具有所有奇数阶顶点的$K{10}$的生成树。

Question

众所周知，完备图$K_n$有$n^{n-2}$生成树。$K{10}$有$10^8$生成树。现在我的问题是：如何计算所有顶点具有奇数阶的生成树的数量？

Answer 1

这可以使用如下所示的符号方法完成MSE公司链接。我们获得了闭合形式

$$\frac{1}{2^n}\sum_{q=0}^n{n\chooseq}（n-2q）^{n-2}$$

当n美元$很奇怪。我们还可以直接与普鲁弗代码。Pruefer代码中节点的度数是1它出现在代码中的次数。因此，对于度都是奇数，我们必须计算普鲁弗码的数量，其中存在的节点出现偶数次。这意味着我们将代码的不同插槽划分为千美元$大小均匀的子集，选择千美元$节点并用其中一个填充插槽$k$匹配排列。因此，我们获得

$$\sum_{k=1}^n{n\choose k}\乘以k！\次{n-2\大括号k}{\mathrm{偶数}}$$

这里有

$${n\大括号k}_{\mathrm{偶数}}=不！[z^n][u^k]\ exp（-u+u（\exp（z）+\ exp（-z））/2）$$

组合类是$$\def\textsc#1{\dosc#1\csod}\定义\dosc#1#2\csod{{\rm#1{\small#2}}}\textsc{SET}（\textsc{设置}_{\mathrm{偶数}，\ge 1}（\mathcal{Z}））$$

提取系数

$${n\大括号k}_{\mathrm{偶数}}=不！[z^n]\frac{（\exp（z）+\exp[-z）-2）^k}{2^k\乘以k！}\\=n！[z^n]\frac{（\exp（z）-1）^k（1-\exp，-z））^k}{2^k\乘以k！}\\=\frac{n！}{2^k\乘以k！}\sum_{q=1}^{n-1}\[z^q]（\exp（z）-1）^k[z^{n-q}]（1-\exp））^k$$

现在我们有了

$$[z^q]（\exp（z）-1）^k=\frac{k！}{q！}{q\大括号k}$$

此外

$$[z^{n-q}]（1-\exp（-z））^k=（-1）^｛n-q｝[z^｛n-q｝]（1-\exp（z））^k\\=（-1）^{k+n-q}[z^{n-q}]（\exp（z）-1）^k=（-1）^{k+n-q}\分数{k！}{（n-q）！}{n-q\大括号k}$$

由此可见

$${n\大括号k}_{\mathrm{偶数}}=（-1）^{k+n}\frac{k！}{2^k}\sum{q=1}^{n-1}{n\选择q}（-1）^q{q\brace k}{n-q\brake k}$$

因此，我们得到了标记数量的以下闭合公式奇点度的无根树：

$$\bbox[5px，边框：2px实心#00A000]{\sum_{k=1}^n{n\选择k}（-1）^{k+n}\frac{（k！）^2}{2^k}\sum{q=1}^{n-3}{n-2\选择q}（-1）^q{q\大括号k}{n-2-q\小括号k}。}$$

Answer 2

注意，在证明$K_{n}$有$n^{n-2}$生成树的事实中，生成树和$n^{n-2]$的元素之间存在一对一的对应关系，其中$n=\{1,2，\ldots，n\}$。特别地，我们认为$N$是$K_{N}$的顶点集，然后$N^{N-2}$中的序列$（t_{1}，\ldots，t_{N-2{）$以以下方式给出树$t$：

1. 取$s_{1}$作为$N$中不在$（t_{1}，\ldots，t_{N-2}）$中的最小元素，我们将使$s_}1}$和$t_{1{$在$t$中相邻。
2. 取$s_{2}$作为$N\setminus\{s_{1}\}$中不在$（t_{2}，\ldots，t_{N-2}）$中的最小元素，我们将使$s_}2}$和$t_{2{$在$t$中相邻。
3. 重复此操作，直到$s_{1}$、$\ldots、$$s_}n-2}$分别与$t_{1}$\ ldots$、$t_{n-2}$\相邻。
4. 那么$N\setminus\{s_{1}，\ldots，s_{N-2}\}$中正好有两个顶点；这两个顶点将在$T$中相邻。这给出了一个生成树。（我省略了实际证据，只是给出了信件的结构。）

在这棵树$T$中，可以看到N$中顶点$v\的度数等于$1+m_{v}$，其中$m_{v}$是$v$在相应序列中出现的次数。因此，所有顶点都具有奇数阶的树就是序列中每个数字出现偶数次的树。

现在，让$n=10$，那么$n=\｛1，\ldots，10\｝$。我们想找出$N^{8}$中的序列数，这样序列中的每个数字都会出现偶数或次数。我将根据$|\{t_{1}、\ldots、t_{8}\}|\in\{1,2,3,4\}$计算这些值。

• 如果$|\{t_{1}，\ldots，t_{8}\}|=1$，那么序列中的所有数字都是相同的。有$|N|=10$种可能性。
• 如果$|\{t_{1}，\ldots，t_{8}\}|=2$，比如$\{t_}1}、\ldot，t_{9}\}=\{a，b\}$和$a\neq-b$，那么$a$出现两次，$b$出现6次，或者$a$和$b$各出现$4$次。在第一种情况下，我们有$10\cdot9\cdot\binom{8}{2}$的可能性，在第二种情况下我们有$\binom}{2{8}}{4}$的可能。
• 如果$|\{t_{1}，\ldots，t_{8}\}|=3$，则有$\{t_1}、\ldot，t_{9}\}=\{a，b，c\}$，其中$a$出现4次，$b$和$c$各出现两次。这为$10\cdot\binom{9}{2}\binom}8}{4}\binom{4}{2{$提供了可能性。
• 如果$|\{t_{1}，\ldots，t_{8}|=4$，那么我们有四个数字，每个数字在序列中出现两次。这给了$\binom{10}{4}\binom}{8}{2}\binom{6}{2{5}\binom{4}{2neneneep$可能性。

我们可以将所有这些合计起来以获得$$10+10\cdot 9\cdot\binom{8}{2}+\binom}10}{2{5}\binom｛8}{4}+10\cdot\binom{9}{2neneneep \binom｝8}{4}\binom}{4{2}+\binom$$奇数度树的总数。这总共有686080棵树。