搜索： a115627-编号：a115627
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0, 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 15, 16, 19, 20, 22, 24, 28, 29, 32, 33, 36, 38, 40, 41, 45, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 60, 65, 67, 69, 71, 75, 76, 78, 80, 84, 85, 88, 89, 92, 95, 97, 98, 103, 105, 108, 110, 113, 114, 118, 120, 124, 126, 128, 129, 133, 134, 136, 139
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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链接
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迈赫迪·哈萨尼，关于n！的分解！变成素数，arXiv:math/0606316[math.NT]，2006-2007年。
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配方奶粉
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G.f.：（1/（1-x））*和{p素数，k>=1}x^（p^k）/（1-x^-伊利亚·古特科夫斯基，2017年3月15日
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例子
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对于n=5，5！=120=2^3*3^1*5^1，所以a（5）=3+1+1=5-N.J.A.斯隆2018年5月26日
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MAPLE公司
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with（numtheory）：with（组合）：a：=proc（n）如果n=0，则0 else bigomega（numberm（n））fi-end:seq（a（n），n=0..63）#零入侵拉霍斯2008年4月11日
#备选方案：
ListTools:-PartialSums（映射（numtheory:-bigomega，[$0..200]）#罗伯特·伊斯雷尔2018年12月21日
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数学
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f[n_]：=如果[n<=1，0，Total[FactorInteger[n]][2]]]；累加[Array[f，100，0]](*T.D.诺伊，2011年4月11日*）
连接[{0}，累加[PrimeOmega[Range[70]]](*哈维·P·戴尔2013年7月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=bigomega（n！）
（PARI）第一个（n）={my（k=0）；向量（n，i，k+=bigomega（i））}
（PARI）a（n）=和（k=1，素数（n），（n-和数（n，素数））/（素数（k）-1）\\丹尼尔·苏图，2018年4月18日
（PARI）a（n）=我的（res=0）；对于素数（p=2，n，cn=n；而（cn>0，res+=（cn\=p））；资源\\大卫·A·科内斯2018年4月27日
（哈斯克尔）
a022559 n=a022559_列表！！n个
a022559_list=扫描（+）0$map a001222[1..]
（Python）
从sympy导入factorint作为pf
定义缺陷（nn）：
alst=[0]
对于范围（1，nn+1）中的n：alst.append（alst[-1]+sum（pf（n）.values（）））
返回alst
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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凯伦·万德尔（kw29（AT）evansville.edu）
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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评论
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Erdős证明存在两个常数c1，c2>0，使得c1（n/log（n））^-卡洛·桑纳，2019年5月28日
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链接
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P.Erdős，数论中的杂项问题《第十一届马尼托巴省数值数学和计算会议论文集》（温尼伯，Man.，1981），国会数值34（1982），25-45。
Randell Heyman和Md Rahil Miraj，关于某些楼层功能集，arXiv:2309.16072[math.NT]，2023-2024。
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配方奶粉
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例子
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n=7:7！=5040 = 2*2*2*2*3*3*5*7; 出现了三个不同的指数：4、2和1；a（7）=3。
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数学
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ffi[x_]：=展平[FactorInteger[x]]lf[x_]:=长度[FactorInteger[x]]ep[x__]：=Table[Part[ffi[x]，2*w]，{w，1，lf[x]}]Table[Length[Union[ep[w！]]，{w，1，100}]
表[Length[Union[Last/@If[n==1，{}，FactorInteger[n！]]]，{n，30}](*古斯·怀斯曼2019年5月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=#集合（因子（n！）[，2]）\\米歇尔·马库斯2017年9月5日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 2, 4, 20, 105, 840, 3960, 51480, 675675, 10810800, 139675536, 2793510720, 58663725120, 1799020903680, 26985313555200, 782574093100800, 25992639520848000, 857757104187984000, 30021498646579440000, 1563341744336692320000, 64179292662243158400000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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n！.素因子多集的置换数！。
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配方奶粉
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例子
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{2,2,2,3,5}的a（5）=20置换：
(22235) (32225) (52223)
(22253) (32252) (52232)
(22325) (32522) (52322)
(22352) (35222) (53222)
(22523)
(22532)
(23225)
(23252)
(23522)
(25223)
(25232)
(25322)
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数学
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表[多项式@@Last/@FactorInteger[n！]，｛n，0，15｝]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000142号,A008480号,A011371号,A022559号,A076934号,A108731号,A115627号,A318762型,A325272型,A325273型,A325508型,A325543型,A325544型,A325609型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A240537型
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| 设a（n）是k的素数幂因式分解中的最小k！素数p_1的指数。。。，pn是偶数，而p（n+1）的指数是奇数。 |
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+10
22
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12, 6, 10, 20, 48, 54, 338, 875, 2849, 1440, 3841, 816, 59583, 101755, 40465, 37514, 409026, 268836, 591360, 855368, 5493420, 9627251, 28953290, 14557116, 7336812, 1475128, 127632241, 531296823, 3028478192, 2435868325, 1092228841, 32377733790, 472077979
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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该序列与一个1980-Erdős-Graham猜想有关，即对于每一个N，都存在一个N，使得在N的素数幂因子分解中！至少N个第一指数是偶数。1997年，D.Berend证明了这一猜想。Y.-G.Chen（2003）给出了一个概括。
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参考文献
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P.Erdős，P.L.Graham，组合数论中的新旧问题和结果，《数学原理》，Imprimerie Kunding，日内瓦，1980年。
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链接
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黄体脂酮素
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（PARI）nbe（n）={my（f=因子（n！）[，2]，nb=0）；对于（i=1，#f，如果（！（f[i]%2），nb++，中断）；）；nb；}
a（n）={my（i=1）；while（nbe（i）！=n，i++）；i；}\\米歇尔·马库斯2018年11月7日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 4, 10, 20, 42, 84, 204, 476, 798, 1596, 3828, 7656, 12276, 24180, 36660, 73320, 120840, 241680, 389424, 785680, 1294440, 2588880, 3848880, 7147920, 11264760, 15926040, 26057304, 52114608, 74421648, 148843296, 187159392, 340949280, 527531760, 926505360
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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例子
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我们有7个！=2^4*3^2*5^1*7^1，所以a（7）=素数（4）*prime（2）*prim（1）*price（1）=84。
术语序列及其基本指数开始于：
1: {}
1: {}
2: {1}
4: {1,1}
10: {1,3}
20: {1,1,3}
42: {1,2,4}
84: {1,1,2,4}
204: {1,1,2,7}
476: {1,1,4,7}
798: {1,2,4,8}
1596: {1,1,2,4,8}
3828: {1,1,2,5,10}
7656: {1,1,1,2,5,10}
12276: {1,1,2,2,5,11}
24180: {1,1,2,3,6,11}
36660: {1,1,2,3,6,15}
73320: {1,1,1,2,3,6,15}
120840: {1,1,1,2,3,8,16}
241680: {1,1,1,1,2,3,8,16}
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数学
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表[Times@@Prime/@Last/@If[（n！）==1，{}，FactorInteger[n！]]，{n，0，30}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000142号,A011371号,A022559号,A056171号,A071626号,A076934号,15627年,A118914号,A122111号,A135291号,A181819号,A307035型,A323014型,A325272型,A325273型,A325276型,A325509型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 2, 5, 1, 7, 4, 9, 5, 11, 2, 13, 7, 15, 8, 17, 3, 19, 10, 21, 11, 23, 1, 25, 13, 27, 14, 29, 5, 31, 16, 33, 17, 35, 6, 37, 19, 39, 20, 41, 7, 43, 22, 45, 23, 47, 2, 49, 25, 51, 26, 53, 9, 55, 28, 57, 29, 59, 10, 61, 31, 63, 32, 65, 11, 67, 34, 69, 35, 71
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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等价地，n除以n的最大阶乘因子。
另外，最小的r使得n/r是阶乘数。
让我来=A055874号（n） ，最大整数，使得1,2，。。。，m除以n。然后a（n*m！）=n，因为m+1不除以n，这表明每个整数都是序列的一部分-艾蒂安·杜普伊斯2020年9月19日
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链接
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配方奶粉
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求和{k=1..n}a（k）~c*n^2/2，其中c=BesselI（2,2）=0.688948(229020元). （结束）
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数学
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表[n/Max@@Intersection[Divisors[n]，Array[Factorial，n]]，{n，100}](*古斯·怀斯曼2019年5月15日*）
a[n_]：=模[{k=1}，而[n，k！]，k++]；n/（k-1）！]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年12月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）第一个（n）={my（res=[1..n]）；对于（i=2，oo，k=i！）；如果（k<=n，对于（j=1，n\k，res[j*k]=j），返回（res））}\\大卫·A·科内斯2020年9月19日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A090622号
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| 由k除以n的最高幂反对角线读取的平方数组！（n，k>1）。 |
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+10
18
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1, 0, 1, 0, 1, 3, 0, 0, 1, 3, 0, 0, 1, 1, 4, 0, 1, 0, 1, 2, 4, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 7, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 7, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 3, 4, 8, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 3, 4, 8, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 4, 4, 10, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 4, 2, 4, 5, 10, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 4, 2, 5, 5, 11, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 4, 2, 5, 5, 11
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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2,6
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链接
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配方奶粉
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对于k=p素数：T（n，p）=[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+。。。。对于k=p^m，一个素数幂：T（n，p^m）=[T（n、p）/m]。对于k=b*c与b和c互质：T（n，a*b）=min（T（n、a），T（n），b））。T（n，k）接近但低于n/A090624号（k） ●●●●。
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例子
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方形数组开始：
1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, ...
3, 1, 1, 0, 1, 0, 1, ...
3, 1, 1, 1, 1, 0, 1, ...
4, 2, 2, 1, 2, 0, 1, ...
4, 2, 2, 1, 2, 1, 1, ...
7, 2, 3, 1, 2, 1, 2, ...
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MAPLE公司
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f： =proc（n，p）局部c，k；c、 k:=0，p；
而n>=k做c：=c+iquo（n，k）；k： =k*p od；c（c）
结束时间：
T： =（n，k）->min（seq（iqoo（f（n，i[1]），i[2]），i=i因子（k）[2]）：
seq（seq（T（n，2+d-n），n=2..d），d=2..20）#阿洛伊斯·海因茨2012年10月4日
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数学
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f[n_，p_]：=模[{c=0，k=p}，而[n>=k，c=c+商[n，k]；k=k*p]；c）；t[n_，k_]：=最小值[表[商[f[n，i[[1]]，i[[2]]，{i，因子整数[k]}]]；表[表[t[n，2+d-n]，{n，2，d}]，{d，2，20}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2013年10月3日，译自Alois P.Heinz的Maple程序*）
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交叉参考
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列包括A011371号,A054861号,A090616号,A027868号,A054861号,A054896号,A090617号,A090618号,A027868号,A064458号,A090619号,A090620型,A054896号,A027868号,A090621美元.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A325618飞机
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| 对m进行计数，使得存在m的整数分区，该整数分区的阶乘和为1。 |
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+10
11
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1, 4, 11, 18, 24, 31, 37, 44, 45, 50, 52, 57, 58, 65, 66, 70, 71, 73, 76, 78, 79, 83, 86, 87, 89, 91, 92, 94, 96, 97, 99, 100, 102, 104, 107, 108, 109, 110, 112, 113, 114, 115, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 126, 127, 128, 130, 131
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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整数分区（y_1，…，y_k）的阶乘和的倒数是1/y_1！+…+1/y_k！。
推测：137是这个序列中最大的整数-查理·内德2019年5月14日
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链接
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例子
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项的序列以及每个项的整数分区（其阶乘和的倒数为1）开始于：
1: (1)
4: (2,2)
11: (3,3,3,2)
18: (3,3,3,3,3,3)
24: (4,4,4,4,3,3,2)
31: (4,4,4,4,3,3,3,3,3)
37: (4,4,4,4,4,4,4,4,3,2)
44: (4,4,4,4,4,4,4,4,3,3,3,3)
45: (5,5,5,5,5,4,4,4,3,3,2)
50: (4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,2)
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交叉参考
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反比阶乘和：A002966号,A051908年,A058360型,A316854型,A316855型,A325619型,A325620型,A325621型,A325622型,A325623型,A325624型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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a（11）-a（55）来自查理·内德2019年5月14日
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状态
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经核准的
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A060175号
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| 表T（n，k）是由除以n的第k素数最大幂指数的反对偶得到的。 |
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+10
9
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0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,0, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1, 10
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（12,1）=2，因为4=2^2=p_1^2除以12，但8=2^3没有。
a（12,2）=1，因为3=p_2除以12，但9=3^2不这样做。
阵列的左上角：
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
...
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数学
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T[n_，k_]：=整数指数[n，素数[k]]；
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黄体脂酮素
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（方案）
（定义（A249344双列）（让（（p(A000040型行））（let loop（（n col）（i 0））（cond（（not（zero？（module n p）））i）（else（loop（/n p）（+i 1））））
（Python）
从sympy导入质数
定义a（n，k）：
p=素数（n）
i=z=0
当p**i<=k时：
如果k%（p**i）==0:z=i
i+=1
返回z
对于范围（1,10）中的n：打印（[a（n-k+1，k）对于范围（1，n+1）中的k）]）#因德拉尼尔·戈什2017年6月24日
（PARI）a（n，k）=估值（n，质数（k））\\米歇尔·马库斯2017年6月24日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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更正了错误示例，计算了更多术语安蒂·卡图恩2014年10月28日
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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链接
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配方奶粉
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例子
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n=10：
(6*120*5040)
(720*5040)
(3628800)
n=16：
(2*2*2*2*1307674368000)
(2*120*87178291200)
(20922789888000)
n=24：
(2*2*6*25852016738884976640000)
(24*25852016738884976640000)
(620448401733239439360000)
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数学
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facs[n_，u_]：=如果[n<=1，{{}}，连接@@表[Map[Prepend[#，d]&，选择[facs[n/d，u]，Min@@#>=d&]]，{d，交集[u，Rest[Divisors[n]]}]]；
表[Length[facs[n！，Rest[Array[#！&，n]]]，{n，15}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000142号,A011371号,A022559号,A034876号,A034878号,A076934号,A109100标准,A109101号,A109102号,A115627号,A135291美元,A322583型,A325272型,A325273型,A325276型,A325508型,325510美元,A325511型.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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