A282629-组织环境信息系统

A282629型

Sheffer三角形（exp（x），exp（3*x）-1）。命名为S2[3,1]。

1, 1, 3, 1, 15, 9, 1, 63, 108, 27, 1, 255, 945, 594, 81, 1, 1023, 7380, 8775, 2835, 243, 1, 4095, 54729, 109890, 63180, 12393, 729, 1, 16383, 395388, 1263087, 1151010, 387828, 51030, 2187, 1, 65535, 2816865, 13817034, 18752391, 9658278, 2133054, 201204, 6561, 1, 262143, 19914660, 146620935, 285232185, 210789621, 69502860, 10825650, 767637, 19683

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,3

对于Sheffer三角形（无限下三角指数卷积矩阵），请参阅下面的W.Lang链接A006232号，带参考）。

m列序列的示例f.为（Sheffer属性）exp（x）*（exp（3*x）-1）^m/m！。

这是Sheffer三角形Stirling2（n，m）的推广=A048993号（n，m）表示为（exp（x），exp（x）-1），可命名为S2[1,0]。

这个Sheffer三角形的a序列有例如f.3*x/log（1+x），是3*A006232号（n）/A006233号（n）（第一类柯西数）。

z序列具有例如f.（3/（log（1+x）））*（1-1/（1+x）^（1/3）），并且是A284857型（n）/A284858型（n） ●●●●。

主对角线给出A000244号.

行总和给出A284859型.交替行和给出A284860型.

三角形出现在序列{（1+3*m）^n}_{m>=0}的o.g.f.g（n，x）中，如g（n、x）=Sum_{m=0..n}T（n，m）*m！*x^m/（1-x）^（m+1），n>=0。因此，相应的例如f.是通过线性拉普拉斯逆变换，e（n，t）=和{m>=0}（1+3*m）^n t^m/m！=exp（t）*Sum_{m=0..n}t（n，m）*t^m。

对应的具有反向行的欧拉三角形是rEu（n，k）=Sum_{m=0..k}（-1）^（k-m）*二项式（n-m，k-m）*T（n，k）*k！，0<=k<=n。这是A225117型带有行反转。

第一列k序列除以3^k为A000012号,A002450型（带前导0），A016223号,A021874号如f.s和o.g.f.s，见下文。 -沃尔夫迪特·朗2017年4月9日

发件人沃尔夫迪特·朗2017年8月9日：（开始）

Sheffer三角形S2[d，a]的一般行多项式R（d，a；n，x）=和{k=0..n}T（d，a；n，m）*x^m作为Boas-Buck类的特殊多项式满足恒等式（参见参考文献，我们使用Rainville定理50的符号，第141页，适用于指数生成函数）

（E_x-n*1）*R（d，a；n，x）=-n*a*R（d，a；n-1，x）-求和{k=0..n-1}二项式（n，k+1）*（-d）^（k+1）*Bernoulli（k+1。

对于n>m，这需要对列m的序列进行重复：

T（d，a；n，m）=（1/（n-m））*[（n/2）*（2*a+d*m）*T。 -沃尔夫迪特·朗，2017年8月9日（完）

三角Sheffer矩阵S2[3,1]的逆矩阵是S1[3,1，有理元素S1[3,1]（n，k）=（-1）^（n-k）*A286718型（n，k）/3^k-沃尔夫迪特·朗2018年11月15日

以美国数学家伊萨多·米切尔·谢弗（1901-1992）的名字命名。 -阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月19日

参考文献

Ralph P.Boas，Jr.和R.Creighton Buck，分析函数的多项式展开，Springer，1958年，第17-21页，（等式（6.11）中的最后一个符号应该是-）。

Earl D.Rainville，《特殊功能》，麦克米伦公司，纽约，1960年，ch.8，sect。 76, 140 - 146.

链接

迈克尔·德弗利格，n=0..11475时的n、a（n）表，行n=0..150，扁平。

帕韦·希琴科，导致（n/log n，n/log^2 n）-渐近正态性的一类多项式递归，arXiv:2403.03422[math.CO]，2024。见第9页。

沃尔夫迪特·朗，算术级数的幂和与广义Stirling、Euler和Bernoulli数，arXiv:math/1707.04451[math.NT]，2017年7月。

沃尔夫迪特·朗，Sheffer和Riordan数三角形对角序列的生成函数，arXiv:1708.01421[math.NT]，2017年8月。

配方奶粉

从上面给出的z序列中，列m=0的项T（n，0）=1的一个非平凡递归：T（n、0）=n*Sum_{j=0..n-1}z（j）*T（n-1，j），n>=1，T（0，0）=1。

上述a序列中列m>=1项的递归：T（n，m）=（n/m）*Sum_{j=0..n-m}二项式（m-1+j，m-1）*a（j）*T（n-1，m-1+j），m>=1。

行多项式R（n，x）（Meixner型）的递归：R（n，x）=（（3*x+1）+3*x*d_x）*R（n-1，x），带微分d_x，对于n>=1，输入R（0，x）=1。

T（n，m）=和{k=0..m}二项式（m，k）*（-1）^（k-m）*（1+3*k）^n/m！，0<=m<=n。

三角形的示例：exp（z）*exp（x*（exp（3*z）-1））（谢弗型）。

例如，m列的序列为exp（x）*（（exp（3*x）-1）^m）/m！（谢弗财产）。

发件人沃尔夫迪特·朗2017年4月9日：（开始）

标准三项递归：如果n<m，T（n，-1）=0，T（0，0）=1，T（m，n）=3*T（n-1，m-1）+（1+3*m）*T（n-1，m），如果n>=1。根据T（n，m）公式。与中给出的S2[3,2]的重现性进行比较A225466型.

m列序列的o.g.f.为3^m*x^m/Product_{j=0..m}（1-（1+3*j）*x）。（完）

就箍筋2而言=A048993号：T（n，m）=和{k=0..n}二项式（n，k）*3^k*Stirling2（k，m），0<=m<=n-沃尔夫迪特·朗2017年4月13日

列序列m:T（n，m）=（1/（n-m））*（（n/2）*（2+3*m）*T（n-1，m）+m*Sum_{p=m.n.n-2}二项式（n，p）*（-3）^（n-p）*Bernoulli（n-p。 -沃尔夫迪特·朗2017年8月9日

例子

三角形T（n，m）开始于：

n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0: 1

1: 1 3

2: 1 15 9

3: 1 63 108 27

4: 1 255 945 594 81

5: 1 1023 7380 8775 2835 243

6: 1 4095 54729 109890 63180 12393 729

7: 1 16383 395388 1263087 1151010 387828 51030 2187

8: 1 65535 2816865 13817034 18752391 9658278 2133054 201204 6561

9: 1 262143 19914660 146620935 285232185 210789621 69502860 10825650 767637 19683

...

------------------------------------------------------------------------------------

z序列中m=0列的非平凡递归：T（4,0）=4*（1*1+63*（-1/6）+108*（11/54）+27*（-49/108））=1。

a序列中m=2列的递归：T（4，2）=（4/2）*（1*63*3+2*108*（3/2）+3*27*（-3/6））=945。

行多项式R（3，x）（Meixner型）的递归：（（3*x+1）+3*x*d_x）*（1+15*x+9*x^2）=1+63*x+108*x^2+27*x^3。

n=1次幂{（1+3*m）^1｝_{m>=0｝的E.g.f.和o.g.fA016777号：E（1，x）=exp（x）*（T（1，0）+T（1、1）*x）=exp（x）*（1+3*x）。O.g.f.：g（1，x）=T（1，0）*0！/（1-x）+T（1,1）*1！*x/（1-x）^2=（1+2*x）/（1-x）^2。

列m=2和n=4:T（4，2）=（1/2）*（2*（2+3*2）*T（3，2）+2*6*（-3）^2*bernoulli（2）*T（2，2））=（1/2）*（16*108+12*9*（1/6）*9）=945的Boas-Buck递推。 -沃尔夫迪特·朗2017年8月9日

数学

表[总和[二项式[m，k]（-1）^（k-m）（1+3 k）^n/m！，{k，0，m}]，{n，0，9}，{m，0，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格，2017年4月8日*）

黄体脂酮素

（PARI）T（n，m）=和（k=0，m，二项式（m，k）*（-1）^（k-m）*（1+3*k）^n/m！);

对于（n=0，9，对于（m=0，n，打印1（T（n，m），“，”）；）；打印（）； ) \\因德拉尼尔·戈什2017年4月8日

交叉参考

囊性纤维变性。A000012号,A000244号,A006232号/A006233号,A016777号,A024036号,A111577号,A225117型,A225466型,A284857型,A284858型,A284859型,A284860型,A284861型,A286718型.

上下文中的序列：A136231号 A113389年 A038553号*A135896号 A134144号 A035342号

相邻序列：A282626型 A282627型 A282628型*A282630型 A282631型 A282632型

关键词

非n,容易的,表

作者

沃尔夫迪特·朗2017年4月3日

状态

经核准的