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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A001818号 双阶乘的平方:(1*3*5*…*(2n-1))^2=((2*n-1)!!)^2
(原M4669 N1997)
81
1、1、9、225、11025、893025、108056025、18261468225、4108830350625、1187451971330625、428670161650355625、189043541287806830625、10000403341249813400625、625052083828133375390625、45564337691106946230659765625、38319607998220941779984862890625 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

S{2n}中所有圈长度为偶数的置换数(cf。A087137号).

也是S{2n}中所有圈都有奇数长度的置换数-弗拉德塔·乔沃维奇2007年8月10日

a(n)是从{1..p(2*n)}开始的所有多项式M2(2*n,k),k的和,仅限于偶数部分的划分。p(2*n)=A000041号(2*n)(分区数),对于A-St顺序的M2多项式数,请参见A036039号(2*n,k)-狼牙2007年8月7日

arcsinh(x)=和{n>=1}(-1)^(n-1)*a(n)*x^(2*n-1)/(2*n-1)-詹姆斯·R·布登哈根2009年3月24日

参考文献

J、 Riordan,《组合恒等式》,Wiley,1968年,第217页。

N、 J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

R、 斯坦利,《计数组合学》,剑桥,第2卷,1999年;见问题5.34(c)。

链接

T、 D.不,n=n的表。。50

大卫·凯伦和埃莫里克·德意志,Run变换,arXiv预印本arXiv:1112.3639[math.CO],2011年。

H、 克兰和P.McCullagh,可分集划分上的可逆Markov结构《应用概率杂志》,52(3),2015年。

约翰·恩格伯斯,大卫·加尔文,克利福德·斯迈思,限制Stirling数和Lah数及其逆数,arXiv:1610.05803[math.CO],2016年。见第6页。

IBM公司,2009年6月的“思考这个”难题。[来自弗拉德塔·乔沃维奇2009年7月26日]

约翰·里奥丹和N·J·A·斯隆,通信,1974年

T、 道,区别身份

埃里克·韦斯坦的数学世界,斯图鲁弗函数

周建宙,关于插值统计的一些数学问题,arXiv:2108.10514[数学博士],2021年。

可除序列索引

公式

a(n)=(2*n-1)*和{k=0..n-1}二项式(2*k,k)/4^k,n>=1-狼牙2005年8月23日

卡罗尔·彭森2009年10月21日:(开始)

G、 f.:和{n>=0}a(n)*x^n/(n!)^2=2*EllipticK(2*sqrt(x))/Pi。

渐近:a(n)=(2/((exp(-1/2))^2*(exp(1/2))^2)-1/(6*(exp(-1/2))^2*(exp(1/2))^2*(exp(1/2))^2*(exp(1/2))^2*(exp(1/2))^2+O(1/n^3))*(2^n)^2/((1/n)^2*(exp(n))^2),n->无穷大。

正函数在正半轴上的n阶矩的积分表示(Stieltjes矩问题的解决),Maple表示法:

a(n)=整数(x^n*BesselK(0,sqrt(x))/(Pi*sqrt(x)),x=0。。无穷大),n=0,1。

这种解决方案是独一无二的。

(结束)

D-有限递归:a(0)=1,a(n)=(2*n-1)^2*a(n-1),n>0。

a(n)~2*2^(2*n)*e^(-2*n)*n^(2*n)。-乔·基恩(jgk(AT)jgk。org),2002年6月6日

E、 g.f.:1/sqrt(1-x^2)=和{n>=0}a(n)*x^(2*n)/(2*n)!。还有arcsin(x)=和{n>=0}a(n)*x^(2*n+1)/(2*n+1)-迈克尔·索莫斯2002年7月3日

系数(k*1*2)(单位:k*2)-贝诺伊特·克罗伊特迈克尔·索莫斯2002年11月22日

-arccos(x)+Pi/2=x+x^3/3!+9*x^5/5!+225*x^7/7!+11205*x^9/9!+-汤姆·科普兰2008年10月23日

G、 f.:1+x*(G(0)-1)/(x-1),其中G(k)=1-(4*k^2+4*k+1)/(1-x/(x-1/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月15日

a(n)=det(V(i+1,j),1<=i,j<=n),其中V(n,k)是第二类具有奇数指数的中心阶乘数-米尔恰梅尔卡2013年4月4日

a(n)=(1+x^2)^(n+1/2)*(d/dx)^(2*n)(1+x^2)^(n-1/2)。见道链接-罗伯特·以色列2015年6月4日

a(n)=4^n*伽马(n+1/2)^2/Pi-丹尼尔·苏托2017年1月6日

Z轴上的所有n=a(n)*(+384*a(n+2)-60*a(n+3)+a(n+4))+a(n+1)*(-36*a(n+2)-4*a(n+3))+a(n+2)*(+3*a(n+2))和a(n)=1/a(-n)-迈克尔·索莫斯2017年1月6日

罗伯特·费雷奥2020年7月30日开始

a(n)=((2*n)/4^n)*二项式(2*n,n)。

a(n)=(2*n-1)*和{k=0..n-1}a(k)/(2*k)!,n>=1。

a(n)=邮编:A184877(2*n-1)对于n>=1。(结束)

例子

a(2)的多项式表示:仅含偶数部分的2*2=4的分区:(4)位置k=1,(2^2)k=3;M2(4,1)=6和M2(4,3)=3,加起来a(2)=9。

G、 f.=1+x+9*x^2+225*x^3+11025*x^4+893025*x^5+108056025*x^6+。。。

枫木

a:=proc(m)局部k;4^m*mul((-1)^k*(k-m-1/2),k=1。。2*m)结束#彼得·卢什尼2009年6月1日

数学

FoldList[Times,1,Range[1,25,2]]^2(*或*)Join[{1},(范围[1,29,2]!!)^2](*哈维·P·戴尔2011年6月6日,2012年4月10日*)

表[((2 n-1)!!)^2,{n,0,30}](*文琴佐·利班迪2017年7月21日*)

黄体脂酮素

(平价)a(n)=((2*n)/(n!*2^n))^2

(PARI){a(n)=如果(n<0,1/a(-n),sqr((2*n)!/(n!*2^n))}/*迈克尔·索莫斯2017年1月6日*/

(岩浆)双阶乘:=func<n |&*[n..2 x-2]>;[双阶乘((2*n-1))^2:n in[0..20]]//文琴佐·利班迪2017年7月21日

交叉引用

a(n)=A001147号(n) ^2年。囊性纤维变性。A002454号.

平分A012248号.

三角形右栏1A008956号.

a(n)=A111595号(2*n,0)。

上下文顺序:A251579号 邮编:A128492 邮编:A294971*A095363号 邮编:A138564 A285985年

相邻序列:A001815号 A001816号 A001817号*A001819号 A001820型 A001821号

关键字

,容易的,美好的,改变

作者

N、 斯隆

扩展

错误公式删除者N、 斯隆2009年7月3日

状态

经核准的

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