0,3个

关于谢弗三角形（无限下三角指数卷积矩阵），见W。Lang链接下A006232，参考文献）。

m列序列的e.g.f.为（Sheffer property）exp（x）*（exp（3*x）-1）^m/m！。

这是谢弗三角形Stirling2（n，m）的推广=A048993号（n，m）用（exp（x），exp（x）-1表示，可以命名为S2[1,0]。

这个Sheffer三角形的a序列有例如3*x/log（1+x）并且是3*A006232（n）/A006233号（n） （第一类柯西数）。

z序列具有e.g.f.（3/（log（1+x）））*（1-1/（1+x）^（1/3）），并且A284857号（n）/A284858号（n） 一。

主对角线给出A000244号.

行总和A284859号. 交替行和给出A284860号.

{m{m，m}=0.m}的和*x^m/（1-x）^（m+1），n>=0。因此，通过线性反拉普拉斯变换，对应的e.g.f.为e（n，t）=和{m>=0}（1+3*m）^n t^m/m！=exp（t）*和{m=0..n}t（n，m）*t^m。

对应的倒行欧拉三角形是rEu（n，k）=和{m=0..k}（-1）^（k-m）*二项式（n-m，k-m）*T（n，k）*k！，0<=k<=n。这是A225117型行反转。

第一列k序列除以3^k是A000012号,A002450（带前导0），A016223号,A021874号. e.g.f.s和o.g.f.s见下文-狼牙2017年4月9日

从狼牙2017年8月9日：（开始）

一般行多项式R（d，a；n、 x）=和{k=0..n}T（d，a；n、 Sheffer三角S2[d，a]的m）*x^m满足Boas-Buck类的特殊多项式的恒等式（见参考文献，我们使用Rainville的符号，定理50，p。141，适用于指数生成函数）

（E_x-n*1）*R（d，a）；n、 x）=-n*a*R（d，a；n-1，x）-和{k=0..n-1}二项式（n，k+1）*（-d）^（k+1）*Bernoulli（k+1）*E_x*R（d，a；n-1-k，x），其中E_x=x*d/dx（欧拉算子）。

对于n>m，这意味着m列序列的重复性：

T（d，a；n、 m）=（1/（n-m））*[（n/2）*（2*a+d*m）*T（d，a）；n-1，m）+m*和{p=m..n-2}二项式（n，p）（-d）^（n-p）*Bernoulli（n-p）*T（d，a；p、 m）]，输入T（d，a；n、 n）=d^n。对于目前的[d，a]=[3,1]情况，请参见下面的公式和示例部分-狼牙2017年8月9日（结束）

这个三角Sheffer矩阵S2[3,1]的逆是S1[3,1]，有理元素S1[3,1]（n，k）=（-1）^（n-k）*邮编：A286718（n，k）/3^k-狼牙2018年11月15日

以美国数学家伊萨多·米切尔·谢弗（Isador Mitchell Sheffer，1901-1992）命名-阿米拉姆埃尔达2021年6月19日

拉尔夫P。小博阿斯和R。Creighton Buck，《解析函数的多项式展开式》，Springer，1958年，第17-21页，（公式（6.11）中的最后一个符号应该是-）。

伯爵。Rainville，《特殊功能》，麦克米伦公司，纽约，1960年，第8章，第1节。76，140-146。

n=0..54时的n，a（n）表。

沃尔夫迪特·朗，关于算术级数的幂和，以及广义的斯特林数、欧拉数和伯努利数，arXiv:math/1707.04451[math.NT]，2017年7月。

沃尔夫迪特·朗，关于Sheffer和Riordan数三角形对角线序列的生成函数，arXiv:1708.01421[math.NT]，2017年8月。

列m=0项T（n，0）=1的一个非平凡递归：T（n，0）=n*和{j=0..n-1}z（j）*T（n-1，j），n>=1，T（0，0）=1。

从上面给出的a序列中m>=1个项目的递归：T（n，m）=（n/m）*Sum{j=0..n-m}二项式（m-1+j，m-1）*a（j）*T（n-1，m-1+j），m>=1。

行多项式R（n，x）（Meixner型）的递推：R（n，x）=（（3*x+1）+3*x*d_x）*R（n-1，x），带微分d_x，对于n>=1，输入R（0，x）=1。

T（n，m）=和{k=0..m}二项式（m，k）*（-1）^（k-m）*（1+3*k）^n/m！，0<=m<=n。

E、 三角形的g.f.：exp（z）*exp（x*（exp（3*z）-1））（Sheffer型）。

E、 m列序列的g.f.为exp（x）*（（exp（3*x）-1）^m）/m(谢弗财产）。

从狼牙2017年4月9日：（开始）

标准三项递推：T（n，m）=0，如果n<m，T（n，-1）=0，T（0，0）=1，T（n，m）=3*T（n-1，m-1）+（1+3*m）*T（n-1，m），n>=1。与中给出的S2[3,2]的重复性进行比较254A266型.

m列序列的o.g.f.为3^m*x^m/乘积{j=0..m}（1-（1+3*j）*x）(结束）

就斯特林而言2=A048993号：T（n，m）=和{k=0..n}二项式（n，k）*3^k*Stirling2（k，m），0<=m<=n-狼牙2017年4月13日

列序列m的Boas-Buck递推：T（n，m）=（1/（n-m））*[（n/2）*（2+3*m）*T（n-1，m）+m*和{p=m..n-2}二项式（n，p）（-3）^（n-p）*Bernoulli（n-p）*T（p，m）]，对于n>m>=0，输入T（m，m）=3^m。见上面的评论-狼牙2017年8月9日

三角形T（n，m）开始于：

n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0:1个

1： 13个

2： 1 15 9

3： 1 63 108 27

4： 1 255 945 594 81

5： 1 1023 7380 8775 2835 243

6： 1 4095 54729 109890 63180 12393 729

7： 16383 395388 1263087 1151010 387828 51030 2187

8： 1 65535 2816865 13817034 18752391 9658278 2133054 201204 6561

9： 1 262143 19914660 146620935 285232185 210789621 69502860 10825650 767637 19683

...

------------------------------------------------------------------------------------

z序列m=0列的非平凡递推：T（4,0）=4*（1*1+63*（-1/6）+108*（11/54）+27*（-49/108））=1。

a序列m=2列的递推：T（4，2）=（4/2）*（1*63*3+2*108*（3/2）+3*27*（-3/6））=945。

行多项式R（3，x）（Meixner型）：（（3*x+1）+3*x*d_x）*（1+15*x+9*x^2）=1+63*x+108*x^2+27*x^3。

E、 n=1次方{（1+3*m）^1}{m>=0}的g.f.和o.g.fA016777号：E（1，x）=扩展（x）*（T（1，0）+T（1，1）*x）=扩展（x）*（1+3*x）。O、 g.f.：g（1，x）=T（1，0）*0/(1-x）+T（1，1）*1*x/（1-x）^2=（1+2*x）/（1-x）^2。

列m=2，n=4:T（4，2）=（1/2）*[2*（2+3*2）*T（3，2）+2*6*（-3）^2*bernoulli（2）*T（2，2））]=（1/2）*（16*108+12*9*（1/6）*9）=945-狼牙2017年8月9日

表[和[二项式[m，k]（-1）^（k-m）（1+3k）^n/m{k、 0，m}]，{n，0，9}，{m，0，n}]//展平(*迈克尔·德维列格2017年4月8日*）

（PARI）T（n，m）=和（k=0，m，二项式（m，k）*（-1）^（k-m）*（1+3*k）^n/m！）；

对于（n=0，9，对于（m=0，n，print1（T（n，m），“，”）；print（）；）\\印度教2017年4月8日

囊性纤维变性。A000012号,A000244号,A006232/A006233号,A016777号,A024036号,A111577号,A225117型,A225466号,A284857号,A284858号,A284859号,A284860号,邮编：A284861,邮编：A286718.

上下文顺序：A136231 邮编：A113389 A038553号*邮编：A135896 A134144 A035342号

相邻序列：邮编：A282626 邮编：A282627 A282628号*A282630 邮编：A282631 邮编：A282632

不,容易的,表

狼牙2017年4月3日

经核准的