搜索： 编号：a048993
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A048993号
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| 第二类斯特林数三角，S（n，k），n>=0，0<=k<=n。 |
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250
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 7, 6, 1, 0, 1, 15, 25, 10, 1, 0, 1, 31, 90, 65, 15, 1, 0, 1, 63, 301, 350, 140, 21, 1, 0, 1, 127, 966, 1701, 1050, 266, 28, 1, 0, 1, 255, 3025, 7770, 6951, 2646, 462, 36, 1, 0, 1, 511, 9330, 34105, 42525, 22827, 5880, 750, 45, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,9
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评论
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也称为斯特林集合数。
S（n，k）将n个集合的分区枚举为k个非空子集。
对角线k序列的o.g.f.（主对角线的k=0）是g（k，x）=（（x^k）/（1-x）^（2*k+1））*Sum_{m=0..k-1}A008517号（k，m+1）*x^m。A008517号是二阶欧拉三角形-沃尔夫迪特·朗2005年10月14日
Sum_{k=0..n}S（n，k）*x^k=B_n（x），其中B_n（x）=贝尔多项式。前几个贝尔多项式是：
B_0（x）=1；
B_1（x）=0+x；
B_2（x）=0+x+x^2；
B_3（x）=0+x+3x^2+x^3；
B_4（x）=0+x+7x^2+6x^3+x^4；
B_5（x）=0+x+15x^2+25x^3+10x^4+x^5；
B_6（x）=0+x+31x^2+90x^3+65x^4+15x^5+x^6；
（结束）
关联类型S=（1，exp（x）-1）的这个下三方Sheffer矩阵的转置（反式）（对于任意大的N，取为N x N矩阵）提供了从基{x^N/N和{m>=n}S^{trans}（n，m）x^m/m！=和{m>=0}x^m/m*S（m，n）。
序列{a_n}的S=（g，f）到{b_n}（n>=0）的Sheffer变换，在矩阵表示法vec（b）=Svec（a）中，满足例如f.S a和b，b（x）=g（x）*a（f（x））和b（x）=a（y（x）！（类似于vec（yhat））。
（结束）
对于k>=1S（n，k）=h^{（k）}_{n-k}，k符号的完全齐次对称函数1,2。。。，k、 因此，S（n，k）对于k>=1，表示维数为n-k的多选（k，n-k）=二项式（n-1，k-1）多面体的（无量纲）体积，其边长来自集合{1，2，…，k}。请参阅下面的示例-沃尔夫迪特·朗2017年5月26日
{1，2，…，n+1}到k+1非空子集的分区数，这样就没有子集包含两个相邻的数字-托马斯·安东2022年9月26日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第835页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第310页。
J.H.Conway和R.K.Guy，《数字书》，斯普林格出版社，第92页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第223页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年，第244页。
J.Riordan，《组合分析导论》，第48页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
Xi Chen、Deb主教、Alexander Dyachenko、Tomack Gilmore和Alan D.Sokal，线性递归定义的某些矩阵的系数全正性，arXiv:2012.03629[math.CO]，2020年。
杰拉德·杜尚、卡罗尔·A·彭森、艾伦·I·所罗门、安德烈·霍泽拉和帕维尔·布莱西亚克，单参数群与组合物理，arXiv:quant-ph/0401126，2004年。
W.Steven Gray和Makhin Thitsa，系统互连与组合整数序列，in：系统理论（SSST），2013年第45届东南研讨会，会议日期：2013年3月11日至11日，数字对象标识符：10.1109/SSST.2013.6524939。
X.-T.Su、D.-Y.Yang和W.-W.Zhang，关于广义阶乘的一个注记《澳大利亚组合数学杂志》，第56卷（2013年），第133-137页。
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配方奶粉
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S（n，k）=k*S（n-1，k）+S（n-1，k-1），n>0；S（0，k）=0，k>0；S（0，0）=1。
Equals[0，1，0，2，0，3，0，4，0，5，…]DELTA[1，0，1，0，1，0，1，0，1，…]其中DELTA是在A084938号.
S（n，k）=和{i=0..k}（-1）^（k+i）二项式（k，i）i^n/k-保罗·巴里2004年8月5日
G.f.：1/（1-xy/（1-x/（1-xy/-保罗·巴里2009年12月6日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-（y+k）*x-（k+1）*y*x^2/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月9日
例如，对于行多项式s（n，x）=Sum_{k=0..n}s（n，k）*x^k是exp（x*（exp（z）-1））（Sheffer属性）。例如，具有k个前导零的第k列序列为（（exp（x）-1）^k）/k！（谢弗财产）-沃尔夫迪特·朗2014年10月16日
对于列k:x^k/Product_{j=1..k}（1-j*x），k>=0（k=0的空积放入1）。见Abramowitz-Stegun，第824页，公元前24.1.4年-沃尔夫迪特·朗2017年5月26日
列序列m:S（n，k）=（k/（n-k））*（（n*S（n-1，k）/2+Sum_{p=k.n-2}（-1）^（n-p）*二项式（n，p）*Bernoulli（n-p）*S（p，k））的Boas-Buck递推，对于n>k>=0，输入T（k，k）=1。请参阅中的注释和参考A282629型下面给出了一个示例-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
第n行多项式的形式为xoxo。。。o x（n个因子），其中o表示Bala中定义的白菱形乘法运算符-参见示例E4-彼得·巴拉2018年1月7日
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例子
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三角形S（n，k）开始于：
n \k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0: 1
1: 0 1
2:0 1 1
3: 0 1 3 1
4: 0 1 7 6 1
5: 0 1 15 25 10 1
6: 0 1 31 90 65 15 1
7: 0 1 63 301 350 140 21 1
8: 0 1 127 966 1701 1050 266 28 1
9: 0 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1
10: 0 1 511 9330 34105 42525 22827 5880 750 45 1
11: 0 1 1023 28501 145750 246730 179487 63987 11880 1155 55 1
12:0 1 2047 86526 611501 1379400 1323652 627396 159027 22275 1705 66 1
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完全对称函数S（4,2）=h^{（2）}_2=1^2+2^2+1^1*2^1=7；S（5，2）=h^{（2）}_3=1^3+2^3+1^2*2^1+1^1*2^2=15-沃尔夫迪特·朗2017年5月26日
复发：S（5，3）=S（4，2）+2*S（4，3）=7+3*6=25。
列m=3和n=5:S（5，3）=（3/2）*（（5/2）*S（4，3）+10*Bernoulli（2）*S（3，3）））=（1/2）*（15+10*（1/6）*1）=25的Boas-Buck递推-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
（结束）
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MAPLE公司
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数学
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t[n_，k_]：=箍筋S2[n，k]；表[t[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*罗伯特·威尔逊v*)
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=0，22，对于（k=0，n，print1（stirling（n，k，2），“，”））；打印（））\\乔格·阿恩特2013年4月21日
（最大值）create_list（stirling2（n，k），n，0，12，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
（哈斯克尔）
a048993 n k=a048993_tabl！！不！！k个
a048993_row n=a048993 _ tabl！！n个
a048993_tabl=迭代（\row->
[0]++（zipWith（+）行$zipWise（*）[1..]$尾行）++[1]）[1]
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交叉参考
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关键词
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作者
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