搜索： 编号：a001818
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A001818号
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| 双阶乘的平方：（1*3*5*…*（2n-1））^2=（（2*n-1）！！）^2
（原M4669 N1997）
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+0
92
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1, 1, 9, 225, 11025, 893025, 108056025, 18261468225, 4108830350625, 1187451971330625, 428670161650355625, 189043541287806830625, 100004033341249813400625, 62502520838281133375390625, 45564337691106946230659765625, 38319607998220941779984862890625
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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a（n）是所有多项式M2（2*n，k），k从{1..p（2xn）}到仅包含偶数部分的分区的和。p（2*n）=A000041号（2*n）（分区号），有关A-St顺序的M2-多项式，请参见A036039号（2*n，k）-沃尔夫迪特·朗2007年8月7日
猜想1：对于任何单位的本原2n根zeta，2nX2n矩阵[m（j，k）]_{j，k=1..2n}的恒等式与a（n）=（（2n-1）！！）一致^2，其中，如果j不等于k，则m（j，k）为（1+zeta^（j-k））/（1-zeta^（j-k）），否则为1。
证明了[m（j，k）]{j，k=1..2n}的行列式为（-1）^（n-1）*（（2n-1）！！）^2/（2n-1），由Han Wang和Zhi-Wei Sun于2022年完成。
猜想2：设p是奇素数。那么，（p-1）X（p-1，）矩阵[f（j，k）]_{j，k=1..p-1}的恒等式与a（（p-1）/2）=（（p-2）！！）是同余的^2模p^2，其中，如果j不等于k，则f（j，k）为（j+k）/（j-k），否则f（j、k）=1。（结束）
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参考文献
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约翰·里尔登，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第217页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Richard P.Stanley，枚举组合数学，剑桥，1999年第2卷；参见问题5.34（c）。
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链接
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David Callan和Emeric Deutsch，跑步转换，arXiv预印本arXiv:1112.3639[math.CO]，2011。
Harry Crane和Peter McCullagh，可分集划分上的可逆马尔可夫结构《应用概率杂志》，第52卷，第3期（2015年），第622-635页。
约翰·恩格斯（John Engbers）、大卫·加尔文（David Galvin）和克利夫德·史密斯（Clifford Smyth），限制Stirling数和Lah数及其逆，arXiv:1610.05803[math.CO]，2016年。见第6页。
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公式
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a（n）=（2*n-1）*和{k=0..n-1}二项式（2*k，k）/4^k，n>=1-沃尔夫迪特·朗2005年8月23日
反弧（x）=和{n>=1}（-1）^（n-1）*a（n）*x^（2*n-1）/（2*n-1）-詹姆斯·布登哈根2009年3月24日
G.f.：求和{n>=0}a（n）*x^n/（n！）^2=2*椭圆K（2*sqrt（x））/Pi。
渐近：a（n）=（2/（（exp（-1/2））^2*（exp n->无穷大。
积分表示为正半轴上正函数的第n个矩（Stieltjes矩问题的解），用Maple符号表示：
a（n）=积分{x>=0}x^n*BesselK（0，sqrt（x））/（Pi*sqrt。
这个解决方案是独一无二的。
（结束）
递归D-有限：a（0）=1，a（n）=（2*n-1）^2*a（n-1），n>0。
a（n）~2*2^（2*n）*e^（-2*n）*n^（2*n）.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月6日
例如：1/sqrt（1-x^2）=Sum_{n>=0}a（n）*x^（2*n）/（2*n）！。也作arcsin（x）=Sum_{n>=0｝a（n）*x^（2*n+1）/（2*n+1）-迈克尔·索莫斯2002年7月3日
-arccos（x）+Pi/2=x+x^3/3！+9*x^5/5！+225*x^7/7！+11205*x^9/9！+-汤姆·科普兰2008年10月23日
G.f.：1+x*（G（0）-1）/（x-1），其中G（k）=1-（4*k^2+4*k+1）/（1-x/（x-1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月15日
a（n）=det（V（i+1，j），1<=i，j<=n），其中V（n，k）是具有奇数指数的第二类中心阶乘数-米尔恰·梅卡2013年4月4日
a（n）=（1+x^2）^（n+1/2）*（d/dx）^。请参阅Tao链接-罗伯特·伊斯雷尔2015年6月4日
a（n）=4^n*伽马（n+1/2）^2/Pi-丹尼尔·苏图2017年1月6日
对于Z中的所有n，0=a（n）*（+384*a（n+2）-60*a（n+3）+a（n+4））+a-迈克尔·索莫斯2017年1月6日
a（n）=（2*n）/4^n）*二项式（2*n，n）。
a（n）=（2*n-1）*Sum_{k=0..n-1}a（k）/（2*k）！，n>=1。
求和{n>=0}1/a（n）=1+L_0（1）*Pi/2，其中L是修改的Struve函数（参见A197037号).
求和{n>=0}（-1）^n/a（n）=1-H_0（1）*Pi/2，其中H是Struve函数。（结束）
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例子
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a（2）的多项式表示：仅含偶数部分的2*2=4的分区：（4）位置k=1，（2^2）位置k=3；M2（4.1）=6，M2（4.3）=3，加起来a（2）=9。
G.f.=1+x+9*x^2+225*x^3+11025*x^4+893025*x^5+108056025*x^6+。。。
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MAPLE公司
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a:=过程（m）局部k；4^m*mul（（-1）^k*（k-m-1/2），k=1..2*m）结束#彼得·卢什尼2009年6月1日
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数学
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FoldList[Times，1，Range[1，25，2]]^2（*或*）Join[{1}，（Range[1,29，2]！）^2](*哈维·P·戴尔2011年6月6日，2012年4月10日*）
表[（（2n-1）！！）^2，{n，0，30}](*文森佐·利班迪2017年7月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（2*n）/（n！*2^n））^2
（PARI）{a（n）=如果（n<0，1/a（-n），sqr（（2*n）！/（n！*2^n））}/*迈克尔·索莫斯2017年1月6日*/
（Magma）双阶乘：=函数<n|&*[n.2by-2]>；[0..20]]中的[双阶乘（（2*n-1））^2:n//文森佐·利班迪2017年7月21日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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经核准的
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