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贝塞尔多项式y_n（x）系数的三角形a（n，k）（n>=0，0<=k<=n）（指数按递增顺序）。
+10
45
1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 6, 15, 15, 1, 10, 45, 105, 105, 1, 15, 105, 420, 945, 945, 1, 21, 210, 1260, 4725, 10395, 10395, 1, 28, 378, 3150, 17325, 62370, 135135, 135135, 1, 36, 630, 6930, 51975, 270270, 945945, 2027025, 2027025, 1, 45, 990, 13860, 135135, 945945, 4729725, 16216200, 34459425, 34459425
评论
指数递增的行多项式（例如，第三行：1+3x+3x^2）是Grosswald的y_{n}（x）多项式，第18页，公式（7）。
也称为第一类贝塞尔数。
三角形a（n，k）有因式分解[C（n，k）][C（k，n-k）]Diag（（2n-1）！！）三角形a（n-k，k）为A100861号，它给出了缩放Hermite多项式的系数-保罗·巴里2005年5月21日
通过a（n，k）=（-1）^k与Hermite多项式相关*A060821型（n+k，n-k）/2^n-保罗·巴里2005年8月28日
行多项式，贝塞尔多项式y（n，x）：=和{m=0..n}（a（n，m）*x^m）（在Grosswald参考中称为y_{n}（x））满足（x^2）*（d^2/dx^2。
a（n-1，m-1），n>=m>=1，枚举了由m个平面（aka有序）增加（根）树组成的无序n顶点森林。根据第一列Y（z）的示例f:=1-sqrt（1-2*z）（偏移量1）和Bergeron等人的等式（8）Y'（z）=phi（Y（z。参见他们在第28页关于平面递归树的评论。对于m=1，请参阅D.Callan关于A001147号2006年10月26日-沃尔夫迪特·朗2007年9月14日
a（n，k）也作为微分算子D:=1/td/dt的（n+1）阶系数出现，即D^｛n+1｝=Sum_{k=0..n｝a（n，k）（-1）^｛n-k｝t^｛1-（n+k）｝（D^｛n+1-k｝/dt^｛n+1-k｝）-列奥尼德·贝德拉图克2010年8月6日
参考文献
J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第77页。
链接
A.Alldrige、J.Hilgert和M.R.Zirnbauer，约化对称超空间的Chevalley约束定理，arXiv:0812.3530[math.RT]，2008-2009年；J.阿尔及利亚。323（4）（2010）1159-1185 doi:10.1016/j.jalgebra.2009.11.014，备注3.17。
David Applegate和N.J.A.Sloane，礼物交换问题，arXiv:0907.0513[math.CO]，2009年。
胡安·安东尼奥·巴切罗和安东尼·卡布雷，欧氏空间中紧集的数量，arXiv预印本arXiv:1507.02502[math.MG]，2015。
F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的品种，摘自《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult主编，Springer 1922年，第24-48页。
亚历山大·博尔迪雷夫，有理分数分解为部分分数，自然数学。Mag.17（6）（1943），261-267；系数（m）N（r）。
亚历山大·伯斯坦（Alexander Burstein）和图菲克·曼苏尔（Toufik Mansour），受最多两个不同字母的图案限制的单词，arXiv:math/0110056[math.CO]，2001年。
H.L.Krall和Orrin Frink，一类新的正交多项式，事务处理。阿默尔。数学。Soc.65100-1151949年。
马仕美（Shi-Mei Ma）、图菲克·曼苏尔（Toufik Mansour）和马蒂亚斯·肖克（Matthias Schork）。正规排序问题与Stirling文法的推广，arXiv预印本arXiv：1308.0169【math.CO】，2013年。
马仕美、图菲克·曼苏尔、让·叶和杨娜叶，正规有序文法，arXiv:240.415119[math.CO]，2024。见第11页。
Florian Stober和Armin Wei，关于合并插入的平均情况，arXiv:1905.09656[cs.DS]，2019年。
Laszlo A.Székely、Pál l.Erdős和M.A.Steel，进化树的组合学《联合王国的洛塔林根》，B28e（1992），第15页。
胡安·特里亚纳，基于上下文无关文法的贝塞尔多项式（Polinomios de Bessel mediante gramáticas independentes del contexto），Bistua，潘普洛纳大学（哥伦比亚，2024年），第22卷，第2号。见第3页。
配方奶粉
a（n，k）=（n+k）/（2^k*（n-k）*k！）（见格罗斯瓦尔德和里奥丹）-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月20日
a（n，0）=1；a（0，k）=0，k>0；a（n，k）=a（n-1，k）+（n-k+1）a-伦·斯迈利
第m列的G.f.：(A001147号（m） *x^m）/（1-x）^（2*m+1），m>=0，其中A001147号（m） =双阶乘（来自显式a（n，m）形式）。
行多项式y_n（x）由在t=0时计算的D^（n+1）（exp（t））给出，其中D是运算符1/（1-t*x）*D/dt-彼得·巴拉2011年11月25日
G.f.：猜想：T（0）/（1-x），其中T（k）=1-x*y*（k+1）/（x*y*（k+1）-（1-x）^2/T（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月13日
Grosswald的递归，第18页，等式（5），关于行多项式：y_n（x）=（2*n-1）*x*y_{n-1}+y_{n-2}（x，y_{-1}（x）=1=y_{0}=1，n>=1。对于n>=0，k=0..n:a（n，k）=0对于n<k（三角形中未显示零），a（n、-1）=0，a（0，0）=1=a（1，0），否则a（n；k）=（2*n-1）*a（n-1，k-1）+a（n-2，k）。与上述复发情况进行比较-沃尔夫迪特·朗2018年5月11日
T（n，k）=Pochhammer（n+1，k）*二项式（n，k）/2^k=A113025号（n，k）/2^k-彼得·卢什尼2018年5月11日
例子
三角形a（n，k），n>=0，k=0..n开始于：
1
1 1
1 3 3
1 6 15 15
1 10 45 105 105
1 15 105 420 945 945
1 21 210 1260 4725 10395 10395
1 28 378 3150 17325 62370 135135 135135
1 36 630 6930 51975 270270 945945 2027025 2027025
1 45 990 13860 135135 945945 4729725 16216200 34459425 34459425
...
y_0（x）=1
y_1（x）=x+1
y_2（x）=3*x^2+3*x+1
y_3（x）=15*x^3+15*x^2+6*x+1
y_4（x）=105*x^4+105*x^3+45*x^2+10*x+1
y_5（x）=945*x^5+945*x^4+420*x^3+105*x^2+15*x+1
树计数：对于无序森林，m=2个平面增加树，n=3个顶点，即一棵树具有一个顶点（根），另一棵树有两个顶点（一个根和一个叶），增加标记为（1，23），（2，13）和（3，12）-沃尔夫迪特·朗2007年9月14日
MAPLE公司
贝塞尔：=过程（n，x）加（二项式（n+k，2*k）*（2*k*x^k/（k！*2^k），k=0..n）；结束；#显式贝塞尔多项式
贝塞尔：=过程（n）选项记忆；如果n<=1，则（1+x）^n else（2*n-1）*x*Bessel（n-1）+Bessel；fi；结束；#贝塞尔多项式的递推
贝塞尔：=过程（n，x）加法（二项式（n+k，2*k）*（2*k）*x^k/（k！*2^k），k=0..n）；结束；
f:=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则（1+x）^n其他（2*n-1）*x*f（n-1）+f（n-2）；fi；结束；
#备选方案：
T:=（n，k）->pochhammer（n+1，k）*二项式（n，k）/2^k：
对于从0到9的n，做seq（T（n，k），k=0..n）od#彼得·卢什尼2018年5月11日
T：=proc（n，k）选项记住；如果k=0，则为1；如果k=n，则为T（n，k-1）
else（n-k+1）*T（n，k-1）+T（n-1，k）fi-fi结束：
对于从0到9的n，做seq（T（n，k），k=0..n）od#彼得·卢什尼2023年10月2日
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=如果（k<0|k>n，0，二项式（n，k）*（n+k）！/2^k/n！）}/*迈克尔·索莫斯2006年10月3日*/
（平价）
我的（x='x+O（'x^（N+2））；
塞拉普拉斯（导数（exp（（1-sqrt（1-2*t*x））/t），'x））；
};
（哈斯克尔）
a001498 n k=a001498_tabl！！不！！k个
a001498_row n=a001498 _ tabl！！n个
a001498_tabl=映射反向a001497_tabl
（岩浆）/*作为三角形：*/[[因子（n+k）/（2^k*因子（n-k）*因子（k））：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2016年2月15日
1, 1, 1, 3, 3, 1, 15, 15, 6, 1, 105, 105, 45, 10, 1, 945, 945, 420, 105, 15, 1, 10395, 10395, 4725, 1260, 210, 21, 1, 135135, 135135, 62370, 17325, 3150, 378, 28, 1, 2027025, 2027025, 945945, 270270, 51975, 6930, 630, 36, 1, 34459425, 34459425, 16216200, 4729725, 945945, 135135, 13860, 990, 45, 1
评论
（反向）贝塞尔多项式P（n，x）：=和{m=0..n}a（n，m）*x^m，行多项式，在Grosswald参考中称为Theta_n（x），求解x*（d^2/dx^2）P（n、x）-2*（x+n）*（d/dx）P（n，x）+2*n*P（n）=0。
Carlitz将相关Sheffer关联多项式定义为
B（0，x）=1
B（1，x）=x
B（2，x）=x+x^2
B（3，x）=3x+3x^2+x^3
B（4，x）=15 x+15 x ^2+6 x ^3+x ^4
指数Riordan数组[1/sqrt（1-2x），1-sqrt（1-2 x）]-保罗·巴里2010年7月27日
对于B（n，k）{…}，我们有第二类Bell多项式
B（n，k）{f'，f''，f''…}=T（n-1，k-1）*（1-2*x）^（k/2-n），其中f（x）=1-sqrt（1-2*x）。
前几行的展开为：
1平方米（1-2*x）；
1/（1-2*x）^（3/2），1/（1-2*x）；
3/（1-2*x）^（5/2），3/（1-2*x）|2，1/（1-2*x）*^（3/2）；
15/（1-2*x）^（7/2），15/。（结束）
a（n-1，m-1）计算具有n个标记叶和m个根的有根无序二元林-大卫·德斯·贾丁斯2019年2月23日
多项式P_n（x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k满足：对于n>=1，P_n（x）-（d/dx）P_n（x）=x*P_{n-1}（x）。
{P（n，x）}与1/（1+x^2）^（n+1）和x/（1+x^2）（n+2）的傅里叶变换有关：
（i） 对于n>=0，实数t，我们有积分{x=-oo..oo}exp（-i*t*x）/（1+x^2）^（n+1）dx=Pi/（2^n*n！）*P_n（|t|）*exp（-|t|；
（ii）对于n>=0，实数t，我们有积分{x=-oo..oo}x*exp（-i*t*x）/（1+x^2）^（n+2）dx=Pi/（2^（n+1）*（n+1）！）*（（-t）*P_n（-|t|））*exp（-| t|）。（结束）
假设f（x）是定义在（a，b）上的n次可微函数，对于0≤a<b<=+oo，则对于n>=1，f（sqrt（x））在（a^2，b^2）上的第n阶导数是和{k=1..n}（（-1）^（n-k）*T（n-1，k-1）*f^（k）-宋嘉宁2023年11月30日
参考文献
J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第77页。
链接
E.Deutsch、L.Ferrari和S.Rinaldi，生产矩阵《应用数学进展》，34（2005），第101-122页。
E.格罗斯瓦尔德，贝塞尔多项式，数学课堂笔记。1978年第698卷第18页。
W.Mlotkowski和A.Romanowicz，二项式序列族，《概率与数理统计》，第33卷，Fasc。2（2013年），第401-408页。
亚历山大·斯托伊莫夫，关于弦图的个数，离散。数学。218 (2000), 209-233. 引理2.2。
配方奶粉
a（n，m）=（2*n-m）/（m！*（n-m）*2^（n-m）），如果n>=m>=0，则为0（摘自格罗斯瓦尔德，第7页）。
a（n，m）=0，n<m；a（n，-1）：=0；a（0，0）=1；a（n，m）=（2*n-m-1）*a（n-1，m）+a（n-1,m-1），n>=m>=0（摘自格罗斯瓦尔德第23页，（19））。
例如，对于第m列：（（1-sqrt（1-2*x））^m）/（m！*sqrt。
G.f.：1/（1-xy-x/（1-xy-2x/（1-xy-3x/（1-xy-4x/（1-……））（续分数）-保罗·巴里2009年1月29日
T（n，k）=如果（k<=n，C（2n-k，2（n-k））*（2（n-k）-1）！！，0）=如果（k<=n，C（2n-k，2（n-k））*A001147号（n-k），0）-保罗·巴里2011年3月18日
n>=1的行多项式由在x=0时计算的1/t*D^n（exp（x*t））给出，其中D是运算符1/（1-x）*D/dx-彼得·巴拉2011年11月25日
矩阵乘积A039683号*A008277号给出了此三角形的签名版本。行多项式的Dobinski型公式：R（n，x）=（-1）^n*exp（x）*Sum_{k=0..inf}k*（k-2）*（k-4）**（k-2*（n-1））*（-x）^k/k！。囊性纤维变性。122850英镑. -彼得·巴拉2014年6月23日
例子
三角形开始
1,
1, 1,
3, 3, 1,
15, 15, 6, 1,
105, 105, 45, 10, 1,
945, 945, 420, 105, 15, 1,
10395, 10395, 4725, 1260, 210, 21, 1,
135135, 135135, 62370, 17325, 3150, 378, 28, 1,
2027025, 2027025, 945945, 270270, 51975, 6930, 630, 36, 1
生产矩阵开始
1, 1,
2, 2, 1,
6, 6, 3, 1,
24, 24, 12, 4, 1,
120, 120, 60, 20, 5, 1,
720, 720, 360, 120, 30, 6, 1,
5040, 5040, 2520, 840, 210, 42, 7, 1,
40320, 40320, 20160, 6720, 1680, 336, 56, 8, 1,
362880, 362880, 181440, 60480, 15120, 3024, 504, 72, 9, 1
MAPLE公司
f:=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则（1+x）^n展开（（2*n-1）*x*f（n-1）+f（n-2））；fi；结束；
行：=n->seq（系数（f（n），x，n-k），k=0..n）：seq（行（n）），n=0..9）；
数学
y[n_，x_]：=平方[2/（Pi*x）]*E^（1/x）*BesselK[-n-1/2，1/x]；t[n_，k_]：=系数[y[n，x]，x，k]；表[t[n，k]，{n，0,9}，{k，n，0，-1}]//展平(*Jean-François Alcover公司2013年3月1日*）
黄体脂酮素
（PARI）T（k，n）=如果（n>k||k<0||n<0，0，（2*k-n）/（n！*（k-n）*2^（k-n））/*拉尔夫·斯蒂芬*/
（PARI）{T（n，k）=如果（k<0|k>n，0，二项式（n，k）*（2*n-k）！/2^（n-k）/n！）}/*迈克尔·索莫斯2006年10月3日*/
（哈斯克尔）
a001497 n k=a001497_tabl！！不！！k个
a001497_row n=a001497 _ tabl！！n个
a001497_tabl=[1]：f[1]1其中
f xs z=ys:f ys（z+2）其中
ys=zipWith（+）（[0]++xs）（zipWise（*）[z，z-1..]（xs++[0]））
（Magma）/*作为三角形*/[[因子（2*n-k）/（因子（k）*因子（n-k）*2^（n-k））：在[0.n]]中的k：在[0.15]]中的n//文森佐·利班迪，2015年8月12日
#添加列1，0，0。。。在三角形的左边。
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