多对数

下载Mathematica笔记本 多对数

多对数利恩(Z)也称为JunQui''''函数,即函数。

 Lyn(z)=SuMuz(k=1)^ ftY(Z^ k)/(k^ n)
(1)

定义在复平面在露天单位圆盘. 整体定义复平面然后独特地通过解析延拓.

注意类似记数法 李(Z)用于对数积分.

多对数也表示。f(z,n)等等于

 Lyn(z)=Zphi(z,n,1),
(2)

在哪里?Phi(z,n,a)勒赫超越(艾德莱伊)等。1981,P 30)。多对数在费曼图积分中出现,特别是在计算电子-回旋磁比的量子电动力学修正中,以及特殊情况。n=2n=3被称为二次对数三重对数,分别。多对数是在沃尔夫拉姆语言作为多谱勒[NZ]

多对数也是以积分形式的封闭形式出现的。费米-狄拉克分布

 In 0^ ffTy(k^ SDK)/(e^(k-亩)+1)=- Gamma(S+1)Li(1 +S)(-E^ MU),
(3)

在哪里?伽玛(z)γ函数玻色-爱因斯坦分布

 In 0^ ffTy(k^ SDK)/(e^(k-亩)- 1)=γ(S+1)Li~(1+s)(E^μ)。
(4)

特例Z=1减少到

 LiS(1)=zeta(s),
(5)

在哪里?泽塔(S)黎曼ζ函数. 然而,要注意的是利斯(Z)关于固定配合物S不是完全明确的,因为它取决于如何S四维逼近(s,z)空间

多对数负整数订单产生之和形式的

SuMuz(k=1)^(fftI)k^ nr^ k=李(-n)(r)
(6)
=1(/(1-R)^(n+1))SuMuxi(i=0)^(n)<n;i>r^(n- i);
(7)

在哪里?< >是一个欧拉数. 广义对数之和也产生了多对数调和数 H~(n,r)作为

 SuMuz(n=1)^ fnTyHig(n,r)Z^ n=(Lyr r(z))/(1-z)
(8)

Z<1.

低阶多对数的特殊形式包括

Li~(- 2)(x)=(x(x+1))/((1-x)^ 3)
(9)
Li~(- 1)(x)=x/((1-x)^ 2)
(10)
LIY0(x)=x/(1-x)
(11)
LIY1(x)=-Ln(1-x)。
(12)

在争论中- 11,一般的多对数变为

利因(1)=-η(n)
(13)
利恩(1)=ζ(n),
(14)

在哪里?埃塔(X)狄利克雷-η函数泽塔(X)黎曼ζ函数. 参数的多对数1/2也可以对小的进行分析评价。N

LIY1(1/2)=LN2
(15)
LIY2(1/2)=1/(12)〔π2-6(LN2)^ 2〕
(16)
LIY3(1/2)=1(24)〔4(LN2)^ 3-2Pi^ 2Ln2+21Zeta(3)〕。
(17)

对于高阶(勒温1991,P 2),没有类似的公式。LIY4(1/2)在电子的旋磁比中出现三阶修正项。

多对数的导数本身是一个多对数,

 d/(dx)Lyn(x)=1/xLiiz(n-1)(x)。
(18)

贝利等。表明

 (Lym m(1/(64)))/(6 ^(M-1))-(Lym m(1/8))/(3 ^(M-1))-(2LyIm(1/4))/(2 ^(M-1))+(4LyIm(1/2))/9 -(5(-LN2)^ m)/(9M!)(+)(π2(-Ln2)^(M-2))/(54(M-2)!)-(π4(-Ln2)^(m-4))/(486(m-4)!)-(403Zeta(5)(-LN2)^(M 5))/(1296(M 5)!)= 0。
(19)

多对数存在着许多显著的恒等式,包括令人满意的惊人身份。Li~(17)(αp~(17))在哪里AlpHAY1=(x^(10)+x^ 9 x^ 8x^ 6x^ ^ x^ 4-x^ 3 x+x+ 1)约1.17628(OEIS)A073011是最小的塞勒姆常数,即多项式中最大的正根Lehmer的马勒测度问题(科恩等。1992;贝利和BuldHurST 1999;BurWein和贝利2003,pp.8-9)。

没有一般算法已知函数的多对数函数的积分。

WOWLAM网络资源

Mathematica

第1种工具,用来制作演示和任何技术。

WalfRAMαalpha

用第一个计算知识引擎探索任何东西。

沃尔夫示范项目

在科学、数学、工程、技术、商业、艺术、金融、社会科学等领域探索数以千计的免费应用。

计算机基础数学

积极推进数学教育现代化。

在线积分计算器

用WalfRAMα求积分。

一步一步的解决方案

从头到尾循序渐进地完成家庭作业。提示帮助你自己尝试下一步。

钨问题发生器

无限的随机实践问题和答案与内置的逐步解决方案。在网上练习或制作一张可打印的学习表。

沃尔夫拉姆教育门户网站

WOLFRAM教育专家的教学和学习工具的集合:动态教科书,课程计划,小部件,互动演示,等等。

钨语言

为每个人提供基于知识的编程。