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2015年5月 |
| 贝塞尔多项式y_n(x)在x=1时求值。 (原名M1803 N0713)
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1, 2, 7, 37, 266, 2431, 27007, 353522, 5329837, 90960751, 1733584106, 36496226977, 841146804577, 21065166341402, 569600638022431, 16539483668991901, 513293594376771362, 16955228098102446847, 593946277027962411007, 21992967478132711654106, 858319677924203716921141
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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对于某些应用程序,最好在开始时使用额外的1开始此序列:1、1、2、37、266、2431、27007、353522、5329837。。。(同样偏移为0)。此序列现在有自己的条目-请参阅A144301号.
{1,…,k},n<=k<=2n划分为n个块的分区数,每个块不超过2个元素。重申了使用{1,…,k},n<=k<=2n的元素的方法,每种方法一次形成n个集合,每个集合有1个或2个元素Bob Proctor,2005年4月18日,2006年6月26日。例如,对于n=2,我们得到:(k=2):{1,2};(k=3):{1,23},{2,13},}3,12};(k=4):{12,34},{13,24},}14,23},总共a(2)=7个分区。
f0:=进程(n)局部k;添加((n+k)/(n-k)*k*2^k),k=0..n);结束;[序列(f0(n),n=0..10)];
#这是这个序列
f1:=进程(n)局部k;添加((n+k+1)/(n-k)*k*2^k),k=0..n);结束;[seq(f1(n),n=0..10)];
f2:=程序(n)局部k;添加((n+k+2)/(n-k)*k*2^k),k=0..n);结束;[seq(f2(n),n=0..10)];
f3:=进程(n)局部k;加((n+k+3)/(n-k)*k*2^k),k=0..n);结束;[序列(f3(n),n=0..10)];
f4:=进程(n)局部k;添加((n+k+4)/(n-k)*k*2^k),k=0..n);结束;[序列(f4(n),n=0..10)];
a(n)也是以2开头的连续分数序列的分子,后面跟着3和剩余的奇数:[2,3,5,7,9,11,13,…]-吉尔·布鲁萨德2009年10月7日
此外,在礼物交换游戏中,礼物最多只能被偷一次的场景数量-N.J.A.斯隆2017年1月25日
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参考文献
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J.Riordan,《组合恒等式》,威利出版社,1968年,第77页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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Moa Apagodu、David Applegate、N.J.A.Sloane和Doron Zeilberger,礼物交换问题分析,arXiv:1701.08394[math.CO],2017年。
David Applegate和N.J.A.Sloane,礼物交换问题,arXiv:0907.0513[math.CO],2009年。
O.Frink和H.L.Krall,一类新的正交多项式,事务处理。阿米尔。数学。Soc.65100-1151945年。[来自罗杰·巴古拉2009年2月15日]
E.格罗斯瓦尔德,贝塞尔多项式,数学课堂笔记。,1978年第698卷。
W.Mlotkowski和A.Romanowicz,二项式序列族《概率与数理统计》,第33卷,法新社。2(2013年),第401-408页。
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配方奶粉
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以下公式都可以在格罗斯瓦尔德的书中找到(或者很容易从书中的公式中推导出来)。
递归D-有限:a(0)=1,a(1)=2;此后a(n)=(2*n-1)*a(n-1)+a(n-2)。
例如:exp(1-sqrt(1-2*x))/sqrt(1-2*x)。
a(n)=和{k=0..n}二项式(n+k,2*k)*(2*k/(k!*2^k)。
等价地,a(n)=Sum_{k=0..n}(n+k)/(n-k)*k*2^k)=和{k=n..2n}k/(2n-k)*(k-n)*2^(k-n))。
a(n)=超几何2F0([n+1,-n];-;-1/2)。
a(n)~exp(1)*(2n)/(n!*2^n)作为n->oo。[见格罗斯瓦尔德,第124页]
G.f.:1/(1-x-x/(1-x-2*x/(1x-3*x/-保罗·巴里2009年2月8日
a(-1-n)=a(n)。
(a(n+1)+a(n+2))^2=a(n)*a
G.f.:1/G(0),其中G(k)=1-x-x*(2*k+1)/(1-x-2*x*(k+1)/G(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月5日
例如:E(0)/(2*sqrt(1-2*x)),其中E;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月23日
G.f.:T(0)/(1-x),其中T(k)=1-(k+1)*x/((k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月15日
a(n)=exp(1)*sqrt(2/Pi)*BesselK(1/2+n,1)-格里·马滕斯2015年7月22日
a(n)=(1/n!)*积分{x=0..inf}经验(-x)*x^n*(1+x/2)^ndx。
例如:d/dx(exp(x*c(x/2)))=1+2*x+7*x^2/2!+37*x^3/3!+。。。,其中c(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)是加泰罗尼亚语数字的g.fA000108号.(结束)
a(n)=(1/2){n}*2^n*超几何1f1(-n;-2*n;2)。
G.f.:(1/(1-t))*超几何2f0(1,1/2;-;2*t/(1-t^2))。(结束)
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例子
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y_0=1
y_1=1+x
y_2=1+3*x+3*x^2
y_3=1+6*x+15*x^2+15*x^3,依此类推。
G.f.=1+2*x+7*x ^2+37*x ^3+266*x ^4+2431*x ^5+27007*x ^6+353522*x ^7+。。。
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MAPLE公司
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2015年5月:=进程(n)局部k;添加((n+k)/(n-k)*k*2^k),k=0..n);结束;
贝塞尔:=过程(n,x)加法(二项式(n+k,2*k)*(2*k)*x^k/(k!*2^k),k=0..n);结束;
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数学
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递归表[{a[0]==1,a[1]==2,a[n]==(2n-1)a[n-1]+a[n-2]},a[n,{n,25}](*哈维·P·戴尔2011年6月18日*)
表[Sum[BellY[n+1,k,(2 Range[n+1]-3)!!],{k,n+1}],{n,0,20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年11月9日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<0,n=-1-n);和(k=0,n,(2*n-k)!/(k!*(n-k))*2^(k-n))}/*迈克尔·索莫斯2012年4月8日*/
(哈斯克尔)
(岩浆)[(&+[二项式(n+j,2*j)*Catalan(j)*阶乘(j+1)/2^j:j in[0..n]]):n in[0..30]]//G.C.格雷贝尔2023年9月26日
(SageMath)[和(二项式(n+j,2*j)*二项式#G.C.格雷贝尔2023年9月26日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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