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贝塞尔多项式

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贝塞尔多项式Y

Krall和Fink（1949）将贝塞尔多项式定义为函数

y_n（x）=sum_（k=0）^（n）（（n+k）！）/（n-k）！k！）（x/2）^k
（1）
=平方（2/（像素））e^（1/x）K_（-n-1/2）（1/x，
(2)

哪里K_n（x）是一个修正贝塞尔函数第二种。它们与被改进的第二类球面贝塞尔函数 kN（x）。前几个是

y_0（x）=1
(3)
y_1（x）=x+1
(4)
y2（x）=3x^2+3x+1
(5)
y3（x）=15x^3+15x^2+6x+1
(6)
y_4（x）=105x^4+105x^3+45x^2+10x+1
(7)

（组织环境信息系统A001497号). 这些函数满足微分方程

x^2y^（''）+（2x+2）y^'-n（n+1）y=0。
(8)
贝塞尔多项式

Carlitz（1957）随后考虑了相关多项式

p_n（x）=x^ny_（n-1）（1/x）。
(9)

此多项式形成关联的谢弗序列具有

f（t）=t-1/2t^2。
(10)

这使得生成函数

sum_（k=0）^infty（p_k（x））/（k！）t^k=e^（x（1-2t）））。
(11)

显式公式为

p_n（x）=sum_（k=1）^（n）（（2n-k-1）！）/（2^（n-k）（k-1）！（n-k）！）x ^k个
(12)
=（2n-3）！！x_1F_1（1-n；2-2n；2x），
(13)

哪里x！！是一个双阶乘和_1F_1（a；b；z）是一个汇合的第一类超几何函数。前几个多项式是

第1页（x）=x个
（14）
第2页（x）=x^2+x
(15)
第3页（x）=x^3+3x^2+3x
（16）
第4页（x）=x^4+6x^3+15x^2+15x
(17)

（组织环境信息系统A104548号).

多项式满足递推公式

p_n^（“”）（x）-2p_n^'（x）+2np_（n-1）（x）=0。
(18)

另请参阅

贝塞尔函数,第二类修正球面贝塞尔函数,谢费尔顺序

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关于贝塞尔多项式的注记杜克大学数学。J。 24, 151-162, 1957.格罗斯瓦尔德，E。贝塞尔多项式。纽约：Springer-Verlag出版社，1978年。Krall，H.L。一类新的正交多项式：贝塞尔多项式事务处理。阿默尔。数学。Soc公司。 65, 100-115, 1949.Roman，S.“The贝塞尔多项式。“第4.1.7条这个脑微积分。纽约：学术出版社，第78-82页，1984年。斯隆，新泽西州。答：。序列A001497号,A001498号,和A104548号在线百科全书整数序列的。"

参考Wolfram | Alpha

贝塞尔多项式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“贝塞尔多项式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/BesselPolynomial.html

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