搜索： a354265-识别码：a354265
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A000032号
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| Lucas数从2:L（n）=L（n-1）+L（n-2）开始，L（0）=2，L（1）=1。
（原名M0155）
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+10
1403
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2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 7881196, 12752043, 20633239, 33385282, 54018521, 87403803
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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此外，当n>=2时，循环图C_n的独立顶点集和顶点覆盖数-埃里克·韦斯特因2014年1月4日
此外，当n>=3时，n圈图C_n中的匹配数-埃里克·韦斯特因2017年10月1日
对于n>=3的n-helm图，给出了最大独立顶点集（和最大顶点覆盖）的个数-埃里克·韦斯特因2017年5月27日
同时给出了n>=3时n-sunlet图的最大独立顶点集（和最大顶点覆盖）的个数-埃里克·韦斯特因2017年8月7日
这也是霍拉达姆层序（2，1，1，一）-罗斯·拉海耶2003年8月18日
对于不同素数p，q，L（p）与1 mod p同余，L（2p）与3 mod p和L（pq）同余1+q（L（q）-1）mod p。此外，L（m）除F（2km）和L（2k+1）m），k，m>=0。
a（n）=Sum_{k=0..天花板（（n-1）/2）}P（3；n-1-k，k），n>=1，其中a（0）=2。这些是P（3；n，k）（3，1）Pascal三角形中SW-NE对角线上的和A093560美元.观察者保罗·巴里2004年4月29日。通过递归关系和输入比较进行证明。（1，2）Pascal三角形的SW-NE对角和A029635号（T（0，0）替换为2）。
假设psi=log（phi）=A002390号如果n是偶数，则得到L（n）=2*cosh（n*psi）的表示；如果n为奇数，L（n）=2*sinh（n*psi）。斐波那契数也有类似的表示法(A000045号). 许多卢卡斯公式现在很容易从适当的sinh和cosh公式中学习。例如：单位cosh^2（x）-sinh^2（x）=1表示L（n）^2-5*F（n）*2=4*（-1）^n（设置x=n*psi）-Hieronymus Fischer公司2007年4月18日
L（n）的奇偶性很容易从它的定义中得到，它表明，当n是3的倍数时，L（n）是偶数，否则是奇数。
前六个乘法公式为：
L（2n）=L（n）^2-2*（-1）^n；
L（3n）=L（n）^3-3*（-1）^n*L（n；
L（4n）=L（n）^4-4*（-1）^n*L（n）^2+2；
L（5n）=L（n）^5-5*（-1）^n*L（n；
L（6n）=L（n）^6-6*（-1）^n*L（n。
通常，L（n）|L（mn）当且仅当m是奇数。
在L（mn）的展开式中，其中m表示乘数，n表示L（n）已知值的指数，系数的绝对值是三角形第m行中的项A034807号当m=1且n=1，L（n）=1且所有项均为正时A034807号就是卢卡斯的数字。（结束）
米克洛斯·克里斯托夫（Miklos Kristof）于2007年3月19日提交的关于斐波那契数列的评论(A000045号)包含四个重要的恒等式，这些恒等式与卢卡斯数相似：
对于a>=b和奇数b，L（a+b）+L（a-b）=5*F（a）*F（b）。
对于a>=b和偶数b，L（a+b）+L（a-b）=L（a）*L（b）。
对于a>=b和奇数b，L（a+b）-L（a-b）=L（a）*L（b）。
对于a>=b和偶数b，L（a+b）-L（a-b）=5*F（a）*F（b）。
偶数b的差分恒等式的一个特别有趣的例子是L（A+30）-L（A-30）=5*F（A）*832040，因为5*832040-可以被100整除，证明卢卡斯数的最后两位数字在一个长度为60的循环中重复（参见A106291号(100)). （结束）
卢卡斯数满足显著的差分方程，在某些情况下，最好使用斐波那契数表示，其中代表性示例如下：
L（n）-L（n-3）=2*L（n-2）；
L（n）-L（n-4）=5*F（n-2）；
L（n）-L（n-6）=4*L（n-3）；
L（n）-L（n-12）=40*F（n-6）；
L（n）-L（n-60）=4160200*F（n-30）。
这些公式分别确定，卢卡斯数形成一个长度为3（mod 2）、长度为4（mod 5）、长度6（mod 4）、长度12（mod 40）和长度60（mod 4160200）的循环剩余系统。最后一个模可以被100整除，这说明卢卡斯数的最后两位数字在L（60）处开始重复。
卢卡斯数的可除性非常复杂，至今仍未完全理解，但在孙志宏2003年对斐波那契数同余的调查中，确立了几个重要的标准。（结束）
和{n>0}a（n）/（n*2^n）=2*log（2）-杰姆·奥利弗·拉丰2009年10月11日
φ的幂，黄金比率，接近卢卡斯数的值，上面的奇数幂和下面的偶数幂-杰弗里·卡文尼2014年4月18日
反二项式变换是（-1）^n*a（n）-迈克尔·索莫斯2014年6月3日
如果x=a（n），y=a（n+1），z=a（n+2），那么-x^2-z*x-3*y*x-y^2+y*z+z^2=5*（-1）^（n+1-亚历山大·萨莫克鲁托夫2015年7月4日
梯形有三条边的长度，顺序为L（n-1）、L（n+1）、L。对于增加n，与最大面积非常接近的近似值的第四边等于2*L（n）。对于边为L（n-1）、L（n-3）、L-J.M.贝戈2016年3月17日
满足本福德定律【Brown-Duncan，1970；Berger-Hill，2017】-N.J.A.斯隆2017年2月8日
对于n>=3，Lucas数L（n）是具有独立参数的仿射型a_n的交换Hecke代数的维数。参见定理1.4，推论1.5，以及第524页链接“具有独立参数的Hecke代数”中的表格-贾煌，2019年1月20日
虽然所有质数都是斐波那契数列中的因子，但卢卡斯数并非如此。例如，L（n）永远不能被以下小于150的素数整除：5、13、17、37、53、61、73、89、97、109、113、137、149。。。请参见A053028号猜想：可以确定这些素数的三个性质：
第一个观察结果：素因子>3出现在具有奇数指数的斐波那契数列中。
第二个观察结果：这些是全等于2，3（模5）的素数p，同时出现在斐波那契（p+1）和斐波那契（（p+1）/2）中作为素数因子，或者全等于1，4（模5）的素数p，同时出现在斐波那契（（p-1）/2）和斐波那契（（（p-1）/（2^k））中，其中k>=2。
第三个观察：这些素数的Pisano周期长度，以A001175号，总是可以被4整除，但不能被8整除。相反，卢卡斯数的素因子可以被2整除，但不能被4整除，也不能被8整除。（另请参阅中的注释A053028号作者：N.J.A.Sloane，2004年2月21日）。（结束）
L（n）是斐波那契数列的4*k个连续项之和(A000045美元)除以斐波那契（2*k）：（和{i=0..4*k-1，k>=1}F（n+i））/F（2*k）=L（n+2*k+1）。序列扩展为负指数，遵循规则a（n-1）=a（n+1）-a（n）-克劳斯·普拉斯2019年9月15日
L（（2*m+1）k）/L（k）=和{i=0..m-1}（-1）^（i*（k+1））*L（2*m-2*i）*k）+（-1）（m*k）。
例如：k=5，m=2，L（5）=11，L（10）=123，L（20）=15127，L（25）=167761。L（25）/L（5）=15251，L（20）+L（10）+1=15127+123+1=15251。
（结束）
发件人彼得·巴拉，2021年12月23日：（开始）
高斯同余a（n*p^k）==a（n*p^（k-1））（mod p^ k）适用于所有素数p和正整数n和k。
对于正整数k，取模k的序列（a（n））n>=1成为纯周期序列。例如，取模11，序列变为[1，3，4，7，0，7，7，3，10，2，1，3，4,7，0、7，3、10、2…]，一个周期为10的周期序列。（结束）
对于具有递推关系b（n）=b（n-1）+b（n-2）的任何序列，可以证明每个k项的递推关系由以下公式给出：=A000032号（k） *b（n-k）+（-1）^（k+1）*b（n-2k），必要时扩展为负指数-尼克·霍布森2024年1月19日
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参考文献
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链接
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罗曼·维图拉（Roman Witula）、达米安·斯洛塔（Damian Slota）和埃德塔·赫特马尼科（Edyta Hetmanik），不同已知整数序列之间的桥《Annales Mathematicae et Informaticae》，41（2013），第255-263页。
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配方奶粉
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通用名称：（2-x）/（1-x-x^2）。
L（n）=（（1+sqrt（5））/2）^n+（（1-sqrt。
L（n）=L（n-1）+L（n-2）=（-1）^n*L（-n）。
L（n）=斐波那契（2*n）/斐波那奇（n），对于n>0-杰夫·伯奇1999年12月11日
例如：2*exp（x/2）*cosh（sqrt（5）*x/2）-伦·斯迈利2001年11月30日
L（n）=F（n）+2*F（n-1）=F-亨利·博托姆利2000年4月12日
a（n）=2^（1-n）*和{k=0..floor（n/2）}C（n，2k）*5^k.a（nA053120号)i^2=-1-保罗·巴里2003年11月15日
L（n）=2*F（n+1）-F（n）-保罗·巴里2004年3月22日
a（n）=（φ）^n+（-phi）^（-n）-保罗·巴里2005年3月12日
L（n+m）+（-1）^m*L（n-m）=L（n）*L（m）。
L（n+m）-（-1）^m*L（n-m）=8*F（n）*F（m）。
L（n+m+k）+（-1）^k*L（n+m-k）+。
L（n+m+k）-（-1）^k*L。
L（n+m+k）+（-1）^k*L（n+m-k）-（-1）。
L（n+m+k）-（-1）^k*L（n+m-k）-。（结束）
反向：地板（log_phi（a（n））+1/2）=n，对于n>1。对于n>=0，floor（（1/2）*log_phi（a（n）*a（n+1））=n。对所有整数n:floor（1/2）*符号（a（n）*a-Hieronymus Fischer公司，2007年5月2日
a（n）=2X2矩阵[0,1；1,1]^n的迹-加里·亚当森2008年3月2日
对于奇数n:a（n）=楼层（1/（分数（φ^n）））；对于偶数n>0：a（n）=上限（1/（1-分数（φ^n）））。这源于黄金比率φ的基本性质，即φ-φ^（-1）=1（参见A001622号).
a（n）=圆形（1/min（fract（phi^n），1-fract（φ^n））），对于n>1，其中fract（x）=x-地板（x）。（结束）
例如：exp（phi*x）+exp（-x/phi），其中phi:=（1+sqrt（5））/2（黄金分割）。1/φ=φ-1。请参阅Smiley中给出的另一种形式，例如f.注释-Wolfdieter Lang公司2010年5月15日
a（n）=2*a（n-2）+a（n-3），n>2-加里·德特利夫斯2010年9月9日
L（n）=2^n*（cos（Pi/5）^n+cos（3*Pi/5，^n））-加里·德特利夫斯2010年11月29日
L（n）=（斐波那契（2*n-1）*斐波那奇（2*n+1）-1）/（斐波纳契（n）*斐波那契（2*n）），n！=0. -加里·德特利夫斯2010年12月13日
L（n）=斐波那契（n+6）mod斐波那奇（n+2），n>2-加里·德特利夫斯2011年5月19日
素数p的a（p*k）==a（k）（mod p）。a（p^2*k）==a（k）（mod p），对于素数p和s=0,1,2,3……[Hoggatt和Bicknell]-R.J.马塔尔，2012年7月24日
L（k*n）=（F（k）*φ+F（k-1））^n+（F（k+1）-F（k）*phi）^n。
L（k*n）=（F（n）*phi+F（n-1））^k+（F（n+1）-F（n）*phi）^k。
其中φ=（1+sqrt（5））/2，F（n）=A000045号（n） ●●●●。
（结束）
L（n）=n*和{k=0..floor（n/2）}二项式（n-k，k）/（n-k），n>0[H.W.古尔德]-加里·德特利夫斯2013年1月20日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+1/（1-（x*（5*k-1））/（（xx（5*k+4））-2/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月15日
L（n）=F（n）+F（n-1）+F-鲍勃·塞尔科2013年6月17日
L（n）=圆形（sqrt（L（2n-1）+L（2n-2）））-理查德·福伯格2014年6月24日
L（n）=（F（n+1）^2-F（n-1）^2）/F（n）对于n>0-理查德·福伯格2014年11月17日
a（n）=（L（n+1）^2+5*（-1）^n）/L（n+2）-J.M.贝戈2016年4月6日
Dirichlet g.f.：PolyLog（s，-1/phi）+Poly对数（s，phi），其中phi是黄金比率-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月1日
L（n）=F（n+2）-F（n-2）-《玉春记》2016年2月14日
L（n+1）=A087131号（n+1）/2^（n+1）=2^（-n）*Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*5^floor（（k+1）/2）-托尼·福斯特三世2017年10月14日
L（2*n）=（F（k+2*n）+F（k-2*n））/F（k）；n>=1，k>=2*n-大卫·詹姆斯·西卡莫尔2018年5月4日
L（3n+4）/L（3n+1）具有连分式：n 4's后跟单个7。
L（3n+3）/L（3n）具有连分数：n 4's后跟单个2。
L（3n+2）/L（3n-1）具有连分式：n 4's后跟单个-3。（结束）
根据规则a（n-1）=a（n+1）-a（n），所有涉及的序列都扩展为负指数。
L（n）=（2*L（n+2）-L（n-3））/5。
L（n）=（2*L（n-2）+L（n+3））/5。
L（n）=F（n-3）+2*F（n）。
L（n）=2*F（n+2）-3*F（n）。
L（n）=（3*F（n-1）+F（n+2））/2。
L（n）=3*F（n-3）+4*F（n-2）。
L（n）=4*F（n+1）-F（n+3）。
L（n）=（F（n-k）+F（n+k））/F（k），奇数k>0。
L（n）=（F（n+k）-F（n-k））/F（k），偶数k＞0。
以下两个公式适用于斐波那契类型的所有序列。
（a（n-2*k）+a（n+2*k））/a（n）=L（2*k。
（a（n+2*k+1）-a（n-2*k-1））/a（n）=L（2*k+1。（结束）
F（n+2*m）=L（m）*F（n+m）+（-1）^（m-1）*F（n）对于所有n>=0和m>=0-亚历山大·伯斯坦2022年3月31日
a（n）=i^（n-1）*cos（n*c）/cos（c）=i^-彼得·卢施尼2022年5月23日
对于n>0，L（2*n）=5*二项式（2*n-1，n）-2^（2*n-1）+5*Sum_{j=1..n/5}二项式。
L（2*n+1）=2^（2n）-5*Sum_{j=0..n/5}二项式（2*n+1，n+5*j+3）。（结束）
L（n）~伽玛（1/phi^n）+伽玛。
L（n）=Re（phi^n+e^（i*Pi*n）/phi^n）。（结束）
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例子
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G.f.=2+x+3*x^2+4*x^3+7*x^4+11*x^5+18*x^6+29*x^7+。。。
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MAPLE公司
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使用（combint）：A000032号：=n->斐波那契（n+1）+斐波那奇（n-1）；
seq（简化（2^n*（cos（Pi/5）^n+cos（3*Pi/5，^n）），n=0..36）
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数学
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a[0]：=2；a[n]：=嵌套[{Last[#]，First[#]+Last[#]}&，{2，1}，n]//最后
数组[2斐波那契[#+1]-斐波那奇[#]&，50，0]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*）
表[LucasL[n]，｛n，0，36｝](*泽因瓦利·拉霍斯2009年7月9日*）
线性递归[{1，1}，{2，1}，40](*哈维·P·戴尔2013年9月7日*）
系数列表[级数[（-2+x）/（-1+x+x^2），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
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程序
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（岩浆）[卢卡斯（n）：n in[0..120]]；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，（-1）^n*a（-n），如果（n<2，2-n，a（n-1）+a（n-2）））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，（-1）^n*a（-n），polsym（x^2-x-1，n）[n+1]）}；
（PARI）{a（n）=实（（2+类（5））*quadgen（5）^n）}；
（鼠尾草）[lucas_number2（n，1，-1）代表范围（37）中的n]#泽因瓦利·拉霍斯2008年6月25日
（哈斯克尔）
a000032 n=a000032_列表！！n个
a000032_list=2:1:zipWith（+）a000032_list（尾部a000031_list）
（Python）
a、 b=2，1
为True时：
产量a
a、 b=b，a+b
（Python）
来自sympy进口lucas
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交叉参考
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使用Fibonacci（n+k）+Fibonaci（n-k）公式列出的Cf.序列A280154型.
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关键词
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非n，美好的，容易的，核心
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作者
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状态
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经核准的
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A352744飞机
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| 由升序反对偶读取的数组。广义斐波那契数F（n，k）=（psi^k*（phi-n）-phi^k*。F（n，k）表示n>=0和k>=0。 |
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+10
8
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1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 3, 2, 1, 4, 4, 5, 5, 3, 1, 5, 5, 7, 8, 8, 5, 1, 6, 6, 9, 11, 13, 13, 8, 1, 7, 7, 11, 14, 18, 21, 21, 13, 1, 8, 8, 13, 17, 23, 29, 34, 34, 21, 1, 9, 9, 15, 20, 28, 37, 47, 55, 55, 34, 1, 10, 10, 17, 23, 33, 45, 60, 76, 89, 89, 55
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0.8
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评论
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恒等式F（n，k）=（-1）^k*F（1-n，-k）适用于所有整数n，k。证明：
F（n，k）*（2+phi）=（phi^k*（n*phi+1）-（-phi）^（-k）*
=（-1）^k*（φ^（-k）*（（1-n）*φ+1）-（-phi）^kx（-n*phi-1））
=（-1）^k*F（1-n，-k）*（2+phi）。
这个恒等式可以看作是1680年卡西尼定理和Graham、Knuth和Patashnik在《混凝土数学》（6.106和6.107）中给出的恒等式的推广。在链接注释中可以找到Z x Z中参数的完整数组的开头。
枚举是所选定义的简单形式的结果。从1，1，2，3…开始的经典正斐波那契数列，。。。位于第n=1行，偏移量为0。从0、1、1、2、3……开始的非负斐波那契数，。。。位于第0行，偏移量为1。与Knuth使用的枚举相比，它们向无穷远处延伸，索引偏移了1。我们枚举的一个特征是F（n，0）=1表示所有整数n。
斐波那契数只对{（-1，2），（0，1），（1，-1），（2，-2）}中的（n，k）消失。零对应于恒等式（φ+1）*psi^2=（psi+1）*phi^2，psi*phi=phi*psi，（φ-1）*phi=（psi-1）*psi和（φ-2）*phi2=（psi-2）*psia^2。
对于任何固定k，序列F（n，k）是n的线性函数。换句话说，是算术级数。这意味着对于Z中的所有n，F（n+1，k）=2*F（n，k）-F（n-1，k）。这种情况的特殊情况是斐波那契（n+1）=2*斐波那奇（n）-Fibonacci（n-2）-迈克尔·索莫斯2022年5月8日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，马萨诸塞州，1990年，第6.6节。
Donald Ervin Knuth，《计算机编程艺术》，第三版，第1卷，《基本算法》。第1.2.8章斐波那契数。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1997年。
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链接
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Edsger W.Dijkstra，为了纪念斐波那契，收录于：F.L.Bauer、M.Broy和E.W.Dijkstra（编辑），《程序构造》，1979年，《计算机科学讲义》，第69卷。
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配方奶粉
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对于k>=2，F（n，k）=F（n、k-1）+F（n和k-2），否则为1，对于k=0，1，n。
F（n，k）=（n-1）*F（k-1）+F（k）其中F（n）=A000045号（n+1），以f（0）=1开头的斐波那契数。
F（n，k）=（（φ^k*（n*phi+1）-（-phi）^（-k）*（（n-1）*phi-1））/（2+phi）。
F（n，k）=[x^k]（1+（n-1）*x）/（1-x-x^2）对于k>=0。
F（k，n）=[x^k]（F（0，n）+F（0、n-1）*x）/（1-x）^2对于k>=0。
F（n，k）=（k！/sqrt（5））*[x^k]（（n-psi）*exp（phi*x）-（n-phi）*exp（psi*x）），对于k>=0。
F（n，k）-F（n-1，k）=符号（k）^（n-1）*F（k）代表Z中的所有n，k，其中A000045号通过f（-n）=（-1）^（n-1）*f（n）扩展为负整数（CMath 6.107）-彼得·卢施尼2022年5月9日
F（n，k）=2*（（n-1）*i*sin（k*c）+sin（（k+1）*c））/（i^k*sqrt（5）），其中c=Pi/2-i*arcsinh（1/2），对于Z中的所有n，k。基于Bill Gosper的一句话-彼得·卢施尼2022年5月10日
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例子
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阵列启动：
n\k 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。。。
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[0] 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...A212804型
[1] 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...A000045号（移位一次）
[2] 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...A000045美元（移位两次）
[3] 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...A000032号（移位一次）
[4] 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, 157, ...A000285号
[5] 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, 191, ...A022095级
[6] 1, 6, 7, 13, 20, 33, 53, 86, 139, 225, ...A022096型
[7] 1, 7, 8, 15, 23, 38, 61, 99, 160, 259, ...A022097号
[8] 1, 8, 9, 17, 26, 43, 69, 112, 181, 293, ...A022098型
[9] 1, 9, 10, 19, 29, 48, 77, 125, 202, 327, ...A022099型
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MAPLE公司
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f:=n->组合：-斐波那契（n+1）：f:=（n，k）->（n-1）*f（k-1）+f（k）：
seq（seq（F（n-k，k），k=0..n），n=0..9）；
#下一个实现仅用于说明，不建议使用
#因为它依赖于浮点运算。
φ：=（1+sqrt（5））/2:psi:=（1-sqrt）/2:
F:=（n，k）->（磅/平方英寸^k*（φ-n）-φ^k*（磅/平方英寸-n））/（φ-psi）：
对于从-6到6的n，进行lprint（seq（simplify（F（n，k）），k=-6..6））od；
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数学
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表[LinearRecurrence[{1，1}，{1，n}，10]，{n，0，9}]//表格
F[n_，k_]：=（矩阵功率[｛｛0，1｝，｛1，1｝｝，k].｛1｝，｛n｝｝）[[1，1]]；(*迈克尔·索莫斯2022年5月8日*）
c:=Pi/2-I*ArcSinh[1/2]；（*基于Bill Gosper的评论。*）
F[n_，k_]：=2（I（n-1）正弦[k c]+正弦[（k+1）c]）/（I^k平方[5]）；
表[简化[F[n，k]]，{n，-6,6}，{k，-6，6}]//表格(*彼得·卢施尼2022年5月10日*）
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程序
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（Julia）#时间复杂性为O（lgn）。
功能纤维c（n:：Int）
n==0&&return（BigInt（0），Big Int（1））
a、 b=纤维（div（n，2））
c=a*（b*2-a）
d=a*a+b*b
iseven（n）？（c，d）：（d，c+d）
结束
函数Fibonacci（n:：Int，k:：Int）
k==0&返回BigInt（1）
k<0&&return（-1）^k*斐波那契（1-n，-k）
a、 b=纤维（k-1）
a+b*n
结束
对于-6:6中的n
println（[Fibonacci（n，k）for k in-6:6]）
结束
（PARI）F（n，k）=（[0，1；1，1]^k*[1；n]）[1，1]
（PARI）{F（n，k）=n*斐波那契（k）+斐波那奇（k-1）}/*迈克尔·索莫斯2022年5月8日*/
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A353595型
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| 由升序反对角线读取的数组。广义斐波那契数F（n，k）=（psi^（k-1）*（phi+n）-phi^（k-1）*（psi+n））/。F（n，k）表示n>=0和k>=0。 |
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+10
三
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0, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 4, 1, 3, 3, 3, 5, 1, 4, 4, 5, 5, 6, 1, 5, 5, 7, 8, 8, 7, 1, 6, 6, 9, 11, 13, 13, 8, 1, 7, 7, 11, 14, 18, 21, 21, 9, 1, 8, 8, 13, 17, 23, 29, 34, 34, 10, 1, 9, 9, 15, 20, 28, 37, 47, 55, 55, 11, 1, 10, 10, 17, 23, 33, 45, 60, 76, 89, 89
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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链接
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配方奶粉
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函数方程扩展了卡西尼定理：
F（n，k）=（-1）^（k-1）*F（-n-1，2-k）。
F（n，k）=（（1-phi）^（k-1）*（1-phi+n）-phi^（k-1）*（φ+n））/（1-2*phi）。
F（n，k）=n*fib（k-1）+fib（k），其中fib（n）是经典斐波那契数A000045号以通常的方式对负n进行扩展。
F（n，k）-F（n-1，k）=fib（k-1）。
F（n，k）=F（n、k-1）+F（n和k-2）。
F（n，k）=（n*sin（（k-1）*c）-i*sin。
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例子
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阵列启动：
n\k 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。。。
--------------------------------------------------------
[0] 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...A000045号
[1] 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...A000045号（移位一次）
[2] 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...A000032号
[3] 3, 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, ...A104449号
[4] 4, 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, ... [4]+A022095型
[5] 5、1、6、7、13、20、33、53、86、139。。。[5] +A022096型
[6] 6, 1, 7, 8, 15, 23, 38, 61, 99, 160, ... [6]+A022097号
[7] 7, 1, 8, 9, 17, 26, 43, 69, 112, 181, ... [7] +A022098型
[8] 8, 1, 9, 10, 19, 29, 48, 77, 125, 202, ... [8] +A022099型
[9] 9、1、10、11、21、32、53、85、138、223。。。[9] +A022100型
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MAPLE公司
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f:=n->组合：-斐波那契（n）：f:=（n，k）->n*f（k-1）+f（k）：
seq（seq（F（n-k，k），k=0..n），n=0..11）；
#下一个实现仅用于说明，不建议使用
#因为它依赖于浮点运算。说明了n，k<0的情况。
φ：=（1+sqrt（5））/2:psi:=（1-sqrt）/2:
F:=（n，k）->（psi^（k-1）*（psi+n）-phi^（k-1）*（phi+n））/（psi-phi）：
对于从-6到6的n，进行lprint（seq（simplify（F（n，k）），k=-6..6））od；
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数学
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（*也适用于n<0和k<0。使用Bill Gosper的评论。*）
c:=I*ArcSinh[1/2]-Pi/2；
F[n_，k_]：=（n正弦[（k-1）c]-I正弦[k c]）/（I^k平方[5/4]）；
表[简化[F[n，k]]，｛n，0，6｝，｛k，0，6｝]//TableForm
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程序
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（朱莉娅）
函数fibrec（n:：Int）
n==0&&return（BigInt（0），BigInt（1））
a、 b=纤维（div（n，2））
c=a*（b*2-a）
d=a*a+b*b
iseven（n）？（c，d）：（d，c+d）
结束
函数Fibonacci（n:：Int，k:：Int）
k==0&返回BigInt（n）
k==1&&return BigInt（1）
k<0&&返回（-1）^（k-1）*Fibonacci（-n-1，2-k）
a、 b=纤维（k-1）
a*n+b
结束
对于-6:6中的n
println（[n]，[Fibonacci（n，k）for k in-6:6]）
结束
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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