素数生成多项式

勒让德表明理性的代数函数总是给出素数1752年，哥德巴赫表明没有多项式具有整数 系数可以给出首要的所有整数值（Nagell 1951，第65页；Hardy和Wright 1979，第18页和22）。然而，存在一个多项式在10中变量整数 系数这样素数等于积极的这个的值多项式当变量遍历所有非负的整数，尽管它实际上是一组丢番图碱方程伪装（Ribenboim 1991）。琼斯、佐藤、瓦达和文斯也有在26个变量中找到一个25次多项式，其正值正好素数（弗兰纳里和弗兰纳里2000年，第51页）。

上图显示了由形式的二次多项式生成的素数对于和从至200（M.Trott，pers.comm.）。

只生成（可能是绝对值）的最著名的多项式素数是

(1)

由于Euler（Euler 1772；Nagell 1951，第65页；Gardner 1984，第83页；Ball and Coxeter 1987），它为40个连续整数提供了不同的素数至39。(,由于1798年的勒让德，给出了相同的40个素数到40。这些数字称为“欧拉数”由弗兰纳里和弗兰纳里（2000年，第47页）编写，其中最重要的是术语欧拉素数通过转换公式

(2)

素数是由80个连续整数获得的，对应于上述公式给出的40个素数，每个素数取两次（Hardy和Wright，1979年，第18页）。如果为生成素数，那么也是.

下表给出了一些仅生成（可能为绝对值）的低阶多项式素数对于最初的几个非负的价值观（Mollin和Williams，1990年）。通过替换从其他人处获得的多项式，例如不包括勒让德、哈代和赖特。在表中，d.p.表示多项式生成的不同素数当值从0到已插入。

多项式	素数从0到	不同素数	组织环境信息系统	参考
	56	57		连衣裙和Landreau（2002），Gupta（2006）
	54	55		Wroblewski公司和Meyrinac（2006）
	49	49		Beyleveld（2006年）
	46	47		Wroblewski和Meyrinac(2006)
	45	46		Kazmenko和Trofimov（2006年）
	44	45	A050268号	冯和Ruby
	46	43		S.M.公司。Ruiz（通讯社，11月20日，2005)
	42	43	A050267号	冯和Ruby
	42	43		斯佩塞（pers.comm.，2005年6月14日）
	40	40	A005846号	欧拉
	39	40		Wroblewski和Meyrinac
	34	35		J.Brox（通讯社，2006年3月27日）
	61	31		F.Gobbo（公共事务部，2005年12月27日）
	57	29		J.Brox（通讯社，2006年3月27日）
	28	29	A007641号	勒让德(1798)
	23	24		F.Gobbo（公共事务部，2005年12月26日）
	21	22		R.Frame（通讯社，2018年12月30日）
	19	20		E.Pegg，Jr.（公共事务委员会，2005年6月14日）
	17	18		A.Bruno（公共事务部，2009年6月12日）
	15	16	A007635号	勒让德
	13	14	A048988号	霍纳克
	10	11	A050265型
	10	11	A050266号

一个特别糟糕的多项式是，这不是。。。，3905，但它是, 4620, 5166, 5376, 5460, ... （组织环境信息系统A066386号；Shanks 1971年、1993年；威尔斯1997年，第151页）。这种类型的其他多项式包括,2006年卡莫迪（Carmody）（里维拉）发现了它，其主要成分为636936478570455，90993, 100107, ... （组织环境信息系统119276年)、和,这是616980、764400、933660的素数。。。（组织环境信息系统A122131号).

《狮子座》（1983）为数字命名这样，类欧拉多项式

(3)

是首要的对于, 1, ...,作为欧拉的幸运数字（在这种情况下对应于欧拉公式）。拉比诺维茨（1913）表示那是为了首要的 ，Euler多项式表示首要的对于（不包括小事)若（iff）这个领域 有类别编号 （拉比诺维茨1913年，《狮子座》1983年，康威和盖伊1996年）。根据Stark（1967）的规定，只有9个数字这样的话（该希格纳数 ,,,,,,,,和),其中，只有7、11、19、43、67和163符合要求。因此，唯一的欧拉的幸运数字是2、3、，5、11、17和41（《狮子座》1983，OEISA014556号),并且不存在更好的Euler形式的素数生成多项式163和43与一些素数丰富多项式的关系上面列出的内容可以通过编写

(4)

(5)

等。

欧拉也考虑了二次型形式的

（6）

并展示了这些礼物素数对于对于首要的 若（iff） 有班级编号2，仅允许、5、11和29。贝克（1971年）和斯塔克（1971）表明没有这样的领域对于。对于多项式 形式的

(7)

（亨迪1974）。