搜索： a008292-编号：a008293
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0, 0, 1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, 2036, 4083, 8178, 16369, 32752, 65519, 131054, 262125, 524268, 1048555, 2097130, 4194281, 8388584, 16777191, 33554406, 67108837, 134217700, 268435427, 536870882, 1073741793, 2147483616, 4294967263, 8589934558
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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欧拉三角形有两种版本：
*A173018型格雷厄姆、克努特和帕塔什尼克在《混凝土数学》中使用的欧拉三角形版本。(1990).
Euler的三角形行和列索引约定：
*A008292号欧拉三角形的行和列都是从1开始索引的。（经典版本：在Riordan和Comtet的经典著作中使用。）
半长n的Dyck路径的数量正好有一个长上升（即至少有两个长度上升）。例如：a（4）=11，因为在半长4的14条Dyck路径中，没有一条长上升的路径是UDUDUD（无长上升）、UUDDUUD和UUDUUDDD（两条长上升）。这里U=（1,1）和D=（1，-1）。还有具有n个边的有序树的数量，这些边恰好具有一个分支节点（即，出度的顶点至少为两个）-Emeric Deutsch公司2004年2月22日
{1,2，…，n}的置换数正好有一个下降（即置换（p（1），p（2），。。。，p（n））使得{i:p（i）>p（i+1）}=1）。例如，a（3）=4，因为{1,2,3}的一个下降排列是132、213、231和312。
恰好有一个块大小大于1的n个集合的分区数。例如：a（4）=11，因为如果分区集是{1,2,3,4}，那么我们有1234、123|4、124|3、134|2、1|234、12|3|4、13|2|4、14|2|3、1|23 |4、1|24 |3和1|2|34-Emeric Deutsch公司2006年10月28日
n将a（n+1）除以n=A014741号（n） ={1、2、6、18、42、54、126、162、294、342、378、486、882、1026…}-亚历山大·阿达姆楚克2006年11月3日
（避开模式321、2413、3412、21534的排列数）减1-珍妮·卢克·巴里尔2007年11月1日，2008年3月21日
棱镜图Y_n的色不变量。
高度为n-1的完整二叉树的标签数，这样从根到任何叶的每条路径都包含{1,2，…，n-1}中的每个标签一次迈克尔·维埃哈伯（Vielhaber（AT）gmail.com），2009年11月18日
另外，弱结合律X（（YZ）T）=（X（YZ，））T在带有n个开括号和n个闭括号的单词上生成的非平凡等价类的数目。同时还研究了n片叶子二叉树剪枝嫁接格中的join（resp.met）-不可约元素的个数Jean Pallo，2010年1月8日
该序列的非零项可以从从帕斯卡三角形中提取的第三个子三角形的行和中找到，如下括号所示：
1;
1, 1;
{1}, 2, 1;
{1, 3}, 3, 1;
{1, 4, 6}, 4, 1;
{1, 5, 10, 10}, 5, 1;
{1, 6, 15, 20, 15}, 6, 1;
对于整数a、b，用a<+>b表示最小c>=a，使得汉明距离D（a，c）=b（注意，一般来说，a<+>b与b<+>a不同）。那么对于n>=3，a（n）=n<+>n。这有一个简单的解释：对于二进制中的n>=3，我们有一个（n）=（2^n-1）-n=“anti-n”-弗拉基米尔·舍维列夫2012年2月14日
a（n）是具有至少一对01的长度为n的二进制序列的数目-Branko外翻2012年5月23日
a（n）是按以下方式构造的长度n个二进制单词的数量：选择两个位置，在其中放置单词的前两个0。用1填充第二个0之前的所有位置（可能没有），然后用0或1的任意字符串完成单词。因此a（n）=Sum_{k=2..n}（k-1）*2^（n-k）-杰弗里·克雷策2013年12月12日
如果没有第一个0:a（n）/2^n等于Sum_{k=0..n}k/2^k。例如：a（5）=57，57/32=0/1+1/2+2/4+3/8+4/16+5/32-鲍勃·塞尔科，2014年2月25日
从（0,1,4,11，…）开始，这是（0,12,2,2，…）的二项式变换-加里·亚当森2015年7月27日
同时给出了n三角蜂巢图中（非空）连通诱导子图的个数-埃里克·韦斯特因，2017年8月27日
a（n）是在最坏的情况下，使用（自底向上）heapify将具有n个完整级别的二叉树转换为堆所需的交换次数-鲁迪·范·弗利特，2017年9月19日
具有n个参与者的大型网络，特别是社交网络的效用由该序列的a（n）项给出。这种说法被称为里德定律，请参阅维基百科链接-约翰内斯·梅耶尔2019年6月3日
a（n-1）是{1..n}的子集数，其中集合中的最大元素超过了下一个最大元素至少2。例如，对于n=5，a（4）=11，11个集合是{1,3}、{1,4}、}1,5}、2,4}，{2,5}，}3,5}和{1,2,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年4月8日
a（n-1）也是{1..n}的子集数，其中集合的第二个最小元素至少超过最小元素2。例如，对于n=5，a（4）=11，11个集合是{1,3}、{1,4}、}1,5}、2,4}，{2,5}，}3,5}和{1,3,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年4月9日
a（n+1）是{1..n}所有子集的最小元素之和。例如，对于n=3，a（4）=11；{1,2,3}的子集为{1}、{2}、}3}、[1,2}，{1,3}，[2,3}和[1,1,3}]，最小元素之和为11-恩里克·纳瓦雷特2020年8月20日
在不同比赛中，对n-1匹马、狗等进行“全场”下注的个人下注次数。每匹马等可以下注或不下注，下注2^n次。但是，按照惯例，单打（只在一场比赛中下注）不包括在内，因此下注总数减少了n。也不可能完全不下注，下注数量再减少1。因此，4匹马、狗等的全套是6个双人、4个三重和1个四匹马等的累加器。在英国博彩业中，这种对4匹马等的赌注是扬基队的；5号，超级洋基队-保罗·杜克特，2021年11月17日
长度为n且至少有两个1的二进制序列的数量。
a（n-1）是从n个元素中选择奇数个大于或等于3个元素的方法的数量。
a（n+1）是将[n]={1,2，…，n}拆分为两个（可能为空）互补间隔{1,2…，i}和{i+1，i+2，…，n}，然后从第一个间隔（2^i选项，0<=i<=n）中选择子集，从第二个间隔（n-i选项，0<=i<=n）选择一个块/单元（即子间隔）的方法数。
（完）
n个行星系统中可能的连词数；例如，一个行星可以有0个连接，一个有两个行星，四个有三个行星（三对行星加上一个所有三个行星），依此类推-温迪·阿普尔比2023年1月2日
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参考文献
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O.Bottema，问题#562，Nieuw Archief voor Wiskunde，28（1980）115。
L.Comtet，“按上升数排列；欧拉数”，《高级组合数学：有限和无限扩张的艺术》第6.5节，英文版。ed.多德雷赫特，荷兰：Reidel，第51页和第240-2461974页。
F.N.David和D.E.Barton，《组合机会》。纽约州哈夫纳，1962年，第151页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年。
D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，第3卷，第34页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第215页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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E.Banaian、S.Butler、C.Cox、J.Davis、J.Landgraf和S.Ponce通过rook布局推广欧拉数，arXiv:1508.03673[math.CO]，2015年。
J.L.Baril和J.M.Pallo，二叉树的剪枝嫁接格《理论计算机科学》，4092008382-393。
P.J.Cameron、M.Gadouleau、J.D.Mitchell和Y.Peresse，子半群链，arXiv预印本arXiv:1501.06394[math.GR]，2015。见表4。
Shelby Cox、Pratik Misra和Pardis Semnani，最大似然度一的正态多项式和高斯模型，arXiv:2402.06090[math.AG]，2024。
本杰明·海卢因·德梅尼布斯（Benjamin Hellouin de Menibus）和伊万·勒博格内（Yvan Le Borgne），一维“岩纸剪刀”循环元胞自动机的渐近行为，arXiv:1903.12622[math.PR]，2019年。
帕斯卡·弗洛奎特（Pascal Floquet）、谢尔盖·多梅内克（Serge Domenech）和卢克·皮布洛（Luc Pibouleau），尖锐分离系统综合的组合数学：生成函数和搜索效率准则《工业工程与化学研究》，第33页，第440-443页，1994年。
帕斯卡·弗洛奎特（Pascal Floquet）、谢尔盖·多梅内克（Serge Domenech）、卢克·皮布洛（Luc Pibouleau）和赛义德·艾利（Said Aly），锐利分离系统合成组合数学中的一些补码《美国化学工程学会杂志》，39（6），第975-978页，1993年。
E.T.Frankel，数字与有限差分的微积分《美国数学月刊》，57（1950），14-25。[带注释的扫描副本]
J.W.Moon，比赛中没有旁路的弧线问题，组合理论期刊。B 21（1976年），第1期，第71-75页。MR0427129（55#165）。
J.M.Pallo，弱结合性和受限旋转《信息处理快报》，109，2009，514-517。
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。[带注释的扫描副本]
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
D.P.Roselle，按上升和连续次数排列，程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》，20（1968），8-16。
D.P.Roselle，按上升和连续次数排列，程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》，19（1968），8-16。[带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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a（n）=2^n-n-1。
通用格式：x^2/（（1-2*x）*（1-x）^2）。
a（0）=0、a（1）=0，a（n）=3*a（n-1）-2*a（n-2）+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
对于Z中的所有n，a（0）=0，a（n）=2*a（n-1）+n-1。
a（n）=和{k=2..n}二项式（n，k）-保罗·巴里2003年6月5日
a（n+1）=和{i=1..n}和{j=1..i}C（i，j）-贝诺伊特·克洛伊特2003年9月7日
a（n+1）=2^n*和{k=0..n}k/2^k-贝诺伊特·克洛伊特，2003年10月26日
当i>1时，a（0）=0，a（1）=0、a（n）=Sum_{i=0..n-1}i+a（i）-杰拉尔德·麦卡维2004年6月12日
a（n+1）=和{k=0..n}（n-k）*2^k-保罗·巴里2004年7月29日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k+2）；a（n+2）=和{k=0..n}二项式（n+2,k+2）-保罗·巴里，2004年8月23日
a（n）=和{k=0..floor（（n-1）/2）}二项式（n-k-1，k+1）*2^（n-k-2）*（-1/2）^k-保罗·巴里2004年10月25日
a（0）=0，a（n）=Sum_{k=0..n-1}2^k-1-道格·贝尔2009年1月19日
a（n）=n*（2F1（[1,1-n]，[2]，-1）-1）-奥利维尔·杰拉德2011年3月29日
例如：exp（x）*（exp（x）-1-x）；这是U（0），其中U（k）=1-x/（2^k-2^k/（x+1-x^2*2^（k+1）/（x*2^（k+1）-（k+1）/U（k+1）））；（连分数，第3类，4步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月1日
a（0）=0；a（1）=0；对于n>1:a（n）=和{i=1..2^（n-1）-1}A001511号（i） ●●●●-大卫·西格斯2019年2月26日
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例子
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G.f.=x^2+4*x^3+11*x^4+26*x^5+57*x^6+120*x^7+247*x^8+502*x^9+。。。
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MAPLE公司
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[seq（2^n-n-1，n=1..50）]；
#语法规范：
规范：=[S，{B=集合（Z，1<=卡），C=序列（B，2<=卡”），S=生产（B，C）}，未标记]：
结构：=n->combstruct[count]（规范，大小=n+1）；
seq（结构（n），n=0..33）#彼得·卢什尼2014年7月22日
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数学
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a[n]=n*（超几何PFQ[{1，1-n}，{2}，-1]-1）；表[a[n]，{n，1，30}](*奥利维尔·杰拉德，2011年3月29日*）
线性递归[｛4，-5，2｝，｛0，0，1｝，40](*文森佐·利班迪2015年7月29日*）
表[2^n-n-1，{n，20}](*埃里克·韦斯特因，2017年11月16日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）a000295 n=2^n-n-1--莱因哈德·祖姆凯勒2013年11月25日
（岩浆）[0..40]]中[2^n-n-1:n//文森佐·利班迪2015年7月29日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A008292号（Comtet（1974）使用的欧拉三角形的经典版本）。
囊性纤维变性。A173018型（Graham、Knuth和Patashnik在《混凝土数学》（1990）中使用的欧拉三角形版本）。
囊性纤维变性。A008949号,A000079号,A002662号（部分金额），A002663号,A002664号,A035039号-A035042号,A000108号,A014741号,A130128号,A130330型,A131768号,A130321号,A131816号,A000975号,A016031号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 11, 66, 302, 1191, 4293, 14608, 47840, 152637, 478271, 1479726, 4537314, 13824739, 41932745, 126781020, 382439924, 1151775897, 3464764515, 10414216090, 31284590870, 93941852511, 282010106381, 846416194536, 2540053889352, 7621839388981, 22869007827143
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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3,2
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评论
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欧拉三角形有两种版本：
*A173018型格雷厄姆、克努特和帕塔什尼克在《混凝土数学》中使用的欧拉三角形版本。(1990).
Euler的三角形行和列索引约定：
*A008292号欧拉三角形的行和列都是从1开始索引的。（经典版本：在Riordan和Comtet的经典著作中使用。）
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参考文献
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L.Comtet，“按上升数排列；欧拉数”，《高级组合数学：有限和无限扩张的艺术》第6.5节，英文版。ed.多德雷赫特，荷兰：Reidel，第51页和第240-2461974页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第243页。
F.N.David和D.E.Barton，《组合机会》。纽约州哈夫纳，1962年，第151页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第260页。
J.B.Remmel等人，Dowling格的Whitney数的Benoumhani多项式的组合性质，离散数学。，342 (2019), 2966-2983. 参见第2981页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第215页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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E.Banaian、S.Butler、C.Cox、J.Davis、J.Landgraf和S.Ponce通过rook布局推广欧拉数，arXiv:1508.03673[math.CO]，2015年。
E.T.Frankel，数字与有限差分的微积分《美国数学月刊》，57（1950），14-25。[带注释的扫描副本]
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。[带注释的扫描副本]
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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G.f.：x^3*（1+x-4*x^2）/（（1-x）^3x（1-2*x）^2*（1-3*x））-迈克·扎布罗基2004年11月10日
a（n）=3^n-（n+1）*2^n+（1/2）*n*（n+1-加里·德特利夫斯2011年11月11日
例如：exp（x）*（exp（2*x）-（1+2*x）*exp（x）+x+x^2/2）-沃尔夫迪特·朗，2017年4月17日
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MAPLE公司
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A000460号：=-z*（-1-z+4*z*2）/（-1+3*z）/（2*z-1）**2/（z-1）**3#西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
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数学
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k=3；表[k^（n+k-1）+总和[（-1）^i/i！*（k-i）^（n+k-1）*乘积[n+k+1-j，{j，1，i}]，{i，1，k-1}]，}n，1，23}]（*或*）
数组[3^（#+2）-（#+3）*2^（#1+2）+（1/2）*（#+2）*（#+3）&，23](*迈克尔·德弗利格2015年8月4日，PARI之后*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[3^n-（n+1）*2^n+（1/2）*n*（n+1//文森佐·利班迪2017年4月18日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A008292号（Comtet（1974）使用的欧拉三角形的经典版本）。
囊性纤维变性。A173018型（Graham、Knuth和Patashnik在《混凝土数学》（1990）中使用的欧拉三角形版本）。
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 26, 302, 2416, 15619, 88234, 455192, 2203488, 10187685, 45533450, 198410786, 848090912, 3572085255, 14875399450, 61403313100, 251732291184, 1026509354985, 4168403181210, 16871482830550, 68111623139600
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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4,2
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评论
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欧拉三角形有两种版本：
*A173018型格雷厄姆、克努特和帕塔什尼克在《混凝土数学》中使用的欧拉三角形版本。(1990).
Euler的三角形行和列索引约定：
*A008292号欧拉三角形的行和列都是从1开始索引的。（经典版本：在Riordan和Comtet的经典著作中使用。）
n个字母正好有3个降序的排列数。
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参考文献
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L.Comtet，“按上升数排列；欧拉数”，《高级组合数学：有限和无限扩张的艺术》第6.5节，英文版。ed.多德雷赫特，荷兰：Reidel，第51页和第240-2461974页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第243页。
F.N.David和D.E.Barton，《组合机会》。纽约州哈夫纳，1962年，第151页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第260页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第215页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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E.Banaian、S.Butler、C.Cox、J.Davis、J.Landgraf和S.Ponce通过rook布局推广欧拉数，arXiv:1508.03673[math.CO]，2015年。
E.T.Frankel，数字与有限差分的微积分《美国数学月刊》，57（1950），14-25。[带注释的扫描副本]
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。[带注释的扫描副本]
常系数线性递归的索引项，签名（20，-175882，-28356072，-87778458，-52041848，-288）。
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配方奶粉
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总尺寸：x^4*（1+6*x-43*x^2+44*x^3+52*x^4-72*x^5）/（（1-x）^4*。
a（n）=（6*4^n-6*（n+1）*3^n+3*（n）*。（完）
如果n>3是素数，则a（n）==1（mod n）。一个推广：如果A_t（n）表示n个字母的排列数，正好有t个下降（欧拉三角形的t+1列A008292号)那么，对于素数n>t，我们有一个（n）==1（modn）-弗拉基米尔·舍维列夫2010年9月26日
例如：exp（x）*（exp（3*x）-（1+3*x）*exp（2*x）+2*（x+2*x^2/2！）*exp（x）-x^2/2！-x^3/3！）-沃尔夫迪特·朗，2017年4月17日
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例子
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有一个4的排列，正好有3个下降（4321）。
共有5个排列中的26个，有3个下降：15432、21543、25431、31542、32154、32541、35421、41532、42153、42531、43152、43215、43521、45321、51432、52143、52431、53142、53214、53241、53421、54132、54213、54231、54312Neven Juric，2010年1月21日。
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MAPLE公司
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A000498号：=程序（n）；4^n-（n+1）*3^n+1/2*（n）*（n+1；结束时间：
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数学
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线性递归[{20，-175，882，-2835，6072，-8777，8458，-5204，1848，-288}，{1，26，302，2416，15619，88234，455192，2203488，10187685，45533450}，30](*Jean-François Alcover公司2016年2月9日*）
表[（6*4^n-6*（n+1）*3^n+3*（n）*(*G.C.格鲁贝尔2017年10月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）用于（n=4,50，打印1（（6*4^n-6*（n+1）*3^n+3*（n）*（n+1）*2^n-（n-1）*（n\\G.C.格鲁贝尔2017年10月23日
（岩浆）[（6*4^n-6*（n+1）*3^n+3*（n）*//G.C.格鲁贝尔2017年10月23日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A008292号（Comtet（1974）使用的欧拉三角形的经典版本。）
囊性纤维变性。A173018型（Graham、Knuth和Patashnik在《混凝土数学》（1990）中使用的欧拉三角形版本。）
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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经核准的
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1, 2, 22, 604, 31238, 2620708, 325024572, 55942352184, 12765597850950, 3730771315561300, 1359124435588313876, 603916464771468176392, 321511316149669476991132, 202039976682357297272094824, 147980747895225006590333244088, 124963193751534047864734415925360
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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根据Bidkhori和Sullivant参考文献的摘要，作者证明了“Eulerian-Catalan数列举了Dyck置换，[提供了]这一事实的两个证明，第一个是使用经证明的多边形几何，第二个是通过Chung-Feller定理的Eulerian-Catalan模拟直接的组合证明。”-乔纳森·沃斯邮报，2011年1月7日
上升n次的{1,2，…，2n}排列数的两倍-彼得·卢什尼2011年1月11日
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链接
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F.阿迪拉，加泰罗尼亚拟阵，J.组合理论系列。A 104（2003）49-62。
Hoda Bidkhori和Seth Sullivant，欧拉-卡塔兰数，arXiv:1101.1108[math.CO]，2011年。
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配方奶粉
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a（n）=2和{k=0..n}（-1）^k二项式（2n+1，k）（n-k+1）^（2n）。
a（n）=（n+1）^（-1）和{k=0..n}（-1-彼得·卢什尼2011年1月11日
a（n）=（2n）！*[x^（2n）y^n]（exp（x）-y*exp（y*x））/（exp。
a（n）=（2n+1）/（n+1）*[x^（2n+1）y^（n+1。（完）
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MAPLE公司
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A:=proc（n，k）选项记忆；
如果n=0且k=0，则为1
elif k>n或k<0，然后为0
其他（n-k）*A（n-1，k-1）+（k+1）*A
fi（菲涅耳）
结束时间：
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数学
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<<离散数学`组合数学`
表[（欧拉[2*n+1，n]）/（n+1），{n，0，20}]
（*第二个节目：*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）
A177042号：=函数=func<n|n eq 0选择1其他2*（&+[（-1）^k*二项式（2*n+1，k）*（n-k+1）^（2*n）：[0..n]]中的k）>；
（SageMath）
定义A177042号（n） ：返回范围（n+1）中k的2*sum（（-1）^k*二项式（2*n+1，k）*（n-k+1）^（2*n））-int（n==0）
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交叉参考
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关键词
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非n,改变
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作者
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经核准的
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1, 57, 1191, 15619, 156190, 1310354, 9738114, 66318474, 423281535, 2571742175, 15041229521, 85383238549, 473353301060, 2575022097600, 13796160184500, 73008517581444, 382493246941965, 1987497491971605, 10258045633638475
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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5,2
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评论
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欧拉三角形有两种版本：
*A173018型格雷厄姆、克努特和帕塔什尼克在《混凝土数学》中使用的欧拉三角形版本。(1990).
Euler的三角形行和列索引约定：
*A008292号欧拉三角形的行和列都是从1开始索引的。（经典版本：在Riordan和Comtet的经典著作中使用。）
n个字母正好有4个降序的排列数Neven Juric，2010年1月21日
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参考文献
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L.Comtet，“按上升数排列；欧拉数”，《高级组合数学：有限和无限扩张的艺术》第6.5节，英文版。ed.多德雷赫特，荷兰：Reidel，第51页和第240-2461974页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第243页。
F.N.David和D.E.Barton，《组合机会》。纽约州哈夫纳，1962年，第151页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第260页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第215页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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E.T.Frankel，数字与有限差分的微积分《美国数学月刊》，57（1950），14-25。[带注释的扫描副本]
常系数线性递归的索引项，签名（35，-560，5432，-35714，168542，-589632，1556776，-3126949，4777591，-5506936，4703032，-2881136，1195632，-300672，34560）。
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配方奶粉
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例如：（1/24）*exp（x）*（x^4+8*x^3+12*x^2）-4*exp-文锦Woan2007年10月21日
G.f.：（1+22*x-244*x^2+422*x^3+2575*x^4-12012*x^5+17828*x^6-5664*x^7-9552*x^8+6912*x^9）*（x/（1-x））^5/Product_{j=1..4}（1-（6-j）*x）^j。参见2017年4月3日的评论A123125号. -沃尔夫迪特·朗2017年4月3日
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数学
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k=5；表[k^（n+k-1）+总和[（-1）^i/i！*（k-i）^（n+k-1）*乘积[n+k+1-j，{j，1，i}]，{i，1，k-1}]，}n，1，19}](*迈克尔·德弗利格2015年8月4日，PARI之后A001243号*)
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黄体脂酮素
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（PARI）A（n）=5^（n+4）-（n+5）*4^
（岩浆）[5^（n+4）-（n+5）*4^//G.C.格鲁贝尔，2017年10月23日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A008292号（Comtet（1974）使用的欧拉三角形的经典版本）。
囊性纤维变性。A173018型（Graham、Knuth和Patashnik在《混凝土数学》（1990）中使用的欧拉三角形版本）。
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 8, 1, 1, 36, 36, 1, 1, 133, 420, 133, 1, 1, 449, 3334, 3334, 449, 1, 1, 1446, 21939, 49364, 21939, 1446, 1, 1, 4534, 130044, 560957, 560957, 130044, 4534, 1, 1, 13991, 724222, 5459561, 10284514, 5459561, 724222, 13991, 1, 1, 42747, 3880014
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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评论
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第n行给出了（1/4）*（1+x）^n+（9/4）*2^n*（1-x）^（1+n）*Phi（x，-n，1/2）-（3/2）*（1-x）^。
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链接
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配方奶粉
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例如：（exp（（1+x）*y）-6*（1-x）^2*exp（y*（1-x））/（1-x*exp-弗兰克·马米尼里娜·拉马哈罗2018年10月20日
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例子
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三角形开始：
1;
1, 1;
1, 8, 1;
1, 36, 36, 1;
1, 133, 420, 133, 1;
1, 449, 3334, 3334, 449, 1;
1, 1446, 21939, 49364, 21939, 1446, 1;
1, 4534, 130044, 560957, 560957, 130044, 4534, 1;
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数学
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p[x_，n]=1/4*（1+x）^n+9/4*2^n*（1-x）^（1+n）*LerchPhi[x，-n，1/2]-3/2*（1-x）^；
表[系数列表[FullSimplify[p[x，n]]，x]，{n，0，10}]//展平
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黄体脂酮素
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（最大值）
A008292号（n，k）：=总和（（-1）^j*（k-j）^n*二项式（n+1，j），j，0，k）$
A060187号（n，k）：=总和（（-1）^（k-j）*二项式（n，k-j）x（2*j-1）^（n-1），j，1，k）$
创建_列表（T（n，k），n，0，10，k，0，n）；
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 120, 4293, 88234, 1310354, 15724248, 162512286, 1505621508, 12843262863, 102776998928, 782115518299, 5717291972382, 40457344748072, 278794377854832, 1879708669896492, 12446388300682056, 81180715002105741
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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6,2
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评论
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欧拉三角形有两种版本：
*A173018型格雷厄姆、克努特和帕塔什尼克在《混凝土数学》中使用的欧拉三角形版本。(1990).
Euler的三角形行和列索引约定：
*A008292号欧拉三角形的行和列都是从1开始索引的。（经典版本：在Riordan和Comtet的经典著作中使用。）
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参考文献
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L.Comtet，“按上升数排列；欧拉数”，《高级组合数学：有限和无限扩张的艺术》第6.5节，英文版。ed.多德雷赫特，荷兰：Reidel，第51页和第240-2461974页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第243页。
F.N.David和D.E.Barton，《组合机会》。纽约州哈夫纳，1962年，第151页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第260页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第215页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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常系数线性递归的索引项签名（56，-1470，24052，-275135，2339340，-15343384，79518296，-330867999，1116881584，-3077867318，6944399940，-12825741073，19327952588，-23608674132，23125043824，-17872240112，10637255232，-4697205696，1447365888，-277447680，24883200）。
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配方奶粉
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a（n）=6^（n+6-1）+和{i=1..6-1}（（-1）^i/i！）*（6-i）^（n+6-1）*乘积_{j=1..i}（n+6+1-j）-Randall L Rathbun公司2002年1月23日
例如：（1/120）*（120*经验（6*x）-120*（1+5*x）*exp（5*x）+480*x*（1+2*x）*1xp（4*x）-540*x^2*（1+x）*exp（3*x）+80*x^3*（2+x）*经验（2*x）-x^4*（5+x）*1exp（x））-文锦Woan2007年10月25日（修订人G.C.格鲁贝尔2017年10月24日）
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数学
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k=6；表[k^（n+k-1）+总和[（-1）^i/i！*（k-i）^（n+k-1）*乘积[n+k+1-j，{j，1，i}]，{i，1，k-1}]，}n，1，17}](*迈克尔·德弗利格2015年8月4日，PARI之后*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A000514号（n） =6^（n+6-1）+总和（i=1，6-1，（-1）^i/i*（6-i）^（n+6-1）*prod（j=1，i，n+6+1-j））
（PARI）x='x+O（'x^50）；Vec（塞拉普拉斯（（1/120）*（120*经验（6*x）-120*（1+5*x）*exp（5*x）+480*x*（1+2*x）*经验（4*x）-540*x^2*（1+x）*exp（3*x）+80*x^3*（2+x）*1xp（2*x）-x^4*（5+x）*exp（x））））\\G.C.格鲁贝尔，2017年10月24日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A008292号（Comtet（1974）使用的欧拉三角形的经典版本）。
囊性纤维变性。A173018型（Graham、Knuth和Patashnik在《混凝土数学》（1990）中使用的欧拉三角形版本）。
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 247, 14608, 455192, 9738114, 162512286, 2275172004, 27971176092, 311387598411, 3207483178157, 31055652948388, 285997074307300, 2527925001876036, 21598596303099900, 179385804170146680
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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7,2
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评论
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欧拉三角形有两种版本：
*A173018型格雷厄姆、克努特和帕塔什尼克在《混凝土数学》中使用的欧拉三角形版本。(1990).
Euler的三角形行和列索引约定：
*A008292号欧拉三角形的行和列都是从1开始索引的。（经典版本：在Riordan和Comtet的经典著作中使用。）
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参考文献
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L.Comtet，“按上升数排列；欧拉数”，《高级组合数学：有限和无限扩张的艺术》第6.5节，英文版。ed.多德雷赫特，荷兰：Reidel，第51页和第240-2461974页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第243页。
F.N.David和D.E.Barton，《组合机会》。纽约州哈夫纳，1962年，第151页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第260页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第215页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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常系数线性递归的索引项,签名(84, -3360, 85204, -1538460, 21061260, -227279184, 1984514004, -14280788214, 85828895124, -435042172944, 1872967672764, -6883607484444, 21668771179044, -58531231913904, 135734401224444, -270012108240369, 459750737925864, -667610836187984, 822369705703584, -852988627596768, 737567996531840, -524515347742464, 301116476275200, -135928473663744, 46399971446784, -11247176540160, 1723509964800, -125411328000).
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配方奶粉
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a（n）=7^（n+7-1）+和{i=1..7-1}（（-1）^i/i！）*（7-i）^（n+7-1）*乘积_{j=1..i}（n+7+1-j）-Randall L Rathbun公司2002年1月23日
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数学
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k=7；表[k^（n+k-1）+总和[（-1）^i/i！*（k-i）^（n+k-1）*乘积[n+k+1-j，{j，1，i}]，{i，1，k-1}]，}n，1，15}](*迈克尔·德弗利格，2015年8月4日，PARI*之后）
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黄体脂酮素
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（PARI）A001243号（n） =7^（n+7-1）+总和（i=1，7-1，（-1）^i/i*（7-i）^（n+7-1）*prod（j=1，i，n+7+1-j））
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交叉参考
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囊性纤维变性。A008292号（Comtet（1974）使用的欧拉三角形的经典版本。）
囊性纤维变性。A173018型（Graham、Knuth和Patashnik在《混凝土数学》（1990）中使用的欧拉三角形版本。）
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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经核准的
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0, 1, 0, 1, 0, 1, 2, -2, 0, 1, 8, -8, 0, 1, 22, -6, -32, 16, 0, 1, 52, 84, -272, 136, 0, 1, 114, 606, -1168, -96, 816, -272, 0, 1, 240, 2832, -2176, -8832, 11904, -3968, 0, 1, 494, 11122, 11072, -83360, 71168, 13312, -31744, 7936, 0, 1, 1004, 39772, 148592, -472760, -17152, 831232, -707584, 176896
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,7
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评论
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行总和是一。
第n行给出了Sum_{j=1..n}展开式中的系数A008292号（n，j）*x^j*（1-x）^（n-j）。
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链接
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配方奶粉
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第n行由多项式（1-2*x）^（n+1）*Li（-n，x/（1-x））/（1-x）生成，其中Li（n，z）是多对数函数。
也由求和{k=0..n}（欧拉（n，k）*求和{l=0..n}（-1）^l*（n-l+1）*（2-x）^l*C（l+1，k））生成穆拉德·拉赫马尼（mrahmani（AT）usthb.dz），2010年7月22日
例如：（x*exp（2*x*y）-x*exp（y））/（x*xp（y）-（1-x）*exp-弗兰克·马米尼里娜·拉马哈罗2018年10月24日
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例子
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三角形开始：
0, 1;
0, 1;
0, 1, 2, -2;
0, 1, 8, -8;
0, 1, 22, -6, -32, 16;
0, 1, 52, 84, -272, 136;
0, 1, 114, 606, -1168, -96, 816, -272;
0, 1, 240, 2832, -2176, -8832, 11904, -3968;
0, 1, 494, 11122, 11072, -83360, 71168, 13312, -31744, 7936;
0, 1, 1004, 39772, 148592, -472760, -17152, 831232, -707584, 176896;
...
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MAPLE公司
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CL:=p->多项式工具：-系数列表（p，x）：展平：=seq->列表工具：-展平（seq）：展扁（[seq（CL（add(A008292号（n，j）*x^j*（1-x）^（n-j），j=1..n），n=1..10）]）#彼得·卢什尼2018年10月25日
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数学
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表[系数列表[FullSimplify[（1-2x）^（1+n）*PolyLog[-n，x/（1-x）]/（1-x）]，x]，{n，1，10}]//展平
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
定义A（n，k）：（0..k）中j的返回和（（-1）^j*二项式（n+1，j）*（k-j）^n）
def p（n，x）：返回和（A（n，j）*x^j*（1-x）^（n-j）for j in（0..n））
定义T（n）：返回（p（n，x））.full_simplify（）.系数（稀疏=假）
压扁（[T（n）代表n in（1..12）]）#G.C.格鲁贝尔2021年7月15日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A122753号,A123018号,123019年,A123021号,A123027号,A123199号,A123202号,A123217号,2012年12月21日,A144387号,A144400号,A174128号.
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关键词
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签名,标签
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作者
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扩展
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 13, 13, 1, 1, 29, 71, 29, 1, 1, 61, 311, 311, 61, 1, 1, 125, 1205, 2435, 1205, 125, 1, 1, 253, 4313, 15653, 15653, 4313, 253, 1, 1, 509, 14635, 88289, 156259, 88289, 14635, 509, 1, 1, 1021, 47875, 455275, 1310479, 1310479, 455275, 47875
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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行总和为1、2、7、28、131、746、5097、40440、363127、3629302、39917813，..=2^n-n个+A033312号（n+1）。
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链接
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配方奶粉
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例子
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1;
1, 1;
1, 5, 1;
1, 13, 13, 1;
1, 29, 71, 29, 1;
1, 61, 311, 311, 61, 1;
1, 125, 1205, 2435, 1205, 125, 1;
1, 253, 4313, 15653, 15653, 4313, 253, 1;
1, 509, 14635, 88289, 156259, 88289, 14635, 509, 1;
1, 1021, 47875, 455275, 1310479, 1310479, 455275, 47875, 1021, 1;
1, 2045, 152681, 2203607, 9738323, 15724499, 9738323, 2203607, 152681, 2045, 1;
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MAPLE公司
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数学
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<<离散数学`Combinatorica`；
t[n_，m_，0]：=二项式[n，m]；
t[n_，m_，1]：=欧拉[1+n，m]；
t[n，m，q]：=t[n、m、q]=t[n，m，q-1]+t[n、m、q-2]-1；
表格[扁平[表格[表格[t[n，m，q]，{m，0，n}]，{n，0，10}]]，{q，0，10}]
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交叉参考
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关键词
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作者
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