搜索： a354794-识别码：a354794
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1、0、1、0、-1、1、0、-1、-3、1、0、-2、-1、-6、1、0、-6、0、5、-10、1、0、-24、4、15、25、-15、1、0、-120、28、49、35、70、-21、1、0、-720、188、196、49、0、154、-28、1、0、-5040、1368、944、0、-231、-252、294、-36、1、0、-40320、11016、5340、-820、-1365，-987，-1050，510，-45，1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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数字（-1）^（n-k）*T（n，k）被称为第一类Lehmer-Comtet数(A008296号).
函数cfact是“互补阶乘”（名称是adhoc），并用TeX mathmode编写。1/（cfact（-n）*cfact0.它与罗马阶乘有关(A159333号). 阶乘的贝尔变换是斯特林循环数(A132393号).
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参考文献
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Louis Comtet，高级组合数学。雷德尔，多德雷赫特，1974年，第139-140页。
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=n*[t^k][x^n]（1-x）^（t*（x-1））。
T（n，k）=和{j=k.n}（-1）^（n-k）*二项式（j，k）*k^（j-k）*斯特林1（n，j）。
T（n，k）=Bell_{n，k}（a），其中Bell_{n，k}是序列a={cfact（m）|m>=0}上计算的部分Bell多项式，（参见Mathematica）。
T（n，k）=（-1）^（n-k）*T。
设s（n）=（-1）^n*Sum_{k=1..n}（k-1）^（k-1）*T（n，k）对于n>=0，则s=A159075型。
求和{k=1..n}（k+x）^（k-1）*T（n，k）=二项式（n+x-1，n-1）*（n-1）！对于n>=1。注意，对于x=k，这是A354796飞机（n，k）对于0<=k<=n，并且特别暗示对于x=n>=1，恒等式Sum_{k=1..n}（k+n）^（k-1）*T（n，k）=伽玛（2*n）/n=A006963号（n+1）。
例如，列k>=0：（（1-t）*log（1-t））^k/（（-1）^k*k！）-沃纳·舒尔特2022年6月14日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
[0] [1]
[1] [0, 1]
[2] [0, -1, 1]
[3] [0, -1, -3, 1]
[4] [0, -2, -1, -6, 1]
[5] [0, -6, 0, 5, -10, 1]
[6] [0, -24, 4, 15, 25, -15, 1]
[7] [0, -120, 28, 49, 35, 70, -21, 1]
[8] [0, -720, 188, 196, 49, 0, 154, -28, 1]
[9] [0, -5040, 1368, 944, 0, -231, -252, 294, -36, 1]
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枫木
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cfact:=n->ifelse（n=0，1，-（n-1）！）：贝尔矩阵（cfact，10）；
#备选方案：
t:=proc（n，k）选项记忆；如果k<0或n<0，则0 elif k=n，然后1其他（n-1）*t（n-2，k-1）-（n-1-k）*t
T:=（n，k）->（-1）^（n-k）*T（n，k）：
seq（打印（seq（T（n，k），k=0..n）），n=0..9）；
#使用例如f.：
表皮生长因子：=（1-x）^（t*（x-1））：
ser:=系列（egf，x，11）：系数x：=n->系数（ser，x，n）：
行：=n->seq（n！*系数（系数x（n），t，k），k=0..n）：
seq（打印（第n行），n=0..9）；
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数学
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cfact[n_]：=如果[n==0，1，-（n-1）！]；
R:=范围[0,10]；cf:=表[cfact[n]，{n，R}]；
表[BellY[n，k，cf]，{n，R}，{k，0，n}]//扁平
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交叉参考
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 0, -3, 1, 0, 13, -9, 1, 0, -103, 79, -18, 1, 0, 1241, -905, 265, -30, 1, 0, -19691, 13771, -4290, 665, -45, 1, 0, 384805, -262885, 82621, -14630, 1400, -63, 1, 0, -8918351, 6007247, -1888362, 353381, -40390, 2618, -84, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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链接
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配方奶粉
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k列的示例：（exp（LambertW（x*exp（-x）））-1）^k/k！。（注意（exp（-LambertW（-x*exp（-x）））-1）^k/k！是Stirling2第k列的e.g.f.）-梅利卡·特布尼2023年1月27日
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例子
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三角形T（n，k）开始：
[0] 1;
[1] 0, 1;
[2] 0, -3, 1;
[3] 0, 13, -9, 1;
[4] 0, -103, 79, -18, 1;
[5] 0, 1241, -905, 265, -30, 1;
[6] 0, -19691, 13771, -4290, 665, -45, 1;
[7] 0, 384805, -262885, 82621, -14630, 1400, -63, 1;
[8] 0, -8918351, 6007247, -1888362, 353381, -40390, 2618, -84, 1;
[9] 0, 238966705, -159432369, 50110705, -9627702, 1206471, -96138, 4494, -108, 1;
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枫木
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T:=（n，k）->（-1）^（n-k）*加法（二项式（n，j）*A354794飞机（j，k）*j^（n-j），j=k.n）：对于从0到9的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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A048993号
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| 第二类斯特林数三角，S（n，k），n>=0，0<=k<=n。 |
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+10
251
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 7, 6, 1, 0, 1, 15, 25, 10, 1, 0, 1, 31, 90, 65, 15, 1, 0, 1, 63, 301, 350, 140, 21, 1, 0, 1, 127, 966, 1701, 1050, 266, 28, 1, 0, 1, 255, 3025, 7770, 6951, 2646, 462, 36, 1, 0, 1, 511, 9330, 34105, 42525, 22827, 5880, 750, 45, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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也称为斯特林集合数。
S（n，k）将n个集合的分区枚举为k个非空子集。
对角线k序列的o.g.f.（主对角线的k=0）是g（k，x）=（（x^k）/（1-x）^（2*k+1））*Sum_{m=0..k-1}A008517号（k，m+1）*x^m。A008517号是二阶欧拉三角形-沃尔夫迪特·朗，2005年10月14日
求和{k=0..n}S（n，k）*x^k=B_n（x），其中B_n。前几个贝尔多项式是：
B_0（x）=1；
B_1（x）=0+x；
B_2（x）=0+x+x^2；
B_3（x）=0+x+3x^2+x^3；
B_4（x）=0+x+7x^2+6x^3+x^4；
B_5（x）=0+x+15x^2+25x^3+10x^4+x^5；
B_6（x）=0+x+31x^2+90x^3+65x^4+15x^5+x^6；
（结束）
关联类型S=（1，exp（x）-1）的这个下三方Sheffer矩阵的转置（反式）（对于任意大的N，取为N x N矩阵）提供了从基{x^N/N和{m>=n}S^{trans}（n，m）x^m/m！=和{m>=0}x^m/m*S（m，n）。
序列{a_n}的S=（g，f）到{b_n}（n>=0）的Sheffer变换，在矩阵表示法vec（b）=Svec（a）中，满足例如f.S a和b，b（x）=g（x）*a（f（x））和b（x）=a（y（x）！（类似于vec（yhat））。
（结束）
对于k>=1S（n，k）=h^{（k）}_{n-k}，k符号的完全齐次对称函数1,2。。。，k、 因此，S（n，k）对于k>=1，表示维数为n-k的多选（k，n-k）=二项式（n-1，k-1）多面体的（无量纲）体积，其边长来自集合{1，2，…，k}。请参阅下面的示例-沃尔夫迪特·朗2017年5月26日
{1，2，…，n+1}到k+1非空子集的分区数，这样就没有子集包含两个相邻的数字-托马斯·安东2022年9月26日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。第55辑，1964年（以及各种再版），第835页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第310页。
J.H.Conway和R.K.Guy，《数字书》，斯普林格出版社，第92页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第223页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年，第244页。
J.Riordan，《组合分析导论》，第48页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
V.E.阿德勒，集分区和可积层次，arXiv:1510.02900[nlin.SI]，2015年。
Xi Chen、Deb主教、Alexander Dyachenko、Tomack Gilmore和Alan D.Sokal，线性递归定义的某些矩阵的系数全正性，arXiv:2012.03629[math.CO]，2020年。
杰拉德·杜尚、卡罗尔·A·彭森、艾伦·I·所罗门、安德烈·霍泽拉和帕维尔·布莱西亚克，单参数群与组合物理，arXiv:quant-ph/0401126，2004年。
W.Steven Gray和Makhin Thitsa，系统互连与组合整数序列，in：系统理论（SSST），2013年第45届东南研讨会，会议日期：2013年3月11日至11日，数字对象标识符：10.1109/SSST.2013.6524939。
X.-T.Su、D.-Y.Yang和W.-W.Zhang，关于广义阶乘的一个注记《澳大利亚组合数学杂志》，第56卷（2013年），第133-137页。
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配方奶粉
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S（n，k）=k*S（n-1，k）+S（n-1，k-1），n>0；S（0，k）=0，k>0；S（0，0）=1。
等于[0，1，0，2，0，3，0，4，0，5，…]DELTA[1，0，1，0,1，0A084938号。
S（n，k）=和{i=0..k}（-1）^（k+i）二项式（k，i）i^n/k-保罗·巴里2004年8月5日
G.f.：1/（1-xy/（1-x/（1-xy/（1-2x/（1-xy/1-3x/（1-xy/（1-4x/（1-xy/（1-5x/（1-…）（相当于Deléham DELTA结构的连续分数））-保罗·巴里2009年12月6日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-（y+k）*x-（k+1）*y*x^2/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月9日
例如，对于行多项式s（n，x）=Sum_{k=0..n}s（n，k）*x^k是exp（x*（exp（z）-1））（Sheffer属性）。例如，具有k个前导零的第k列序列为（（exp（x）-1）^k）/k！（谢弗财产）-沃尔夫迪特·朗2014年10月16日
对于列k:x^k/Product_{j=1..k}（1-j*x），k>=0（k=0的空积放入1）。见Abramowitz-Stegun，第824页，公元前24.1.4年-沃尔夫迪特·朗2017年5月26日
列序列m:S（n，k）=（k/（n-k））*（（n*S（n-1，k）/2+求和{p=k.n.n-2}（-1）^（n-p）*二项式（n，p）*Bernoulli（n-p。请参阅中的注释和参考A282629型下面给出了一个示例-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
第n行多项式的形式为xoxo。。。o x（n个因子），其中o表示Bala中定义的白菱形乘法运算符-参见示例E4-彼得·巴拉2018年1月7日
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例子
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三角形S（n，k）开始于：
n \k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0: 1
1: 0 1
2: 0 1 1
3: 0 1 3 1
4: 0 1 7 6 1
5: 0 1 15 25 10 1
6: 0 1 31 90 65 15 1
7: 0 1 63 301 350 140 21 1
8: 0 1 127 966 1701 1050 266 28 1
9: 0 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1
10: 0 1 511 9330 34105 42525 22827 5880 750 45 1
11: 0 1 1023 28501 145750 246730 179487 63987 11880 1155 55 1
12: 0 1 2047 86526 611501 1379400 1323652 627396 159027 22275 1705 66 1
------------------------------------------------------------------------
完全对称函数S（4,2）=h^{（2）}_2=1^2+2^2+1^1*2^1=7；S（5，2）=h^{（2）}_3=1^3+2^3+1^2*2^1+1^1*2^2=15-沃尔夫迪特·朗2017年5月26日
递归：S（5,3）=S（4,2）+2*S（4,13）=7+3*6=25。
列m=3和n=5:S（5，3）=（3/2）*（（5/2）*S（4，3）+10*Bernoulli（2）*S（3，3）））=（1/2）*（15+10*（1/6）*1）=25的Boas-Buck递推-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
（结束）
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枫木
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数学
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t[n_，k_]：=箍筋S2[n，k]；表[t[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*罗伯特·威尔逊v*)
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程序
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（PARI）对于（n=0，22，对于（k=0，n，print1（stirling（n，k，2），“，”））；打印（））\\乔格·阿恩特2013年4月21日
（最大值）create_list（stirling2（n，k），n，0，12，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
（哈斯克尔）
a048993 n k=a048993_tabl！！不！！k个
a048993_row n=a048993 _ tabl！！n个
a048993_tabl=迭代（\row->
[0]++（zipWith（+）行$zipWise（*）[1..]$尾行）++[1]）[1]
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, 1, 4, -3, 1, -27, 19, -6, 1, 256, -175, 55, -10, 1, -3125, 2101, -660, 125, -15, 1, 46656, -31031, 9751, -1890, 245, -21, 1, -823543, 543607, -170898, 33621, -4550, 434, -28, 1, 16777216, -11012415, 3463615, -688506, 95781, -9702, 714, -36, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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（-n）^n加1,0,0,0，…的Bell变换，。。。作为列0。有关Bell变换的定义，请参见A264428型. -彼得·卢什尼2016年1月16日
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链接
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配方奶粉
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（k-1）*a（n，k）=和{i=0..k-1}（（-1）^（n-k-i）*二项式（k-1，i）*（n-i-1）^。
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
[1] 1;
[2] -1, 1;
[3] 4, -3, 1;
[4] -27, 19, -6, 1;
[5] 256, -175, 55, -10, 1;
[6] -3125, 2101, -660, 125, -15, 1;
[7] 46656, -31031, 9751, -1890, 245, -21, 1;
[8] -823543, 543607, -170898, 33621, -4550, 434, -28, 1;
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|
枫木
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R:=proc（n，k，m）选项记忆；
如果k<0或n<0，则0 elif k=0，否则1
m*R（n，k-1，m）+R（n-1，k，m+1）fi端：
A039621号：=（n，k）->（-1）^（n-k）*R（k-1，n-k，n-k）：
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数学
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a[1,1]=1；a[n，k]：=1/（k-1）！求和[（（-1）^（n-k-i）*二项式[k-1，i]*（n-i-1）^[n-1）），{i，0，k-1}]；
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程序
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（PARI）表（nn）={对于（n=1，nn，对于（k=1，n，print1）（总和（i=0，k-1，（-1）^（n-k-i）*二项式（k-1，i）*（n-i-1）^\\米歇尔·马库斯2013年8月28日
#添加1，0，0。。。作为三角形左侧的列0。
bell_matrix（λn：（-n）^n，7）#彼得·卢什尼2016年1月16日
（最大值）
T（n，k，m）：=如果k<0或n<0，则为0，否则为0，如果k=0，则为1，否则为m*T（n、k-1，m）+T（n-1，k，m+1）；
a（n，k）：=如果n<k，则0其他（-1）^（n-k）*T（k，n-k，n-k）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2020年3月7日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A105819号
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| N个标记节点上最小阶为2的m根树的不同森林数的三角形，即没有孤立顶点。 |
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+10
2
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0, 2, 0, 9, 0, 0, 64, 12, 0, 0, 625, 180, 0, 0, 0, 7776, 2730, 120, 0, 0, 0, 117649, 46410, 3780, 0, 0, 0, 0, 2097152, 893816, 99120, 1680, 0, 0, 0, 0, 43046721, 19389384, 2600640, 90720, 0, 0, 0, 0, 0, 1000000000, 469532790, 71734320, 3654000, 30240, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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具有m个分量、m>floor（N/2）的N阶森林必须包含一个孤立的顶点，因为在不给树仅一个顶点的情况下，不可能在floor（N/2）+1或多棵树中划分N个顶点。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=0，如果m>楼层（n/2）（见注释），或可通过n:1K1+2K2+…+分区上的数字/D之和计算nKN，精确到m个部分，最小部分=2，其中Num=N*产品{i=1..N}i^（（i-1）Ki）和D=产品{i=1..N}（Ki！（i！）^Ki）。
k列的示例：（-x-LambertW（-x））^k/k！，k>0。
和{k=1..n}（-1）^（n-k）*T（n+k，k）=n+1。
和{k=1..n}（-1）^（k+1）*T（n，k）=A360193型（n） ，对于n>0。
当n>1时，求和{k=1..n}（-1）^（k+1）*T（n+k，k）/（n+k-1）=1/n。
T（n，k）=和{j=k.n}j*abs（箍筋1（j-k，k））*A354794飞机（n，j）/（j-k）！。（结束）
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例子
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a（8）=12，因为4个顶点只能以一种方式划分为两棵树：两棵树都接收2个顶点。两个顶点上的两棵树可以用二项式（4,2）的方式进行标记，对于2*二项式的（4,2=12）可能性中的每一棵树，森林中都有2个以上的2级可能树。但由于我们有两棵相同顺序的树，即2，我们必须将2*二项式（4,2）*2除以2！。
三角形T（n，k）开始于：
: 0;
: 2, 0;
: 9, 0, 0;
: 64, 12, 0, 0;
: 625, 180, 0, 0, 0;
: 7776, 2730, 120, 0, 0, 0;
: 117649, 46410, 3780, 0, 0, 0, 0;
: 2097152, 893816, 99120, 1680, 0, 0, 0, 0;
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枫木
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#将（1，0，0，…）添加为列0。
BellMatrix（n->`如果`（n=0，0，（n+1）^n），9）#彼得·卢什尼2016年1月27日
#第二个Maple项目：
b： =proc（n）选项记忆；展开（`if`（n=0，1，add(
二项式（n-1，j-1）*j^（j-1）*x*b（n-j），j=2..n））
结束时间：
T： =（n，k）->系数（b（n），x，k）：
seq（seq（T（n，k），k=1..n），n=1..12）#阿洛伊斯·海因茨2017年8月13日
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数学
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BellMatrix[f_，len_]：=与[｛t=数组[f，len，0]｝，表[BellY[n，k，t]，｛n，0，len-1｝，｛k，0，len-1｝]]；
行=12；
B=BellMatrix[函数[n，如果[n==0，0，（n+1）^n]]，行]；
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A355282型
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| 按行读取的三角形：T（n，k）=和{i=1..n-k}qStirling1（n-k，i）*qStirling2（n-1+i，n-1），对于0<k<n，初始值T（n、0）=0^n，T（n）=1，对于n>=0，此处q=2。 |
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+10
1
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 9, 4, 1, 0, 343, 79, 11, 1, 0, 50625, 6028, 454, 26, 1, 0, 28629151, 1741861, 68710, 2190, 57, 1, 0, 62523502209, 1926124954, 38986831, 656500, 9687, 120, 1, 0, 532875860165503, 8264638742599, 84816722571, 734873171, 5760757, 40929, 247, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,8
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评论
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设q<>1是一个固定整数，f_q（k）=（q^k-1）/（q-1）对于k>=0。定义0<=k<=n的三角形M（q；n，k），其中M（q；n，0）=0^n用于n>=0，M（q；n，k）=0用于k>n，M（q；n，k）=M（q；n-1，k-1）+M（q；n-1，k）*f_q（k）用于0<k<=n。然后M（q；n，n）=1用于n>=0，并且矩阵逆I_q=M_q^（-1）存在。接下来定义0<=k<=n的三角形T（q；n，k），由T（q；n，0）=0^n定义n>=0的三角形T（q；n，k）=Sum_{i=0..n-k}i（q；n-k，i）*M（q；n-1+i，n-1）定义n<=n的三角形T（q；n，k）。对于n>=0，考虑lim_{q->1}（q^n-1）/（q-1）=n。
猜想：T（q；n+1，1）=Sum_{i=0..n}i（q；n，i）*M（q；n+i，n）=（f_q（n））^n=（（q^n-1）/（q-1））^n，对于n>=0。
猜想：T（q；n，k）=（和{i=0..n-k}（-1）^i*q多项式（n-1-i，k-1）*二项式（n-1，i）*q^（（n-k）*（n-k-i）））/（q-1）^（n-k。
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链接
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配方奶粉
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猜想：当n>=0时，T（n+1，1）=（2^n-1）^n。
猜想：T（n，k）=Sum_{i=0..n-k}（-1）^i*二项式（n-1，i）*[n-1-i，k-1]_2*2^（（n-k）*（n-k-i））对于0<k<=n，T（n）=0^n对于n>=0，其中[x，y]_2=A022166号（x，y）。
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例子
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0≤k≤n的三角形T（n，k）开始：
电话：0 1 2 3 4 5 6 7 8
===============================================================================
0 : 1
1 : 0 1
2 : 0 1 1
3 : 0 9 4 1
4 : 0 343 79 11 1
5 : 0 50625 6028 454 26 1
6 : 0 28629151 1741861 68710 2190 57 1
7 : 0 62523502209 1926124954 38986831 656500 9687 120 1
8 : 0 532875860165503 8264638742599 84816722571 734873171 5760757 40929 247 1
等。
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枫木
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A355282型：=proc（n，k），如果k=0，则0^n elif n=k，否则为1
添加(A342186型（n-k，i）*qStirling2（n+i-2，n-2，2），i=1..n-k）fi端：
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程序
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（PARI）mat（nn）=我的（m=矩阵（nn，nn））；对于（n=1，nn，对于（k=1，nn，m[n，k]=if（n==1，if（k==1,1，0），if；米\\A139382号
tabl（nn）=my（m=mat（3*nn），im=1/m）；矩阵（nn，nn，n，k，n-；k-；如果（k==0，0^n，k<n，sum（i=1，n-k，im[n-k，i]*m[n-1+i，n-1]），如果（k==n，1，0））\\米歇尔·马库斯2022年6月27日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A360657型
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| 与2-Stirling数和Lehmer-Comtet数相关的数字三角形T（见注释和公式部分）。 |
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1
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1, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 9, 5, 1, 0, 64, 37, 9, 1, 0, 625, 369, 97, 14, 1, 0, 7776, 4651, 1275, 205, 20, 1, 0, 117649, 70993, 19981, 3410, 380, 27, 1, 0, 2097152, 1273609, 365001, 64701, 7770, 644, 35, 1, 0, 43046721, 26269505, 7628545, 1388310, 174951, 15834, 1022, 44, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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通过递归定义A（n，k）=A（n-1，k-1）+（k+1）*A（n-1，k）为0<k<n，初始值A（n、n）=1，n>=0，以及A（n和0）=0，n>0。没有列k=0的A是114494英镑设B=A^（-1）不含列k=0的A.B的矩阵逆是A049444号现在定义T（m，k）=Sum_{i=0..m-k}B（m-k，i）*A（m-1+i，m-1）为0<k<=m=n/2，T（m、0）=0^m为0<=m=n/2；如果i<j或j<0，则T（i，j）=0。
推测：这个数组的转置是第二类Stirling数数组的LU因子分解中的上三角矩阵U，读作平方数组；相应的下三角数组L是第二类斯特林数的三角形。请参阅下面的示例部分-彼得·巴拉2023年10月10日
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链接
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配方奶粉
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有关三角形T的定义，请参阅“注释”部分。
推测公式：
1.T（n，k）=（和{i=k.n}A354794飞机（n，i）*（i-1）！）/（k-1）！对于0<k<=n。
2.温度（n，k）-k*T（n，k+1）=A354794飞机（n，k）对于0<=k<=n。
4.温度（n，2）=A055869号对于n>1，（n-1）=n^（n-1）-（n-1）^（n-1）。
5.T（n，k）=（和{i=0..k-1}（-1）^i*二项式（k-1，i）*（n-i）^（n-1））/（k-1）！对于0<k<=n。
6.和{i=1..n}（-1）^（n-i）*二项式（n-1+k，i-1）*T（n，i）*（i-1）！=（k-1）^（n-1）对于n>0和k>=0。
9.列k>0的示例f:Sum_{n>=k}T（n，k）*T^（n-1）/（n-1（W（-t）/（.t））*（和{n>=k}A354794飞机（n，k）*t^（n-1）/（n-1！）其中W是Lambert_W-函数。
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例子
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三角形T（n，k），0<=k<=n，开始：
电话：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
==========================================================================
0 : 1
1 : 0 1
2 : 0 2 1
3 : 0 9 5 1
4 : 0 64 37 9 1
5:0 625 369 97 14 1
6 : 0 7776 4651 1275 205 20 1
7 : 0 117649 70993 19981 3410 380 27 1
8 : 0 2097152 1273609 365001 64701 7770 644 35 1
9 : 0 43046721 26269505 7628545 1388310 174951 15834 1022 44 1
等。
发件人彼得·巴拉，2023年10月10日：（开始）
第二类Stirling数平方数组的LU因子分解（应用Xu，引理2.2）：
/ 1 \ / 1 1 1 1 ...\ / 1 1 1 1 ... \
|1 1 | | 2 5 9…| |1 3 6 10 ... |
| 1 3 1 || 9 37 ...| = | 1 7 25 65 ... |
| 1 7 6 1 || 64 ...| | 1 15 90 350 ... |
| ... || ...| | ... |
（结束）
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程序
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（PARI）表（m）={my（n=2*m，A=matid（n），B，T）；对于（i=2，n，对于（j=2，i，A[i，j]=A[i-1，j-1]+j*A[i-l，j]）；B=A^（-1）；T=矩阵（m，m，i，j，如果（j==1，0^（i-1），求和（r=0，i-j，B[i-j+1，r+1]*A[i1+r，i-1]））；}
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1、0、1、0、-2、1、0、1、-5、1、0、1、8、-9、1、0、2、4、29、-14、1、0、6、4、-10、75、-20、1、0、24、4、-41、-115、160、-27、1、0、120、-8、-147、-196、-490、301、-35、1、0、720、-136、-624、-392、-231、-1484、518、-444、1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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链接
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配方奶粉
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推测公式：
3.列k>0的示例f:Sum_{n>=k}T（n，k）*T^（n-1）/（n-1（1-t）*（和{n>=k}A354795型（n，k）*t^（n-1）/（n-1！）。
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例子
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0≤k≤n的三角形T（n，k）开始：
电话：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
=========================================================
0:1
1 : 0 1
2 : 0 -2 1
3:0 1-5 1
4 : 0 1 8 -9 1
5 : 0 2 4 29 -14 1
6 : 0 6 4 -10 75 -20 1
7 : 0 24 4 -41 -115 160 -27 1
8 : 0 120 -8 -147 -196 -490 301 -35 1
9:0 720-136-624-392-231-1484 518-44 1
等。
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程序
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（PARI）table（m）={my（n=2*m，A=matid（n），B，C，T）；对于（i=2，n，对于（j=2，i，A[i，j]=A[i-1，j-1]+j*A[i-1，j]）；B=A^（-1）；C=矩阵（m，m，i，j，if（j==1，0^（i-1），sum（r=0，i-j，B[i-j+1，r+1]*A[i-1+r，i-1]）；T=1/C；｝
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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