搜索： a225558-编号：a225558
|
| |
|
|
A003418号
|
| n>=1，a（0）=1时{1，2，…，n}的最小公倍数（或LCM）。
（原M1590）
|
|
+10
365
|
|
|
|
1, 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, 2520, 27720, 27720, 360360, 360360, 360360, 720720, 12252240, 12252240, 232792560, 232792560, 232792560, 232792560, 5354228880, 5354228880, 26771144400, 26771144400, 80313433200, 80313433200, 2329089562800, 2329089562800
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
对称群S_n的最小指数，即对于S_n中的所有x，x^a（n）=1的最小正整数-弗兰兹·弗拉贝克2008年12月28日
根据约定，素数的最大幂小于或等于n.a（0）=1的所有素数的乘积。
与黎曼假设等价的断言是：|log（a（n））-n|<sqrt（n）*log（n）^2-Lekraj Beedassy公司2006年8月27日。（对于n=1和n=2，这是错误的。是否应添加“足够大的n”-乔治·古宁斯基2011年10月22日）
Farhi的推论3证明了a（n）>=2^（n-1）-乔纳森·沃斯邮报2009年6月15日
Greg Martin（见链接）证明了“在开区间（0,1）中所有有理数集上采样的Gamma函数的乘积，其最小分母最多为n”等于（2*Pi）^（1/2）*a（n）^-乔纳森·沃斯邮报2009年7月28日
a（n+1）是最小整数，当i=0.1，。。。，n、 是具有整数系数的多项式-弗拉基米尔·舍维列夫2011年12月23日
对于n>2，（n-1）=Sum_{k=2..n}exp（a（n）*2*i*Pi/k）-埃里克·德斯比亚2012年9月13日
对于n>0，a（n）是最小的数字k，因此n是k的第n个除数-米歇尔·拉格诺2014年4月24日
Z中增长最慢的整数>0，当被视为profinite整数时，在Z^中收敛到0-赫伯特·埃伯勒2016年5月1日
所有相等的连续术语的最大数量是多少？我发现从a（370261）到a（370372）有112个相等项-德米特里·卡梅内茨基2019年5月5日
答：存在任意长的具有相同值的连续项序列；此外，具有不同值的连续项的最大游程是从a（1）到a（5）的5（见链接Roger B.Eggleton）-伯纳德·肖特2019年8月7日
对于n>2，a（n）的形式为2^e_1*p_2^e_2*…*p_m^e_m，其中e_m=1且e=楼层（log_2（p_m））<=e_1。因此，2^e*p_m^e_m是一个基本的Zumkeler数(A180332号). 因此，2^e_1*p_m^e_m是Zumkeller数(A083207号). 因此，对于n>2，a（n）=2^e_1*p_m^e_m*r是Zumkeller数，其中r相对2*p_m是素数A002182号详细信息）-伊万·伊纳基耶夫2020年5月10日
对于n>1，2|（a（n）+2）。。。n |（a（n）+n），所以a（n。。a（n）+n都是复合的，并且（部分）一个素间隙至少为n。（比较n！+2..n！+n）-斯蒂芬·威瑟姆2021年10月9日
|
|
|
参考文献
|
J.M.Borwein和P.B.Borwein.，《Pi和AGM》，威利出版社，1987年，第365页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
多林·安德里卡（Dorin Andrica）、索林·杜勒斯库（Sorin RŢdulescu）和乔治·科特林·厄尔卡什，群的指数：性质、计算和应用，光盘。数学。和应用，Springer，Cham（2020），57-108。
哈维尔·齐卢埃洛、胡安霍·鲁埃、保利乌斯·萨尔卡和安娜·祖马拉卡雷吉，正整数集的最小公倍数，arXiv:1112.3013[math.NT]，2011年。
R.E.Crandall和C.Pomerance，素数：一个计算的视角，MR2156291型，第61页。
S.Labbé和E.Pelantová，标记形态生成的回文序列，arXiv:1409.7510[math.CO]，2014年。
S.Ramanujan，高度复合数《伦敦数学学会学报》。2，第十四卷，第1号（1915年），第347-409页。（有一种质量更好的变体，带有附加脚注在这里.)
赫尔热·冯·科赫，首映提名分配《数学学报》。24 (1) (1901), 159-182.
|
|
|
配方奶粉
|
素数定理意味着lcm（1,2，…，n）=exp（n（1+o（1）））为n->无穷大。换句话说，log（lcm（1,2，…，n））/n->1表示n->infinity-乔纳森·桑多2005年1月17日
Greg Martin证明了a（n）=lcm（1,2,3，…，n）=Product{i=Farey（n），0<i<1}2*Pi/Gamma（i）^2。这可以重写（对于n>1）为a（n）=（1/2）*（Product_{i=Farey（n），0<i<=1/2}2*sin（i*Pi））^2-彼得·卢什尼2009年8月8日
用于计算的递归公式：a（0）=1；a（1）=1；a（n）=lcm（n，a（n-1））-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2011年1月8日
如果n是素数幂p^k，则a（n）=a（p^k）=p*a（n-1），否则a（n。
a（n）=exp（求和{k=1..n}求和{d|k}莫比乌斯（d）*log（k/d））-彼得·卢什尼2012年9月1日
Nair（1982）证明了2^n<=a（n）<=4^n对于n>=9。另见Farhi（2009）。奈尔也证明了
a（n）=lcm（m*二项式（n，m）：1<=m<=n）和
a（n）=gcd（a（m）*二项式（n，m）：n/2<=m<=n）。（结束）
|
|
|
例子
|
{1,2,3,4,5,6}的LCM=60。6以内的素数是2、3和5。floor（log（6）/log（2））＝2，因此2的指数为2。
floor（log（6）/log（3））=1，因此3的指数为1。
floor（log（6）/log（5））=1，因此5的指数为1。因此，a（6）=2^2*3^1*5^1=60-大卫·A·科内斯2017年6月2日
|
|
|
MAPLE公司
|
HalfFarey:=proc（n）局部a，b，c，d，k，s；a:=0；b:=1；c:=1；d：=n；s：=空；dok:=iquo（n+b，d）；a、 b，c，d：=c，d，k*c-a，k*d-b；如果2*a>b，则打破fi；s：=s，（a/b）；od:[s]结束：LCM:=进程（n）局部i；（1/2）*mul（2*sin（Pi*i），i=HalfFarey（n））^2结束：#彼得·卢什尼
#下一个Maple计划：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，ilcm（n，a（n-1）））结束：
|
|
|
数学
|
文件夹列表[LCM，1，范围@28]
表[Product[Prime[i]^Floor[Log[Prime[i]，n]]，{i，PrimePi[n]}]，{n，0，28}](*Wei Zhou公司2011年6月25日*）
表[积[分圆[n，1]，{n，2，m}]，{m，0，28}](*弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年5月22日*）
a1[n_]：=1/12（Pi^2+3（-1）^n（PolyGamma[1，1+n/2]-PolyGamma[1，（1+n）/2]）//简化
a[n_]：=分母[Sqrt[a1[n]]]；
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=局部（t）；t=n>=0；对于素数（p=2，n，t*=p^（log（n）\log（p）））；t吨
（PARI）a（n）=如果（n<1，n==0，1/内容（向量（n，k，1/k））
（PARI）a（n）=my（v=素数（素数（n）），k=平方（n），L=对数（n+.5））；prod（i=1，#v，如果（v[i]>k，v[i]，v[i]^（L\log（v[i）））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年12月21日
（PARI）a（n）=lcm（向量（n，i，i））\\Bill Allombert，2012年4月18日[通过查尔斯·格里特豪斯四世]
（PARI）n=1；lim=100；i=1；j=1；直到（n==lim，a=lcm（j，i+1））；i++；j=a；n++；打印（n“”a）；）\\迈克·温克勒2013年9月7日
（弧垂）[lcm（范围（1，n）），用于范围（1、30）中的n]#零入侵拉霍斯，2009年6月6日
（哈斯克尔）
a003418=折叠lcm 1。枚举从2
（岩浆）[Lcm（[1.n]）：n英寸[0.30]]//布鲁诺·贝塞利2015年2月6日
（方案）（定义(A003418号n） （设loop（（n n）（m1））（如果（zero？n）m（loop（-n 1）（lcm m n））））；；安蒂·卡图恩2018年1月3日
（Python）
从functools导入reduce
从运算符导入mul
来自sympy导入筛
def integerlog（n，b）：#查找最大整数k>=0，这样b^k<=n
kmin，kmax=0，1
而b**kmax<=n：
kmax*=2
为True时：
kmid=（kmax+kmin）//2
如果b**kmid>n：
kmax=kmid
其他：
kmin=kmid
如果kmax-kmin<=1：
打破
返回kmin
返回减少（mul，（p**integerlog（n，p）for p in siever.素数范围（1，n+1）），1）#柴华武2021年3月13日
（Python）#生成序列的初始段
从数学导入gcd
从itertools导入累加
定义lcm（a，b）：返回a*b//gcd（a，b）
定义aupton（nn）：返回[1]+列表（累加（范围（1，nn+1），lcm））
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000142号,A000793号,A002110号,A002182号,A002201号,A002944号,A014963号,A020500型,A025527号,A038610型,A051173号,A064446号,A064859号,A069513号,A072938号,A093880型,A094348号,A096179号,A099996号,A102910号,A106037标准,A119682号,A179661号,A193181号,A225558型,A225630型,A225632型,A225640型,A225642号.
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,核心,美好的
|
|
|
作者
|
罗兰·安德森（Roland.Anderson（AT）swipnet.se）
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A000793号
|
| 朗道函数g（n）：n个元素的最大置换阶。相当于n个分区的最大LCM。
（原名M0537 N0190）
|
|
+10
78
|
|
|
|
1, 1, 2, 3, 4, 6, 6, 12, 15, 20, 30, 30, 60, 60, 84, 105, 140, 210, 210, 420, 420, 420, 420, 840, 840, 1260, 1260, 1540, 2310, 2520, 4620, 4620, 5460, 5460, 9240, 9240, 13860, 13860, 16380, 16380, 27720, 30030, 32760, 60060, 60060, 60060, 60060, 120120
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
格兰瑟姆提到，他计算了n≤500000的a（n）。
有限域上n次多项式分裂域的最大次数，因为在有限域上，分裂域的次数是多项式不可约多项式因子次数的最小公倍数-查尔斯·格里特豪斯四世2015年4月27日
对称组S_n中元素的最大顺序-宋嘉宁2021年12月12日
|
|
|
参考文献
|
J.Haack，“Steve Reich拍击音乐的数学”，摘自《桥梁：艺术、音乐和科学中的数学联系：会议记录》，1998年，Reza Sarhangi（编辑），第87-92页。
Edmund Georg Hermann Landau，《Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen》，切尔西出版社，1953年，第223页。
J.-L.尼古拉斯（J.-L.Nicolas），《论朗道函数g（n）》，R.L.Graham等人编辑，第228-240页，保罗·埃尔德（Paul Erdős I）的数学。
S.M.Shah，算术函数g（x）的不等式，印度数学杂志。《社会学杂志》，3（1939），316-318。[请参阅下文查看第一页。]
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
马克·德莱格利什（Marc Deléglise）、珍妮·卢伊斯·尼古拉斯（Jean-Louis Nicolas）和保罗·齐默尔曼（Paul Zimmermann），朗道的一百亿功能，arXiv:0803.2160[math.NT]，2008年。
马克·德莱格利什和珍妮·卢伊斯·尼古拉斯，关于素数有界和的最大乘积《整数序列杂志》，第18卷（2015年），第15.2.8条。
马克·德莱格利什和珍妮·卢伊斯·尼古拉斯，朗道函数与黎曼假设，里昂大学（法国，2019）。
J.Kuzmanovich和A.Pavlichenkov，条目为整数的矩阵的有限组阿默尔。数学。月刊，109（2002），173-186。
Jean-Pierre Massias，群体对称最大值的显性多数，（French）[对称群元素最大阶的显式上界]Ann.Fac。科学。图卢兹数学。（5） 6（1984），第3-4、269--281号（1985）。MR0799599（87a:11093）。
Jean-Pierre Massias、Jean-Louis Nicolas和Guy Robin，对称群中元素最大阶的有效界，数学。公司。53（1989），第188、665--678号。MR0979940（90e:11139）。
W.Miller，有限对称群元的最大阶，美国数学。《月刊》，1987年6月至7月，第497-506页。
Jean-Louis Nicolas，群symétrique S_n最大值计算《法国信息评论》（Revue française d’informatique et de recherche opérationnelle），《红葡萄酒》3.2（1969）：43-50。
罗杰·努斯鲍姆（Roger D.Nussbaum）、鲁内尔·弗杜恩（Lunel Verduyn）和M.Sjoerd，非扩张映射周期点周期的渐近估计遍历理论动力学。系统23（2003），第4期，第1199-1226页。MR1997973（2004年：37033）。
|
|
|
配方奶粉
|
Landau:lim_{n->oo}（loga（n））/sqrt（nlogn）=1。
有关边界，请参见Shah和Massias参考。
|
|
|
例子
|
G.f.=1+x+2*x^2+3*x^3+4*x^4+6*x^5+6*x ^6+12*x^7+15*x^8+。。。
7个分区中的15个分区如下：
[#][partition]lcm（部件）
[ 1] [ 1 1 1 1 1 1 1 ] 1
[ 2] [ 1 1 1 1 1 2 ] 2
[ 3] [ 1 1 1 1 3 ] 3
[ 4] [ 1 1 1 2 2 ] 2
[ 5] [ 1 1 1 4 ] 4
[ 6] [ 1 1 2 3 ] 6
[ 7] [ 1 1 5 ] 5
[ 8] [ 1 2 2 2 ] 2
[ 9] [ 1 2 4 ] 4
[10] [ 1 3 3 ] 3
[11] [1 6]6
[12] [ 2 2 3 ] 6
[13] [2 5]10
[14] [3 4]12（最大值）
[15] [ 7 ] 7
获得的最大（LCM）值为12，因此a（7）=12。
（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
l：=1：
p:=组合[分区]（n）：
对于i从1到组合[numbpart]（n）do
如果ilcm（p[i][j]$j=1.nops（p[i]））>l，则
l：=ilcm（p[i][j]$j=1..nos（p[i））
结束条件：
结束do：
l；
结束过程：
seq（最大值（op（map（x->ilcm（op（x）），组合[分区]（n））），n=0..30）#大卫·拉德克利夫2006年2月28日
#第三个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆；局部p；
p： =`if`（i<1，1，ithprime（i））；
`如果`（n=0或i<1，1，max（b（n，i-1），
seq（p^j*b（n-p^j，i-1），j=1..ilog[p]（n））
结束时间：
a： =n->b（n，`if`（n<8，3，numtheory[pi]（ceil（1.328*isqrt（n*ilog（n））））：
|
|
|
数学
|
f[n_]：=Max@Apply[LCM，Integer Partitions@n，1]；数组[f，47](*罗伯特·威尔逊v2011年10月23日*）
b[n_，i_]：=b[n，i]=模[{p}，p=如果[i<1，1，素数[i]]；如果[n==0||i<1，1，Max[b[n，i-1]，表[p^j*b[n-p^j，i-1]{j，1，Log[p，n]//Floor}]]]；a[n_]：=b[n，如果[n<8，3，PrimePi[Ceiling[1.328*Sqrt[n*Log[n]//Floor]]]]；表[a[n]，{n，0，100}](*Jean-François Alcover公司2014年3月7日之后阿洛伊斯·海因茨*)
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=my（m，t，j，u）；如果（n<2，n>=0，m=ceil（n/exp（1））；t=ceil/*迈克尔·索莫斯，2004年10月20日*/
（PARI）c=0；A793=应用（t->eval（concat（Vec（t）[#Str（c++）..-1]），选择（t->#t，readstr（“/tmp/b00793.txt”））；A000793号（n） =A793[n+1]\\假定b文件位于/tmp（或C:\tmp）文件夹中-M.F.哈斯勒2015年3月29日
（PARI）A008475型（n） =我的（f=系数（n））；和（i=1，#f~，f[i，1]^f[i、2]）；
a（n）=
{
如果（n<2，返回（1））；
对于步骤（i=cel（exp（1.05315*sqrt（log（n）*n））），2，-1，
);
1；
（PARI）
{\\翻译自托马斯·罗基基给出的代码
我的（N=100）；
my（V=向量（N，j，1））；
对于素数（i=2，N，素数i
对于步骤（j=N，i，-1，
我的（hi=V[j]）；
我的（pp=i）；\\素数i的幂
而（pp<=j，\\V[]是基于1的
hi=最大值（如果（j==pp，pp，V[j-pp]*pp），hi）；
pp*=i；
);
V[j]=hi；
);
);
打印（V）；\\所有值
\\打印（V[N]）；\\仅a（N）
\\打印（“0 1”）；对于（n=1，n，打印（n，“，V[n]））；\\b文件
（PARI）{a（n）=my（m=1）；如果（n<0，0，对于部分（v=n，m=max（m，lcm（Vec（v）））；m）}/*迈克尔·索莫斯，2017年9月4日*/
（方案）；；搜索n的所有分区的朴素算法：
（定义(A000793号n） （let（（maxlcm（list 0）））（fold_over_partitions_ofn 1 lcm（lambda（p）（set-car！maxlcm，max（car maxlcm）p）））
（定义（fold_over_partitions_of m initval addpartfun colfun）
（哈斯克尔）
a000793=最大值。地图（foldl lcm 1）。分区，其中
分区n=ps 1 n，其中
ps x 0=[[]]
ps x y=[t:ts | t<-[x.y]，ts<-ps t（y-t）]
（Python）
从sympy导入primerange
定义aupton（N）：#计算项a（0）。。a（否）
V=[1，对于范围（N+1）中的j
对于素数范围（2，N+1）中的i：
对于范围（N，i-1，-1）中的j：
hi=V[j]
pp=i
而pp<=j：
hi=最大值（（pp，如果j==pp，则V[j-pp]*pp），hi）
pp*=i
V[j]=高
回路V
（Python）
从sympy导入primerage、sqrt、log、Rational
定义f（N）：#计算项a（0）。。a（否）
V=[1，对于范围（N+1）中的j
如果N＜4：
C=2
其他：
C=理性（166125）
对于素数范围内的i（C*sqrt（N*log（N）））：
对于范围（N，i-1，-1）中的j：
hi=V[j]
pp=i
而pp<=j：
hi=最大值（V[j-pp]*pp，hi）
pp*=i
V[j]=高
返回V
（鼠尾草）
定义a（n）：
返回最大值（[lcm（l）for l in Partitions（n）]）
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000792号,A009490型,A034891号,A057731号,A074859号,A128305号,A129759号,A225655型,225648英镑-225650英镑,A225651型,A225636型,A225558型.
|
|
|
关键词
|
非n,核心,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
删除了关于a（16）的错误注释，该注释可能源于由于偏移量=0而将a（15）=105误读为a（16-M.F.哈斯勒2009年2月2日
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 7, 14, 11, 13, 15, 44, 39, 26, 26, 22, 33, 33, 39, 39, 143, 143, 143, 153, 78, 187, 221, 221, 209, 209, 247, 247, 323, 323, 418, 418, 391, 646, 437, 437, 646, 969, 969, 969, 969, 782, 874, 874, 1292, 667, 713, 713, 782, 5681, 3496
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A225652型
|
| a（n）=（1/n）*lcm（n，p1，p2，…，pk），用于在n的所有分区[p1，p2，…，pk]中使该值最大的n的分区。 |
|
+10
6
|
|
|
|
1, 1, 2, 3, 6, 5, 12, 15, 20, 21, 30, 35, 60, 45, 56, 105, 210, 77, 420, 99, 220, 315, 840, 385, 924, 1155, 1540, 585, 2520, 364, 4620, 3465, 3640, 4620, 3432, 5005, 13860, 8190, 6160, 9009, 30030, 4290, 60060, 9945, 12376, 45045, 120120, 17017, 51480, 36036
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,3
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
MAPLE公司
|
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，{1}，
`如果`（i<1，{}，{seq（映射（x->ilcm（x，`if`（j=0，1，i））），
b（n-i*j，i-1））[]，j=0..n/i）}））
结束时间：
a： =n->最大值（seq（ilcm（n，i），i=b（n$2））/n：
|
|
|
数学
|
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，{1}，如果[i<1，{}，表[Map[Function[{x}，LCM[x，If[j==0，1，i]]，b[n-i*j，i-1]]，{j，0，n/i}]]；a[n_]：=最大值[表[LCM[n，i]，{i，b[n，n]}]/n；表[打印[“a（”，n，“）=”，an=a[n]]；安，{n，1，50}](*Jean-François Alcover公司2015年7月29日之后阿洛伊斯·海因茨*)
|
|
|
黄体脂酮素
|
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 2, 2, 3, 2, 2, 5, 7, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 6, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
第一个复合物4出现在n=20。第一个不是素数幂的复合数，即6，出现在n=61时。
|
|
|
链接
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.011秒内完成
|
