A088956-OEIS公司

A088956号

由行读取的双曲变换系数的三角形。

1, 1, 1, 3, 2, 1, 16, 9, 3, 1, 125, 64, 18, 4, 1, 1296, 625, 160, 30, 5, 1, 16807, 7776, 1875, 320, 45, 6, 1, 262144, 117649, 27216, 4375, 560, 63, 7, 1, 4782969, 2097152, 470596, 72576, 8750, 896, 84, 8, 1, 100000000, 43046721, 9437184, 1411788, 163296, 15750

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0, 4

序列{b}的双曲变换定义为由d（n）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*b（k）给出的序列{d}，其中T（n、k）=（n-k+1）^（n-k-1）*C（n，k）。

给定一个表，其中第n行是第一行的第n个二项式变换，则任何对角线的双曲变换都会导致表中的下一个下对角线。

迭代二项式变换表的最简单示例是A009998号，主对角线为{1,2,9,64625，…}；该对角线的双曲变换给出下一个下对角线{1,3,161251296，…}，因为1=（1）*1，3=（1。

另一个例子：双曲线变换图A065440号进入之内A055541号，因为HYPERBINOMIAL（[1,1,1,8,81102415625]）=[1,2,6,36320375054432]，其中f.：A065440号（x） +x=x-x/（兰伯特W（-x）*（1+LambertW（-x））），例如f.：A055541号（x） =x-x*LambertW（-x）。

超支化变换的第m次迭代由T_m（n，k）=m*（n-k+m）^（n-k-1）*二项式（n，k）定义的系数三角形给出。

示例：T_m的PARI代码：{a=[1,1,1,8,81102415625]；m=1；b=向量（长度（a））；对于（n=0，长度（a）-1，b[n+1]=总和（k=0，n，m*（n-k+m）^（n-k-1）*二项式（n，k）*a[k+1]）；print1（b[n+1]，“，”）}RETURNS b=[1,2,6,3632075054432]。

因此，逆双曲变换由m=-1:{a=[1,2,6,36320375054432]；m=-1；b=向量（长度（a））；对于（n=0，长度（a。

简单地说，HYPERBINOMIAL变换是到-LambertW（-x）/x，正如BINOMIL变换是到exp（x）一样。

设A[n]是n个节点上标记根树的所有林的集合。通过指定每个林中的“一些”（可能全部或没有）孤立节点，构建a[n]的超集B[n]。T（n，k）是B[n]中具有k个指定节点的元素数。请参见A219034型. -杰弗里·克雷策，2012年11月10日

链接

T.D.Noe，三角形n=0..50行，展平

T.科普兰，构图、共轭和脐部结石——第一部分, 2021.

G.赫尔姆斯，四分Pascalmatrix

E.W.Weisstein，阿贝尔多项式，摘自MathWorld-Wolfram Web资源。

与Pascal三角形相关的三角形和数组的索引项

配方奶粉

T（n，k）=（n-k+1）^（n-k-1）*C（n，k）。

例如：-LambertW（-x）*exp（x*y）/x-弗拉德塔·乔沃维奇2003年10月27日

发件人彼得·巴拉2012年9月11日：（开始）

设T（x）=Sum_{n>=0}n^（n-1）*x^n/n！表示的树函数A000169号例如，f.是（T（x）/x）*exp（T*x）=exp（T（x））*xp（T**）=1+（1+T）*x+（3+2*T+T^2）*x^2/2！ + .…因此，三角形是属于指数Appell群的指数Riordan数组[T（x）/x，x]。

矩阵功率(A088956号)^r具有例如f.exp（r*T（x））*exp（T*x），其中三角形项由r*（n-k+r）^（n-k-1）*二项式（n，k）给出，用于n和k>=0。请参见A215534型对于r=-1的情况。

设A（n，x）=x*（x+n）^（n-1）为阿贝尔多项式。当前三角形是连接常数的三角形，表示A（n，x+1）为基本多项式A（k，x），0<=k<=n的线性组合。例如，A（4，x+1，）=125*A（0，x）+64*A（1，x）+18*A（2，x）+4*A（3，x）+A（4、x）将第4行表示为[125,64,18,4,1]。

设S是序列[1,2,3，…]位于主副对角上的数组，其他地方为零。S是帕斯卡三角形的无穷小生成器（参见A132440号).那么这个三角形的无穷小生成器是S*A088956号也就是说，A088956号=支出（S*A088956号)，其中Exp是矩阵指数。

使用T（x）如上所述的树函数，定义E（x）=T（x）/x。然后A088956号=E（S）=Sum_{n>=0}（n+1）^（n-1）*S^n/n！。

对于下单位三角形矩阵A和B的交换，我们将A提升到矩阵幂B，表示为A^^B，定义为矩阵Exp（B*log（A）），其中矩阵对数log（A）定义为Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*（A-1）^n/n。让P表示Pascal三角形A007318号然后，现在的三角形称为X，求解矩阵方程P^^X=X。请参见A215652型对于X^^P=P的解。此外，如果我们用Y表示X的逆，那么X^^Y=P作为矩阵幂的无限塔，A088956号=（P^^（P^（…）））。

A088956号在第一个超对角线上加上序列（x，x，x…）是A105599号.

（结束）

T（n，k）=A095890号（n+1，k+1）*A007318号（n，k）/（n-k+1），0≤k≤n-莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月7日

求和{k=0..n}T（n，n-k）*（x-k-1）^（n-k）=x^n。设置x=n+1得出求和{k=0..n}T（n，k）*k^k=（n+1）^n-彼得·巴拉2017年2月17日

作为下三角矩阵，T项等于无符号A137542号*A007318号*签署A059297美元Pascal矩阵被夹在一对逆矩阵之间，因此该条目与Pascal阵共轭，允许T的收敛解析表达式，例如f（T），计算为f(A007318号)夹在相反的一对之间。 -汤姆·科普兰2021年12月6日

例子

行开始：

{1},

{1, 1},

{3, 2, 1},

{16, 9, 3, 1},

{125, 64, 18, 4, 1},

{1296, 625, 160, 30, 5, 1},

{16807, 7776, 1875, 320, 45, 6, 1},

{262144, 117649, 27216, 4375, 560, 63, 7, 1}, ...

数学

nn=8；t=总和[n^（n-1）x^n/n！，{n，1，nn}]；范围[0，nn]！系数列表[级数[Exp[t+yx]，{x，0，nn}]，{x，y}]//网格(*杰弗里·克雷策2012年11月10日*）

黄体脂酮素

（哈斯克尔）

a088956 n k=a095890（n+1）（k+1）*a007318'n k ` div`（n-k+1）

a088956_row n=地图（a088956 n）[0..n]

a088956_tabl=映射a088956行[0..]

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月7日

交叉参考

囊性纤维变性。A088957号（行总和），A000272号（第一列），A009998美元,A105599号,A132440号,A215534型（矩阵求逆），A215652型.

囊性纤维变性。A227325号（中心术语）。

囊性纤维变性。A007318号,A059297号,A137542号.

上下文中的序列：A166884号 A136220型 A248035型*A106208号 A350710型 A129377号

相邻序列：A088953号 A088954号 A088955号*A088957美元 A088958号 A088959号

关键词

非n,表,美好的

作者

保罗·D·汉纳2003年10月26日

状态

经核准的