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毕达哥拉斯素数:形式为4*k+1的素数。 (原名M3823 N1566)
+10 483
5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397, 401, 409, 421, 433, 449, 457, 461, 509, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 617
评论
在域Q中分解的有理素数(sqrt(-1))-N.J.A.斯隆2017年12月25日
-1是素数p的二次剩余模当且仅当p在这个序列中。
如果奇数素数p,q中至少有一个属于序列,那么根据高斯互易定律,x^2=p(mod q),x^2=q(mod p)的两个或两个同余都是可解的-Lekraj Beedassy公司2003年7月17日
奇数素数,使得二项式(p-1,(p-1)/2)==1(mod p)-贝诺伊特·克洛伊特2004年2月7日
a(n)的平方是其他两个平方的平均值。这个事实产生了一类b=a(n)的一元多项式x^2+bx+c,它将对整数进行因子分解,而与c的符号无关。参见A114200个.-欧文·默滕斯(Owen Mertens(AT)Misouristate.edu),2005年11月16日
同样,对于形式为n^p-(n-1)^p的Nexus数,最后一个数字总是1-亚历山大·阿达姆楚克2006年8月10日
1 2 3 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1
如果4*k+1是素数,k^k-1可以被4*k+14整除(参见Dickson参考文献)-加里·德特利夫斯,2013年5月22日
形式4*k+1和e>=1的p素数的p^e是2个非零平方和-乔恩·佩里2014年11月23日
素数p使得某些整数q的等腰三角形(p,p,q)的面积是一个整数-米歇尔·拉格诺2014年12月31日
这是所有素数的集合,它们是两个平方的平均值-理查德·福伯格2015年3月1日
数字k是这样的((k-3)!!)^2==-1(mod k)-托马斯·奥多夫斯基2016年7月28日
参考文献
大卫·A·考克斯,“x^2+n y^2形式的素数”,威利,1989年。
L.E.Dickson,“数字理论的历史”,切尔西出版公司,1919年,第一卷,第386页
L.E.Dickson,《数字理论史》,卡内基研究所,Publ。第256号,第二卷,华盛顿特区,1920年,第227页。
M.du Sautoy,《初级音乐》,第四庄园/哈珀柯林斯出版社,2003年;见第76页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
大卫·威尔斯,《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社,纽约,1986年,1987年修订版。见第90页。
链接
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A.David Christopher,费马双平方定理的分割理论证明《离散数学》,第339卷,第4期,2016年4月6日,第1410-1411页。
A.Granville和G.Martin,素数竞赛,arXiv:math/0408319[math.NT],2004年。
欧内斯特·希布斯,素数的分量相互作用,《国会科技大学博士论文》(2022年),见第33页。
卢卡斯·拉卡萨(Lucas Lacasa)、巴托洛梅·卢克(Bartolome Luque)、伊格纳西奥·戈梅斯(Ignacio Gómez)和奥克塔维奥·米拉蒙特斯(Octavio Miramontes),关于一些素数序列的动力学方法,熵20.2(2018):131,另见arXiv:1802.08349[math.NT],2018。
R.C.Laubenbacher和D.J.Pengelley,艾森斯坦对二次互易定理的几何证明,摘自:Anderson M、Katz V、Wilson R编辑。谁给了你Epsilon?:以及其他数学史故事。光谱。美国数学协会;2009:309-312.
配方奶粉
p^2-1=12*Sum_{i=0.floor(p/4)}floor(sqrt(i*p))其中p=a(n)=4*n+1。[西拉里]
产品{k>=1}(1+1/A002145号(k) )/(1+1/a(k))=Pi/(4*A064533号^2) = 1.3447728438248695625516649942427635670667319092323632111110962...
产品{k>=1}(1-1/A002145号(k) )/(1-1/a(k))=Pi/(8*A064533号^2) =0.672386421912434781275832497121381783533365954616181605555481…(结束)
求和{k>=1}1/a(k)^s=(1/2)*求和{n>=1奇数}莫比乌斯(n)*log(2*n*s)!*zeta(n*s)*abs(EulerE(n*s-1))/(Pi^(n*s*2^(2*n*s/n、 s>=3奇数-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2020年5月21日
图例符号(-1,a(n))=+1,对于n>=1-沃尔夫迪特·朗2021年3月3日
例子
下表显示了几个密切相关序列之间的关系:
这里p=A002144号=素数==1(mod 4),p=a^2+b^2,其中a<b;
其中{c,d}={t2,t3},t4=cd/2=ab(b^2-a^2)。
---------------------------------
p a b t1 c d t 2 t 3 t 4
---------------------------------
5 1 2 1 3 4 4 3 6
13 2 3 3 5 12 12 5 30
17 1 4 2 8 15 8 15 60
29 2 5 5 20 21 20 21 210
37 1 6 3 12 35 12 35 210
41 4 5 10 9 40 40 9 180
53 2 7 7 28 45 28 45 630
...
MAPLE公司
a:=[];对于从1到500的n,do如果是i素数(4*n+1),那么a:=[op(a),4*n+1];fi;日期:A002144号:=n->a[n];
#备选方案
选项记忆;
局部a;
如果n=1,则
5;
其他的
对于来自procname(n-1)+4x4do的a
如果isprime(a),那么
返回a;
结束条件:;
结束do:
结束条件:;
结束进程:
数学
选择[4*Range[140]+1,PrimeQ[#]&](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月16日*)
选择[Prime[范围[150]],Mod[#,4]==1&](*哈维·P·戴尔2021年1月28日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a002144 n=a002144_列表!!(n-1)
a002144_list=过滤器((==1)。a010051)[1、5…]
(岩浆)[0..200]|IsPrime(a)中的[a:n,其中a是4*n+1]//文森佐·利班迪2014年11月23日
(PARI)选择(p->p%4==1,素数(1000))
(平价)
A002144号_next(p=A2144[#A2144])={until(i素数(p+=4),);p}/*NB:p的形式必须为4k+1。超过素数极限,这比素数(p=…,p%4==1&&return(p))要快得多*/
A2144=列表(5);A002144号(n) ={while(#A2144<n,列表输入(A2144,A002144号_next()));A2144[编号]}
(Python)
从sympy导入质数
A002144号=[n表示n in(prime(x)表示x in range(1,10**3))if not(n-1)%4]
(Python)
从sympy导入isprime
打印(列表(过滤器(isprime,范围(1,618,4)))#迈克尔·布拉尼基2021年5月13日
(SageMath)
return[x表示prime_range(5,n+1)中的x,如果x%4==1]
交叉参考
囊性纤维变性。A002145号,A002314号,A002476号,A002972号,A002973号,A003658号,A004431号,A007519号,A010051型,A016813号,A076339号,A094407号.
Product_{k>=1}(1-1)的十进制展开式/A002144号(k) ^3)。
+10 10
9, 9, 1, 2, 5, 1, 1, 1, 6, 2, 3, 4, 0, 9, 9, 8, 4, 4, 2, 3, 9, 7, 7, 6, 3, 6, 4, 6, 0, 9, 0, 9, 7, 7, 4, 4, 3, 3, 9, 4, 1, 5, 7, 9, 5, 0, 2, 6, 2, 9, 8, 2, 0, 0, 2, 1, 4, 1, 5, 6, 1, 0, 4, 7, 1, 7, 7, 3, 2, 7, 5, 9, 1, 4, 8, 3, 0, 0, 2, 4, 2, 1, 8, 9, 2, 0, 5, 7, 4, 1, 7, 4, 5, 0, 7, 2, 1, 7, 7, 8, 9, 7, 3, 6, 2, 0
参考文献
B.C.Berndt,Ramanujan笔记本第四部分,施普林格出版社,1994年,第64-65页。
例子
0.991251116234099844239776364609097744339415...
Product_{k>=1}(1+1)的十进制展开式/A002145号(k) ^3)。
+10 10
1, 0, 4, 1, 1, 5, 8, 0, 7, 2, 8, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 8, 0, 3, 3, 8, 3, 6, 0, 5, 6, 9, 9, 2, 5, 6, 1, 5, 6, 6, 9, 3, 7, 6, 0, 7, 1, 3, 5, 1, 1, 3, 4, 9, 3, 5, 4, 1, 7, 3, 9, 4, 9, 8, 8, 6, 6, 6, 1, 7, 8, 5, 4, 1, 3, 5, 5, 8, 5, 6, 1, 3, 5, 0, 3, 5, 3, 5, 6, 0, 4, 7, 4, 5, 5, 4, 6, 7, 1, 0, 8, 7, 4, 3, 1, 5, 3, 6, 3
参考文献
B.C.Berndt,Ramanujan笔记本第四部分,施普林格出版社,1994年,第64-65页。
例子
1.041158072823444580338360569925615669376071...
Product_{k>=1}(1+1)的十进制展开式/A002144号(k) ^4)。
+10 7
1, 0, 0, 1, 6, 4, 9, 6, 6, 4, 0, 3, 3, 0, 0, 0, 4, 2, 5, 3, 7, 8, 5, 7, 8, 0, 7, 1, 9, 2, 9, 3, 9, 0, 8, 8, 8, 2, 7, 3, 9, 8, 4, 4, 0, 4, 3, 8, 6, 6, 9, 9, 3, 0, 0, 0, 8, 9, 8, 3, 7, 4, 0, 9, 6, 6, 7, 9, 2, 0, 4, 8, 0, 8, 2, 3, 6, 3, 4, 3, 4, 4, 1, 9, 2, 9, 8, 6, 5, 3, 3, 1, 1, 7, 8, 9, 9, 7, 0, 6, 1, 5, 7, 0, 9
评论
通常,对于s>1,Product_{k>=1}(1+1/A002144号(k) ^s)/(1-1)/A002144号(k) ^s)=(zeta(s,1/4)-zeta。
参考文献
B.C.Berndt,Ramanujan笔记本第四部分,施普林格出版社,1994年,第64-65页。
例子
1.001649664033000425378578071929390888273984404386699300089837...
Product_{k>=1}(1+1)的十进制展开式/A002144号(k) ^5)。
+10 7
1, 0, 0, 0, 3, 2, 3, 4, 7, 5, 1, 4, 8, 0, 7, 1, 6, 3, 8, 6, 0, 3, 6, 8, 6, 4, 2, 7, 3, 3, 9, 9, 4, 2, 3, 6, 9, 2, 6, 5, 2, 4, 6, 5, 5, 2, 2, 0, 2, 7, 3, 7, 9, 8, 0, 4, 0, 7, 5, 0, 7, 1, 6, 4, 8, 5, 9, 9, 6, 3, 8, 1, 1, 3, 7, 4, 6, 8, 0, 4, 2, 2, 4, 4, 0, 6, 0, 5, 6, 3, 2, 9, 6, 0, 0, 1, 4, 1, 9, 1, 2, 7, 9, 3, 2
评论
通常,对于s>1,Product_{k>=1}(1+1/A002144号(k) ^s)/(1-1)/A002144号(k) ^s)=(zeta(s,1/4)-zeta。
参考文献
B.C.Berndt,Ramanujan笔记本第四部分,施普林格出版社,1994年,第64-65页。
例子
1.0003234751480716386036864273399423692652465522027379804075071648599638113746...
Product_{k>=1}(1+1)的十进制展开式/A007528号(k) ^3)。
+10 7
1, 0, 0, 9, 1, 3, 4, 5, 0, 8, 6, 3, 8, 4, 7, 4, 4, 7, 8, 0, 7, 1, 1, 3, 7, 5, 3, 9, 5, 8, 9, 2, 0, 5, 5, 8, 8, 1, 7, 4, 5, 6, 4, 7, 8, 5, 2, 9, 5, 2, 5, 5, 9, 9, 3, 0, 7, 2, 3, 6, 2, 0, 8, 1, 4, 8, 7, 9, 6, 2, 8, 3, 5, 9, 1, 6, 3, 6, 0, 3, 2, 1, 1, 9, 3, 2, 6, 6, 4, 3, 5, 2, 6, 4, 0, 4, 9, 6, 5, 9, 7, 5, 6, 1, 6
评论
通常,对于s>0,Product_{k>=1}(1+1/A007528号(k) ^(2*s+1))/(1-1/A007528号(k) ^(2*s+1))=(1-1/2^(2*s+1))*(3^(2+)-1)*(2*s)!*zeta(2*s+1)/(sqrt(3)*A002114号(s) *Pi^(2*s+1))。
对于s>1,Product_{k>=1}(1+1/A002476号(k) ^s)*(1+1/A007528号(k) ^s)=6^s*ζ(s)/((2^s+1)*(3^s+1)*ζ(2*s))。
例子
1.0091345086384744780711375395892055881745647852...
Product_{k>=1}(1+1)的十进制展开式/A002476号(k) ^3)。
+10 6
1, 0, 0, 3, 6, 0, 2, 5, 4, 0, 2, 2, 1, 2, 5, 9, 8, 9, 6, 7, 0, 4, 3, 2, 3, 9, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 8, 7, 8, 5, 9, 1, 7, 0, 5, 3, 9, 4, 7, 7, 1, 1, 7, 5, 0, 8, 7, 2, 1, 3, 7, 0, 2, 2, 4, 0, 2, 6, 4, 1, 6, 5, 2, 3, 7, 1, 7, 3, 7, 1, 7, 3, 6, 2, 6, 1, 4, 6, 6, 2, 7, 5, 2, 0, 4, 0, 8, 1, 5, 1, 4, 8, 2, 9, 8, 9, 1, 5, 7
评论
通常,对于s>0,Product_{k>=1}(1+1/A002476号(k) ^(2*s+1))/(1-1/A002476号(k) ^(2*s+1))=sqrt(3)*(2*Pi)^(2%s+1)*zeta(2*s+1)*A002114号(s) /((2^(2*s+1)+1)*(3^(2%s+1)+1)*(2*s)!*泽塔(4*s+2))。
对于s>1,Product_{k>=1}(1+1/A002476号(k) ^s)/(1-1)/A002476号(k) ^s)=(zeta(s,1/6)-zeta。
对于s>1,Product_{k>=1}(1+1/A002476号(k) ^s)*(1+1/A007528号(k) ^s)=6^s*ζ(s)/((2^s+1)*(3^s+1)*ζ(2*s))。
对于s>0,Product_{k>=1}((A007528号(k) ^(2*s+1)-1)/(A007528号(k) ^(2*s+1)+1))*((A002476号(k) ^(2*s+1)+1)/(A002476号(k) ^(2*s+1)-1))=6*A002114号(s) ^2*(4*s+2)!/(2^(4*s+2)-1)*(3^(4*s+2)-1)*Bernoulli(4*s+2)*(2*s)^2) =伯努利(2*s)^2*(4*s+2)!*(zeta(2*s+1,1/6)-zeta(2%s+1,5/6))^2/(8*Pi^2*(2^(4*s+2)-1)*^2*zeta(2*s)^2)。
例子
1.0036025402212598967043239333321878591705394771...
1, 25, 125, 169, 289, 625, 841, 1369, 1681, 2197, 2809, 3125, 3721, 4225, 4913, 5329, 7225, 7921, 9409, 10201, 11881, 12769, 15625, 18769, 21025, 21125, 22201, 24389, 24649, 28561, 29929, 32761, 34225, 36125, 37249, 38809, 42025, 48841, 50653, 52441, 54289, 54925
配方奶粉
Sum_{n>=1}1/a(n)=乘积_{primes p==1(mod 4)}(1+1/(p*(p-1)))=A175647号*A334424飞机= 1.0654356335... .
数学
q[n_]:=n==1||AllTrue[FactorInteger[n],Mod[First[#],4]==1&Last[#]>1&];选择[范围[50000],q]
黄体脂酮素
(PARI)是(n)={my(f=factor(n));对于(i=1,#f~,if(f[i,1]%4!=1||f[i,2]==1,return(0));1;}
1, 4, 8, 9, 16, 25, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 225, 256, 288, 289, 324, 361, 392, 400, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 676, 729, 784, 800, 841, 900, 961, 968, 1000, 1024, 1089, 1125, 1152, 1156, 1225, 1296, 1352, 1369
评论
每个项可以以唯一的方式分解为2^m*i*j^2,其中m>=2,i是一个强大的数,其素数都是4*k+1的形式(A369563),j是一个素因子都是4*k+3形式的数(A004614号).
配方奶粉
不超过x的项数为~c*sqrt(x),其中c=(6/Pi^2)*(1+1/(3*(sqrt)-1))*Product_{素数p==1(mod 4)}(1+1/((sqrt-1)*。
和{n>=1}1/a(n)=(3/2)*积{素数p==1(模4)}(1+1/(p*(p-1))*A334424飞机= 1.86676402705119927669... .
数学
选择[Range[1500],SquaresR[2,#]>0&&(#==1||Min[FactorInteger[#][[;;,2]]>1)&]
黄体脂酮素
(PARI)是(n)={my(f=factor(n));对于(i=1,#f~,如果(f[i,2]==1||(f[i,2]%2&&f[i、1]%4==3),返回(0));1;}
1, 1, 1, 3, 6, 8, 0, 6, 1, 8, 1, 3, 2, 3, 1, 6, 4, 8, 8, 8, 6, 1, 8, 9, 1, 9, 4, 1, 1, 9, 8, 3, 1, 9, 9, 1, 3, 6, 5, 6, 5, 8, 2, 7, 5, 4, 7, 8, 7, 7, 5, 9, 2, 3, 2, 4, 4, 5, 6, 1, 1, 5, 1, 6, 3, 4, 6, 7, 5, 6, 7, 2, 7, 7, 2, 5, 4, 6, 6, 5, 1, 0, 7, 5, 0, 3, 6, 6, 2, 7, 6, 5, 2, 7, 7, 4, 1, 8, 1, 5, 8, 8, 1, 7, 2
例子
1.1136806181323164888618919411983199136565827547877592324456...
数学
真数字[12*加泰罗尼亚语/Pi^2,10,120][[1]
黄体脂酮素
(PARI)12*加泰罗尼亚语/Pi^2\\米歇尔·马库斯2020年5月1日
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