显示找到的15个结果中的1-10个。
表中第一个非恒等非递归Catalan自同构的特征置换A089840号：交换二叉树的顶部分支。非负整数的对合。
+10
91
0, 1, 3, 2, 7, 8, 6, 4, 5, 17, 18, 20, 21, 22, 16, 19, 14, 9, 10, 15, 11, 12, 13, 45, 46, 48, 49, 50, 54, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 44, 47, 53, 56, 60, 42, 51, 37, 23, 24, 38, 25, 26, 27, 43, 52, 39, 28, 29, 40, 30, 31, 32, 41, 33, 34, 35, 36, 129, 130, 132, 133, 134
评论
这是在单位双射之后最简单的可能的加泰罗尼亚自同构(A001477号). 它对未标记的有根平面二叉树（字母A和B表示位于这些向量上的任意子树）产生以下变换：
A B B A
\ / --> \ /
x x x
（a.b）----->（b.a）
例子
为了获得签名置换，我们将这些变换应用于按以下方式编码和排序的二叉树A014486号对于每个n，a（n）将是第n棵树转换到的树的位置，如下所示：
.
一棵内部树
空树（非叶）节点
x个\/
n=0 1
a（n）=0 1（两者总是固定的）
.
.
\/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \_/ \/ \/
n=2 3 4 5 6 7 8
.
交换左右手子树后的新形状为：
.
\/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \/ \/ \/ \/
\/ \/ \/ \/ \_/ \/ \/
a（n）=3 2 7 8 6 4 5
因此我们得到了这个序列的前九项：0，1，3，2，7，8，6，4，5。
黄体脂酮素
（此自同构的方案实现。这些作用于S表达式，即列表结构：）
（构造版本：）（定义(*A069770号s） （if（配对）（cons（cdr）（cars））
（破坏性版本：）（定义(*A069770号! s） （if（配对）（let（（ex-car（cars）））（set-car！s（cdr-s））（set-cdr！s ex-car））
扩展
条目修订人安蒂·卡图恩2006年10月11日和2024年3月30日
Kreweras 1970年对合在Dyck路径上的特征变换。
+10
14
0, 1, 3, 2, 8, 6, 5, 7, 4, 22, 19, 15, 20, 14, 13, 11, 18, 21, 16, 10, 12, 17, 9, 64, 60, 52, 61, 51, 41, 39, 55, 62, 53, 38, 40, 54, 37, 36, 33, 29, 34, 28, 50, 47, 59, 63, 56, 43, 48, 57, 42, 27, 25, 32, 35, 30, 46, 49, 58, 44, 24, 26, 31, 45, 23, 196, 191, 178, 192, 177
评论
范围内的循环数和固定点[A014137号（n-1）。。A014138号这种对合的（n-1）]似乎由A007595号和“充气”加泰罗尼亚数字[1,1,0,1,0,2,0,5,0,14,0,42，…]，因此这可能是A069770号（以及A057163号).
链接
G.Kreweras，细分市场《巴黎高等教育学院》，第15号，巴黎，1970年，第3-41页。
J.-C.拉兰，戴克河畔的不平等《欧洲联合期刊》第13卷（1992年），第6期，第477-487页。
具有n个节点的连通单位区间图的个数；还有带n个黑色珠子和n-1个白色珠子的手镯（周转项链）数量。
（原名M1218）
+10
13
1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 750, 2494, 8524, 29624, 104468, 372308, 1338936, 4850640, 17685270, 64834550, 238843660, 883677784, 3282152588, 12233309868, 45741634536, 171530482864, 644953425740, 2430975800876, 9183681736376, 34766785487152, 131873995933480
评论
还有根平面一般树（n个顶点或n-1个边）到反射的数量-安蒂·卡图恩2002年8月9日（对于手镯的通信，首先考虑Graham、Knuth和Patashnik解释的Raney引理。）
n个元素上直到同构的连通格路拟阵的数目。
a（n）=[n]到反射（i＜-＞n+1-i）的非交叉集分区的数量。例如：a（4）表示123、1-23、13-2、1-2-3，但不是12-3，因为它是1-23的反射-大卫·卡伦2005年10月8日
还有由n个珠子组成的非等效项链的数量，每个珠子都涂有2*n-1种颜色。
该序列解决了在N=2*N-1，k=N的情况下凸k-gon的所谓Reis问题。H.Gupta（1979）给出了一个完整的解；我对古普塔的结果给出了一个简短的证明，并展示了这个问题与以下每个问题的等价性：列举两种颜色的n个珠子的手镯的问题，其中k个是黑色的，以及列举k个珠子项链的问题，每个珠子都用n种颜色中的一种绘制。
a（n）是2*n-1阶（0,1）-循环中每行有n个1的恒量的不同值个数的基本上不可改进的上限估计。（结束）
半长度n-1到反转的Dyck路径数；也就是说，半长n-1的Dyck路径的数量，视为一条路径与以相反顺序行进的路径相同-诺亚·罗森伯格2019年1月28日
参考文献
S.R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第5.6.7节。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年，第345和346页。
R.W.Robinson，个人沟通。
R.W.Robinson，图计数算法的数值实现，AGRC Grant，数学。澳大利亚纽卡斯尔大学系，1980年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
Hansraj Gupta，不一致循环k-gon的计数印度J.Pure和Appl。数学。，10（1979年），第8期，964-999。
弗拉基米尔·舍维列夫，项链和凸面k形印度J.Pure和Appl。数学。，35（2004），编号5629-638。
配方奶粉
总面积：（1+2*x-sqrt（1-4*x）*sqrt。
总面积：（平方（（1+2*x）/（1-2*x））-平方（1-4*x）-迈克尔·索莫斯2012年4月16日
D-有限，递归n*（n-1）*（n-4）*a（n）-4*（n-l）*（n^2-5*n+5）*a-R.J.马塔尔，2018年8月22日
例子
x+x^2+2*x^3+4*x^4+10*x^5+26*x^6+76*x^7+232*x^8+750*x^9+。。。
数学
f[k_Integer，n_]：=（加@@（EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&/@除数[GCD[n，k]]）/n+二项式[（n-如果[奇数Q@n，1，如果[奇数Q@k，2，0]]）/2，（k-如果[奇数Q@k, 1, 0])/2])/2 (*罗伯特·拉塞尔2004年9月27日*）
表[f[n，2n-1]，{n，10}]
（*评论来自沃特·梅森，2013年2月2日，由添加N.J.A.斯隆，2013年2月2日：要获取Mathematica中的项链列表，请使用（如果n=4，则表示）：
<<组合数学`；
列表项链[2*4-1，{0，1}，二面体]*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，（2*二项式（n-1，（n-1）\2）+二项式/*迈克尔·索莫斯2012年4月16日*/
（Python）
从sympy import catalan，二项式，floor
定义a（n）：如果n==1，则返回1（加泰罗尼亚语（n-1）+二项式（n-1，floor（n-1）/2））/2#印地瑞尼Ghosh，2017年6月3日
1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 7, 4, 1, 1, 1, 22, 11, 3, 1, 1, 1, 66, 31, 7, 2, 1, 1, 1, 217, 96, 22, 4, 3, 1, 1, 1, 715, 305, 66, 11, 7, 2, 1, 1, 1, 2438, 1007, 217, 30, 22, 4, 2, 2, 1, 1, 8398, 3389, 715, 93, 66, 11, 3, 5, 1, 1, 1, 29414, 11636, 2438, 292, 217, 30, 6, 14, 2, 2, 1, 1
评论
请注意，对于内卷化（自反转加泰罗尼亚双宾语），这总是(A000108美元（n） +Affff（n））/2，其中Affff是表中相应的“fix-count序列”A073202号.
根植于外边缘且相对于该边缘不对称的n边的剖切数。
（原名M1753 N0696）
+10
7
0, 0, 1, 2, 7, 20, 66, 212, 715, 2424, 8398, 29372, 104006, 371384, 1337220, 4847208, 17678835, 64821680, 238819350, 883629164, 3282060210, 12233125112, 45741281820, 171529777432, 644952073662, 2430973096720, 9183676536076
评论
长度为2n的Dyck路径的数量，在偶数高度具有奇数个峰值。例如：a（3）=2，因为我们有UDU（UD）D和U（DU）DUD，其中U=（1,1），D=（1，-1），偶数高度的峰值显示在括号中-Emeric Deutsch公司2004年11月13日
对于n>=1，a（n）是具有n个内部节点的无序二叉树的数量，其中左子树与右子树是不同的-杰弗里·克雷策，2013年2月21日
参考文献
S.J.Cyvin、J.Brunvoll、E.Brendsdal、B.N.Cyven和E.K.Lloyd，《多烯烃类的计数：完整的数学解决方案》，《化学杂志》。Inf.计算。科学。，35 (1995) 743-751
R.K.Guy，“将多边形剖分为三角形”，公牛。马来亚数学。Soc.，第5卷，第57-60页，1958年。
R.K.Guy，将多边形分解为三角形，研究论文#9，数学。卡尔加里大学系，1967年。
F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，纽约学术出版社，1973年，第78页，（3.5.26）。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
P.K.Stockmeyer，《魅力手镯问题及其应用》，图与组合数学（华盛顿，1973年6月）第339-349页，R.A.Bari和F.Harary编辑。勒克特。数学笔记。，第406卷。施普林格·弗拉格，1974年。
链接
S.J.Cyvin、J.Brunvoll、E.Brendsdal、B.N.Cyven和E.K.Lloyd，多烯烃类的计数：一个完整的数学解决方案，J.化学。Inf.计算。科学。，35 (1995) 743-751. [带注释的扫描副本]
R.K.盖伊，将多边形剖分为三角形，研究论文#9，数学。卡尔加里大学系，1967年。[带注释的扫描副本]
F.Harary和E.M.Palmer，关于非循环单形复形，Mathematika 15 1968 115-122。
克里希娜·梅农和阿努拉·辛格，避免同一性的格拉斯曼排列，arXiv:2212.13794[math.CO]，2022年。
P.J.Stockmeyer，魅力手镯问题及其应用《图与组合数学》（华盛顿，1973年6月）第339-349页，R.A.Bari和F.Harary编辑。莱克特。数学笔记。，第406卷。施普林格·弗拉格，1974年。[扫描的带注释和更正的副本]
配方奶粉
设c（x）=（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）=加泰罗尼亚数字的g.f(A000108美元)设d（x）=1+x*c（x^2）。则g.f.为（c（x）-d（x））/2。
c（x）的定义如上：g.f.=x*（c（x）^2/2-c（x^2）/2）-杰弗里·克雷策，2013年2月21日
当n>0时，a（n）=（2^（n-3）/sqrt（Pi））*（4*2^n*GAMMA（n+1/2）/GAMMA（n+2）+（（-1）^n-1）*GAMMA（n/2）/GAMEMA（n/2+3/2））-马克·范·霍伊2009年11月11日
a（n）~2^（2*n-1）/（平方英尺（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月10日
递归D-有限+n*（n+1）*（n-2）^2*a（n）-2*n*（2*n-5）*-R.J.马塔尔2021年10月28日
数学
nn=20；系数列表[级数[x/2（（（1-（1-4x）^（1/2））/（2x））^2-（1-（2-4x^2）^(*杰弗里·克雷策，2013年2月21日*）
从（2,1）导出（v，b）=（n+2，n）删余卷积码的不同穿孔模式数。
（原名M1843）
+10
7
1, 2, 8, 24, 85, 286, 1008, 3536, 12618, 45220, 163504, 594320, 2173197, 7983990, 29465440, 109174560, 405995326, 1514797020, 5669021488, 21275014800, 80047272578, 301892460012, 1141069157408, 4321730134624, 16399422757300
评论
删余卷积码是通过从低速编码器的输出中定期消除（即删余）特定代码符号而获得的高速码。产生的高速码取决于称为原始码的低速码，以及删余符号的数量和特定位置（引用自Haccoun and Bégin（1989）。）
通过从每个v0*b代码符号中删除多个v0*b-v符号，可以从低速率代码（v0,1）（写为R=1/v0）构造高速率代码（v，b）（写成R=b/v）。
尽管以下公式没有出现在IEEE通讯汇刊的两篇已发表论文中，但从这两篇论文的理论来看，将“k|b”替换为“k|v0*b”是有意义的（“k|gcd（v，b）”替换成“k|gcd（v，v0*b）”）。然而，Pab Ter在下面的Maple程序中使用“k|b”。（结束）
参考文献
盖·贝金（Guy Bégin），《关于穿孔卷积码的穿孔模式计数》，塞里斯·福梅莱斯（Séries Formelles）和阿尔盖布里克（Algébrique），第四次学术讨论会，1992年5月15日至19日，魁北克大学蒙特勒分校，第1-10页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
配方奶粉
从给定的低速卷积码（v0，1）（写为R=1/v0）导出高速卷积码的穿孔模式数为（1/b）*求和{k|gcd（v，b）}φ（k）*二项式（v0*b/k，v/k）。
根据Pab-Ter的Maple码，这是多项式（1/b）*Sum_{k|b}phi（k）*（1+z^k）^（v0*b/k）中z^v的系数。
这里（v，b）=（n+2，n）和（v0,1）=（2,1），所以
a（n）=（1/n）*和{k|gcd（n+2，n）}φ（k）*二项式（2*n/k，（n+2）/k）。
这简化为
a（n）=（1/n）*（二项式（2*n，n+2）+[（n mod 2）==0]*二项式。
a（n）=（-2*c（n）+c（n+1）+[（n mod 2）==0]*c（n/2））/2对于n>=1，其中c=A000108美元.（结束）
递归D-有限-（11*n-30）*（n+2）*（n+1）*a（n）+10*（n+1）*（7*n^2-22*n+6）*a-R.J.马塔尔2021年3月21日
MAPLE公司
使用（数字理论）：P:=proc（b，v0）local k:RETURN（add（phi（k）*（1+z^k）^（v0*（b/k）），k=除数（b））/b）：end；seq（系数（P（b，2），z，b+2），b=2..40）；#Pab Ter公司
数学
A[x_]=（1-平方[1-4x]）/（2x）-1；
扩展
更多条款来自Pab Ter（pabrlos2（AT）yahoo.com），2005年11月13日
0, 1, 3, 2, 7, 8, 6, 4, 5, 18, 17, 20, 22, 21, 16, 19, 14, 10, 9, 15, 11, 13, 12, 49, 50, 48, 45, 46, 55, 54, 61, 63, 64, 57, 62, 58, 59, 47, 44, 53, 60, 56, 42, 51, 38, 26, 27, 37, 25, 23, 24, 43, 52, 39, 29, 28, 41, 33, 35, 36, 40, 30, 34, 31, 32, 143, 142, 146, 148, 147
0, 1, 3, 2, 8, 7, 6, 5, 4, 21, 22, 20, 17, 18, 19, 16, 15, 12, 13, 14, 11, 9, 10, 58, 59, 62, 63, 64, 57, 61, 54, 45, 46, 55, 48, 49, 50, 56, 60, 53, 44, 47, 52, 43, 40, 31, 32, 41, 34, 35, 36, 51, 42, 39, 30, 33, 37, 28, 23, 24, 38, 29, 25, 26, 27, 170, 171, 174, 175, 176
评论
这种对合作用于二叉树上的以下变换（标签A、B、C、D表示位于这些节点上的任意子树，（）表示终端节点。）
.A..B.C..D…..D.C.B..A…………..B……..C…..B..A……..B.A
..\./.\./.......\./.\./.........\./.....\./..........\./..............\./.
…x…x…-->。。x……x……（）。。x..-->。。x..（）。。。。。。。。x.（）…-->。。()..x。。
....\./...........\./.........\./.........\./..........\./..........\./...
…..x………….x……..x。。。。
黄体脂酮素
（此自同构的构造性和破坏性Scheme实现。这些作用于S表达式，即列表结构：）
0, 1, 3, 7, 20, 66, 217, 715, 2424, 8398, 29414, 104006, 371384, 1337220, 4847637, 17678835, 64821680, 238819350, 883634026, 3282060210, 12233125112, 45741281820, 171529836218, 644952073662, 2430973096720, 9183676536076, 34766775829452, 131873975875180, 501121106988464
评论
具有偶数峰值（或等效的奇数谷）的Dyck n路径数-余欣凹，2019年12月7日
链接
S.P.Eu、S.C.Liu和Y.N.Yeh，平面树上的奇偶《离散数学》，第281卷，第1-3期，2004年4月28日，第189-196页。
配方奶粉
a（2n）=（1/（4*n+2））*二项式（4*n，2*n），a。
G.f.：（1/4）*（2-（1-4*x）^（1/2）+2*x-（1+4*x^2）^（1/2））/x-弗拉德塔·乔沃维奇2003年4月19日
a（0）=1，a（n）=Sum_{k=0.floor（n/2）}（1/n）*C（n，2k-1）*C（n，2k），n>0-保罗·巴里，2007年1月25日
a（n）=0^n+Sum_{k=1..n}（1/n）*C（n，k）*C（n，k-1）*（1+（-1）^k）/2-保罗·巴里2008年12月16日
a（n）=和{k=0..n}-保罗·巴里2010年9月13日
n*（n+1）*a（n）-2*n*（n+1）*a（n-1）-4*（2*n^2-10*n+9）*a-R.J.马塔尔，2012年11月24日（修正人余欣凹2019年12月9日）
递归（3阶）：n*（n+1）*（5*n^2-20*n+18）*a（n）=2*n*（2*n-5）*（5*n^2-10*n+3）*a。
a（n）~2^（2*n-1）/（sqrt（Pi*n）*n）。
（结束）
例子
a（3）=3，因为在5个平面3棵树中，有3棵树的叶子数为偶数；a（4）=7，因为在14棵平面4棵树中，有7棵树的叶子数为偶数。
MAPLE公司
seq（加上（2*k*二项式（n，2*k）^2/（n*（n-2*k+1）），k=0..floor（n/2）），n=1..30）#G.C.格鲁贝尔2019年12月10日
数学
a[n]：=如果[EvenQ[n]，二项式[2n，n]/（2n+2
表[（加泰罗尼亚数字[n]-2^n二项式[1/2，（n+1）/2]）/2，{n，20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年10月3日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=0^n+和（k=1，n，（1/n）*二项式（n，k）*二项式（n、k-1）*（1+（-1）^k）/2）\\米歇尔·马库斯2019年12月9日
（岩浆）[&+[2*k*二项式（n，2*k）^2/（n*（n-2*k+1））：k in[0..Floor（n/2）]]：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2019年12月10日
（Sage）[求和（2*k*二项式（n，2*k）^2/（n*（n-2*k+1））for k in（0..floor（n/2）））for n in（1..30）]#G.C.格鲁贝尔2019年12月10日
1, 1, 2, 7, 22, 66, 212, 715, 2438, 8398, 29372, 104006, 371516, 1337220, 4847208, 17678835, 64823110, 238819350, 883629164, 3282060210, 12233141908, 45741281820, 171529777432, 644952073662, 2430973304732, 9183676536076
评论
Narayana变换(A001263号)共[1，0，1，0，1，0，1，…]。示例：a（4）=7=（1，6，6，1）点（1，0，1，0）=（1+0+6+0）-加里·亚当森2008年1月4日
链接
S.P.Eu、S.C.Liu和Y.N.Yeh，平面树上的奇偶，离散数学。281 (2004), 189-196.
配方奶粉
a（2*n）=（1/（4*n+2））*二项式（4*n，2*n；
a（2*n-1）=（1/（4*n））*二项式（4*n-2，2*n-1）-（-1）^n*（1/（2*n））*二项式（2*n-2，n-1），其中n>0。
通用公式：（1/4）*（（1+4*x^2）^（1/2）-（1-4*x）^-弗拉德塔·乔沃维奇2003年4月19日
a（0）=0；当n>0时，a（n）=Sum_{k=0..floor（n/2）}（1/n）*C（n，2*k+1）*C-保罗·巴里，2007年1月25日
a（n）=和{k=1..n}（1/n）*C（n，k）*C，（n，k-1）*（1-（-1）^k）/2-保罗·巴里2008年12月16日
猜想：n*（n+1）*（10*n-37）*a（n）+2*n*（5*n^2-42*n+91）*a-R.J.马塔尔2018年7月5日
32*n*（2*n+1）*a（n）-48*（n+2）*（n+1）*a（n+1-罗伯特·伊斯雷尔2018年7月5日
例子
a（3）=2，因为在5个平面3棵树中，有2棵树的叶子数为奇数；a（4）=7，因为在14棵平面4棵树中，有7棵树的叶子数为奇数。
数学
a[n]：=如果[EvenQ[n]，二项式[2n，n]/（2n+2），二项法[2n，n]/（2n+2）-（-1）^（（n+1）/2）二项式[n-1，（n-1）/2]/（n+1）]
表[（CatalanNumber[n]+2^n二项式[1/2，（n+1）/2]）/2，{n，20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年10月3日*）
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