搜索： a027472-编号：a027471
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A001788号
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| a（n）=n*（n+1）*2^（n-2）。
（原名M4161 N1729）
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+10
107
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0, 1, 6, 24, 80, 240, 672, 1792, 4608, 11520, 28160, 67584, 159744, 372736, 860160, 1966080, 4456448, 10027008, 22413312, 49807360, 110100480, 242221056, 530579456, 1157627904, 2516582400, 5452595200, 11777605632
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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（n+1）维超立方体中的二维面数；（n+1）维超立方体中的4圈数-亨利·博托姆利2000年4月14日
发件人菲利普·德尔汉姆2004年4月28日，a（n）是E的所有元素的{1，2，…，n}的所有非空子集E的和。例如，a（3）=24：非空子集是{1，2,3}，{1，2}，}，，{2，3}。
等价地，n+1的所有整数组成的所有节点（最后一个节点除外，等于n+1）之和-奥利维尔·杰拉德2011年10月22日
取有限线上的n个点。它们都以相同的恒定速度移动；当它们与另一个碰撞时，它们会瞬间改变方向；当他们退出队伍时，他们摔倒了。a（n-1）是首字母方向可能为2^n时坠落前碰撞的总数。碰撞的平均次数是n（n-1）/8。例如，在可能发生任何碰撞之前，a（1）=0。a（2）=1，因为只有当首字母方向为，例如，右向左时才会发生碰撞Emmanuel Moreau，2006年2月11日
还包括具有n个六边形的围凝六角系统的数量。例如，如果n=5，则具有n个六边形的围凝聚六角系统的数量为24-Parthasarathy楠比2006年9月6日
如果X_1、X_2，。。。，X_n是将2n-集X划分为2个块，然后，对于n>1，a（n-1）等于与每个X_i（i=1,2，…，n）相交的X的（n+2）子集的数目-米兰Janjic，2007年7月21日
允许重复的3个对象u、v、w的n个排列数，正好包含两个u。例如：a（2）=6，因为我们有uuw、uuv、uwu、uuu、wuu和vuu-泽因瓦利·拉霍斯2007年12月29日
对于n>0，其中[0]={}，空集和[n]={1,2，…n}a（n）是将[n-1]分隔为三个非重叠间隔（允许为空），然后从每个间隔中选择子集的方法数-杰弗里·克雷策2009年2月7日
用m（n，0）=m（0，n）=n^2和m（i，j）=m。那么m（1，n）=A001844号（n） m（n，n）=a（n）-J.M.贝戈2012年11月7日
长度为n+1的所有零序列和一序列的反转数之和-埃文·贝利2020年12月9日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。1964年第55辑（以及各种重印本），第796页。
Clifford A.Pickover，《数学书》，《从毕达哥拉斯到第57维度》，《数学史上的250个里程碑》，斯特林出版社。，纽约，2009年，第282页。
A.P.Prudnikov，Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev，“积分与级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，Gordon和Breach科学出版社，1986-1992年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
赫伯特·伊兹比基，尤伯·恩特伯·埃因斯·鲍姆斯，Monatshefte fur Mathematik，第74卷（1970年），第56-62页。
米兰·扬基奇和鲍里斯·佩特科维奇，计数函数，arXiv 1301.4550[math.CO]，2013年。
C.W.Jones、J.C.P.Miller、J.F.C.Conn和R.C.Pankhurst，切比雪夫多项式表，程序。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A.，第62卷，第2期（1946年），第187-203页。
韩茂凯、亚历山大·瓦迪、姚汉文，蜜蜂识别问题的有效算法，arXiv:2212.09952[cs.IT]，2022。
Duško Letić、Nenad Cakić、Branko Davidović、Ivana Berković和Eleonora Desnica，广义超三次函数的某些性质《差分方程进展》，2011年第卷（2011年），第60条。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
劳拉·普德威尔、内森·切内特和曼达·里尔，超立方体方向统计信息，AMS实验和计算机辅助数学特别会议，联合数学会议（丹佛2020）。
R.Tosic、D.Masulovic、I.Stojmenovic、J.Brunvoll、B.N.Cyvin和S.J.Cyven，多六角形碳氢化合物的计数（h=17），J.化学。Inf.计算。科学。，第35卷，第2期（1995年），第181-187页。
Eric Weistein的《数学世界》，图形周期.
Eric Weistein的《数学世界》，幂等数.
Eric Weistein的《数学世界》，半立方体图.
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配方奶粉
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G.f.:x/（1-2*x）^3。
例如：x*（1+x）*exp（2*x）。
a（n）=2*a（n-1）+n*2^（n-1+A001787号（n） ●●●●。
a（n）=和{i=1..n}i^2*二项式（n，i）：的二项式变换A000290型.-Yong Kong，2000年12月26日
a（n）=和{j=0..n}二项式（n+1，j）*（n+1-j）^2-泽因瓦利·拉霍斯2006年8月22日
如果删除前导的02018年1月44日: (1, 5, 13, 25, 41, ...); = [1,4,4,0,0,0，…]的二项式变换-加里·亚当森2007年9月2日
a（n）=Sum_{1<=i<=k<=n}（-1）^（i+1）*i^2*二项式（n+1，k+i）*二项式（n+1,k-i）-米尔恰·梅卡2012年4月9日
a（0）=0，a（1）=1，a（2）=6，a（n）=6*a（n-1）-12*a（n-2）+8*a（n-3）-哈维·P·戴尔2013年7月16日
a（n）=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}（k+1）*C（n-1，i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月20日
和{n>=1}1/a（n）=4*（1-log（2））。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=12*log（3/2）-4。（结束）
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例子
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整数组合的节点是其元素的部分和，可视为一维多边形节点之间的相对距离。对于7的组合，例如1+2+1+3，节点为0,1,3,4,7。它们的总和（不包括最后一个节点）是8。所有2^（7-1）=64个7的整数组成的所有节点之和为672。
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MAPLE公司
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数学
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系数列表[级数[x/（1-2x）^3，{x，0，30}]，x]
表[n*（n+1）*2^（n-2），{n，0，30}]
使用[{n=30}，Join[{0}、Times@@@Thread[{Accumulate[Range[n]]，2^Range[0，n-1]}]](*哈维·P·戴尔2013年7月16日*）
线性递归[{6，-12，8}，{0，1，6}，30](*哈维·P·戴尔2013年7月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<0，0，2^n*n*（n+1）/4）
（Sage）[n如果n<2，则n*（n+1）*2**（n-2）表示n在范围（28）内]#泽因瓦利·拉霍斯2009年3月10日
（哈斯克尔）
a001788 n=如果n<2，则n其他n*（n+1）*2^（n-2）
a001788_list=zipWith（*）a000217_list$1:a000079_list
（岩浆）[0..30]]中的[n*（n+1）*2^（n-2）：n//G.C.格鲁贝尔2019年8月27日
（GAP）列表（[0..30]，n->n*（n+1）*2^（n-2））#G.C.格鲁贝尔2019年8月27日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A075513号
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| 按行读取三角形。T（n，m）是Sidi多项式的系数。 |
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1, -1, 2, 1, -8, 9, -1, 24, -81, 64, 1, -64, 486, -1024, 625, -1, 160, -2430, 10240, -15625, 7776, 1, -384, 10935, -81920, 234375, -279936, 117649, -1, 896, -45927, 573440, -2734375, 5878656, -5764801, 2097152, 1, -2048, 183708, -3670016, 27343750, -94058496, 161414428, -134217728, 43046721
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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Sidi多项式（-1）^（n-1）*D_{n-1,1，n-1}（x）的系数，对于n>=1，其中D_{k，n，m}（z）在Sidi[1980]第862页的定理4.2中给出。
行多项式p（n，x）：=和{m=0..n-1}a（n，m）x^m，n>=1，由（Eu（x）^n）*。
行多项式p（n，y）：=和{m=0..n-1}a（n，m）*y^m，n>=1，在exp（x）替换y后，也可以从（d^m/dx^m）（（exp（x）-1）^m）/m）/exp（x。
b（k，m，n）：=（和{p=0..m-1}（a（m，p）*（（p+1）*k）^n））/（m-1）！，n>=0，具有g.f.1/Product_{p=1..m}（1-k*p*x），k=1，2，。。。m=1,2，。。。
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参考文献
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A.Sidi，《实用外推方法：理论与应用》，剑桥大学出版社，剑桥，2003年。
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链接
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D.S.Lubinsky和H.Stahl，一些显式双正交多项式，（IN）近似理论XI，（C.K.Chui，M.Neamtu，L.Schumaker，eds.），纳什伯勒出版社，纳什维尔，2005年，第279-285页。
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配方奶粉
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T（n，m）=（（-1）^（n-m-1））二项式（n-1，m）*（m+1）^。
第m列的G.f:（m+1）^m）（x/（1+（m+1。
例如：-LambertW（-x*y*exp（-x））/（（1+LambertW（-x*y*exp（-x）））*x*y）-弗拉德塔·乔沃维奇2008年2月13日[针对偏移量0<=m<=n进行了校正。对于偏移量n>=1，取x上的积分-Wolfdieter Lang公司2022年10月12日]
例如：1/（exp（LambertW（-exp（-x）*x*y）+x）-x*y，假设偏移量=0-彼得·卢什尼2022年10月21日
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例子
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三角形T（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1: 1
2: -1 2
3: 1 -8 9
4: -1 24 -81 64
5: 1 -64 486 -1024 625
6: -1 160 -2430 10240 -15625 7776
7: 1 -384 10935 -81920 234375 -279936 117649
8: -1 896 -45927 573440 -2734375 5878656 -5764801 2097152
9: 1 -2048 183708 -3670016 27343750 -94058496 161414428 -134217728 4304672
...
n=10:-1 4608-708588 22020096-246093750 1269789696-3389702988 4831838208-3486784401 1000000000。[由重新格式化Wolfdieter Lang公司2022年10月12日]
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p（2，x）=-1+2*x=（1/（2*x））*x*（d/dx）*x*（d/dx）*（x-1）^2。
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MAPLE公司
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#假设偏移量为0。
seq（seq（（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*（k+1）^n，k=0..n），n=0..8）；
#备选方案：
egf:=x->1/（exp（LambertW（-exp（-x）*x*y）+x）-x*y
ser:=x->系列（egf（x），x，12）：
行：=n->seq（系数（n！*系数（ser（x），x，n），y，k），k=0..n）：
seq（打印（第n行），n=0..8）#彼得·卢什尼2022年10月21日
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数学
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p[n_，x_]：=p[n，x]=嵌套[x*D[#，x]&，（x-1）^n，n]/（n*x）；a[n_，m_]：=系数[p[n，x]，x，m]；表[a[n，m]，{n，1，9}，{m，0，n-1}]//展平(*Jean-François Alcover公司2013年7月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）tabl（nn）={对于（n=1，nn，对于（m=0，n-1，print1（（-1）^（n-m-1）*二项式（n-1，m）*（m+1）^\\米歇尔·马库斯2013年5月17日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 1, 9, 6, 1, 27, 27, 9, 1, 81, 108, 54, 12, 1, 243, 405, 270, 90, 15, 1, 729, 1458, 1215, 540, 135, 18, 1, 2187, 5103, 5103, 2835, 945, 189, 21, 1, 6561, 17496, 20412, 13608, 5670, 1512, 252, 24, 1, 19683, 59049, 78732, 61236, 30618, 10206, 2268
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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（3+x）^n展开式中系数的三角形。
另外：纯高尔顿板方案（3,1）。此外：具有点积（重叠）k的n维二元向量对的多重性（数量）。有2^n个=A000079号（n） 长度为n且2^（2n）=4^n的二进制向量=A000302号（n） 形成点积k=Sum{i=1..n}v[i]*u[i]的不同对之间，0<=k<=n。（由于点积是对称的，实际上只有2^n*（2^n-1）/2个不同的无序对。）-R.J.马塔尔2006年3月17日
T（i，j）是4个对象a，b，c，d的i置换数，允许重复，包含j a-泽因瓦利·拉霍斯，2007年12月21日
序列的反对角线被格式化为一个方形数组（参见示例部分），并用交替符号求和，得到斐波那契序列的二分，A001906号例如：81-（27-1）=55。应用于行的类似规则给出了A000079号. -马克·多尔斯2009年9月1日
T（n，k）=二项式（n，k）*3^（n-k），即[2n]的子集的数目，正好有k个对称对，其中，如果i+j=2n+1，[2n]中的元素i和j形成对称对。等价地，如果有n对情侣参加了一个提供门奖的（带票）活动，那么正好有k对情侣成为双优胜者的可能奖金分配数量为T（n，k）-丹尼斯·沃尔什2012年2月2日
T（n，k）是{1,2，…，n}的子集的有序对（A，B）的数目，使得A和B的交集正好包含k个元素。例如，T（2,1）=6，因为我们有（{1}，{1}）；({1},{1,2}); ({2},{2}); ({2},{1,2}); ({1,2},{1}); ({1,2},{2}). 和{k=0..n}T（n，k）*k=A002697号（n） （见Ross La Haye的评论）-杰弗里·克雷策2013年9月4日
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链接
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配方奶粉
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（b^2）[i，j]的下三角的分子，其中b[i，j]=二项式（i-1，j-1）/2^（i-1），如果j<=i，则为0，如果j>i。
第（i，j）项为二项式（i，j）*3^（i-j）的三角形。
a（n，m）=4^（n-1）*和{j=m.n}b（n，j）*b（j，m）=3^（n-m）*二项式（n-1，m-1），n>=m>=1；a（n，m）：=0，n<m。第m列的G.f.：（x/（1-3*x））^m（的m倍卷积A000244号，3）的权力-Wolfdieter Lang公司2006年2月
G.f.：1/（1-x（3+y））。
a（n，k）=3*a（n-1，k）+a（n-1，k-1）-R.J.马塔尔2006年3月17日
从形式主义A133314号，对于的行多项式A027465号是exp（x*t）*exp（3x）。逆矩阵行多项式的示例f.是exp（x*t）*exp（-3x）。矩阵的p次迭代给出了带有例如f.exp（x*t）*exp（p*3x）的矩阵。结果推广到用任意数字替换的3-汤姆·科普兰2008年8月18日
exp[x*z/（1-3z）]/（1-2z）=exp（3z D_z）e^（x*z）=exp（3D_x D_x）e^（z*x）
=（1 z ^2 z ^3…）H（1 x x ^2/2！x ^3/3！…）^T
=（1 x x ^2/2！x ^3/3！…）H^T（1 z ^2 z ^3…）^T=和{n>=0}（3z）^n L_n（-x/3），其中D是导数算子，L_nTom Copeland，2012年10月26日
例如，对于k列：x^k/k！*经验（3倍）-杰弗里·克雷策2013年9月4日
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例子
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示例：n=3提供2^3=8个不同的二进制向量（0,0,0），（0,0，1）。。。，(1,1,0), (1,1,1). 2^4=64对中的a（3,2）=9有重叠k=2:（0,1,1）*（0,1.1）=（1,0,1）x（1,0.1）=。
例如，T（2,1）=6，因为{1,2,3,4}的6个子集正好有1个对称对，即{1,4}、{2,3}、}1,2,3}、{1,2,4}，{1,3,4{和{2,3,4]。
当前序列格式为三角形数组：
1
3 1
9 6 1
27 27 9 1
81 108 54 12 1
243 405 270 90 15 1
729 1458 1215 540 135 18 1
2187 5103 5103 2835 945 189 21 1
6561 17496 20412 13608 5670 1512 252 24 1
...
1
1 3
1 6 9
1 9 27 27
1 12 54 108 81
1 15 90 270 405 243
1 18 135 540 1215 1458 729
1 21 189 945 2835 5103 5103 2187
1 24 252 1512 5670 13608 20412 17496 6561
...
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
9 6 1 0 0 0 0 0 0 ...
27 27 9 1 0 0 0 0 ...
81 108 54 12 1 0 0 ...
243 405 270 90 15 1 ...
729 1458 1215 540 135 ...
2187 5103 5103 2835 ...
6561 17496 20412 ...
19683 59049 ...
59049 ...
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MAPLE公司
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对于从0到12的i，做seq（二项式（i，j）*3^（i-j），j=0。。i） od#泽因瓦利·拉霍斯2007年11月25日
#使用来自的函数PMatrixA357368。添加列1、0、0。。。在左边。
矩阵（10，n->3^（n-1））#彼得·卢什尼2022年10月9日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=polceoff（（3+x）^n，k）}/*迈克尔·索莫斯，2002年2月14日*/
（哈斯克尔）
a027465 n k=a027465_tabl！！不！！k
a027465_row n=a027465 _ tabl！！n个
a027465_tabl=迭代（\row->
zipWith（+）（map（*3）（row++[0]））（map（*1）（[0]++row））[1]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000244号,A007318号,A013610号,A013610号,A099097号,A027471号,A027472号,A036216号,A036217号,A036219号,A036220型,A036221号,A036222号,A036223号.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 12, 96, 640, 3840, 21504, 114688, 589824, 2949120, 14417920, 69206016, 327155712, 1526726656, 7046430720, 32212254720, 146028888064, 657129996288, 2937757630464, 13056700579840, 57724360458240, 253987186016256
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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在不同的偏移量下，允许重复的5个对象u、v、w、z、x的n个排列数，正好包含两个u-泽因瓦利·拉霍斯2007年12月29日
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链接
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Adam Ehrenberg、Joseph T.Iosue、Abhinav Deshpande、Dominik Hangleiter和Alexey V.Gorshkov，高斯玻色子采样中哈夫尼数的二阶矩，arXiv:2403.13878[quant-ph]，2024。见第30页。
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配方奶粉
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a（n）=（n+2）*（n+1）*2^（2*n-1）。
总尺寸：1/（1-4*x）^3。
a（n）=二项式（n+2，n）*4^n-鲁伊·杜阿尔特2011年10月8日
例如：（1+8*x+8*x^2）*exp（4*x）-G.C.格鲁贝尔2019年7月20日
和{n>=0}1/a（n）=8-24*log（4/3）。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=40*log（5/4）-8。（结束）
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MAPLE公司
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序列（（n+2）*（n+1）*4^n/2，n=0..30）#泽因瓦利·拉霍斯2007年4月25日
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数学
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表[4^n*二项式[n+2，n]，{n，0，30}](*G.C.格鲁贝尔，2019年7月20日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[4^（n-2）*二项式（n，2），n在范围（2,30）内]#泽因瓦利·拉霍斯2009年3月11日
（岩浆）[4^n*二项式（n+2,2）：[0.30]]中的n//文森佐·利班迪2011年10月15日
（GAP）列表（[0..30]，n->4^n*二项式（n+2，n））#G.C.格鲁贝尔2019年7月20日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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经核准的
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1, 12, 90, 540, 2835, 13608, 61236, 262440, 1082565, 4330260, 16888014, 64481508, 241805655, 892820880, 3252418920, 11708708112, 41712272649, 147219785820, 515269250370, 1789882659180, 6175095174171, 21171754882872
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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使用三个前导零，对（0,0,0,1,0,0-0,0，…）进行第三次二项式变换-保罗·巴里2003年3月7日
4个对象u、v、w、z的n个排列（n=4）的数量，允许重复，正好包含三个u-泽因瓦利·拉霍斯2008年5月23日
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链接
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Eric Weistein的《数学世界》，幂等数.
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配方奶粉
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a（n）=3^n*二项式（n+3,3）。
总尺寸：1/（1-3*x）^4。
有三个前导零，a（n）=12*a（n-1）-54*a-保罗·巴里2003年3月7日
有三个前导零，C（n，3）*3^（n-3）是C（n、3）的第二个二项式变换-保罗·巴里2003年7月24日
和{n>=0}1/a（n）=36*log（3/2）-27/2。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=144*log（4/3）-81/2。（结束）
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MAPLE公司
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seq（3^n*二项式（n+3,3），n=0..30）]#泽因瓦利·拉霍斯2006年12月21日
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数学
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系数列表[级数[1/（1-3x）^4，{x，0，30}]，x]（*或*）线性递归[{12，-54，108，-81}，{1，12，90，540}，30](*哈维·P·戴尔，2017年7月27日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[3^n*二项式（n+3,3），n在范围（30）内]#泽因瓦利·拉霍斯2009年3月10日
（岩浆）[3^n*二项式（n+3,3）：[0..30]]中的n//文森佐·利班迪2011年10月14日
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交叉参考
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容易的,非n
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作者
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经核准的
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A081139号
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| （0,0,1,0,0,0，…）的第九个二项式变换。 |
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0, 0, 1, 27, 486, 7290, 98415, 1240029, 14880348, 172186884, 1937102445, 21308126895, 230127770466, 2447722649502, 25701087819771, 266895911974545, 2745215094595320, 28001193964872264, 283512088894331673
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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a（n）=27*a（n-1）-243*a（n2）+729*a（n-3），a（0）=a（1）=0，a（2）=1。
a（n）=9^（n-2）*二项式（n，2）。
通用格式：x^2/（1-9*x）^3。
和{n>=2}1/a（n）=18-144*log（9/8）。
和{n>=2}（-1）^n/a（n）=180*log（10/9）-18。（结束）
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数学
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线性递归[{27，-243，729}，{0，0，1}，30](*哈维·P·戴尔，2018年1月30日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[9^n*二项式（n+2,2）：n in[-2..20]]//文森佐·利班迪2011年10月16日
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交叉参考
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容易的,非n
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作者
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经核准的
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A081135号
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| （0,0,1,0,0,0，…）的第五个二项式变换。 |
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0, 0, 1, 15, 150, 1250, 9375, 65625, 437500, 2812500, 17578125, 107421875, 644531250, 3808593750, 22216796875, 128173828125, 732421875000, 4150390625000, 23345947265625, 130462646484375, 724792480468750
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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a（n）=15*a（n-1）-75*a（-n2）+125*a（n-3），a（0）=a（1）=0，a（2）=1。
a（n）=5^（n-2）*二项式（n，2）。
通用格式：x^2/（1-5*x）^3。
和{n>=2}1/a（n）=10-40*log（5/4）。
和{n>=2}（-1）^n/a（n）=60*log（6/5）-10。（结束）
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MAPLE公司
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seq（n*（n-1）*5^（n-2）/2，n=0..30）#泽因瓦利·拉霍斯2007年5月3日
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数学
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系数列表[级数[x^2/（1-5x）^3，{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2013年8月6日*）
线性递归[{15，-75，125}，{0，0，1}，30](*哈维·P·戴尔2017年9月13日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[5^（n-2）*二项式（n，2），n在（0，30）范围内]#泽因瓦利·拉霍斯2009年3月12日
（岩浆）[5^（n-2）*二项式（n，2）：[0.30]]中的n//文森佐·利班迪2013年8月6日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A081136号
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| （0,0,1,0,0,0，…）的第六个二项式变换。 |
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20
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0, 0, 1, 18, 216, 2160, 19440, 163296, 1306368, 10077696, 75582720, 554273280, 3990767616, 28298170368, 198087192576, 1371372871680, 9403699691520, 63945157902336, 431629815840768, 2894458765049856, 19296391766999040
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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允许重复的7个对象的n个排列数：p，u，v，w，z，x，y，正好包含两个u-泽因瓦利·拉霍斯2008年5月23日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=18*a（n-1）-108*a（-n2）+216*a（n-3），a（0）=a（1）=0，a（2）=1。
a（n）=6^（n-2）*C（n，2）。
通用格式：x^2/（1-6*x）^3。
例如：exp（6*x）*x^2/2-杰弗里·克雷策2013年10月3日
Sum_{n>=2}1/a（n）=12-60*log（6/5）。
和{n>=2}（-1）^n/a（n）=84*log（7/6）-12。（结束）
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MAPLE公司
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seq（二项式（n，2）*6^（n-2），n=0..19）#泽因瓦利·拉霍斯2008年5月23日
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数学
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nn=20；范围[0，nn]！系数列表[级数[x^2/2！Exp[6x]，{x，0，nn}]，x](*杰弗里·克雷策2013年10月3日*）
线性递归[{18，-108，216}，{0，0，1}，30](*哈维·P·戴尔2022年4月20日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[6^（n-2）*二项式（n，2），n在（0，21）范围内]#泽因瓦利·拉霍斯2009年3月13日
（岩浆）[6^n*二项式（n+2,2）：n in[-2..20]]//文森佐·利班迪2011年10月16日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 1, 6, 9, 1, 9, 27, 27, 1, 12, 54, 108, 81, 1, 15, 90, 270, 405, 243, 1, 18, 135, 540, 1215, 1458, 729, 1, 21, 189, 945, 2835, 5103, 5103, 2187, 1, 24, 252, 1512, 5670, 13608, 20412, 17496, 6561, 1, 27, 324, 2268, 10206, 30618, 61236, 78732, 59049, 19683
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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T（n，k）是从（0,0）到（n，k）的晶格路径数，具有步骤（1,0）和三种步骤（1,1）。具有步骤（1,0）和s种步骤（1,1）的路径的数量对应于（1+s*x）^n的展开-乔格·阿恩特2011年7月1日
T（n，k）等于{0,1,2,3}上具有n-k个零的n-长度单词的数量-米兰Janjic2015年7月24日
T（n-1，k-1）是n的3个组成部分的数量，其中零具有k个正部分；参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月16日
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链接
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J.Goldman和J.Haglund，广义rook多项式，J.Combin。理论A91（2000），509-530，带k车的3xn板（所有高度为3）上的1车系数
布莱恩·霍普金斯（Brian Hopkins）和斯特凡·欧夫里（Stéphane Ouvry），多成分组合学，arXiv:2008.04937[数学.CO]，2020年。
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配方奶粉
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G.f.：1/（1-x*（1+3*y））。
T（n，k）=3^k*C（n，k）=和{i=n-k.n}C（i，n-k）*C（n，i）*2^（n-i）-米尔恰·梅卡2012年4月28日
Riordan阵列（1/（1-x），3*x/（1-x”））。
exp（3*x）*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如，对于n=3，我们有exp（3+x）*（1+9*x+27*x^2/2！+27*x^3/3！）=1+12*x+90*x^2！+540*x ^3/3！+2835*x^4/4！+。。。。对于形式为（f（x），3*x/（1-x））的Riordan数组，同样的属性更为普遍。（结束）
T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（n，k）*二项式（k，j）*4^j-科洛索夫石油公司2019年1月28日
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例子
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三角形开始
1;
1, 3;
1, 6, 9;
1, 9, 27, 27;
1, 12, 54, 108, 81;
1, 15, 90, 270, 405, 243;
1, 18, 135, 540, 1215, 1458, 729;
1, 21, 189, 945, 2835, 5103, 5103, 2187;
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MAPLE公司
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T： =n->（p->seq（系数（p，x，k），k=0..n））（（1+3*x）^n）：
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数学
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二项式ROW[n_，k_，t_]：=总和[二项式[n，k]*二项式[k，j]*（-1）^（k-j）*t^j，{j，0，k}]；列[表[二项式ROW[n，k，4]，{n，0，10}，{k，0，n}]，中心](*科洛索夫石油公司2019年1月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=polceoff（（1+3*x）^n，k）}/*迈克尔·索莫斯2002年2月14日*/
步骤=[1,0]，[1,1]，[1，1]，[1,1]，[1]，1]]；/*三音符[1，1]*/
（哈斯克尔）
a013610 n k=a013610_tabl！！不！！k
a013610_row n=a01361_tabl！！n个
a013610_tabl=迭代（\row->
zipWith（+）（map（*1）（row++[0]））（map（*3）（[0]++row））[1]
（岩浆）[3^k*二项式（n，k）：k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔，2021年5月19日
（Sage）平坦（[[3^k*二项式（n，k）for k in（0..n）]for n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔2021年5月19日
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交叉参考
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作者
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经核准的
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1, 21, 294, 3430, 36015, 352947, 3294172, 29647548, 259416045, 2219448385, 18643366434, 154231485954, 1259557135291, 10173346092735, 81386768741880, 645668365352248, 5084638377148953, 39779817891812397, 309398583602985310
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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2, 2
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评论
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链接
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配方奶粉
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通用格式：x^2/（1-7*x）^3。
a（n）=21*a（n-1）-147*a（n2）+343*a（n-3），a（0）=a（1）=0，a（2）=1。（结束）
（a[i，j]）^3中序列a[3，n]的分子，其中a[i、j]=二项式（i-1，j-1）/2^（i-1），如果j<=i，则为0，如果j>i。
和{n>=2}1/a（n）=14-84*log（7/6）。
和{n>=2}（-1）^n/a（n）=112*log（8/7）-14。（结束）
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MAPLE公司
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seq（二项式（n，2）*7^（n-2），n=2..30）#泽因瓦利·拉霍斯2008年6月12日
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数学
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表[7^（n-2）二项式[n，2]，{n，2，20}](*哈维·P·戴尔，2011年9月25日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[7^（n-2）*二项式（n，2），n在范围（2，21）内]#泽因瓦利·拉霍斯2009年3月13日
（岩浆）[7^（n-2）*二项式（n，2）：[2..20]]中的n/*文森佐·利班迪2011年10月12日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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经核准的
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