搜索： a334426-编号：a3344二十六
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A002145号
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| 形式为4*k+3的素数。
（原名M2624 N1039）
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331
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3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, 307, 311, 331, 347, 359, 367, 379, 383, 419, 431, 439, 443, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 523, 547, 563, 571
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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或者，奇数素数p，使得-1不是平方模p，即勒让德符号（-1/p）=-1。[LeVeque I，第66页]-N.J.A.斯隆2008年6月28日
自然素数也是高斯素数。（把这个序列称为“高斯素数”是一个常见的错误。）
字段Q中的惰性有理素数（sqrt（-1））-N.J.A.斯隆2017年12月25日
对n进行编号，使第（2n）个分圆多项式系数的乘积等于-1-贝诺伊特·克洛伊特2002年10月22日
也可以用奇数素数p除（p-1）！！+1） 或（p-2）！！+1） -亚历山大·阿达姆楚克2006年11月30日
除（p-1）！！-的奇素数p1） 或（p-2）！！-1） -亚历山大·阿达姆楚克2007年4月18日
Bernard Frénicle de Bessy发现这样的素数不可能是毕达哥拉斯三角形的斜边，而不是4*n+1形式的素数（参见A002144号). - 之后保罗·柯茨2008年9月10日
数字n>2，这样（（n-2）！！）^2==1（型号n）-托马斯·奥多夫斯基2016年7月24日
奇数n>1，这样（（n-1）！！）^2==1（型号n）-托马斯·奥多夫斯基，2016年7月25日
素数p使得（p-2）！！==（p-3）！！（修订版）-托马斯·奥多夫斯基2016年7月28日
关于4k+1和4k+3形式素数相对数的讨论，请参阅Granville和Martin编辑，2017年5月1日
猜想：n>4的a（n）可以写成4k+1形式的3个素数之和，这意味着4k+3>=23形式的素数可以分解成6个非零平方和-托马斯·谢伊尔2023年2月9日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第870页。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数字理论导论》，第5版，牛津大学出版社，1979年，第219页，第252页。
W.J.LeVeque，《数论专题》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，2卷。，1956年，第1卷，第66页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
Lenore Blum、Manuel Blum和Mike Shub，一种简单的不可预测伪随机数生成器《SIAM计算机杂志》15:2（1986年5月1日），第364-383页。
A.Granville和G.Martin，素数竞赛，arXiv:math/0408319[math.NT]，2004年。
欧内斯特·希布斯，素数的分量相互作用，《国会科技大学博士论文》（2022年），见第33页。
卢卡斯·拉卡萨（Lucas Lacasa）、巴托洛梅·卢克（Bartolome Luque）、伊格纳西奥·戈梅斯（Ignacio Gómez）和奥克塔维奥·米拉蒙特斯（Octavio Miramontes），关于一些素数序列的动力学方法，熵20.2（2018）：131，另见arXiv:1802.08349[math.NT]，2018。
E.T.Ordman，负素数判别式的类数表，存放在数学的未发布数学表文件中。公司。[带注释的扫描部分副本]
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公式
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产品{k>=1}（1+1/a（k））/（1+1/A002144号（k） ）=Pi/（4*A064533号^2) = 1.3447728438248695625516649942427635670667319092323632111110962...
产品{k>=1}（1-1/a（k））/（1-1/A002144号（k） ）=π/（8*A064533号^2） =0.672386421912434781275832497121381785333659546161816055555481…（完）
求和{k>=1}1/a（k）^s=（1/2）*求和{n>=1奇数}莫比乌斯（n）*log（2*（2^（n*s）-1）*（n*s-1）！*zeta（n*s）/（Pi^（n*s）*abs（EulerE（n*s-1）））/n，s>=3奇数-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2020年5月20日
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MAPLE公司
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选项记忆；
如果n=1，则
三；
其他的
a:=下一素数（procname（n-1））；
而mod 4<>3可以
a:=下一素数（a）；
结束do；
返回a；
结束条件：；
结束进程：
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数学
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选择[4范围[150]-1，PrimeQ](*阿隆索·德尔·阿特2013年12月19日*）
选择[Prime@Range[2，110]，Length@Powers Representations[#^2，2，2]==1&]（*或*）
选择[Prime@Range[2，110]，JacobiSymbol[-1，#]==-1&](*罗伯特·威尔逊v2014年5月11日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）表示质数（p=2，1e3，if（p%4==3，print1（p“，”））\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年6月10日
（哈斯克尔）
a002145 n=a002145_列表！！（n-1）
a002145_list=过滤器（（==1）。a010051）[3、7…]
（鼠尾草）
定义A002145号_列表（n）：如果p%4==3，则返回[p代表prime_range（1，n+1）中的p]#彼得·卢什尼2014年7月29日
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经核准的
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1、0、0、8、7、6、1、2、8、4、2、7、6、0、7、7、6、3、8、5、5、9、2、4、1、9、1、9、6、6、9、1、7、5、7、9、2、6、1、9、9、0、6、6、4、3、1、7、7、2、0、6、3、8、9、2、4、4、7、1、7、6、1、2、3、3、6、4、5、9、0，2，1，4，5，4，2，4，7，2，8，4，7，7，9，2，3，8，3，9，6，8，2，9，7，9，1，7，8，9
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第四部分，Springer-Verlag，1994年，第64-65页。
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1.008761284276077638565924191966917577926199...
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a（17）-a（18）来自王金源2020年4月30日
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经核准的
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9, 5, 9, 1, 4, 2, 7, 1, 1, 0, 4, 3, 2, 0, 7, 3, 4, 4, 9, 9, 9, 7, 0, 5, 9, 1, 3, 7, 5, 0, 2, 0, 9, 8, 1, 5, 3, 6, 5, 4, 2, 3, 6, 5, 9, 7, 7, 4, 4, 5, 7, 1, 0, 6, 3, 4, 8, 6, 2, 6, 6, 4, 3, 2, 8, 0, 6, 8, 5, 4, 9, 8, 8, 3, 8, 6, 4, 2, 2, 3, 8, 9, 3, 4, 1, 2, 3, 9, 3, 7, 7, 5, 3, 7, 4, 3, 9, 7, 1, 3, 5, 8, 1, 1, 1, 3
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第四部分，Springer-Verlag，1994年，第64-65页。
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0.959142711043207344999705913750209815365423...
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1, 0, 0, 9, 1, 3, 4, 5, 0, 8, 6, 3, 8, 4, 7, 4, 4, 7, 8, 0, 7, 1, 1, 3, 7, 5, 3, 9, 5, 8, 9, 2, 0, 5, 5, 8, 8, 1, 7, 4, 5, 6, 4, 7, 8, 5, 2, 9, 5, 2, 5, 5, 9, 9, 3, 0, 7, 2, 3, 6, 2, 0, 8, 1, 4, 8, 7, 9, 6, 2, 8, 3, 5, 9, 1, 6, 3, 6, 0, 3, 2, 1, 1, 9, 3, 2, 6, 6, 4, 3, 5, 2, 6, 4, 0, 4, 9, 6, 5, 9, 7, 5, 6, 1, 6
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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通常，对于s>0，Product_{k>=1}（1+1/A007528号（k） ^（2*s+1））/（1-1/A007528号（k） ^（2*s+1））=（1-1/2^（2*s+1））*（3^（2+）-1）*（2*s）！*zeta（2*s+1）/（sqrt（3）*A002114号（s） *Pi^（2*s+1））。
对于s>1，Product_{k>=1}（1+1/A002476号（k） ^s）*（1+1/A007528号（k） ^s）=6^s*zeta（s）/（（2^s+1）*（3^s+1”）*zeta（2*s））。
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1.0091345086384744780711375892395055881745647852。。。
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作者
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经核准的
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1, 0, 1, 2, 8, 4, 9, 7, 3, 7, 5, 0, 3, 6, 5, 8, 2, 4, 1, 0, 5, 3, 7, 3, 8, 8, 0, 9, 6, 3, 0, 1, 1, 2, 0, 3, 9, 6, 8, 4, 5, 0, 4, 2, 1, 6, 5, 5, 3, 8, 6, 9, 4, 5, 0, 9, 2, 2, 2, 1, 4, 4, 1, 8, 1, 9, 1, 3, 4, 1, 5, 6, 6, 9, 0, 0, 5, 5, 2, 5, 7, 1, 6, 6, 4, 2, 4, 8, 6, 1, 2, 7, 5, 4, 1, 3, 0, 2, 9, 9, 9, 3, 4, 4, 9
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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通常，对于s>1，Product_{k>=1}（1+1/A002145号（k） ^s）/（1-1）/A002145号（k） ^s）=2^s*（2^s-1）*泽塔/（泽塔，1/4）-泽塔（s，3/4）。
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第四部分，Springer-Verlag，1994年，第64-65页。
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1.01284973750365824105373880963011203968450421655386945092221...
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1, 0, 0, 4, 1, 8, 1, 8, 1, 6, 7, 7, 0, 8, 5, 6, 6, 9, 0, 3, 8, 8, 7, 2, 6, 9, 7, 6, 5, 6, 5, 8, 5, 6, 9, 6, 0, 6, 3, 1, 5, 8, 1, 9, 5, 0, 6, 3, 6, 7, 4, 3, 2, 8, 8, 2, 8, 3, 4, 2, 4, 9, 7, 6, 8, 6, 9, 7, 7, 9, 4, 4, 9, 6, 4, 3, 9, 9, 3, 8, 0, 8, 1, 9, 9, 2, 1, 4, 5, 9, 3, 8, 0, 5, 7, 9, 0, 0, 6, 2, 3, 4, 5, 2, 5
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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一般来说，对于s>1，乘积_｛k>=1｝（1+1/A002145号（k） ^s）/（1-1）/A002145号（k） ^s）=2^s*（2^s-1）*ζ（s）/（ζ（s，1/4）-ζ（s，3/4））。
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第四部分，Springer-Verlag，1994年，第64-65页。
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1.0041818167708566903887269765658569606315819506367432882834249768697794496439...
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1, 0, 0, 3, 6, 0, 2, 5, 4, 0, 2, 2, 1, 2, 5, 9, 8, 9, 6, 7, 0, 4, 3, 2, 3, 9, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 8, 7, 8, 5, 9, 1, 7, 0, 5, 3, 9, 4, 7, 7, 1, 1, 7, 5, 0, 8, 7, 2, 1, 3, 7, 0, 2, 2, 4, 0, 2, 6, 4, 1, 6, 5, 2, 3, 7, 1, 7, 3, 7, 1, 7, 3, 6, 2, 6, 1, 4, 6, 6, 2, 7, 5, 2, 0, 4, 0, 8, 1, 5, 1, 4, 8, 2, 9, 8, 9, 1, 5, 7
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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通常，对于s>0，Product_{k>=1}（1+1/A002476号（k） ^（2*s+1））/（1-1/A002476号（k） ^（2*s+1））=sqrt（3）*（2*Pi）^（2%s+1）*zeta（2*s+1）*A002114号（s） /（（2^（2*s+1）+1）*（3^（2%s+1）+1）*（2*s）！*泽塔（4*s+2））。
对于s>1，Product_{k>=1}（1+1/A002476号（k） ^s）/（1-1）/A002476号（k） ^s）=（ζ（s，1/6）-ζ（s，5/6））*ζ（s）/（（2^s+1）*（3^s+1）*ζ（2*s））。
对于s>1，Product_{k>=1}（1+1/A002476号（k） ^s）*（1+1/A007528号（k） ^s）=6^s*zeta（s）/（（2^s+1）*（3^s+1”）*zeta（2*s））。
对于s>0，Product_{k>=1}((A007528号（k） ^（2*s+1）-1）/(A007528号（k） ^（2*s+1）+1））*((A002476号（k） ^（2*s+1）+1）/(A002476号（k） ^（2*s+1）-1）=6*A002114号（s） ^2*（4*s+2）！/（2^（4*s+2）-1）*（3^（4*s+2）-1）*Bernoulli（4*s+2）*（2*s）^2） =伯努利（2*s）^2*（4*s+2）！*（zeta（2*s+1，1/6）-zeta（2%s+1，5/6））^2/（8*Pi^2*（2^（4*s+2）-1）*^2*zeta（2*s）^2）。
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公式
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1.0036025402212598967043239333321878591705394771...
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经核准的
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A096018号
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| 模型毕达哥拉斯四倍数；即w^2+x^2+y^2=z^2模n的解的个数。 |
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+10
4
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1, 8, 21, 64, 145, 168, 301, 512, 621, 1160, 1221, 1344, 2353, 2408, 3045, 4096, 5185, 4968, 6517, 9280, 6321, 9768, 11661, 10752, 18625, 18824, 16281, 19264, 25201, 24360, 28861, 32768, 25641, 41480, 43645, 39744, 51985, 52136, 49413, 74240
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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A.H.哈卡米，二次型模p^m的小本原零点、拉曼。J.38（2015）189-198，n=4，det Q=-1，omega_J（y'）=p^（m-J）-p^（mj-1）的引理2.1。
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公式
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a（n）是乘法的。对于素数p的幂，有几种情况。对于p=2，我们有a（2^e）=2^（3e）。对于p==1（mod 4）的奇素数p，我们得到了a（p^e）=p^（2*e-1）*（p^e+1）+p^e-1）。对于p==3（mod 4）和偶数e的奇素数p，我们有a（p^e）=p^（3*e）+（p-1）*p^。对于奇素数p==3（mod 4）和奇素数e，我们有a（p^e）=p^（3*e）-（p-1）*p^。【2018年6月24日修订，R.J.马塔尔]
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MAPLE公司
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a:=1；
对于ifactors（n）[2]do中的pe
p:=op（1，pe）；
e:=操作（2，pe）；
如果p=2，则
a:=a*p^（3*e）；
elif modp（p，4）=1那么
a:=a*p^（2*e-1）*（p^〔e+1〕+p^e-1）；
其他的
如果类型为（e，“偶数”），则
a:=a*（p^（3*e）+（p-1）*p^；
其他的
a:=a*（p^（3*e）-（p-1）*p^，（2*e-1）*（1+p^e）/（1+p））；
结束条件：；
结束条件：；
结束do：
a；
结束进程：
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数学
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表[cnt=0；Do[If[Mod[w^2+x^2+y^2-z^2，n]==0，cnt++]，{w，0，n-1}，{x，0，n-1}；碳纳米管{n，50}]
f[2，e_]：=2^（3*e）；f[p_，e_]：=如果[Mod[p，4]==1，p^（2*e-1）*（p^，e+1）+p^e-1）；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月11日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
M（n，f）={和（i=0，n-1，Mod（x^（f（i）%n），x^n-1））}
a（n）={polcoeff（升力（M（n，i->i^2）^3*M（n、i->-（i^2，））），0）}\\安德鲁·霍罗伊德，2018年6月23日
（PARI）a（n）=｛my（f=因子（n））；prod（i=1，#f~，p=f[i，1]；e=f[i，2]；如果（p=2，2^（3*e），如果（p%4==1，p^（2*e-1）*（p^（e+1）+p^e-1），如果（e%2，p^（3*e）-（p-1）*p^（2*e-1）*（1+p^e）/（1+p），p^（3*e）+（p-1）*p^（2*e-1）*（1-p^e）/（1+p）））））；｝\\阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月21日
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交叉参考
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关键字
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多重,非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1、9、27、49、81、121、243、343、361、441、529、729、961、1089、1323、1331、1849、2187、2209、2401、3087、3249、3267、3481、3969、4489、4761、5041、5929、6241、6561、6859、6889、8649、9261、9747、9801、10609、11449、11907、11979、12167、14283、14641、16129、16641
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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乘法运算结束。
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链接
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公式
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数学
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q[n_]：=n==1||AllTrue[FactorInteger[n]，Mod[First[#]，4]==3&Last[#]>1&]；选择[范围[20000]，q]
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黄体脂酮素
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（PARI）是（n）={my（f=factor（n））；对于（i=1，#f~，if（f[i，1]%4！=3||f[i，2]==1，return（0））；1；}
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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