显示找到的12个结果中的1-10个。
偶数的双阶乘：（2n）！！=2^n*n！。
（原名M1878 N0742）
+10
229
1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, 10321920, 185794560, 3715891200, 81749606400, 1961990553600, 51011754393600, 1428329123020800, 42849873690624000, 1371195958099968000, 46620662575398912000, 1678343852714360832000, 63777066403145711616000
评论
a（n）也是n维超立方体的图（边图）的自同构群的大小，也是超立方体形的几何自同构组的大小（这两个群是同构的）。该群是初等阿贝尔群（C_2）^n由S_n的推广。（C_2是具有两个元素的循环群，S_n是对称群。）-Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年2月21日
然后a（n）出现在幂级数中：sqrt（1+sin（y））=Sum_{n>=0}（-1）^floor（n/2）*y^（n）/a（n）和sqrt-贝诺伊特·克洛伊特2002年2月2日
条目为0，+-1的n×n单项式矩阵的个数。
a（n）=A001044号（n）/A000142号（n）*A000079号（n） =产品{i=0..n-1}（2*i+2）=2^n*Pochhammer（1，n）.-Daniel Dockery（peritus（AT）gmail.com），2003年6月13日
还有线性有符号订单的数量。
将“降级”定义为按降序排列排列p的项目的排列。本说明关注的是那些等于其双重降级的排列。具有此性质的2n阶排列的数目与2n+1阶排列的数相等。a（n）=2n阶和2n+1阶的双降级置换数尤金·麦克唐奈（eemcd（AT）mac.com），2003年10月27日
a（n）=（Integral_{x=0.Pi/2｝cos（x）^（2*n+1）dx），其中分母为b（n）=（2*n）/（n！*2^n）。-Al Hakanson（hawkuu（AT）excite.com），2004年3月2日
1+（1/2）x-（1/8）x ^2-（1/48）x ^3+（1/384）x ^4+…=sqrt（1+sin（x））。
a（n）*（-1）^n=arctan（x）的（n+1）-次导数的前项系数，见Hildebrand链接-莱因哈德·祖姆凯勒2006年1月14日
a（n）是斜对称2n X 2n矩阵的Pfaffian，其（i，j）项是i<j的j-大卫·卡伦2006年9月25日
a（n）是具有n+1个边的递增平面树的数目。（在平面树中，根的每个子树都是有序树，但根的子树可以循环旋转。）增加意味着顶点标记为0,1,2，。。。，n+1，每个子代的标签都比父代大。囊性纤维变性。A001147号对于增加有序树，A000142号增加无序树和A000111号增加0-1-2棵树-大卫·卡伦2006年12月22日
Hamed Hatami和Pooya Hatami证明了这是C_{2n+1}^n中任何最小支配集的基数的上界，C_{2n+1}^n是2n+1大小循环的n个副本的笛卡尔积，其中2n+1是素数-乔纳森·沃斯邮报2007年1月3日
a（n）=多集{1,1,2,2，…，n，n，n+1，n+1}的置换数，使得在i的两次出现之间，正好有一个条目>i，因为i=1,2，。。。，n.示例：a（2）=8计数121323、131232、213123、231213、232131、312132、321312、323121。证明：两个1s之间总是只有一个条目（当n>=1时）。给定a（n）中的一个置换p（以a（n）计），记录第一个1的位置i，然后删除这两个1s，并从每个条目中减去1，得到a（n-1）中的置换q。映射p->（i，q）是从a（n）到笛卡尔积[1,2n]X a（n-1）的双射-大卫·卡伦2007年11月29日
等于（-1）^n*（1，1，2，8，48，…）点（1，-3，5，-7，9，…）。
例如：a（4）=384=（1，1，2，8，48）点（1，-3，5，-7，9）=（1、-3，10，-56，432）。（结束）
假设n从0开始，a（n）似乎是n位上的格雷码数。这当然是n位上的格雷码数与规范格雷码同构。证明：每个代码有2^n个不同的起始位置。此外，每个代码都具有被翻转的比特位置的特定模式（例如，对于n＝3，1 2 1 3 1 2 1），并且这些比特位置模式可以在n！方式。-D.J.Schreffler（ds1404（AT）txstate.edu），2010年7月18日
例如，0,1,2,8，。。。是x/（1-2x/（2-2x/（3-8x/（4-8x/-保罗·巴里2011年1月17日
为每个边选择两种颜色的增加的双色树的数量。一般来说，如果我们用k替换2，我们会得到增加的k色树的数量。例如，对于k=3，我们得到了三阶阶乘数-文锦Woan2011年5月31日
另外，2n（或2n+1）的置换数等于它们的反向补足数。（参见Egge参考。）请注意，上述评论（McDonnell）中描述的双重降级等同于反向补足-贾斯汀·特洛伊卡2011年8月11日
1/a（n）的示例f.是BesselI（0，sqrt（2*x））。参见Abramowitz-Stegun（参考和链接A008277号)第375页，9.6.10-沃尔夫迪特·朗2012年1月9日
a（n）=具有n个不纯正系统的最大不纯正组的阶数2n（见[Miller]，第203页）-L.埃德森·杰弗里2012年2月5日
对于n>1，a（n）是类型为B_n和C_n的Coxeter群（也称为Weyl群）的阶-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于m>0，k*a（m-1）是k个自由度的双平方概率分布的第m个累积量-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年6月27日
a（n）是M_n（Z）中群O_n（Z）={a的阶：a*a^T=I_n}，整数上的n×n正交矩阵群-宋佳宁，2021年3月29日
a（n）是使用左石和两种骨头瓦解a（3n，3n）-苯或a（3n+1,3n+2）-苯的方法数；参见下文Defant等人-詹姆斯·普罗普2023年7月22日
参考文献
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
伊莎贝尔·卡桑、赫尔穆斯·马洛内克、玛丽亚·艾琳·法尔坎奥和格拉萨·托马兹，多维多项式序列的组合恒等式，J.国际顺序。，第21卷（2018年），第18.7.4条。
R.Coquereaux和J.-B.Zuber，地图、沉浸和排列，arXiv预印本arXiv:1507.03163[math.CO]，2015。
Colin Defant、Rupert Li、James Propp和Benjamin Young，通过算盘双射对苯进行分片，arXiv预印本，arXiv:2209.05717[math.CO]，2022。
Eric S.Egge，受限对称置换《Ann.Combin》，第11期（2007年），第405-434页。
乔尔·盖伊和文森特·皮劳，Weyl偏序集的弱序，arXiv:1804.06572[math.CO]，2018年。
Hamed Hatami和Pooya Hatami，素循环笛卡尔积中的完美支配集，arXiv:math/0701018[math.CO]，2006-2009年。
L.C.Larson，本质上不同的非攻击车安排数量，J.重建。数学。，7（1974年第3期），约180-181页。[仅第180和181页的注释扫描]
尤金·麦克唐纳，幻方和排列，APL Quote Quad 7.3（1976年秋季）。
B.E.Meserve，双因子《美国数学月刊》，第55期（1948年），第425-426页。
G.A.Miller，由特殊矩阵构成的群，公牛。阿默尔。数学。《社会学》第24卷（1918年），203-206年。
R.Ondrejka，双阶乘表，数学。公司。，24 (1970), 231.
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014。
罗宾逊，主教的计数安排第198-214页，《组合数学IV》（阿德莱德，1975），Lect。数学笔记。，560 (1976).
配方奶粉
例如：1/（1-2*x）。
递归的D-有限a（n）=2*n*a（n-1），n>0，a（0）=1-保罗·巴里2004年8月26日
这是的二项式平均变换A001907号参见Spivey和Steil（2006）Michael Z.Spivey（mspivey（AT）ups.edu），2006年2月26日
a（n）=积分{x>=0}x^n*exp（-x/2）/2 dx-保罗·巴里，2008年1月28日
G.f.：1/（1-2x/（1-2x/（1-4x/（2-4x/）1-6x/（1-….（续分数））-保罗·巴里2009年2月7日
a（n）=M^n中的左上项，M=生产矩阵（两倍帕斯卡三角形删除第一个“2”，其余为零；cf。A028326号):
2, 2, 0, 0, 0, 0, ...
2, 4, 2, 0, 0, 0, ...
2, 6, 6, 2, 0, 0, ...
2, 8, 12, 8, 2, 0, ...
2, 10, 20, 20, 10, 2, ...
…（结束）
连续分数：
通用系数：1+x*（Q（0）-1）/（x+1），其中Q（k）=1+（2*k+2）/（1-x/（x+1/Q（k+1））。
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1+2*k*x-2*x*（k+1）/Q（k+1）。
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k+2）/（x*（2%k+2，+1/G（k+1）））。
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x*（4*k+2）-4*x^2*（k+1）^2/Q（k+1。
一般公式：R（0），其中R（k）=1-x*（2*k+2）/（x*（2%k+2。（结束）
a（n）=（2n-2）*a（n-2）+（2n-1）*a（n-1），n＞1-伊万·伊纳基耶夫，2013年8月6日
递归方程：a（n）=（3*n-1）*a（n-1）-2*（n-1。
序列b（n）=A068102号（n） 也满足这个二阶递推。这导致广义连分式展开lim_{n->oo}b（n）/a（n）=log（2）=1/（2-2/（5-8/（8-18/（11-…-2*（n-1）^2/（（3*n-1）-…））））。（结束）
Sum_｛n>=0｝（-1）^n/a（n）=1/sqrt（e）(A092605型). （结束）
a（n）=1/（[x^n]超几何（[1]，[1]，x/2））-彼得·卢什尼2024年9月13日
例子
以下排列及其反转均为5阶排列，具有双重降级特性：
0 1 2 3 4
0 3 2 1 4
1 0 2 4 3
1 4 2 0 3
G.f.=1+2*x+8*x^2+48*x^3+384*x^4+3840*x^5+46080*x^6+645120*x^7+。。。
MAPLE公司
ZL:=[S，{a=原子，b=原子，S=Prod（X，序列（Prod（X，b））），X=序列（b，卡>=0）}，标记]：seq（组合结构[计数]（ZL，大小=n），n=0..17）#零入侵拉霍斯2008年3月26日
G（x）：=（1-2*x）^（-1）：f[0]：=G（x#零入侵拉霍斯2009年4月3日
数学
递归表[{a[n]==2n*a[n-1]，a[0]==1}，a，{n，0，30}](*雷·钱德勒2015年7月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=产品（k=1，n，2*k）}/*迈克尔·索莫斯，2013年1月4日*/
（岩浆）[2^n*阶乘（n）：[0..35]]中的n//文森佐·利班迪2011年4月22日
（岩浆）I:=[2,8]；[1] cat[n le 2 select I[n]else（3*n-1）*Self（n-1）-2*（n-1//文森佐·利班迪2015年2月19日
（哈斯克尔）
（Python）
从数学导入阶乘
（SageMath）[2^n*范围（31）内n的阶乘（n）]#G.C.格鲁贝尔2024年7月21日
双阶乘的平方：（1*3*5*…*（2n-1））^2=（（2*n-1）！！）^2
（原名M4669 N1997）
+10
92
1, 1, 9, 225, 11025, 893025, 108056025, 18261468225, 4108830350625, 1187451971330625, 428670161650355625, 189043541287806830625, 100004033341249813400625, 62502520838281133375390625, 45564337691106946230659765625, 38319607998220941779984862890625
评论
a（n）是所有多项式M2（2*n，k），k从{1..p（2xn）}到仅包含偶数部分的分区的和。p（2*n）=A000041号（2*n）（分区号），有关A-St顺序的M2-多项式，请参见A036039号（2*n，k）-沃尔夫迪特·朗2007年8月7日
猜想1：对于任何单位的本原2n根zeta，2nX2n矩阵[m（j，k）]_{j，k=1..2n}的恒等式与a（n）=（（2n-1）！！）一致^2，其中，如果j不等于k，则m（j，k）为（1+zeta^（j-k））/（1-zeta^（j-k）），否则为1。
证明了[m（j，k）]{j，k=1..2n}的行列式为（-1）^（n-1）*（（2n-1）！！）^2/（2n-1），由Han Wang和Zhi-Wei Sun于2022年完成。
猜想2：设p是奇素数。那么，（p-1）X（p-1，）矩阵[f（j，k）]_{j，k=1..p-1}的恒等式与a（（p-1）/2）=（（p-2）！！）是同余的^2模p^2，其中如果j不等于k，f（j，k）为（j+k）/（j-k），否则f（j，k）=1。（结束）
参考文献
约翰·里奥丹，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第217页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
理查德·斯坦利（Richard P.Stanley），《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见问题5.34（c）。
链接
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穆罕默德·亚当·董布罗夫斯基和格雷戈里·德累斯顿，余弦之间的区域，arXiv:2404.17694[math.CO]，2024。见第11页。
约翰·恩格斯（John Engbers）、大卫·加尔文（David Galvin）和克利夫德·史密斯（Clifford Smyth），限制Stirling数和Lah数及其逆，arXiv:1610.05803[math.CO]，2016年。见第6页。
配方奶粉
a（n）=（2*n-1）*和{k=0..n-1}二项式（2*k，k）/4^k，n>=1-沃尔夫迪特·朗2005年8月23日
反弧（x）=和{n>=1}（-1）^（n-1）*a（n）*x^（2*n-1）/（2*n-1）-詹姆斯·布登哈根2009年3月24日
G.f.：求和{n>=0}a（n）*x^n/（n！）^2=2*椭圆K（2*sqrt（x））/Pi。
渐近：a（n）=（2/（（exp（-1/2））^2*（exp n->无穷大。
积分表示为正半轴上正函数的第n个矩（Stieltjes矩问题的解），用Maple符号表示：
a（n）=积分{x>=0}x^n*BesselK（0，sqrt（x））/（Pi*sqrt。
这个解决方案是独一无二的。
（结束）
递归D-有限：a（0）=1，a（n）=（2*n-1）^2*a（n-1），n>0。
a（n）~2*2^（2*n）*e^（-2*n）*n^（2*n）.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月6日
例如：1/sqrt（1-x^2）=Sum_{n>=0}a（n）*x^（2*n）/（2*n）！。此外，arcsin（x）=Sum_{n>=0}a（n）*x^（2*n+1）/（2*n+1）-迈克尔·索莫斯2002年7月3日
-arccos（x）+Pi/2=x+x^3/3！+9*x^5/5！+225*x^7/7！+11205*x^9/9！+-汤姆·科普兰2008年10月23日
G.f.：1+x*（G（0）-1）/（x-1），其中G（k）=1-（4*k^2+4*k+1）/（1-x/（x-1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月15日
a（n）=det（V（i+1，j），1<=i，j<=n），其中V（n，k）是具有奇数指数的第二类中心阶乘数-米尔恰·梅卡2013年4月4日
a（n）=（1+x^2）^（n+1/2）*（d/dx）^。请参阅Tao链接-罗伯特·伊斯雷尔2015年6月4日
a（n）=4^n*伽马（n+1/2）^2/Pi-丹尼尔·苏图2017年1月6日
对于Z中的所有n，0=a（n）*（+384*a（n+2）-60*a（n+3）+a（n+4））+a-迈克尔·索莫斯2017年1月6日
a（n）=（2*n）/4^n）*二项式（2*n，n）。
a（n）=（2*n-1）*求和{k=0..n-1}a（k）/（2*k）！，n>=1。
求和{n>=0}1/a（n）=1+L_0（1）*Pi/2，其中L是修改的Struve函数（参见A197037号).
Sum_{n>=0}（-1）^n/a（n）=1-H_0（1）*Pi/2，其中H是Struve函数。（结束）
例子
a（2）的多项式表示：2*2=4的分区，只有偶数部分：（4）位置k=1，（2^2）位置k=3；M2（4.1）=6，M2（4.3）=3，加起来a（2）=9。
G.f.=1+x+9*x^2+225*x^3+11025*x^4+893025*x^5+108056025*x^6+。。。
MAPLE公司
a:=过程（m）局部k；4^m*mul（（-1）^k*（k-m-1/2），k=1..2*m）结束#彼得·卢什尼2009年6月1日
数学
FoldList[Times，1，Range[1，25，2]]^2（*或*）Join[{1}，（Range[1,29，2]！）^2](*哈维·P·戴尔2011年6月6日，2012年4月10日*）
表[（（2n-1）！！）^2，{n，0，30}](*文森佐·利班迪2017年7月21日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=（2*n）/（n！*2^n））^2
（PARI）｛a（n）=if（n＜0，1/a（-n），sqr（（2*n）！/（n！*2^n））｝/*迈克尔·索莫斯2017年1月6日*/
（岩浆）双因子：=func<n|&*[n.2 by-2]>；[0..20]]中的[双阶乘（（2*n-1））^2:n//文森佐·利班迪2017年7月21日
带有2n个节点的标记奇数度树的数量。
（原M3704）
+10
15
1, 4, 96, 5888, 686080, 130179072, 36590059520, 14290429935616, 7405376630685696, 4917457306800619520, 4071967909087792857088, 4113850542422629363482624, 4980673081258443273955966976, 7119048451600750435732824260608, 11861520124846917915630931846103040
参考文献
R.W.Robinson，个人沟通。
R.W.Robinson，图计数算法的数值实现，AGRC Grant，数学。澳大利亚纽卡斯尔大学系，1976年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
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数学堆栈交换，Marko R.Riedel，奇数度树
配方奶粉
的二等分A058014型.展开1/sqrt（1+x^2）*arcsinh（x）=x-4*x^3/3！+64*x^5/5！-。。。（请参见A002454号)具有系列反转x+4*x^3/3！+96*x^5/5！+5888*x^7/7！+。。。。系数似乎就是这个序列的项。作为x-adic极限，例如f.等于lim_{n->infinity}sinh（f（n，x）），其中f（0，x）=x，f（n、x）=x*cosh（f（n-1，x），对于n>=1。请参阅下面的示例部分-彼得·巴拉2012年4月24日
a（n）=和{k=1..n}二项式（n，k）*k！*（n-2）！[z^{n-2}][u^k]exp（u（exp（z）+exp（-z）-2）/2））-马尔科·里德尔2016年6月16日
对于n>=2，a（n）=（1/2）*Sum_{k=0..n-1}二项式（2*n，k）*（n-k）^（2*n-2）。
a（n）=（2*n-1）*[x^（2*n-1）]sinh（反向（x/cosh（x））），参见A036778号.（结束）
例子
设G（x）=1+x^2/2！+13*x^4/4！+541*x^6/6！+。。。成为A143601型那么sinh（x*G（x））=x+4*x^3/3！+96*x^5/5！+5888*x^7/7！+。。。。
推测的，例如f作为x-adic极限：
sinh（x）=x+。。。；sinh（x*cosh（x））=x+4*x^3/3！+。。。；
sinh（x*cosh（x*cosh（x）））=x+4*x^3/3！+96*x^5/5！+。。。；
sinh（x*cosh（x*cosh（x*cosh（x）））=x+4*x^3/3！+96*x^5/5！+5888*x^7/7！+。。。。
（结束）
MAPLE公司
A007106号（n） =A（2n），其中n>=2，A（n）=（加法（二项式（n，q）*（n-2*q）^（n-2）/（n-2！，q=0..n）-加法（二项式（n-1，q）*（n-2*q）^（n-3）/（n-3！，q=0..n-1）+加法（二项式（n-1，q）*（n-2-2*q）^（n-3）/（n-3）！，q=0..n-1））*n/2^（n+1）/（n-1）
数学
{1} ~连接~数组[（1/2）*和[二项式[2#，k]*（#-k）^（2#-2），{k，0，#-1}]&，12，2](*迈克尔·德弗利格2021年10月13日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<=1，n==1，和（k=0，n-1，二项式（2*n，k）*（n-k）^（2*n-2））/2）\\安德鲁·霍罗伊德2021年11月22日
1, 2, 6, 6, 0, 6, 5, 8, 7, 7, 7, 5, 2, 0, 0, 8, 3, 3, 5, 5, 9, 8, 2, 4, 4, 6, 2, 5, 2, 1, 4, 7, 1, 7, 5, 3, 7, 6, 0, 7, 6, 7, 0, 3, 1, 1, 3, 5, 4, 9, 6, 2, 2, 0, 6, 8, 0, 8, 1, 3, 5, 3, 3, 1, 2, 1, 3, 5, 7, 5, 0, 1, 6, 1, 2, 2, 7, 7, 5, 4, 7, 0, 3, 9, 4, 8, 1, 8, 3, 5, 7, 1, 4, 7, 2, 8, 0, 1, 0, 1, 8, 7, 1, 0, 3, 6, 1, 3, 4, 6, 8
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun，数学函数手册，第9.6章。
配方奶粉
I_0（1）=和{k>=0}1/（4^k*k！^2）=和_{k>=0}1/A002454号（k） 。
等于（1/Pi）*积分{t=0..Pi}exp（cos（t））dt。
等于贝塞尔J（0，i）-宋佳宁2021年9月18日
等于exp（-1）*Sum_｛k>=0｝二项式（2*k，k）/（2^k*k！）。
等于e*Sum_｛k>=0｝（-1/2）^k*二项式（2*k，k）/k！。（结束）
例子
1.26606587775200833559824462521471753760767031135496...
数学
真数字[BesselJ[0，I]，10，120][[1](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年6月15日*）
2, 16, 384, 18432, 1474560, 176947200, 29727129600, 6658877030400, 1917756584755200, 690392370511872000, 303772643025223680000, 160391955517318103040000, 100084580242806496296960000, 72861574416763129304186880000, 61203722510081028615516979200000
参考文献
Bronstein-Semendjajew，Taschenbuch der Mathematik，第7版，1965年，ch.4.4.7
配方奶粉
a（n）=2^（2n+k）*n！*（n+k）！这里对于k=1，即贝塞尔的J1（x）具有系数x^（2*n+1）的分母a（n），n>=0。
例子
a（3）=18452=128*6*24，因为J_{1}（x）=x/2-x^3/16+x^5/384-x^7/18432+。。。
MAPLE公司
a： =n->分母（系数（级数（贝塞尔J（1，x），x，2*n+2），x、2*n+1））：
数学
系数表[级数[BesselJ[1，x]，{x，0，30}]，x][[2；；；2]//分母
表[2^（2*n+1）*n！*（n+1）！，{n，0，30}](*G.C.格鲁贝尔2024年9月21日*）
黄体脂酮素
（PARI）第一（n）=my（x='x+O（'x^（2*n+1）），t=besselj（1，x））；向量（n+1，k，2*分母（polcoeff（t，2*k-2））\\查尔斯·格里特豪斯四世2023年10月23日
（岩浆）[2^（2*n+1）*Factorial（n）*Factor（n+1）：[0..30]]中的n//G.C.格鲁贝尔2024年9月21日
（SageMath）[2^（2*n+1）*阶乘（n）*阶乘（n+1），用于范围（31）内的n]#G.C.格鲁贝尔2024年9月21日
8, 96, 3072, 184320, 17694720, 2477260800, 475634073600, 119859786547200, 38355131695104000, 15188632151261184000, 7290543432605368320000, 4170190843450270679040000, 2802368246798581896314880000
参考文献
Bronstein-Semendjajew，Taschenbuch der Mathematik，第7版，1965年，ch.4.4.7
配方奶粉
a（n）=2^（2n+k）*n！*（n+k）！这里对于k=2，即贝塞尔J2（x）。
a（n）-4*n*（n+2）*a（n-1）=0-R.J.马塔尔2013年6月20日
例子
a（2）=3072=64*2*24，J2（x）=x^2/8-x^4/96+x^6/3072-x^8/184320+-。。。
数学
分母[Take[CoefficientList[Series[BesselJ[2，x]，{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2013年9月21日*）
扩展
以前的Mathematica程序由更正哈维·P·戴尔2013年9月21日
48, 768, 30720, 2211840, 247726080, 39636172800, 8561413324800, 2397195730944000, 843812897292288000, 364527171630268416000, 189554129247739576320000, 116765343616607579013120000
参考文献
Bronstein-Semendjajew，Taschenbuch der Mathematik，第7版，1965年，ch.4.4.7
配方奶粉
a（n）=2^（2n+k）*n！*（n+k）！此处k=3，即贝塞尔J3（x）。
带递归的D-有限：a（n）-（4*n^2+4*n*k）*a（n-1）=0，a（0）=2^k*k！，这里k=3-乔治·菲舍尔2022年3月22日
例子
a（1）=768=32*24，J3（x）=x^3/48-x^5/768+x^7/30720-x^9/2211840+-。。。
MAPLE公司
k： =3:f:=gfun:-rerectproc（{a（n）-（4*n^2+4*n*k）*a（n-1），a（0）=2^k*k！}，a（n），记住）：映射（f，[0..16]）#乔治·菲舍尔2022年3月22日
数学
分母[Take[CoefficientList[Series[BesselJ[3，x]，｛x，0，30｝]，x]，｛4，-1，2｝]](*哈维·P·戴尔2011年12月10日*）
求和{k>=0}（-1）^k/（（2*k）！！）的十进制展开式^2
+10
9
7, 6, 5, 1, 9, 7, 6, 8, 6, 5, 5, 7, 9, 6, 6, 5, 5, 1, 4, 4, 9, 7, 1, 7, 5, 2, 6, 1, 0, 2, 6, 6, 3, 2, 2, 0, 9, 0, 9, 2, 7, 4, 2, 8, 9, 7, 5, 5, 3, 2, 5, 2, 4, 1, 8, 6, 1, 5, 4, 7, 5, 4, 9, 1, 1, 9, 2, 7, 8, 9, 1, 2, 2, 1, 5, 2, 7, 2, 4, 4, 0, 1, 6, 7, 1, 8, 0, 6, 0, 0, 0, 9, 8, 9, 1, 5, 6, 3, 3, 9, 7, 4, 9, 2, 9, 2, 5, 9, 8, 2
配方奶粉
等于贝塞尔J（0,1）。
等于贝塞尔i（0，i），其中贝塞尔i是阶数为0的修正贝塞尔函数-宋佳宁2021年9月18日
例子
1/(4^0*0!^2) - 1/(4^1*1!^2) + 1/(4^2*2!^2) - 1/(4^3*3!^2) + ... = 0.765197686557966551449717526...
数学
真实数字[BesselJ[0，1]，10，110][[1]
1, 2, 4, 16, 64, 384, 2304, 18432, 147456, 1474560, 14745600, 176947200, 2123366400, 29727129600, 416179814400, 6658877030400, 106542032486400, 1917756584755200, 34519618525593600, 690392370511872000, 13807847410237440000, 303772643025223680000
评论
a（n）＝[n+1]的排列的数目，所有这些排列的非初始左到右最小值都在排列中的偶数位置。例如，a（2）＝4个计数123、132、213、312-大卫·卡伦2008年7月22日
从（0,0）开始，到（n，0）结束，保留在第一象限中，使用步长（0,1）、（1,0）、（-1,1）和（1，-1）的自动无效平面行走的次数，限制为（0,1）从不在对角线下方使用，（1,0。a（2）=4:[（0,0），（1,0），，（2,0）]，[（0,1）-阿洛伊斯·海因茨，2017年3月23日
a（n+1）是具有2n+1个非零项的n+1阶0-1平方矩阵的个数，其中单元（i，j）对于所有i+j=n+2为1，并且与主对角线平行的每个对角线正好有一个1。例如，a（2）=4:[（0,1,1），（1,1,0），（1,0,0）]，[（0,1,1），（0,1,0），[（1,1,1）（1,1,O）]，[0,0,1）（1,1,1）、（1,0,0-克里斯蒂安·巴伦托斯2021年7月17日
参考文献
H.-D.Ebbinghaus等人，《数字》，斯普林格出版社，1990年，第146页。
链接
约翰·德比郡，最初的迷恋，Plume图书，第16页，2003年。
配方奶粉
2.2.4.4.6.6….2n.2n/1.3.3.5.5.7.7….（2n-1）。（2n+1）。。。对于n>=1。
猜想：a（n）-a（n-1）-n*（n-1”）*a（n-2）=0-R.J.马塔尔2013年6月7日[对于n>=2，证明来自于下面给出的二分法递推-沃尔夫迪特·朗2017年12月7日]
例如：E（0），其中E（k）=1+2*x*（k+1）/（（2*k+1）-x*（2*k+1）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月8日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+2*x*（k+1）/（1-2*x*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月8日
二等分：a（2*k+1）=（（2*k+1）+1）*a（2xk），a（2*k）=2*k*a（2*k-1），k>=0，其中a（0）=1。分子中的数字证明了这一点（参见示例中的N行）。根据提议大卫·詹姆斯·西卡摩尔，2017年11月2日，基于4/1、8/3、32/9、128/45等分数。。。非常缓慢地收敛到Pi，如德比郡链接的第16页所示-沃尔夫迪特·朗2017年12月6日
设J_0（x）和J_1（x”）表示贝塞尔函数，i=sqrt（-1）。
a（n）=分母（[x^n]（J_0（x）+J_1（x”））。
a（n）=分母（[x^n]（J_0（i*x）-i*J_1（i**））。
1/a（n）的通用系数：J_0（i*x）-i*J_1（i**）。（结束）
例子
第N行（分子a（N））和第D行（分母b（N）=A000246号（n+1））开始：
n： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
N： 1 2 2 4 4 6 8 10 10。。。
D： 1 1 3 3 5 7 9 11。。。
a（n）：1 2 4 16 64 384 2304 18432 147456 14745601 4745600。。。
b（n）：1 1 3 9 45 225 1575 11025 99225 893025 9823275。。。（结束）
数学
a[n_]：=a[n]=如果[n==0，1，（n+Mod[n，2]）a[n-1]]；
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<0，0，prod（k=1，n，if（k%2，k+1，k））
在n X n环形板上放置n个非攻击性象的方法的数量。
+10
三
1, 4, 6, 64, 120, 2304, 5040, 147456, 362880, 14745600, 39916800, 2123366400, 6227020800, 416179814400, 1307674368000, 106542032486400, 355687428096000, 34519618525593600, 121645100408832000, 13807847410237440000
配方奶粉
a（n）=2^n*（（n/2）！）^2如果n是偶数且a（n）=n！如果n是奇数。
a（n）=n*（2*n-3）*a（n-2）-（n-3）*n*（n-2）^2*a（n-4）。[瓦茨拉夫·科特索维奇，2012年9月26日]
例如：1/（1-x）+x*arcsin（x）/（1-x^2）^（3/2）。[瓦茨拉夫·科特索维奇2012年9月26日]
数学
表[如果[EvenQ[n]，2^n*（（n/2）！）^2，n！]，{n，1，20}]
表[n！*系列系数[1/（1-x）+x*ArcSin[x]/（1-x^2）^（3/2），{x，0，n}]，{n，1，25}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年9月26日*）
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