显示找到的24个结果中的1-10个。
连续分数A137245号=总和(1/(p log p),p素数)=1.63661632335126。。。
+20 0
1, 1, 1, 1, 3, 32, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 3, 6, 1, 3, 1, 3, 6, 8, 1, 4, 17, 1, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 5, 15, 1, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 25, 1, 8, 10, 1, 1, 11, 2, 2, 25, 2, 16, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 11, 4, 35, 3, 1, 1, 9, 59, 1, 2, 2, 1
黄体脂酮素
(PARI)s=1.636616323351226086856965800392186367111815970761312;e=.1^默认值(realprecision);a=[控制(s+e),控制(s-e)];对于(n=1,min(#a[1],#a[2]),a[1][n]==a[2][n]&print1(a[1][n]“,”)
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271
评论
一个数字p是素数,当(且仅当)它大于1,并且除了1和p之外没有正除数。
一个自然数是素数,当且仅当它恰好有两个(正)除数。
一个素数正好有一个正除数1。
Kaoru Motose的论文如下所示:“设q是梅森数2^p-1的素数除数,其中p是素数。那么p是2的阶(mod q)。因此p是q-1和q>p的除数。这表明存在无穷多个素数。”-Pieter Moree,2004年10月14日
1不是素数,因为如果素数包含1,那么自然数n分解为素数乘积的因式分解就不是唯一的,因为n=n*1。
1949年5月9日EDSAC电子计算机计算出的第二个序列(见Renwick链接)-俄罗斯考克斯2006年4月20日
一个数字n是素数,当且仅当它不同于零且不同于一个单位,并且n的每一个倍数都分解成因子,使得n至少可以除一个因子。这同样适用于整数(一个素数正好有四个除数(除数的定义放宽了,可以是负数)和正整数(素数恰好有两个不同的除数)-彼得·卢什尼2012年10月9日
孙志伟受连续素数交替和表示整数的猜想的启发,对任意正整数n,他猜想多项式P_n(x)=Sum_{k=0..n}a(k+1)*x^k在具有Galois群S_n的有理数域上是不可约的,而且P_n/2.似乎没有关于多项式不可约性的已知准则暗示了这个猜想-孙志伟2013年3月23日
等价地:数字p>1,使得b=p-1是唯一的基数>=1,其中基数b的备用数字和为0。
等价:数字p>1,使所有基数1<=b<p-1的基-b交替数字和<>0。(结束)
猜想:素数因子<=素数(n+1)的数字是{k|k^f(n)mod primorial(n)=1},其中f(n)=lcm(素数(i)-1,i=1..n)=A058254号(n) 和初生(n)=A002110号(n) ●●●●。例如,没有素因子<=素(7)=17的数字是{k|k^60 mod 30030=1}-加里·德特利夫斯2014年6月7日
Cramer猜想素数(n+1)-素数(n)<C log^2素数(n)等价于不等式(log素数(n+1)/log素(n))^n<e^C,因为n趋于无穷大,其中C是绝对常数-托马斯·奥多夫斯基2014年10月6日
我猜想,对于任何正有理数r,都有有限多个素数q_1,。。。,q_k使得r=Sum_{j=1..k}1/(q_j-1)。例如,2=1/(2-1)+1/(3-1)+1/2(5-1)+1/1(7-1)+1/3(13-1),其中2、3、5、7和13都是素数,1/7=1/-孙志伟2015年9月9日
我还猜想,对于任何正有理数r,都有有限多个素数p_1,。。。,p_k,使得r=Sum_{j=1..k}1/(p_j+1)。例如,1=1/(2+1)+1/(3+1)+1/(5+1)+1/1(7+1)+1/2(11+1)+1/3(23+1),其中2、3、5、7、11和23都是素数,10/11=1/-孙志伟2015年9月13日
数字k使得((k-2)!!)^2==+-1(mod k)-托马斯·奥多夫斯基2016年8月27日
不满足本福德定律[Diaconis,1977;Cohen-Katz,1984;Berger-Hill,2017]-N.J.A.斯隆2017年2月7日
素数是1-sin(Pi*Gamma(s)/s)/sin(Pi/s)的整数根-彼得·卢什尼2018年2月23日
参考文献
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配方奶粉
素数定理是这样一种表述:a(n)~n*log n等于n->无穷大(Hardy和Wright,第10页)。
对于n>=2,n*(log n+log n-3/2)<a(n);对于n>=20,a(n)<n*(log n+log n-1/2)。[Rosser和Schoenfeld]
对于所有n,a(n)>n log n
n log(n)+n(log log n-1)<a(n)<n log n+n log n,n>=6。[Dusart,维基百科文章中引用]
a(n)=n log n+n log log n+(n/log n)*。[Cipolla,另请参阅Cesáro或“素数定理”维基百科文章,以了解扩展中的更多术语]
a(n)=2+Sum_{k=2..floor(2n*log(n)+2)}(1-floor(pi(k)/n)),对于n>1,其中pi(k)的公式在A000720号(Ruiz和Sondow,2002年)-乔纳森·桑多2004年3月6日
我猜想和{I>=1}(1/(素数(I)*log(素数(I)))=Pi/2=1.570796327。。。;求和{i=1..100000}(1/(质数(i)*log(质素(i)))=1.565585514……它收敛得很慢-米克洛斯·克里斯托夫2007年2月12日
猜想:
a(n)={n|n!modn^2=n(n-1)},n<>4。
a(n)={n|n!*h(n)mod n=n-1},n<>4,其中h(n
对于n=1..15,a(n)=p+abs(p-3/2)+1/2,其中p=m+int(m-3)/2),m=n+int((n-2)/8)+int(n-4)/8-蒂莫西·霍珀2010年10月23日
推测:序列={5和n<>5|(斐波那契(n)modn=1或斐波那奇(n)moden=n-1)和2^(n-1)modn=1}-加里·德特利夫斯2014年5月25日
推测:序列={5和n<>5|(斐波那契(n)modn=1或斐波那奇(n)moden=n-1)和2^(3*n)mod3*n=8}-加里·德特利夫斯2014年5月28日
a(n)=1+总和{m=1..L(n)}=A000720号(m) 且L(n)>=a(n)-1。L(n)可以是满足不等式的n的任何函数。例如,L(n)可以是上限((n+1)*log((n+1*log,n+1)),因为它满足这个不等式-蒂莫西·霍珀2015年5月30日,2015年6月16日
求和{n>=1}1/a(n)^s=P(s),其中P是素数zeta函数-埃里克·韦斯特因2016年11月8日
a(n)=地板(1-对数(-1/2+总和{d|A002110号(n-1)}μ(d)/(2^d-1))/log(2)),其中μ(d)=A008683号(d) ●●●●。Golomb在1974年给出了一个证明:给每个正整数一个概率W(n)=1/2^n,那么数字d的整数倍的概率M(d)等于1/(2^d-1)。假设Q=a(1)*a(2)**a(n-1)=A002110号(n-1),则与Q互素的随机整数的概率为Sum{d|Q}mu。。。所以((Sum_{d|Q}mu(d)/(2^d-1))-1/2)*2^a(n)=1+x(n),这意味着a(n-王金源2019年4月8日
MAPLE公司
A000040型:=n->ithprime(n);[seq(ithprime(i),i=1..100)];
#仅供说明:
isPrime:=s->是(1=sin(Pi*GAMMA(s)/s)/sin(Pi/s)):
选择(isPrime,[2..100]美元)#彼得·卢什尼2018年2月23日
黄体脂酮素
(岩浆)[2..500]|IsPrime(n)]中的n:n;
(岩浆)a:=func<n|NthPrime(n)>;
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,素数(n))};
(PARI)/*以下函数提供了渐近近似,一个基于上面引用的渐近公式(对于n>10^8,稍有高估),另一个基于pi(x)~li(x)=Ei(log(x))(稍有低估):*/
素数1(n)=n*(log(n)+log
素数2(n)=解(X=n*log(n)/2,2*n*logs(n),实数(eint1(-log(X)))+n)
(鼠尾草)素数范围(1300)#零入侵拉霍斯2009年5月27日
如果n=1,则返回(2),
)$/*递归,如有可能,将被替换-R.J.马塔尔2012年2月27日*/
(Haskell)另请参见Haskell Wiki链接
导入数据。列表(genericIndex)
a000040 n=通用索引a000040_list(n-1)
a000040_list=基数++较大,其中
基数=[2,3,5,7,11,13,17]
较大=p:过滤素数较多
素数n=全部((>0)。mod n)$takeWhile(\x->x*x<=n)较大
_:p:more=滚动$makeWheels基础
滚动(车轮n rs)=[n*k+r|k<-[0..],r<-rs]
makeWheels=foldl-nextSize(轮子1[1])
nextSize(车轮尺寸bs)p=车轮(尺寸*p)
[r|k<-[0..p-1],b<-bs,设r=大小*k+b,模r p>0]
data Wheel=车轮整数[Integer]
(间隙)
(Python)
从sympy导入primerange
和{n>=2}1/(n*log(n)^2)的十进制展开式。
+10 15
2, 1, 0, 9, 7, 4, 2, 8, 0, 1, 2, 3, 6, 8, 9, 1, 9, 7, 4, 4, 7, 9, 2, 5, 7, 1, 9, 7, 6, 1, 6, 5, 5, 1, 3, 2, 6, 3, 8, 5, 5, 3, 1, 9, 8, 4, 3, 9, 4, 7, 4, 2, 0, 2, 2, 6, 4, 9, 9, 1, 5, 6, 0, 3, 1, 9, 2, 8, 1, 4, 6, 9, 4, 9, 3, 9, 1, 3, 6, 8, 7, 4, 1, 7, 7, 1, 6, 9, 2, 9, 1, 3, 7, 7, 1, 8, 6, 2, 3, 2, 1, 3, 5, 8, 3, 8, 7, 6, 6, 5, 3, 4, 7, 2, 6, 0, 9, 7, 3, 8, 9, 0, 3, 5, 7, 7, 9, 5, 0, 8, 6, 5, 9, 4, 8, 9, 4, 2, 4, 6, 5
评论
和{n>1}1/(n*log(n)^2)比(zeta(2))^(3/2)=(Pi^2/6)^-丹尼尔·福格斯2012年3月30日
链接
Pierre CAMI、David Broadhurst、,需要有关2个常量的帮助2006年3月10日,雅虎集团3条原始消息摘要。[缓存副本]
例子
2.10974280123689197447925719761655132638553198439474202264991560319281...
数学
数字=150;NSum[1/(n*Log[n]^2),{n,2,无限},NSumTerms->200000,工作精度->数字+5,方法->{“EulerMaclaurin”,方法->{“NIntegrate”,“MaxRecursion”->20}}](*瓦茨拉夫·科特索维奇,2016年3月1日,之后让-弗朗索瓦·奥尔科弗*)
最大值=20;nn=10000;alfa=2;bas=总和[1/(k*Log[k]^alfa),{k,2,nn}]+1/((alfa-1)*Log[nn+1/2]^(alfa-1));sub=0;做[sub=sub+1/4^s/(2*s+1)!*NSum[(D[1/(x*Log[x]^alfa),{x,2s}])/。x->k,{k,nn+1,无限},工作精度->120,NSumTerms->100000,精度目标->120,方法->{“NIntegrate”,“MaxRecursion”->100}];打印[bas-sub],{s,1,maxiter}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2022年6月12日*)
素数p=2,3,5,7,11上和1/(p^2*log p)的十进制展开式,。。。
+10 10
5, 0, 7, 7, 8, 2, 1, 8, 7, 8, 5, 9, 1, 9, 9, 3, 1, 8, 7, 7, 4, 3, 7, 5, 1, 0, 3, 7, 9, 4, 7, 0, 5, 5, 7, 0, 4, 6, 6, 9, 7, 3, 6, 7, 1, 7, 0, 4, 3, 2, 0, 6, 9, 8, 5, 7, 3, 9, 8, 0, 2, 1, 2, 3, 4, 8, 2, 7, 2, 8, 6, 9, 0, 1, 3, 7, 4, 1, 3, 1, 1, 5, 1, 0, 4, 6, 4, 6, 6, 7, 8, 4, 8, 9, 5, 2, 9, 2, 1, 1, 3, 5, 6, 4, 5, 4
参考文献
亨利·科恩(Henri Cohen),《数论》,第二卷:分析和现代工具,GTM第240卷,施普林格出版社,2007年;见第208-209页。
例子
0.50778218785919931877437510379470557...
数学
数字=106;精度=数字+15;
tmax=400;(*被积函数在tmax之外可忽略不计*)
kmax=400;(*f(k)在kmax之外可忽略不计*)
InLogZeta[k_]:=NIntegrate[Log[Zeta[t]],{t,k,tmax},
工作精度->精度,最大递归->20,
精度目标->精度];
f[k_]:=与[{mu=MoebiusMu[k]},如果[mu==0,0,(mu/k^2)*InLogZeta[2k]]];
s=0;Do[s=s+f[k];打印[k,“”,s],{k,1,kmax}];
实数字[s][[1]][[1;;数字]](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗,2021年2月6日,2022年6月23日更新*)
黄体脂酮素
(PARI)\\参见Belabas,Cohen链接。设置所需精度后,以SumEulerlog(2)运行。
(PARI)默认值(realprecision,200);s=0;对于(k=1300,s=s+moebius(k)/k^2*intnum(x=2*k,[1],1],log(zeta(x));打印件)\\瓦茨拉夫·科特索维奇2022年6月12日
a(p^e)=p^(e-1)表示素数幂,a(n)=0表示所有其他n;Dirichlet卷积A003415号(n的算术导数)A055615号(n的Dirichlet逆)。
+10 10
0, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 4, 3, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 8, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 5, 0, 9, 0, 1, 0, 1, 16, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 7, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 32, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 27, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0
数学
f[p_,e_]:=e/p;d[1]=0;d[n_]:=n*加@@f@@FactorInteger[n];a[n_]:=除数和[n,#*MoebiusMu[#]*d[n/#]&];数组[a,100](*阿米拉姆·埃尔达尔2021年11月19日*)
黄体脂酮素
(PARI)
A003415号(n) =如果(n<=1,0,my(f=系数(n));n*和(i=1,#f~,f[i,2]/f[i,1]);
(哈斯克尔)
导入数学。数字理论。底漆
a n=案例因子n
[(p,e)]->unPrime p^(e-1)::Int
交叉参考
另请参阅A000010号,A000203号,A069359号,A300251型,A319684型,A327564型,A349340型,A349396飞机,A349434飞机,A349618飞机,A349619型,A349620型,A349621型.
和{p=prime}1/(p*log(p)^2)的十进制展开式。
+10 9
1, 5, 2, 0, 9, 7, 0, 4, 3, 9, 9, 3, 9, 5, 0, 0, 8, 6, 3, 4, 6, 1, 4, 2, 8, 6, 2, 8, 6, 1, 5, 5, 7, 9, 5, 2, 1, 9, 5, 6, 8, 4, 6, 1, 6, 7, 7, 6, 8, 3, 5, 0, 1, 1, 0, 6, 5, 5, 5, 2, 7, 5, 3, 5, 9, 6, 3, 4, 1, 0, 6, 4, 4, 3, 1, 0, 4, 1, 0, 4, 7, 2, 0, 6, 6, 3, 0, 7, 6, 1, 9, 5, 2, 2, 5, 2, 7, 5, 1, 3, 3, 4, 4, 6, 0
评论
通过将arXiv:0811.4739的形式扩展为Riemann-zeta函数上的二重积分进行计算。
例子
1/(2*A253191号) + 1/(3*A175478号) +1/(5*2.59029...) +1/(7*3.7865)+ ... = 1.52097043...
数学
数字=105;精度=数字+10;
tmax=500;(*被积函数在tmax之外可忽略不计*)
kmax=500;(*f(k)在kmax之外可忽略不计*)
InLogZeta[k_]:=NIntegrate[(t-k)Log[Zeta[t]],{t,k,tmax},工作精度->精度,最大递归->20,精度目标->精度];
f[k_]:=与[{mu=MoebiusMu[k]},如果[mu==0,0,(mu/k^3)*InLogZeta[k]]];
s=0;
Do[s=s+f[k];打印[k,“”,s],{k,1,kmax}];
黄体脂酮素
(PARI)默认值(realprecision,200);s=0;对于(k=1500,s=s+moebius(k)/k^3*intnum(x=k,[1],1],(x-k)*log(zeta(x));打印件)\\瓦茨拉夫·科特索维奇2022年6月12日
和{p=prime}1/(p*logp)^2的十进制展开式。
+10 8
6, 3, 7, 0, 5, 6, 1, 8, 4, 0, 7, 4, 6, 7, 6, 4, 3, 3, 0, 5, 9, 9, 6, 8, 5, 8, 5, 0, 4, 7, 8, 5, 2, 7, 6, 9, 4, 5, 7, 9, 8, 9, 6, 0, 7, 7, 1, 9, 9, 5, 3, 3, 6, 7, 0, 9, 6, 0, 1, 3, 7, 1, 0, 7, 5, 5, 8, 8, 3, 1, 6, 0, 4, 3, 3, 2, 7, 1, 5, 1, 6, 8, 3, 6, 7, 5, 3, 8, 3, 5, 9, 6, 6, 1, 3, 3, 1, 8, 1, 3, 1, 3, 8, 2, 7, 5
评论
通过将arXiv:0811.4739的形式推广到Riemann-zeta函数上的二重积分得到。
数学
数字=106;精度=数字+10;
tmax=500;(*被积函数在tmax之外可忽略不计*)
kmax=300;(*f(k)在kmax之外可忽略不计*)
InLogZeta[k_]:=NIntegrate[(t-2k)Log[Zeta[t]],{t,2k,tmax},工作精度->精度,最大递归->20,精度目标->精度];
f[k_]:=与[{mu=MoebiusMu[k]},如果[mu==0,0,(mu/k^3)*InLogZeta[k]]];
s=0;
Do[s=s+f[k];打印[k,“”,s],{k,1,kmax}];
黄体脂酮素
(PARI)默认值(realprecision,200);s=0;对于(k=1300,s=s+moebius(k)/k^3*intnum(x=2*k,[1],1],(x-2*k)*log(zeta(x));打印件)\\瓦茨拉夫·科特索维奇2022年6月12日
和{p=primes}1/(p*log(p)^3)的十进制展开式。
+10 8
1, 8, 4, 6, 1, 4, 7, 4, 1, 9, 3, 6, 6, 4, 4, 9, 5, 2, 7, 7, 2, 8, 6, 9, 3, 6, 5, 1, 4, 2, 3, 7, 9, 3, 9, 2, 8, 4, 9, 1, 8, 4, 2, 8, 2, 3, 4, 2, 1, 3, 0, 3, 7, 0, 5, 6, 6, 3, 6, 3, 3, 3, 0, 1, 1, 9, 2, 8, 5, 8, 0, 7, 5, 3, 6, 6, 6, 1, 6, 8, 9, 9, 0, 9, 0, 3, 5, 0, 1, 5, 2, 5, 5, 0, 7, 1, 9, 7, 3, 6, 9, 9, 9, 6, 1
数学
数字=105;精度=数字+15;
tmax=500;(*被积函数在tmax之外可忽略不计*)
kmax=500;(*f(k)在kmax之外可忽略不计*)
InLogZeta[k_]:=NIntegrate[(t-k)^2 Log[Zeta[t]],{t,k,tmax},工作精度->精度,最大递归->20,精度目标->精度];
f[k_]:=与[{mu=MoebiusMu[k]},如果[mu==0,0,(mu/(2k^4))*InLogZeta[k]]];
s=0;
Do[s=s+f[k];打印[k,“”,s],{k,1,kmax}];
黄体脂酮素
(PARI)默认值(realprecision,200);s=0;对于(k=1500,s=s+moebius(k)/(2*k^4)*intnum(x=k,[1],1],(x-k)^2*log(zeta(x));打印件);
Lichtman常数f的十进制展开式(N*(2))。
+10 6
8, 9, 0, 9, 2, 5, 4, 7, 9, 4, 7, 6, 3, 1, 8, 3, 3, 2, 1, 3, 7, 2, 6, 2, 6, 2, 1, 9, 9, 5, 9, 8, 8, 2, 9, 3, 8, 9, 7, 8, 1, 8, 1, 3, 8, 1, 6, 5, 2, 7, 6, 3, 8, 9, 8, 3, 2, 9, 0, 7, 5, 6, 6, 9, 9, 8, 9, 1, 3, 4, 4, 1, 0, 6, 1, 4, 5, 0, 5, 2, 0, 7, 3, 6, 6, 4, 9, 7, 3, 3, 5, 9, 2, 7, 6, 2, 3, 2, 7, 5, 0, 3, 3, 3, 8, 3
评论
定义:
f(N*(k))=Integral_{s>=1}P_k*(s),其中P_kx(s)=Sum_{N>1和(大)Omega(N)=k}mu(N)^2/N^s,其中mu是Möbius(或Moebius)mu函数,参见A008683号,和(big)Omega是n的素数除数,用重数计算参见A001222号.
Lichtman常数f(N*(2))这个序列。
当k->oo大于f(N*(k)->6/Pi^2=0.607927101854…参见A059956号.
Bill Allombert计算和传达的价值。
黄体脂酮素
(PARI)pz(x)=总和(n=1,最大值(2,位精度(x)/x),my(a=moebius(n));如果(a!=0,a*log(zeta(n*x))/n);
Lichtman(n)=整数(s=1,[oo,log(2)],exp(-sum(i=1,n,pz(i*s)*x^i/i)+O(x^(n+1))-1)
利希特曼(20岁)
\\Bill Allombert,2014年2月14日[经由Artur Jasinski]
求和{素数p}log(log(p))/(p*log(p))的十进制展开式。
+10 5
6, 4, 1, 0, 8, 0, 2, 1, 5, 6, 5, 9, 9, 8, 4, 6, 6, 0, 4, 8, 3, 3, 5, 1, 8, 8, 9, 1, 5, 1, 3, 9, 9, 9, 5, 1, 8, 9, 1, 3, 4, 5, 1, 5, 8, 7, 0, 4, 7, 0, 9, 5, 9, 2, 3, 8, 4, 1, 7, 8, 0, 5, 5, 3, 7, 5, 2, 9, 9, 9, 9, 2, 3, 9, 3, 4, 0, 0, 2, 9, 4, 2, 9, 7, 8, 6, 0, 8, 1, 1, 6, 1, 5, 2, 0, 9, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 0, 8, 5, 1
例子
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