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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
2015年5月 贝塞尔多项式y_n(x)在x=1时求值。
(原名M1803 N0713)
59
1, 2, 7, 37, 266, 2431, 27007, 353522, 5329837, 90960751, 1733584106, 36496226977, 841146804577, 21065166341402, 569600638022431, 16539483668991901, 513293594376771362, 16955228098102446847, 593946277027962411007, 21992967478132711654106, 858319677924203716921141 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,2
评论
对于某些应用程序,最好在开始时使用额外的1开始此序列:1、1、2、37、266、2431、27007、353522、5329837。。。(同样偏移为0)。此序列现在有自己的条目-请参阅A144301号.
{1,…,k},n<=k<=2n划分为n个块的分区数,每个块不超过2个元素。重申了使用{1,…,k},n<=k<=2n的元素的方法,每种方法一次形成n个集合,每个集合有1个或2个元素Bob Proctor,2005年4月18日,2006年6月26日。例如,对于n=2,我们得到:(k=2):{1,2};(k=3):{1,23},{2,13},}3,12};(k=4):{12,34},{13,24},}14,23},总共a(2)=7个分区。
等效地,n个未标记项目的序列数,每个项目只出现一次或两次(参见。A105749号). -大卫·阿普尔盖特,2008年12月8日
第(n+1)个分子收敛于1+tanh(1)-贝诺伊特·克洛伊特2002年12月20日
下面的Maple线条显示了这个序列和A144505号,A144498号,A001514号,A144513号,A144506号,A144514号,A144507号,A144301号都是相关的。
f0:=进程(n)局部k;添加((n+k)/(n-k)*k*2^k),k=0..n);结束;[序列(f0(n),n=0..10)];
#这是这个序列
f1:=进程(n)局部k;添加((n+k+1)/(n-k)*k*2^k),k=0..n);结束;[seq(f1(n),n=0..10)];
#那就是144498英镑
f2:=程序(n)局部k;添加((n+k+2)/(n-k)*k*2^k),k=0..n);结束;[seq(f2(n),n=0..10)];
#那就是A144513号; 除以2得出A001514号
f3:=进程(n)局部k;加((n+k+3)/(n-k)*k*2^k),k=0..n);结束;[序列(f3(n),n=0..10)];
#那就是A144514号; 除以6给出A144506号
f4:=进程(n)局部k;添加((n+k+4)/(n-k)*k*2^k),k=0..n);结束;[序列(f4(n),n=0..10)];
#除以24得出A144507号
a(n)也是以2开头的连续分数序列的分子,后面跟着3和剩余的奇数:[2,3,5,7,9,11,13,…]-吉尔·布鲁萨德2009年10月7日
此外,在礼物交换游戏中,礼物最多只能被偷一次的场景数量-N.J.A.斯隆2017年1月25日
参考文献
J.Riordan,《组合恒等式》,威利出版社,1968年,第77页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
Seiichi Manyama,n=0..404时的n、a(n)表(T.D.Noe的前101个术语)
Moa Apagodu、David Applegate、N.J.A.Sloane和Doron Zeilberger,礼物交换问题分析,arXiv:1701.08394[math.CO],2017年。
Moa Apagodu、David Applegate、N.J.A.Sloane和Doron Zeilberger,在线附录I“礼物交换问题分析”,G_1(n)至G_15(n)的D型复发(参见2015年5月,A144416号,144508英镑,A144509号,A149187号,A281358型-A281361型)
Moa Apagodu、David Applegate、N.J.A.Sloane和Doron Zeilberger,在线附录二“礼物交换问题分析”,G_1(n)至G_15(n)的C型复发(参见2015年5月,A144416号,A144508号,144509英镑,149187英镑,A281358型-A281361型)
David Applegate和N.J.A.Sloane,礼物交换问题,arXiv:0907.0513[math.CO],2009年。
P.Blasiak、A.Horzela、K.A.Penson、G.H.E.Duchamp和A.I.Solomon,基于置换和Sheffer型多项式的玻色子正规序,arXiv:quant-ph/05011552005年。
德米特里·埃菲莫夫,特殊类型Toeplitz矩阵的hafnian、完美匹配和Bessel多项式,arXiv:1904.08651[math.CO],2019年。
O.Frink和H.L.Krall,一类新的正交多项式,事务处理。阿米尔。数学。Soc.65100-1151945年。[来自罗杰·巴古拉2009年2月15日]
E.格罗斯瓦尔德,贝塞尔多项式,数学课堂笔记。,1978年第698卷。
沃尔夫迪特·朗,关于Stirling数三角形的推广,J.整数序列。,第3卷(2000),#00.2.4。
Toufik Mansour、Matthias Schork和Mark Shattuck,关于亚纯Weyl代数的Stirling数《应用数学快报》,第25卷,第11期,2012年11月,第1767-1771页发件人N.J.A.斯隆2012年9月15日
W.Mlotkowski和A.Romanowicz,二项式序列族《概率与数理统计》,第33卷,法新社。2(2013年),第401-408页。
R.A.Proctor,让我们扩展Rota计算分区的十二倍方法!,arXiv:math/0606404[math.CO],2006-2007年。
配方奶粉
以下公式都可以在格罗斯瓦尔德的书中找到(或者很容易从书中的公式中推导出来)。
递归D-有限:a(0)=1,a(1)=2;此后a(n)=(2*n-1)*a(n-1)+a(n-2)。
例如:exp(1-sqrt(1-2*x))/sqrt(1-2*x)。
a(n)=和{k=0..n}二项式(n+k,2*k)*(2*k/(k!*2^k)。
等价地,a(n)=Sum_{k=0..n}(n+k)/(n-k)*k*2^k)=和{k=n..2n}k/(2n-k)*(k-n)*2^(k-n))。
a(n)=超几何2F0([n+1,-n];-;-1/2)。
a(n)=A105749号(n) /n!。
a(n)~exp(1)*(2n)/(n!*2^n)作为n->oo。[见格罗斯瓦尔德,第124页]
a(n)=A144301号(n+1)。
G.f.:1/(1-x-x/(1-x-2*x/(1x-3*x/-保罗·巴里2009年2月8日
发件人迈克尔·索莫斯2012年4月8日:(开始)
a(-1-n)=a(n)。
(a(n+1)+a(n+2))^2=a(n)*a
G.f.:1/G(0),其中G(k)=1-x-x*(2*k+1)/(1-x-2*x*(k+1)/G(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月5日
例如:E(0)/(2*sqrt(1-2*x)),其中E;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月23日
G.f.:T(0)/(1-x),其中T(k)=1-(k+1)*x/((k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月15日
a(n)=(2*BesselI(1/2,1)+Bessel(3/2,1))*Bessel K(n+1/2,1)-Jean-François Alcover公司2014年2月3日
a(n)=exp(1)*sqrt(2/Pi)*BesselK(1/2+n,1)-格里·马滕斯2015年7月22日
发件人彼得·巴拉2017年4月14日:(开始)
a(n)=(1/n!)*积分{x=0..inf}经验(-x)*x^n*(1+x/2)^ndx。
例如:d/dx(exp(x*c(x/2)))=1+2*x+7*x^2/2!+37*x^3/3!+。。。,其中c(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)是加泰罗尼亚语数字的g.fA000108号.(结束)
发件人G.C.格雷贝尔2017年8月16日:(开始)
a(n)=(1/2){n}*2^n*超几何1f1(-n;-2*n;2)。
G.f.:(1/(1-t))*超几何2f0(1,1/2;-;2*t/(1-t^2))。(结束)
例子
前几个贝塞尔多项式是(参见。A001497号,A001498号)以下为:
y_0=1
y_1=1+x
y_2=1+3*x+3*x^2
y_3=1+6*x+15*x^2+15*x^3,依此类推。
G.f.=1+2*x+7*x ^2+37*x ^3+266*x ^4+2431*x ^5+27007*x ^6+353522*x ^7+。。。
MAPLE公司
2015年5月:=proc(n)选项记忆;如果n=0,则1 elif n=1,然后2 else(2*n-1)*2015年5月(n-1)+2015年5月(n-2);fi;结束;
2015年5月:=进程(n)局部k;添加((n+k)/(n-k)*k*2^k),k=0..n);结束;
2015年5月:=n->超几何([n+1,-n],[],-1/2);
贝塞尔:=过程(n,x)加法(二项式(n+k,2*k)*(2*k)*x^k/(k!*2^k),k=0..n);结束;
数学
递归表[{a[0]==1,a[1]==2,a[n]==(2n-1)a[n-1]+a[n-2]},a[n,{n,25}](*哈维·P·戴尔2011年6月18日*)
表[Sum[BellY[n+1,k,(2 Range[n+1]-3)!!],{k,n+1}],{n,0,20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年11月9日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<0,n=-1-n);和(k=0,n,(2*n-k)!/(k!*(n-k))*2^(k-n))}/*迈克尔·索莫斯2012年4月8日*/
(哈斯克尔)
a001515=总和。a001497_低--莱因哈德·祖姆凯勒2014年11月24日
(岩浆)[(&+[二项式(n+j,2*j)*Catalan(j)*阶乘(j+1)/2^j:j in[0..n]]):n in[0..30]]//G.C.格雷贝尔2023年9月26日
(SageMath)[和(二项式(n+j,2*j)*二项式#G.C.格雷贝尔2023年9月26日
交叉参考
请参见A144301号用于其他公式和注释。
贝塞尔三角形的行和A001497号以及的A001498号.
部分金额:A105748号.
第一个区别:A144498号.
将注释中的“集合”替换为“列表”:A001517号.
当礼物最多可被偷s次时(s=1..9),礼物场景序列如下:,A144416号,A144508号,144509英镑,149187英镑,A281358型,A281359型,A281360型,A281361型.
关键词
非n,容易的,美好的
作者
扩展
由广泛编辑N.J.A.斯隆2008年12月7日
状态
经核准的

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月19日01:34。包含370952个序列。(在oeis4上运行。)