值(阶乘(n),3):n in[0.80]]//布鲁诺·贝塞利2013年8月5日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A067080型
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| 如果n=十进制表示法中的ab...def,则左数字函数Ld(n)=ab...def*ab...de*ab.…d**ab*a。 |
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+10 50
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290, 295, 360, 366, 372
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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a(n)=产品{k=1..长度(n)}楼层(n/10^(k-1))-弗拉德塔·乔沃维奇2002年1月8日
a(n)=乘积{0<=k<=floor(log_10(n)),floor(n/10^k)},n>=1。
重复周期:
a(n)=n*a(楼层(n/10));
a(n*10^m)=n^m*10^(m(m+1)/2)*a(n)。
对于0<k<10,a(k*10^m)=k^(m+1)*10^(m(m+1)/2)。
a(n)<=b(n),其中b(n;等式适用于n=k*10^m,m>=0,1<=k<10。这里b(n)也可以写成n^(1+楼层(log_10(n)))/10^A000217号(地板(log_10(n)))。
此外:a(n)<=3^((1-log_10(3))/2)*n^^A000217号(log_10(n)),n=3*10^m的等式,m>=0。
a(n)>c*b(n),其中c=0.472362443816572…(参见常数A132026号).
另外:a(n)>c*2^((1-log_10(2))/2)*n^^A000217号(log_10(n))。
lim inf a(n)/b(n)=0.472362443816572…,对于n-->oo。
lim-sup a(n)/b(n)=1,对于n-->oo。
lim inf a(n)/n^((1+log_10(n))/2)=0.472362443816572…*sqrt(2)/2^log_10。
lim-sup a(n)/n^((1+log_10(n))/2)=sqrt(3)/3^log_10。
lim inf a(n)/a(n+1)=0.472362443816572…对于n-->oo(参见常数A132026号).
a(n)=O(n^((1+log_10(n))/2))。(结束)
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例子
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Ld(256)=256*25*2=12800。
a(31)=楼层(31/10^0)*楼层(31/10^1)=31*3=93;
a(42)=168,因为42=42(以10为基数),所以a(42”=42*4(以-10为基数)=42*4=168。
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数学
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表[d=整数位数[n];rd=1;当[Length[d]>0时,rd=rd*FromDigits[d];d=下降[d,-1]];rd,{n,1,75}]
表[Times@@NestList[Quotient[#,10]&,n,IntegerLength[n]-1],{n,70}](*哈维·P·戴尔,2013年12月16日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=我的(t=n);而(n=10,t*=n);t吨\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
(哈斯克尔)
a067080 n=如果n<=9,则n其他n*a067080n(n`div`10)
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交叉参考
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关键词
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基础,非n,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A132038号
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| Product_{k>0}的十进制展开式(1-1/10^k)。 |
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+10 32
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8, 9, 0, 0, 1, 0, 0, 9, 9, 9, 9, 8, 9, 9, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 9, 9
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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链接
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菲利普·弗拉乔莱和罗伯特·塞奇威克,分析组合数学剑桥大学出版社,2009年,第49页。
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配方奶粉
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等于exp(-Sum_{n>0}sigma_1(n)/(n*10^n))。
等于(1/10;1/10){无穷},其中(a;q){无限}是q-Pochhammer符号-G.C.格鲁贝尔2015年11月30日
等于sqrt(2*Pi/log(10))*exp(log(10。
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例子
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0.8900100999989990000001000...
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数学
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数字=105;清除[p];p[n]:=p[n]=RealDigits[乘积[1-1/10^k,{k,1,n}],10,数字]//第一;第[10]页;p[n=20];而[p[n]!=p[n/2],n=2*n];p[n](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2014年2月17日*)
真数字[QPochhammer[1/10],10,105][[1](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2015年11月18日*)
N[Q扁锤[1/10,1/10]](*G.C.格鲁贝尔2015年11月30日*)
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A132026号
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| Product_{k>=0}的十进制展开式(1-1/(2*10^k))。 |
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+10 28
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4, 7, 2, 3, 6, 2, 4, 4, 3, 8, 1, 6, 5, 7, 2, 2, 3, 6, 5, 5, 1, 4, 1, 3, 3, 8, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 7, 3, 5, 3, 3, 4, 9, 6, 6, 4, 2, 9, 5, 8, 5, 0, 2, 2, 1, 9, 4, 6, 2, 1, 8, 8, 9, 0, 9, 6, 1, 1, 7, 7, 8, 7, 1, 9, 9, 4, 4, 2, 6, 0, 1, 3, 0, 7, 7, 9, 5, 4, 2, 9, 4, 3, 2, 5, 3, 0, 7, 2, 3, 0, 7, 8, 1, 1, 8, 1, 2
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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链接
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配方奶粉
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等于lim-inf_{n->oo}Product_{k=0..floor(log_10(n))}floor(n/10^k)*10^k/n。
等于lim-inf_{n->oo}A067080型(n) /n^(1+楼层(log_10(n)))*10^。
等于1/2*exp(-Sum_{n>0}10^(-n)*Sum_{k|n}1/(k*2^k))。
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例子
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0.472362443816572236551413383332...
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数学
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数字=103;乘积[1-1/(2*10^k),{k,0,无限}]//N[#,数字+1]//RealDigits[#,10,数字]//First(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2014年2月18日*)
真数字[QPochhammer[1/2,1/10],10,100][[1](*简·曼加尔丹,2017年1月4日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)生产信息(k=0,1-1/(2*10^k))\\阿米拉姆·埃尔达尔2023年5月9日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A132019号
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| Product_{k>=0}1-1/(2*3^k)的十进制展开式。 |
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+10 26
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3, 8, 2, 6, 6, 3, 1, 9, 6, 6, 7, 9, 0, 3, 3, 0, 2, 3, 2, 8, 8, 9, 5, 5, 0, 3, 3, 5, 3, 3, 1, 9, 1, 3, 2, 2, 7, 9, 5, 3, 7, 7, 1, 9, 7, 3, 1, 2, 7, 6, 7, 1, 1, 8, 0, 5, 5, 1, 4, 9, 5, 3, 5, 4, 6, 7, 8, 6, 8, 7, 5, 2, 4, 4, 0, 8, 2, 7, 5, 9, 9, 2, 7, 0, 3, 5, 3, 6, 4, 7, 1, 8, 8, 7, 4, 2, 5, 1, 6, 5, 6, 4, 6
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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链接
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配方奶粉
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等于lim-inf_{n->oo}Product_{k=0..floor(log_3(n))}floor(n/3^k)*3^k/n。
等于lim-inf_{n->oo}A132027号(n) /n^(1+楼层(log_3(n)))*3^。
等于(1/2)*exp(-Sum_{n>0}3^(-n)*Sum_{k|n}1/(k*2^k))。
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例子
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0.3826631966790330232889550...
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数学
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数字=103;NProduct[1-1/(2*3^k),{k,0,Infinity},NProductFactors->100,WorkingPrecision->digits+3]//N[#,digits+3]//RealDigits[#,10,digits]//First(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2014年2月18日*)
真数字[QPochhammer[1/2,1/3],10,120][[1](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年5月8日*)
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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