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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A282629号 谢弗三角(exp(x),exp(3*x)-1)。命名为S2[3,1]。 21
1、1、1、1、1、1、3、1、15、9、1、63、108、27、1、1、255、945、594、81、81、1、1023、7380、8775、28352835、243、1、4095、54729、54729、109890、63180、12393、729、1、1、163383、395388 395388、12630871263087、1151010、387828、51030、21828、51030、2187、1、65535、1、65535、28535、281653585、138117034、1875239391、9658278、213330554、201204、6561、6561、1、262143143143199146160、199146209353535218521087896216950286010825650 763719683 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

关于谢弗三角形(无限下三角指数卷积矩阵),见W。Lang链接下A006232,参考文献)。

m列序列的e.g.f.为(Sheffer property)exp(x)*(exp(3*x)-1)^m/m!。

这是谢弗三角形Stirling2(n,m)的推广=A048993号(n,m)用(exp(x),exp(x)-1表示,可以命名为S2[1,0]。

这个Sheffer三角形的a序列有例如3*x/log(1+x)并且是3*A006232(n)/A006233号(n) (第一类柯西数)。

z序列具有e.g.f.(3/(log(1+x)))*(1-1/(1+x)^(1/3)),并且A284857号(n)/A284858号(n) 一。

主对角线给出A000244号.

行总和A284859号. 交替行和给出A284860号.

{m{m,m}=0.m}的和*x^m/(1-x)^(m+1),n>=0。因此,通过线性反拉普拉斯变换,对应的e.g.f.为e(n,t)=和{m>=0}(1+3*m)^n t^m/m!=exp(t)*和{m=0..n}t(n,m)*t^m。

对应的倒行欧拉三角形是rEu(n,k)=和{m=0..k}(-1)^(k-m)*二项式(n-m,k-m)*T(n,k)*k!,0<=k<=n。这是A225117型行反转。

第一列k序列除以3^k是A000012号,A002450(带前导0),A016223号,A021874号. e.g.f.s和o.g.f.s见下文-狼牙2017年4月9日

狼牙2017年8月9日:(开始)

一般行多项式R(d,a;n、 x)=和{k=0..n}T(d,a;n、 Sheffer三角S2[d,a]的m)*x^m满足Boas-Buck类的特殊多项式的恒等式(见参考文献,我们使用Rainville的符号,定理50,p。141,适用于指数生成函数)

(E_x-n*1)*R(d,a);n、 x)=-n*a*R(d,a;n-1,x)-和{k=0..n-1}二项式(n,k+1)*(-d)^(k+1)*Bernoulli(k+1)*E_x*R(d,a;n-1-k,x),其中E_x=x*d/dx(欧拉算子)。

对于n>m,这意味着m列序列的重复性:

T(d,a;n、 m)=(1/(n-m))*[(n/2)*(2*a+d*m)*T(d,a);n-1,m)+m*和{p=m..n-2}二项式(n,p)(-d)^(n-p)*Bernoulli(n-p)*T(d,a;p、 m)],输入T(d,a;n、 n)=d^n。对于目前的[d,a]=[3,1]情况,请参见下面的公式和示例部分-狼牙2017年8月9日(结束)

这个三角Sheffer矩阵S2[3,1]的逆是S1[3,1],有理元素S1[3,1](n,k)=(-1)^(n-k)*邮编:A286718(n,k)/3^k-狼牙2018年11月15日

以美国数学家伊萨多·米切尔·谢弗(Isador Mitchell Sheffer,1901-1992)命名-阿米拉姆埃尔达2021年6月19日

参考文献

拉尔夫P。小博阿斯和R。Creighton Buck,《解析函数的多项式展开式》,Springer,1958年,第17-21页,(公式(6.11)中的最后一个符号应该是-)。

伯爵。Rainville,《特殊功能》,麦克米伦公司,纽约,1960年,第8章,第1节。76,140-146。

链接

n=0..54时的n,a(n)表。

沃尔夫迪特·朗,关于算术级数的幂和,以及广义的斯特林数、欧拉数和伯努利数,arXiv:math/1707.04451[math.NT],2017年7月。

沃尔夫迪特·朗,关于Sheffer和Riordan数三角形对角线序列的生成函数,arXiv:1708.01421[math.NT],2017年8月。

公式

列m=0项T(n,0)=1的一个非平凡递归:T(n,0)=n*和{j=0..n-1}z(j)*T(n-1,j),n>=1,T(0,0)=1。

从上面给出的a序列中m>=1个项目的递归:T(n,m)=(n/m)*Sum{j=0..n-m}二项式(m-1+j,m-1)*a(j)*T(n-1,m-1+j),m>=1。

行多项式R(n,x)(Meixner型)的递推:R(n,x)=((3*x+1)+3*x*d_x)*R(n-1,x),带微分d_x,对于n>=1,输入R(0,x)=1。

T(n,m)=和{k=0..m}二项式(m,k)*(-1)^(k-m)*(1+3*k)^n/m!,0<=m<=n。

E、 三角形的g.f.:exp(z)*exp(x*(exp(3*z)-1))(Sheffer型)。

E、 m列序列的g.f.为exp(x)*((exp(3*x)-1)^m)/m(谢弗财产)。

狼牙2017年4月9日:(开始)

标准三项递推:T(n,m)=0,如果n<m,T(n,-1)=0,T(0,0)=1,T(n,m)=3*T(n-1,m-1)+(1+3*m)*T(n-1,m),n>=1。与中给出的S2[3,2]的重复性进行比较254A266型.

m列序列的o.g.f.为3^m*x^m/乘积{j=0..m}(1-(1+3*j)*x)(结束)

就斯特林而言2=A048993号:T(n,m)=和{k=0..n}二项式(n,k)*3^k*Stirling2(k,m),0<=m<=n-狼牙2017年4月13日

列序列m的Boas-Buck递推:T(n,m)=(1/(n-m))*[(n/2)*(2+3*m)*T(n-1,m)+m*和{p=m..n-2}二项式(n,p)(-3)^(n-p)*Bernoulli(n-p)*T(p,m)],对于n>m>=0,输入T(m,m)=3^m。见上面的评论-狼牙2017年8月9日

例子

三角形T(n,m)开始于:

n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0:1个

1: 13个

2: 1 15 9

3: 1 63 108 27

4: 1 255 945 594 81

5: 1 1023 7380 8775 2835 243

6: 1 4095 54729 109890 63180 12393 729

7: 16383 395388 1263087 1151010 387828 51030 2187

8: 1 65535 2816865 13817034 18752391 9658278 2133054 201204 6561

9: 1 262143 19914660 146620935 285232185 210789621 69502860 10825650 767637 19683

...

------------------------------------------------------------------------------------

z序列m=0列的非平凡递推:T(4,0)=4*(1*1+63*(-1/6)+108*(11/54)+27*(-49/108))=1。

a序列m=2列的递推:T(4,2)=(4/2)*(1*63*3+2*108*(3/2)+3*27*(-3/6))=945。

行多项式R(3,x)(Meixner型):((3*x+1)+3*x*d_x)*(1+15*x+9*x^2)=1+63*x+108*x^2+27*x^3。

E、 n=1次方{(1+3*m)^1}{m>=0}的g.f.和o.g.fA016777号:E(1,x)=扩展(x)*(T(1,0)+T(1,1)*x)=扩展(x)*(1+3*x)。O、 g.f.:g(1,x)=T(1,0)*0/(1-x)+T(1,1)*1*x/(1-x)^2=(1+2*x)/(1-x)^2。

列m=2,n=4:T(4,2)=(1/2)*[2*(2+3*2)*T(3,2)+2*6*(-3)^2*bernoulli(2)*T(2,2))]=(1/2)*(16*108+12*9*(1/6)*9)=945-狼牙2017年8月9日

数学

表[和[二项式[m,k](-1)^(k-m)(1+3k)^n/m{k、 0,m}],{n,0,9},{m,0,n}]//展平(*迈克尔·德维列格2017年4月8日*)

黄体脂酮素

(PARI)T(n,m)=和(k=0,m,二项式(m,k)*(-1)^(k-m)*(1+3*k)^n/m!);

对于(n=0,9,对于(m=0,n,print1(T(n,m),“,”);print();)\\印度教2017年4月8日

交叉引用

囊性纤维变性。A000012号,A000244号,A006232/A006233号,A016777号,A024036号,A111577号,A225117型,A225466号,A284857号,A284858号,A284859号,A284860号,邮编:A284861,邮编:A286718.

上下文顺序:A136231 邮编:A113389 A038553号*邮编:A135896 A134144 A035342号

相邻序列:邮编:A282626 邮编:A282627 A282628号*A282630 邮编:A282631 邮编:A282632

关键字

,容易的,

作者

狼牙2017年4月3日

状态

经核准的

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上次修改日期:2021年7月31日13:25。包含346373个序列(在oeis4上运行。)