在联合数学会议上个月在圣地亚哥，我休了一天假，进行植物和数学旅游。我驱车前往约书亚树国家公园（Joshua Tree National Park），在圣贝纳迪诺山脉（San Bernardino Mountains）那边的高沙漠中。
这个公园的名字很奇怪短叶丝兰.根据公园宣传册和网站约书亚树过去是百合，但现在是龙舌兰。同一本小册子对植物的生长和发育做了一些解释。最初，一根茎笔直向上生长，最终在顶端开花。如果花受精，结果过程会破坏分生组织，即茎尖活跃生长的组织。然后，茎分叉，产生大小大致相同的两个枝条，每个枝条都有一个新的顶端分生组织。树枝朝着不可预测的方向生长。当这两个新的生长尖端最终开花和结果时，它们也分叉，形成四个顶点。
还有什么比这更令人讨厌的呢？它是一个对称的二叉树，直接来自计算机科学教科书。（除了教科书会把树倒过来。）抽象出所有蓬松的生物细节，理想化约书亚树的拓扑模型如下所示：
在这张图中，我冒昧地假设对称性来填充植物看不见的地下部分：我赋予根系与地上部分相同的分支结构。当这个图形旋转90度时，它被称为H曲线；在这个方向上，我想它一定是I曲线。
在进一步讲述这个故事之前，我必须承认短叶丝兰并不像我最初认为的那样精确和规则。并不是所有的树都是严格的二进制。当太阳在公园升起时，我很快发现了一些三叉戟。当天晚些时候，我发现了更奇怪的分支模式。
因此，大自然再次试图实现一种算法，不久之后，她的思想开始漫游，产生了规范中找不到的涂鸦。但没关系。我的思想也在游荡。当我徒步穿过约书亚树的小树林时，我不停地想起“牙签树”。这些是我前一天从Neil J.A.Sloane那里学到的结构，他是整数序列在线百科全书.我在圣地亚哥会议的展厅遇到尼尔OEIS基金会有一个摊位。
我感觉到约书亚树和牙签树之间有联系。在上图所示的理想化H曲线中，每一代增加的枝条略小于其亲本。收缩因子为\（1/\sqrt{2}\），我将其应用于分支的长度和厚度。如果树枝不缩水怎么办？他们在三代人之后就开始相互冲突。这就是牙签树的情况。它的形状与H曲线基本相同，但没有收缩系数；相反，我们采用的规则是，每当一根树枝碰到另一根树枝时，碰撞的尖端都会被“消毒”，不会有新的树枝在那里生长。
以下是来自纸张David Applegate、Omar E.Pol和Sloane介绍了牙签树的概念：
我们从一张无限长的绘图纸和无限长的1线段开始，称为“牙签”。在第一阶段，我们将牙签放在年-轴并以原点为中心。我们放的每根牙签都有两端，如果平面上的这一点既不是其他牙签的末端也不是其中点，则称其末端“暴露”。
在接下来的每个阶段，对于每一根裸露的牙签末端，我们都会在该末端的中心位置放置一根牙签，并垂直于该牙签。因此，放在奇数级的牙签都与年-轴，而那些放置在偶数级的平行于x个-轴。
我拼凑了一个JavaScript和SVG程序，用于组装和拆卸牙签树n个= 128. 在这个阶段，牙签的数量是10923根，如果你买一盒250根的话，这是一大笔牙签。另一方面，它比2要小很多128–完整二叉树的1个分支。
本图的交互式版本依赖于“内联SVG”，即直接包含在HTML文档中的可缩放矢量图形。如果您看到的是一个静态插图，没有任何按钮可单击，恐怕您的浏览器不支持此功能。在我的测试中，该程序可以在最新版本的Chrome、Safari、Firefox和Opera中运行；它不太可能在RSS阅读器中工作。有一个独立版本的交互式插图在这里大卫·阿普莱盖特还有一个“电影版本“基于不同的编程技术。
连续的牙签总数形成序列A139250在斯隆的OEIS中。该列表附带的注释指出了许多关于模式及其生成过程的有趣事实。如果你运行动画，你会不由自主地注意到其独特的行为n个接近2的每一个整数幂，或者重复模式，其中一个方形块在每个角上都有一个较小的方形“耳朵”。第一次之后没有牙签一 三穿过x个或年轴。（当x个或年坐标是2的幂，两边的牙签在轴上的点相交，但它们不相交。）
注释还提到了一个猜想，我认为这个猜想仍然没有定论：
猜测：考虑筛子中的矩形（包括正方形）。每个矩形（A=b*c）和边（b和c）的面积是2的幂，但至少有一条边（b或c）小于等于2。
这个猜想中所讨论的矩形是“开放的”矩形，里面没有牙签或部分牙签。我对更一般的正方形和长方形感到好奇，它们被定义为任何轴对齐的四边形，其周长由一系列完整的牙签或半牙签组成，而不管内部是什么。以下是在牙签图案的小样本中发现的几个方块：
本汇编中的距离单位是牙签的一半，因为这是可能出现的最小正方形。我突出显示了边长为1、2、3、4、6、7和8个单位的正方形。有边长为5的正方形吗？9点和17点怎么样？我更广泛地寻找矩形，而不仅仅是正方形，我得到了罗斯。右侧矩阵中的黑点表示我们能够用手和眼睛找到的所有矩形。（我还没有编写一个程序来进行更系统的搜索。）5×5和9×9的红色圆圈是看起来特别有趣的空缺。这些方块存在于牙签树的任何地方吗？如果不是，有什么简单的理由可以解释为什么吗？
就在我们这些学究之间，我应该提到，约书亚树和牙签树实际上都不是树。约书亚树不是木质的；牙签树有周期。
约书亚树和牙签树，自然树和数学树：它们非常不同，但我都喜欢。
在沙漠阳光下度过的一天，欣赏短叶丝兰感觉很不像用JavaScript编写H曲线或牙签树，也不像在打印输出中搜索5乘5的方块。但我不想在这些活动中做出选择。当我能把它们联系起来时，我特别高兴，无论它们多么脆弱和异想天开。
