显示找到的31个结果中的1-10个。
1, 1, 3, 7, 18, 42, 104, 244, 585, 1373, 3233, 7533, 17547, 40591, 93711, 215379, 493735, 1127979, 2570519, 5841443, 13243599, 29953851, 67604035, 152258271, 342253980, 767895424, 1719854346, 3845443858
评论
最初的Sloane-Wieder定义“为了获得层次排序，我们将元素划分为未标记的非空子集，并形成每个子集的组合”[arXiv:math/0307064]有两种可能的含义。第一个可能的含义是，我们应该（1）选择{1…n}的集合分区pi，（2）为每个pi块选择元素数的组合。在这种情况下，这种结构的正确数量显然可以通过A004211号对于n>2，这与a（n）不同。
另一个可能的意思是，在我们完成上述（1）和（2）之后，我们（3）“忘记”圆周率的选择。我们将制作一个多组作文集M。M（其不同元素集）的跨度正确计算为A034691号而且似乎未标记集的非同构层次序只不过是合成的多集。这一发现归功于维德。（结束）
N.J.A.Sloane和Thomas Wieder的文章“层次序的数量”（定理3）中的渐近公式不正确（缺少1.397的乘数……，请参阅我下面的公式）-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年9月8日
将n划分为1类1、2类2、4类3……的分区数。。。，2^（k-1）种k-乔格·阿恩特2014年9月9日
还有权为n的正规多集划分数，其中，如果一个多集跨越了正整数的初始区间，则它是正规的-古斯·怀斯曼2016年3月3日
链接
N.J.A.Sloane和Thomas Wieder，层次排序的数量，arXiv:math/0307064[math.CO]，2003；第21号命令（2004年），83-89。
配方奶粉
G.f.：1/乘积_{n>=1}（1-x^n）^（2^（n-1））。
递归：a（n）=（1/n）*和{m=1..n}a（n-m）*c（m）其中c（m=A083413号（m） ●●●●。
例子
a（4）=18:{{1111}，{1222}，}1122}、{1112}和{1233}的正规多集划分},{1,123},{11,11},{11,12},{12,12},{1,1,11},{1,1,12},{1,1,1,1}}
MAPLE公司
oo:=101:mul（1/（1-x^j）^（2^（j-1）），j=1..oo）：序列（%，x，oo）:t1:=序列列表（%）；A034691号：=n->t1[n+1]；
带（combstruct）；SetSeqSetU:=[T，{T=集合（S），S=序列（U，卡>=1），U=集合（Z，卡>=1）}，未标记]；seq（计数（SetSeqSetU，大小=j），j=1..12）；
a:=EulerTransform（二进制递归序列（2,0））：
seq（a（n），n=0..27）#彼得·卢什尼，2022年11月17日
数学
nn=30；b=表[2^n，{n，0，nn}]；系数列表[系列[积[1/（1-x^m）^b[[m]]，{m，nn}]，{x，0，nn}]，x](*T.D.诺伊2011年11月21日*）
表[级数系数[E^（总和[x^k/（1-2*x^k）/k，{k，1，n}]），{x，0，n}，{n，0，30}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年9月8日*）
allnorm[n_Integer]：=函数[s，数组[Count[s，y_/；y<=#]+1&，n]]/@子集[Range[n-1]+1]；
所有nmsp[0]={}；所有nmsp[1]={{1}}；allnmsp[n_Integer]：=allnmsp[n]=Join[allnmsp[n-1]，List/@allnorm[n]，Join@@Function[ptn，Append[ptn、#]&/@Select[allnorm[n-Length[Join@@ptn]]，OrderedQ[{Last[ptn]，#}]&]/@allnmsp[n-1]]；
应用[SequenceForm，Select[allnmsp[4]，Length[Join@@#]===4&]，{2}]（*构造示例*）
表[长度[补码[allnmsp[n]，allnmsp[n-1]]，{n，1，8}](*古斯·怀斯曼2016年3月3日*）
黄体脂酮素
（平价）A034691号（n，l=1+O（'x^（n+1）））={polceoff（1/prod（k=1，n，（l-'x^k）^2^（k-1）），n）}\\迈克尔·索莫斯2011年11月21日，编辑M.F.哈斯勒2017年7月24日
a=二进制递归序列（2,0）
b=欧拉变换（a）
打印（[b（n）表示范围（30）内的n）]#彼得·卢什尼2020年11月11日
指数Riordan数组[1,1/（2-e^x）-1]。
+10
68
1, 0, 1, 0, 3, 1, 0, 13, 9, 1, 0, 75, 79, 18, 1, 0, 541, 765, 265, 30, 1, 0, 4683, 8311, 3870, 665, 45, 1, 0, 47293, 100989, 59101, 13650, 1400, 63, 1, 0, 545835, 1362439, 960498, 278901, 38430, 2618, 84, 1, 0, 7087261, 20246445, 16700545, 5844510, 1012431, 92610, 4494, 108, 1
评论
这也是Stirling集数和无符号Lah数的矩阵乘积。
配方奶粉
T（n，k）=n/k！*[x^n]（1/（2-exp（x））-1）^k-阿洛伊斯·海因茨2015年4月17日
例子
数字三角形开始：
1;
0, 1;
0, 3, 1;
0, 13, 9, 1;
0, 75, 79, 18, 1;
0, 541, 765, 265, 30, 1;
...
MAPLE公司
T： =（n，k）->n*系数（级数（（1/（2-exp（x））-1）^k/k！，x、 n+1），x，n）：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..10）#阿洛伊斯·海因茨2015年4月17日
BellMatrix（n->polylog（-n-1，1/2）/2，9）#彼得·卢什尼2016年1月29日
数学
T[n_，k_]：=n*级数系数[（1/（2-经验[x]）-1）^k/k！，{x，0，n}]；
RiordanArray[d_，h，n]：=RiordanArray[d，h，n，False]；
RiordanArray[d_Function | d_Symbol，h_Function | h_Symbol，n_，exp_：（True | False）]：=模块[{M，td，th，k，M}，
M[_，_]=0；
td=PadRight[系数列表[d[x]+O[x]^n，x]，n]；
th=PadRight[系数列表[h[x]+O[x]^n，x]，n]；
对于[k=0，k<=n-1，k++，M[k，0]=td[[k+1]]]；
对于[k=1，k<=n-1，k++，
对于[m=k，m<=n-1，m++，
M[M，k]=总和[M[j，k-1]*th[[M-j+1]]，{j，k-1，M-1}]]；
如果[exp，
u=1；
对于[k=1，k<=n-1，k++，
u*=k；
对于[m=0，m<=k，m++，
j=如果[m==0，u，j/m]；
M[k，M]*=j]]]；
表[M[M，k]，{M，0，n-1}，{k，0，M}]]；
黄体脂酮素
（鼠尾草）
定义数组（d，h，n，exp=false）：
定义泰勒列表（f，n）：
t=SR（f）.taylor（x，0，n-1）.list（）
返回t+[0]*（n-len（t））
td=泰勒列表（d，n）
th=泰勒列表（h，n）
M=矩阵（QQ，n，n）
对于k in（0..n-1）：M[k，0]=td[k]
对于k in（1..n-1）：
对于m in（k..n-1）：
M[M，k]=相加（M[j，k-1]*th[M-j]代表j in（k-1..M-1））
如果出口：
u=1
对于k in（1..n-1）：
u*=k
对于m in（0..k）：
如果m==0，则j=u，否则j/m
M[k，M]*=j
返回M
优先数组（1,1/（2-exp（x））-1,8，exp=真）
#作为矩阵产品：
定义Lah（n，k）：
如果n==k：返回1
如果k<0或k>n：返回0
返回（k*n*伽马（n）^2）/（伽马（k+1）^2*伽玛（n-k+1））
矩阵（ZZ，8，stirling_number2）*矩阵（ZZ8，Lah）
1, 1, 3, 11, 49, 257, 1539, 10299, 75905, 609441, 5284451, 49134923, 487026929, 5120905441, 56878092067, 664920021819, 8155340557697, 104652541401025, 1401572711758403, 19546873773314571, 283314887789276721, 4259997696504874817, 66341623494636864963
评论
第二二项式变换的g.f.是1/（1-2x-x/（1-2x/（1-2x-x/（1-4x/（1-2x-x/（1-6x/（1-2x-x/（1-8x/（1-…）（续分数）））-保罗·巴里2009年12月4日
长度-n限制增长字符串（RGS）[s（0），s（1），…，s（n-1）]，其中s（k）<=F（k）+2，其中F（0）=0，如果s（k+1）-s（k）=2，则F（k+1）=s（k+1），否则F（k+1）=F（k）；请参阅示例和Fxtbook链接-乔格·阿恩特2011年4月30日
看起来，“在N阶二项式变换下左移1位”序列的无限集的生成矩阵为：
1，N，0，0。。。
1、1、N、0、0。。。
1、2、1、N、0。。。
1、3、3、1、N。。。
文字逻辑等式的n元非传统连词数（模逻辑等价）。
等价地，具有回文真向量的n元非约束Krom公式的个数（模逻辑等价）。
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
詹纳尔·贝里克基（Zhanar Berikkyzy）、帕梅拉·哈里斯（Pamela E.Harris）、潘安娜·潘（Anna Pun）、凯瑟琳·燕（Catherine Yan）和赵晨晨（Chenchen Zhao），关于整数序列的极限摆动表，arXiv:2208.13091[math.CO]，2022。
詹纳尔·贝里克基（Zhanar Berikkyzy）、帕梅拉·哈里斯（Pamela E.Harris）、潘安娜·潘（Anna Pun）、凯瑟琳·燕（Catherine Yan）和赵晨晨（Chenchen Zhao），摆动表的组合恒等式，arXiv:2308.14183[数学.CO]，2023。见第22、29页。
David Callan（投标人），问题11567阿默尔。数学。月刊，118（2011），371-378。
I.M.Gessel，经典本影演算的应用，arXiv:math/0108121v3[math.CO]，2001年。
阿达尔伯特·科伯（Adalbert Kerber），与对称群有关的组合数矩阵，离散数学。，21 (1978), 319-321.
阿达尔伯特·科伯（Adalbert Kerber），与对称群有关的组合数矩阵<，离散数学。，21 (1978), 319-321. [带注释的扫描副本]
配方奶粉
例如，A（x）满足A'（x）/A（x）=E^（2x）。
例如：exp（sinh（x）*exp（x））=exp（积分{t=0..x}exp（2*t））=exp（（exp（2*x）-1）/2）-乔格·阿恩特2011年4月30日和2011年5月13日
通用公式：和{k>=0}x^k/产品{j=1..k}（1-2*j*x）-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月18日
O.g.f.：A（x）=1/（1-x-2*x^2/（1-3*x-4*x^2/（1-5*x-6*x^ 2/（1-…-（2*n-1）*x-2*n*x^2-（1-…））））（续分数）-保罗·D·汉纳2006年1月17日
定义f_1（x）、f_2（x）。。。当n=2,3，。。。。那么a（n）=e^（-1/2）*2^{n-1}*f_n（1/2）-米兰Janjic2008年5月30日
G.f.：1/（1-x/（1-2x/（1-×/（1-4x/-保罗·巴里2009年12月4日
a（n）=M^n中的左上项，M=在帕斯卡三角形右侧附加对角线（2,2,2，…）的无限平方生产矩阵：
1, 2, 0, 0, 0, ...
1, 1, 2, 0, 0, ...
1, 2, 1, 2, 0, ...
1, 3, 3, 1, 2, ...
a（n）=D^n（exp（x）），在x=0时计算，其中D是运算符（1+2*x）*D/dx。囊性纤维变性。A000110号. -彼得·巴拉2011年11月25日
G.f.A.（x）满足A（x）=1+x/（1-2*x）*A（x/（1-2*x）），A（n）=Sum_{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*2^（n-k）*A（k-1）、A（0）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁，2011年11月28日【由伊利亚·古特科夫斯基2019年5月2日]
递归方程：a（n+1）=Sum_{k=0..n}2^（n-k）*C（n，k）*a（k）。
字面意思是a（n+1）=（a+2）^n（展开二项式并用a（k）替换a^k）。更一般地说，对于任何多项式f（x），a*f（a）=f（a+2）都不成立。然后，归纳论点建立本影递归a*（a-2）*（a-4）**（a-2*（n-1））＝1，其中a（0）＝1。与贝尔数B（n）进行比较=A000110号（n） ，满足本影递归B*（B-1）**（B-（n-1））=1，B（0）=1。囊性纤维变性。A009235型.
Touchard同余成立：对于奇素数p，a（p+k）==（a（k）+a（k+1））（mod p）对于k=0,1,2，。。。（采用Gessel中定理10.1的证明）。特别地，奇素数p（End）的a（p）==2（mod p）
G.f.：（2/E（0）-1）/x，其中E（k）=1+1/（1+2*x/（1-4*（k+1）*x/E（k+1；（连分数，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年9月20日
G.f.：（1/E（0）-1）/x，其中E（k）=1-x/（1+2*x-2*x*（k+1）/E（k+1；（连分数，2步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年9月21日
G.f.:G（0）-1/x，其中G（k）=1-（4*x*k-1）/（x-x^4/（x^3-（4*x*k-1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月8日。
G.f.：（G（0）-1）/（x-1），其中G（k）=1-1/（1-2*k*x）/（1-x/（x-1/G（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月15日
G.f.:-G（0），其中G（k）=1+2*（1-k*x）/（2*k*x-1-x*（2*k*x-1）/（x-2*（1-k*x）/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月29日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x/（1-2*x*（2*k+1）/（1-x/（1-4*x*，k+1）/Q（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月15日
G.f.：1+x/Q（0），其中Q（k）=1-x*（2*k+3）-x^2*（2xk+2）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月5日
对于n>0，a（n）=exp（-1/2）*Sum_{k>0}（2*k）^n/（k！*2^k）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年5月9日
G.f.：-（1+（2*x+1）/G（0））/x，其中G（k）=2*x*k-x-1-2*（k+1）*x^2/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月20日
G.f.：T（0）/（1-x），其中T（k）=1-2*x^2*（k+1）/（2*x^2*（k+1）-（1-x-2*x*k）*（1-3*x-2*x*k）/T（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月19日
a（n）~2^n*n^n*exp（n/LambertW（2*n）-n-1/2）/（sqrt（1+LambertW（2*n））*LambertW*n）^n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年1月7日，简化为2022年10月1日
例子
限制增长字符串：a（0）=1对应于空字符串；
a（1）=1至[0]；a（2）=3至[00]、[01]和[02]；a（3）=11至
RGS函数
[ 1] [ 0 0 0 ] [ 0 0 0 ]
[ 2] [ 0 0 1 ] [ 0 0 0 ]
[ 3] [ 0 0 2 ] [ 0 0 2 ]
[ 4] [ 0 1 0 ] [ 0 0 0 ]
[ 5] [ 0 1 1 ] [ 0 0 0 ]
[ 6] [ 0 1 2 ] [ 0 0 2 ]
[ 7] [ 0 2 0 ] [ 0 2 2 ]
[ 8] [ 0 2 1 ] [ 0 2 2 ]
[ 9] [ 0 2 2 ] [ 0 2 2 ]
[10] [ 0 2 3 ] [ 0 2 2 ]
[11] [ 0 2 4 ] [ 0 2 4 ]. （结束）
文字逻辑等式的11个三元非传统连词是（x<->y）/（y<->z），（~x<->y）/\（y<->z），>z）/\（y<->y），（y<->z）/_（x<->x），（~y<->z）/\（x<->x），和（x<->x）/（y<->y）/（z<->z）（模逻辑等价）。
第三个完整的Bell多项式是x^3+3xy+z；注意（2^0）^3+3*2^0*2^1+2^2=11。
（x<->y）/\（y<->z）的真向量10000001是回文的。（结束）
MAPLE公司
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，相加(
a（n-j）*二项式（n-1，j-1）*2^（j-1），j=1..n））
结束时间：
#第二个Maple项目：
a： =n->完成BellB（n，seq（2^k，k=0..n））：
数学
表[Sum[StirlingS2[n，k]2^（-k+n），{k，n}]，{n，16}](*沃特·梅森*)
黄体脂酮素
（PARI）x='x+O（'x^66）；
egf=exp（整数形式（exp（2*x）））；/*=1+x+3/2*x^2+11/6*x^3+*/
/*egf=exp（1/2*（exp（2*x）-1））*//*备选方案，例如f*/
Vec（塞拉普拉斯（egf））/*乔格·阿恩特2011年4月30日*/
（最大值）
a（n）：=如果n=0，则1其他和（2^（n-k）*二项式（n-1，k-1）*a（k-1），k，1，n）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年11月28日*/
（SageMath）
定义A004211号（n） ：（0..n）中k的返回和（2^（n-k）*stirling_number2（n，k））
可以由n个未标记元素组成的不同层次顺序的数量，这些元素没有重复的子层次结构。
+10
25
1, 1, 2, 6, 13, 33, 78, 186, 436, 1028, 2394, 5566, 12877, 29689, 68198, 156194, 356599, 811959, 1843956, 4177436, 9442166, 21295934, 47932572, 107677140, 241443980, 540441068, 1207689636, 2694452060, 6002389882, 13351958546, 29659179804, 65794744420, 145768641091
链接
N.J.A.Sloane和Thomas Wieder，层次排序的数量，arXiv:math/0307064[math.CO]，2003；第21号命令（2004年），83-89。
配方奶粉
a（n）=Sum_{partitions n=s_1+…+s_n}Product_{Set{s_i}}C（2^（s_i-1），m（s_i）），其中和遍历n的所有分区，积遍历给定分区的部分集，s_i是部分集的第i部分，C（k，l）表示二项式系数，m（s1）是给定分区中部分s_i的重数。
G.f.：产品{k>=1}（1+x^k）^（2^（k-1））-弗拉德塔·乔沃维奇2008年2月19日
a（n）~2^n*exp（sqrt（2*n）-1/4+c）/（sqrt（2*Pi）*2^（3/4）*n^（3/4）），其中c=Sum_{k>=2}-（-1）^k/（k*（2^k-2））=0.20753091864117743551169251314627032059-瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年6月8日
例子
让一对括号（）表示一个次层级，让方括号[]表示一组次层级，即一个层级（也称为社会）。让等级从左到右排序，并用冒号分隔；例如，（2:3）是一种分等级制度，上面有三个元素（“个人”），下面有两个元素。
然后，n=4的层次排序由以下集合组成：[（1:1），（2）]；[(1),(3)]; [(1),(1:1:1)]; [(1),(2:1)]; [(1),(1:2)]; [(4)]; [(2:2)]; [(1:3)]; [(3:1)]; [(1:1:2)]; [(1:2:1)]; [(2:1:1)]; [(1:1:1:1)]; 因此a（4）=13。
例如，不允许使用以下层次结构：[（1）、（1），（1）和（1）]，因为（1）重复。
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main:=proc（n:：integer）local a，ListOfPartitions，NumberOfPartifications，APartition，APart，ASet，MultipilityOfAPart、ndxprttn，ndxprt，Term，Produkt；with（组合）：with（ListTools）：a：=0；分区列表：=分区（n）；分区数：=nops（分区列表）；对于从1到NumberOfPartitions的ndxprttn，执行APartition:=ListOfPartifications[ndxprtntn]；A集合：=转换（A分区，集合）；产品：=1；对于从1到nops的ndxprt（ASet），执行APart:=op（ndxprt，ASet）；APart:=发生次数（APart，APartition）；期限：=2^（APart-1）；术语：=二项式（术语，APart乘数）；Produkt:=Produkt*术语；#do-loop***ndxprt***结束。结束do；a:=a+Produkt；#do-loop***ndxprttn***结束。结束do；打印（“n，a（n）：”，n，a）；终末程序；
分区列表：=proc（n，k）#作者：#Herbert S.Wilf和Joanna Nordlicht，#来源：#讲稿“东区西区……”#美国宾夕法尼亚大学，2002年。#可从以下位置获得http://www.cis.upenn.edu/~wilf/lecnotes.html#Berechnet die Partitionen von n mit k Summanden。当地东、西；如果n<1或k<1或n<k，则返回（[]）elif n=1，然后返回（[[1]），否则如果n<2或k<2或n<k，则西部：=[]else西部：=map（proc（x）options操作符，箭头；[op（x），1]end proc，PartitionList（n-1，k-1））end if；如果k<=n-k，则East:=map（proc（y）选项操作符，箭头；map（proc（x）选项操作符，箭头；x+1 end proc，y）end prog，PartitionList（n-k，k））else East:=[]end if；如果结束进程，则返回（[op（西），op（东）]）结束；
#第二个Maple项目：
系列（exp（加（（-1）^（j-1）/j*z^j/（1-2*z^j），j=1..40）），z，40）；#囊性纤维变性。A102866号;弗拉德塔·乔沃维奇2008年2月19日
#备选Maple计划：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0或i=1，`if`（n>1，0，1），
加（b（n-i*j，i-1）*二项式（2^（i-1），j），j=0..n/i））
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
数学
nmax=40；系数列表[级数[Exp[Sum[-（-1）^k*x^k/（k*（1-2 x^k）），{k，1，nmax}]]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年6月8日*）
1, 2, 7, 20, 59, 162, 449, 1200, 3194, 8348, 21646, 55480, 141152, 356056, 892284, 2221208, 5497945, 13533858, 33151571, 80826748, 196219393, 474425518, 1142758067, 2742784304, 6561052331, 15645062126, 37194451937, 88174252924, 208463595471, 491585775018
链接
N.J.A.Sloane和Thomas Wieder，层次排序的数量第21号命令（2004年），第83-89页。
G.S.Venkatesh和Kurusch Ebrahimi-Fard，乘法动态反馈的形式幂级数方法，arXiv:2301.04949[math.OC]，2023年。
配方奶粉
G.f.：1/产品{n>0}（1-x^n）^（2^n）-托马斯·维德2005年3月6日
a（n）~c^2*2^（n-1）*exp（2*sqrt（n）-1/2）/（sqrt，Pi）*n^（3/4）），其中c=A247003型=exp（和{k>=2}1/（k*（2^k-2）））=1.3976490050836502-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月9日
通用公式：exp（2*Sum_{k>=1}x^k/（k*（1-2*x^k）））-伊利亚·古特科夫斯基2018年11月9日
例子
a（2）=7，因为多集是{a，a}，{b，b}，}，aa}，ab}，ba}，bb}；
a（3）=20，因为多集是{a，a，a}，{b，b，b}，}，b}；
其中每个multiset中的单词用逗号分隔。（结束）
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系列（1/产品（（1-x^（n））^（2^（n）），n=1..20），x=0，12）；（维德）
#第二个Maple项目：
带有（数字理论）：
a： =proc（n）选项记忆；
`如果`（n=0，1，add（add（d*2^d，d=除数（j））*a（n-j），j=1..n）/n）
结束时间：
数学
nn=20；p=乘积[1/（1-x^i）^（2^i），{i，1，nn}]；系数列表[系列[p，{x，0，nn}]，x](*杰弗里·克雷策2012年3月7日*）
黄体脂酮素
（PARI）m=50；x='x+O（'x^m）；Vec（prod（k=1，m，1/（1-x^k）^（2^k））\\G.C.格鲁贝尔2018年11月9日
（岩浆）m:=50；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（&*[1/（1-x^k）^（2^k）：k in[1..m]]））//G.C.格鲁贝尔2018年11月9日~
交叉参考
囊性纤维变性。A034691号，1、2、4、8、16、32、64…的Euler变换。。。
0, 1, 4, 13, 38, 104, 272, 688, 1696, 4096, 9728, 22784, 52736, 120832, 274432, 618496, 1384448, 3080192, 6815744, 15007744, 32899072, 71827456, 156237824, 338690048, 731906048, 1577058304, 3388997632, 7264534528, 15535702016
评论
我们可以要求n个元素的所有未标记层次结构之间的一步转换（NOOST）数量，但不允许使用子层次结构。例如，考虑n=4和层次结构H1=[[2,2]，其中两个元素位于级别1上，两个位于级别2上。从H1开始，层次结构[[1，3]]、[[2，1，1]]、[1，2，1]只能通过移动一个元素来达到，但[[1、1、2]]不能通过一步转换达到。解为n=1，NOOST=0；n=2，NOOST=1；n＝3，NOOST＝4；n=4，NOOST=13；n=5，NOOST=38；n=6，NOOST=104；n=7，NOOST=272；n=8，NOOST=688；n=9，NOOST=1696。这是顺序A049611号. -托马斯·维德2004年2月28日
如果X_1、X_2，。。。，X_n是（2n+2）-集X的2个块，那么对于n>=1，a（n+1）是与每个X_i（i=1,2，…，n）相交的X的（n+2，子集的数目-米兰Janjic2007年11月18日
在整数n的每个组成部分（有序分区）中，将第一个和圈一次，将第二个和圈两次，等等。a（n）是n的所有组成部分中的圆圈总数（即将每个组成部分的k*（k+1）/2加到k个部分中）。注意，O.g.f.是B（A（x）），其中A（x）=x/（1-x）和B。
链接
Robert Davis、Greg Simay、，双色调瓷砖的进一步组合和应用，arXiv:20011.1089[math.CO]，2020年。
M.Janjic和B.Petkovic，计数函数，arXiv预印本arXiv:1301.4550[math.CO]，2013.-发件人N.J.A.斯隆2013年2月13日
S.Kitaev、J.Remmel、，p-递增序列，arXiv:1503.00914[math.CO]，2015年。
配方奶粉
通用格式：x*（1-x）^2/（1-2*x）^3。
四分之一平方的二项式变换A002620型（n+1）：a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*楼层（k+1）^2/4）-保罗·巴里2003年5月27日
a（n）=2^（n-4）*（n^2+5*n+2）-0^n/8-保罗·巴里，2003年6月9日
对于n>0，a（n）=Hyper2F1（[-n+1，3]，[1]，-1）-彼得·卢什尼2014年8月2日
数学
系数列表[级数[x（1-x）^2/（1-2x）^3，{x，0，40}]，x](*哈维·P·戴尔2013年9月24日*）
黄体脂酮素
（PARI）连接（0，Vec（x*（1-x）^2/（1-2*x）^3+O（x^99））\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年6月12日
n个集合[1,2,3，…，n]的集合分区的优先安排数。
+10
20
1, 1, 4, 23, 175, 1662, 18937, 251729, 3824282, 65361237, 1241218963, 25928015368, 590852003947, 14586471744301, 387798817072596, 11046531316503163, 335640299372252595, 10835556229612637150, 370383732831919278037, 13363914680277923634517
链接
K.A.Penson、P.Blasiak、G.Duchamp、A.Horzela和A.I.Solomon，基于替换的层次Dobinski型关系与矩问题，arXiv:quant-ph/03122022003；《物理学杂志》。A 37（2004），3475-3487。
N.J.A.Sloane和Thomas Wieder，层次排序的数量，arXiv:math/0307064[math.CO]，2003；第21号命令（2004年），83-89。
配方奶粉
例如：1/（2-exp（exp（x）-1））。
用Maple表示法表示为双无穷级数（Dobinski型公式）：a（n）=和（k^n/k！*和（p^k/（2*exp（1））^p，p=1..无穷大），k=1..无穷）/2，n=1，2-卡罗尔·彭森和Pawel Blasiak（Blasiak（AT）lptl.jussieu.fr），2003年11月30日
a（n）~n/（2*c*（log c）^（n+1）），其中c=1+log 2。
a（n）=和{k=1..n}C（n，k）*Bell（k）*a（n-k）-弗拉德塔·乔沃维奇，2003年7月24日
a（n）=求和{i=1..n}求和{j=1..i}j*搅拌2（i，j）*搅拌2（n，i）-托马斯·维德2005年5月9日
a（n）=Sum_{k>=0}Bell（n，k）/2^（k+1），其中Bell（n，x）=Sum _{k=0..n}Stirling2（n，k）*x^k表示第n个Bell多项式或指数多项式-彼得·巴拉2014年7月9日
例子
让冒号“：”作为两个级别之间的分隔符。例如，在{1,2,}:{3}中，集合{1,2}位于第一级，集合{3}:位于第二级。
n=2给出A083355号（2） =4，因为我们有{1,2}{1}{2}{1}:{2}{2}:{1}。
{1,2,3}
{1,2}{3} {1,2}:{3} {3}:{1,2}
{1,3}{2} {1,3}:{2} {2}:{1,3}
{2,3}{1} {2,3}:{1} {1}:{2,3}
{1}{2}{3}
{1}:{2}:{3}
{3}:{1}:{2}
{2}:{3}:{1}
{1}:{3}:{2}
{2}:{1}:{3}
{3}:{2}:{1}
{1}{2}:{3} {1}{3}:{2} {2}{3}:{1}
{1}:{2}{3} {2}:{1}{3} {3}:{1}{2}.
n=3给出A055887号（3） =8，因为{1,1,1}{{1}:{1,1}}{{1,1{}:{1}}}{1}{1{}：{1}：。
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带（combstruct）；SeqSettingAL:=[T，{T=序列（S），S=设置（U，卡>=1），U=设置（Z，卡>=1）}，标记]；A083355号：=n->计数（SeqSettingAL，大小=n）；
A083355号：=proc（n:：integer）#与（组合）；局部a、i、j；a： =0；对于i从1到n，对j从1到i，做a:=a+j*斯特林2（i，j）*stirling2（n，i）；od；od；打印（“n，a（n）：”，n，a）；终末程序#托马斯·维德
A083355号：=proc（）局部a，k，n；对于n从1到12，做a[n]：=0：对于k从1到n，做a[n]：=a[n]+stirling2（n，k）*A000670号（k） ：od:od：打印（a[1]、a[2]、a[3]、a[4]、a+5]、a[6]、a%7]、a[0]、a+[9]、a[10]、a+11]、a=12]）；终末程序；A000670号：=proc（n）局部结果，k；结果：=0：对于从1到n的k执行结果：=结果+stirling2（n，k）*k！od：结束进程；
数学
范围[0,18]！系数列表[级数[1/（2-E^（E^x-1）），{x，0，18}]，x](*罗伯特·威尔逊v2004年7月13日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（1/（2-exp（exp（x+x*O（x^n））-1）），n））
1, 4, 20, 129, 1012, 9341, 99213, 1191392, 15958404, 235939211, 3817327362, 67103292438, 1273789853650, 25973844914959, 566329335460917, 13150556885604115, 324045146807055210, 8446201774570017379, 232198473069120178475, 6715304449424099384968
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例如：1/Product_{k>=1}（1-（exp（x）-1）^k/k！）-托马斯·维德2008年9月4日
a（n）~c*n！/（log（2））^n，其中c=1/（2*log（二））*Product_{k>=2}1/（1-1/k！）=A247551型/（2*log（2））=1.82463230250447246267598544320244231645906135137-瓦茨拉夫·科特索维奇，2014年9月4日，2017年1月21日更新
例子
我们正在考虑n-集{1,2,3，…，n}的所有集分区。
对于每个这样的集合分区，我们检查子集的所有可能的层次结构安排。层次结构是元素（在本例中是集合）在层上的分布。
如果级别L+1最多包含与级别L相同数量的元素，则级别上的分布是“分层的”。因此，对于n=4，不允许排列{1,2}:{3}{4}。
让冒号“：”分隔两个连续的级别L和L+1。
n=2-->1+3=4
{1,2} {1}{2}
{1}:{2}
{2}:{1}
-----------------------
n=3-->1+9+10=20
1*1 3*3=9 1*10
{1,2,3} {1,2}{3} {1}{2}{3}
{1,3}{2}
{2,3}{1} {1}{2}:{3}
{3}{1}:{2}
{1,2}:{3} {2}{3}:{1}
{1,3}:{2}
{2,3}:{1} {1}:{2}:{3}
{3}:{1}:{2}
{3}:{1,2} {2}:{3}:{1}
{2}:{1,3} {1}:{3}:{2}
{1}:{2,3} {2}:{1}:{3}
{3}:{2}:{1}
-----------------------
n=4-->1+12+9+60+47=129
1*1 4*3=12 3*3=9 6*10=60 1*47
{1,2,3,4} {1,2,3}{4} {1,2}{3,4} {1,2}{3}{4} {1}{2}{3}{4}
{1,2,4}{3} {1,3}{2,4} {1,2}{3}:{4}
{1,3,4}{2} {1,4}{2,3} {1,2}{4}:{3} {1}{2}:{3}:{4}
{2,3,4}{1} {1}{2}:{3,4} {1}{3}:{2}:{4}
{1,2}:{3,4} {1,2}:{3}:{4} {1}{4}:{2}:{3}
{1,2,3}:{4} {1,3}:{2,4} {1,2}:{4}:{3} {1}{2}:{4}:{3}
{1,2,4}:{3} {1,4}:{2,3} {1}:{2}:{3,4} {1}{3}:{4}:{2}
{1,3,4}:{2} {3,4}:{1,2} {2}:{1}:{3,4} {1}{4}:{3}:{2}
{2,3,4}:{1} {2,4}:{1,3} {1}:{3,4}:{2}
{2,3}:{1,4} {2}:{3,4}:{1} {2}{3}:{1}:{4}
{4}:{1,2,3} {2}{4}:{1}:{3}
{3} ：{1,2,4}同样适用于：{2}{3}:{4}:{1}
{2}:{1,3,4} {3,4}{1}{2} {2}{4}:{3}:{1}
{1}:{2,3,4} {2,4}{1}{3}
{2,3}{1}{4} {3}{4}:{1}:{2}
{1,4}{2}{3} {3}{4}:{2}:{1}
{1,3}{2}{4}
{1}{2}:{3}{4}
{1}{3}:{2}{4}
{1}{4}:{2}{3}
{2}{3}:{1}{4}
{2}{4}:{1}{3}
{3}{4}:{1}{2}
{2}{3}{4}:{1}
{1}{3}{4}:{2}
{1}{2}{4}:{3}
{1}{2}{3}:{4}
{1}:{2}:{3}:{4}
+23排列
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A140585号：=proc（n:：integer）本地k，结果；结果：=0：对于从1到n的k do结果：=结果+stirling2（n，k）*A005651号（k） ；结束do；lprint（结果）；终末程序；
E.g.f.：系列（1/mul（1-（exp（x）-1）^k/k！，k=1..10），x=0，10）#托马斯·维德2008年9月4日
#第二个Maple项目：
with（numtheory）：b:=proc（k）选项记住；加法（d/d！^（k/d），d=除数（k））结束：c:=proc（n）选项记住`如果`（n=0，1，添加（（n-1）！/（n-k）！*b（k）*c（n-k），k=1..n））结束：a:=n->添加（斯特林2（n，k）*c（k），k=1..n）：seq（a（n），n=1..30）#阿洛伊斯·海因茨2008年10月10日
数学
表[n！*系列系数[1/乘积[（1-（E^x-1）^k/k！），{k，1，n}]，{x，0，n}]，{n，1，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇，2014年9月3日*）
1, 1, 4, 14, 69, 367, 2284, 15430, 115146, 924555, 7991892, 73547322, 718621516, 7410375897, 80405501540, 914492881330, 10873902417225, 134808633318271, 1738734267608613, 23282225008741565, 323082222240744379, 4638440974576329923, 68794595993688306903
评论
指数变换[EXP]将输入序列b（n）转换为输出序列a（n）。EXP变换是对数变换[LOG]的倒数，参见Weisstein链接和Sloane和Plouffe参考。这种关系称为里德尔公式。有关对数转换的信息，请参见A274805型。EXP变换与多项式变换有关，请参见A274760型和第二个公式。
EXP变换的定义，见第二个公式，显示n>=1。对于偏移量为0的序列b（n），为了在n>=0时保持单位LOG[EXP[b（n。
我们观察到a（0）=1，并且没有提供关于b（n）的任何值的信息，尽管习惯上以a（0）=1开始a（n）序列。
Maple程序可用于生成序列的指数变换。第一个程序使用了Alois P.Heinz发现的公式，请参见A007446号和第一个公式。第二个程序使用指数变换的定义，请参阅Weisstein链接和第二个公式。第三个程序使用有关指数变换的逆的信息，请参见A274805型.
参考文献
Frank Harary和Edgar M.Palmer，《图形计数》，1973年。
罗伯特·詹姆斯·里德尔，《对凝聚理论的贡献》，论文，密歇根大学，安娜堡，1951年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，1995年，第18-23页。
链接
M.Bernstein和N.J.A.Sloane，一些标准整数序列《线性代数及其应用》，第226-228卷（1995年），第57-72页。勘误表320（2000），210。[链接到arXiv版本]
M.Bernstein和N.J.A.Sloane，整数的一些正则序列，线性算法。应用，226-228（1995），57-72；勘误表320（2000），210。[链接到Lin.Alg.Applic.version以及省略的数字]
Eric W.Weisstein数学世界，指数变换.
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a（n）=和{j=1..n}（二项式（n-1，j-1）*b（j）*a（n-j）），n>=1，a（0）=1，其中b（n）=A000203号（n） =西格玛（n）。
例如，exp（总和{n>=1}（b（n）*x^n/n！）b（n）=σ（n）=A000203号（n） ●●●●。
例子
a（0）=1
a（1）=x（1）
a（2）=x（1）^2+x（2）
a（3）=x（1）^3+3*x（一）*x（2）+x（3）
a（4）=x（1）^4+6*x（1
a（5）=x（1）^5+10*x（1
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nmax:=21：使用（数字理论）：b:=proc（n）：sigma（n）end:a:=prog（n）选项记忆；如果n=0，则1另外加上（二项式（n-1，j-1）*b（j）*a（n-j），j=1..n）fi:end:seq（a（n），n=0..nmax）；#结束第一个EXP程序。
nmax:=21：使用（数字理论）：b:=proc（n）：sigma（n）end:t1:=exp（加（b（n）*x^n/n！，n=1…nmax+1））：t2：=系列（t1，x，nmax+1）：a：=进程（n）：n*系数（t2，x，n）结束：seq（a（n），n=0..nmax）；#结束第二个EXP程序。
nmax:=21：使用（数字理论）：b:=proc（n）：sigma（n）end:f:=系列（log（1+add（q（n）*x^n/n！，n=1…nmax+1）），x，nmax+1）：d：=进程（n）：n*coeff（f，x，n）end:a（0）：=1:q（0）：=1:a（1）：=b（1）：q（1）：=b（1）：对于从2到nmax+1的n，做q（n）：=solve（d（n）-b（n），q（n））：a（n）：=q（n）：od:seq（a（n），n=0..nmax）；#结束第三个EXP计划。
数学
a[0]=1；a[n]：=a[n]=和[二项式[n-1，j-1]*除数Sigma[1，j]*a[n-j]，{j，1，n}]；表[a[n]，{n，0，30}](*Jean-François Alcover公司2017年2月22日*）
nmax=20；系数列表[Series[Exp[Sum[DivisorSigma[1，k]*x^k/k！，{k，1，nmax}]]，{x，0，nmax{]，x]*范围[0，nmax]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2021年6月8日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A177208号,A177209号,A006351元,A197505型,A144180号,A256180型,A033462号,A198046号,A134954号,A145460型,A188489号,A005432号,A029725号,A124213号,A002801号.
至少有两个占用级别的n个标记元素（“个人”）的层次排序数（“社会”）。
+10
6
0, 2, 12, 86, 780, 8462, 106092, 1507046, 23905740, 418581662, 8014481772, 166501716086, 3728936827980, 89530481995502, 2293539506425452, 62429371709206406, 1799021068567370700, 54707449240102350782, 1750530594833378049132, 58787407236482804618006
链接
N.J.A.Sloane和Thomas Wieder，层次排序的数量第21号命令（2004年），第83-89页。
配方奶粉
例如：exp（-（exp（z）^2-2*exp（z+1）/（-2+exp（z）））。
a（n）~exp（sqrt（2*n/log（2））+1/（4*log（2-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年9月13日
例子
a（3）=12。设：表示n个标记的个体1,2,3,4划分为x=2个集合（即“社会”）。例如，在12:34，一个社会只有一个成员1和2，另一个社会有一个成员3和4。让|表示更高的级别（在单个社会中），例如，在1|2中，个人2相对于个人1是一个级别。个人在某一级别上的顺序无关紧要，例如12|34相当于21|43。对于n=3和x=2，一个有12|3；23|1; 13|2; 1|23; 2|13; 3|12; 1|2|3; 2|3|1; 3|1|2; 1|3|2; 3|2|1; 2|1|3; 它提供了12个不同的社会，至少有2个被占领的等级。
MAPLE公司
带（combstruct）；SetSeq2SetL:=[T，{T=集合（S），S=序列（U，卡>=2），U=集合（Z，卡>=1）}，标记]；
#其中x是整数1、2、3；x=2表示每个社会有2个等级。
seq（计数（SetSeq2SetL，大小=j），j=1..12）；
数学
Rest[系数列表[级数[E^（（2*E^x-E^，（2*x）-1）/（E^x-2）），{x，0，20}]，x]*范围[0，20]！](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年9月13日*）
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