显示找到的14个结果中的1-10个。
乘积{k>=1}1/（1-x^k）^tau_k（k）的展开式，其中tau_k（k）=k的有序k-因式分解数(A163767号).
+20
三
1, 1, 3, 6, 19, 30, 96, 152, 461, 775, 1883, 3271, 8751, 14370, 34004, 59491, 140450, 239746, 541817, 932681, 2089189, 3606641, 7719178, 13398411, 28848808, 49603982, 103047935, 179154858, 370200348, 639269735, 1295389370, 2241994088, 4511677298, 7798101800, 15408901600
MAPLE公司
A： =proc（n，k）选项记忆`如果`（k=1，1，
加法（A（d，k-1），d=numtheory[除数]（n））
结束时间：
a： =proc（n）选项记住`如果`（n=0，1，添加（add（d*
A（d$2），d=numtheory[除数]（j））*A（n-j），j=1..n）/n）
结束时间：
数学
nmax=34；系数列表[级数[乘积[1/（1-x^k）^次@@（二项式[#+k-1，k-1]和/@FactorInteger[k][[All，2]]），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
a[n_]：=a[n]=如果[n==0，1，Sum[Sum[d Times@@（二项式[#+d-1，d-1]和/@FactorInteger[d][[All，2]]），{d，除数[k]}]a[n-k]，{k，1，n}]/n]；表[a[n]，{n，0，34}]
乘积{k>=1}（1+x^k）^tau_k（k）的展开式，其中tau_k（k）=k的有序k-因式分解数(A163767号).
+20
1
1, 1, 2, 5, 14, 22, 70, 109, 318, 551, 1203, 2136, 5752, 9263, 20641, 37151, 85084, 144918, 317356, 546730, 1196302, 2076810, 4281584, 7459351, 15860805, 27146911, 54715933, 95712097, 194059563, 334322338, 663159101, 1147479053, 2270647257, 3923732160, 7587368893
数学
τ[n，1]=1；τ[n_，k_]：=τ[n，k]=加号@@（τ[#，k-1]和/@除数[n]）；nmax=40；系数列表[系列[积[（1+x^k）^tau[k，k]，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2018年11月3日之后罗伯特·威尔逊v*)
1/（1-和{k>=1}τ_k（k）*x^k）的展开式，其中τ_k（k）=k的有序k因式分解数(A163767号).
+20
0
1, 1, 3, 8, 27, 67, 216, 569, 1747, 4812, 14041, 39483, 115408, 326385, 941735, 2684170, 7725097, 22063737, 63354066, 181223899, 519883185, 1488316952, 4266788191, 12219763777, 35023995792, 100326757107, 287503501905, 823654031283, 2360146144917, 6761847714698, 19374935267810
MAPLE公司
A： =proc（n，k）选项记忆`如果`（k=1，1，
加法（A（d，k-1），d=numtheory[除数]（n））
结束时间：
a： =proc（n）选项记住`如果`（n=0，1，
加（A（j$2）*A（n-j），j=1..n））
结束时间：
数学
nmax=30；系数列表[级数[1/（1-总和[Times@@（二项式[#+k-1，k-1]和/@FactorInteger[k][[All，2]]）x^k，{k，1，nmax}]），{x，0，nmax{]，x]
a[0]=1；a[n_]：=a[n]=和[Times@@（二项式[#+k-1，k-1]和/@FactorInteger[k][[All，2]]）a[n-k]，{k，1，n}]；表[a[n]，{n，0，30}]
1, 2, 10, 120, 3876, 376992, 119877472, 131254487936, 509850594887712, 7145544812472168960, 364974894538906616240640, 68409601066028072105113098240, 47312269462735023248040155132636160, 121317088003402776955124829814219234385920
评论
此外，n X n（0,1）矩阵模行置换的数量（通过对称性，这与（0,1）矩阵模列置换的数量相同），即如果其中一个矩阵是另一个矩阵行置换的结果，则两个矩阵A和B等价的等价类的数量。（0,1）矩阵的总数按顺序排列A002416号.
配方奶粉
a（n）=[x^n]1/（1-x）^（2^n）。
a（n）=（1/n！）*Sum_{k=0..n}（（-1）^（n-k）*Stirling1（n，k）*2^（k*n））-弗拉德塔·乔沃维奇2004年5月28日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（2^n+n，k）-弗拉德塔·乔沃维奇2008年1月21日
a（n）=总和{k=0..n}箍筋1（n，k）*（2^n+n-1）^k/n-弗拉德塔·乔沃维奇2008年1月21日
通用公式：A（x）=和{n>=0}[-log（1-2^n*x）]^n/n！。更一般地说，Sum_{n>=0}[-log（1-q^n*x）]^n/n！=和{n>=0}C（q^n+n-1，n）*x^n；也求和{n>=0}log（1+q^n*x）^n/n！=和{n>=0}C（q^n，n）*x^n-保罗·D·汉纳2007年12月29日
MAPLE公司
with（组合）：对于从0到20的n，执行printf（`%d，`，二项式（2^n+n-1，n））od：
数学
表[二项式[2^n+n-1，n]，{n，0，20}](*哈维·P·戴尔2012年4月19日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=二项式（2^n+n-1，n）
（PARI）{a（n）=polcoeff（总和（k=0，n，（-log（1-2^k*x+x*O（x^n）））^k/k！），n）}\\保罗·D·汉纳2007年12月29日
（PARI）a（n）=和（k=0，n，stirling（n，k，1）*（2^n+n-1）^k/n！）\\保罗·D·汉纳2014年11月20日
（Sage）[（0..20）中n的二项式（2^n+n-1，n）]#G.C.格鲁贝尔2021年3月14日
（岩浆）[二项式（2^n+n-1，n）:n in[0..20]]//G.C.格鲁贝尔2021年3月14日
（Python）
从数学导入梳
交叉参考
二项式序列（2^n+p*n+q，n）：A136556号(0,-1),A014070级(0,0),136505英镑(0,1),A136506号（0,2），该序列（1，-1），A132683号(1,0),A132684号(1,1),A132685号(2,0),A132686号(2,1),A132687号(3,-1),A132688号(3,0),132689英镑(3,1).
作者
艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年4月19日
按升序反对偶读取数组T：T（n，k）=Sum_{d除以n}T（d，k-1），T（n、0）=1。
+10
25
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 4, 1, 1, 2, 6, 4, 5, 1, 1, 4, 3, 10, 5, 6, 1, 1, 2, 9, 4, 15, 6, 7, 1, 1, 4, 3, 16, 5, 21, 7, 8, 1, 1, 3, 10, 4, 25, 6, 28, 8, 9, 1, 1, 4, 6, 20, 5, 36, 7, 36, 9, 10, 1, 1, 2, 9, 10, 35, 6, 49, 8, 45, 10, 11, 1, 1, 6, 3, 16, 15, 56, 7, 64, 9, 55, 11, 12, 1
评论
T（n，k）被称为广义除数函数（参见Beekman）。
作为偏移量为n=1、k=0的数组，T（n，k）是n的除数的长度k链的数量。例如，T（4,3）=10链是：111、211、221、222、411、422、441、442、444-古斯·怀斯曼2022年8月4日
参考文献
理查德·比克曼（Richard Beekman），《数字理论组合学导论》，卢鲁出版社，2017年。
配方奶粉
T（n，k）=Sum_{d除以n}T（d，k-1），T（n、0）=1（参见Beekman文章中的定理3）。
如果i和j是互质正整数，则T（i*j，k）=T（i，k）*T（j，k）（参见Beekman文章中的引理1）。
T（p^m，k）=每个素数p的二项式（m+k，k）（参见Beekman文章中的引理2）。
例子
数组开始：
k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8
n=1：1 1 1 1 11 1 1 1
n=2:1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=3:1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=4：1 3 6 10 15 21 28 36 45
n=5:1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=6：1 4 9 16 25 36 49 64 81
n=7:1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=8:1 4 10 20 35 56 84 120 165
T（4,5）=21条链条：
(1,1,1,1,1) (4,2,1,1,1) (4,4,2,2,2)
(2,1,1,1,1) (4,2,2,1,1) (4,4,4,1,1)
(2,2,1,1,1) (4,2,2,2,1) (4,4,4,2,1)
(2,2,2,1,1) (4,2,2,2,2) (4,4,4,2,2)
(2,2,2,2,1) (4,4,1,1,1) (4,4,4,4,1)
(2,2,2,2,2) (4,4,2,1,1) (4,4,4,4,2)
(4,1,1,1,1) (4,4,2,2,1) (4,4,4,4,4)
T（6,3）=16条链条：
(1,1,1) (3,1,1) (6,2,1) (6,6,1)
(2,1,1) (3,3,1) (6,2,2) (6,6,2)
(2,2,1) (3,3,3) (6,3,1) (6,6,3)
(2,2,2) (6,1,1) (6,3,3) (6,6,6)
三角形式T（n-k，k）给出了n-k的除数的长度k链的个数。它开始于：
1
1 1
1 2 1
1 2 3 1
1 3 3 4 1
1 2 6 4 5 1
1 4 3 10 5 6 1
1 2 9 4 15 6 7 1
1 4 3 16 5 21 7 8 1
1 3 10 4 25 6 28 8 9 1
1 4 6 20 5 36 7 36 9 10 1
1 2 9 10 35 6 49 8 45 10 11 1
（结束）
数学
T[n_，k_]：=如果[n==1，1，乘积[二项式[Extract[Extract[FactorInteger[n]，i]，2]+k，k]，{i，1，长度[FactorInteger[n]]}]；表[T[n-k，k]，{n，1，13}，{k，0，n-1}]//扁平
黄体脂酮素
（PARI）T（n，k）=如果（k==0，1，sumdiv（n，d，T（d，k-1）））；
矩阵（10，10，n，k，T（n，k-1））\\查看n>=1，k>=0的数组\\米歇尔·马库斯2020年5月20日
交叉参考
2015年（n，k）计算从n到1的严格长度k+1除数链。
由tau_k（n）的反对偶表，k阶Piltz函数（参见A007425号)或对全一序列应用逆Möbius变换（k-1）次而得到的序列的第n项。
+10
23
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 4, 3, 3, 1, 1, 5, 4, 6, 2, 1, 1, 6, 5, 10, 3, 4, 1, 1, 7, 6, 15, 4, 9, 2, 1, 1, 8, 7, 21, 5, 16, 3, 4, 1, 1, 9, 8, 28, 6, 25, 4, 10, 3, 1, 1, 10, 9, 36, 7, 36, 5, 20, 6, 4, 1, 1, 11, 10, 45, 8, 49, 6, 35, 10, 9, 2, 1, 1, 12, 11, 55, 9, 64, 7, 56, 15, 16, 3, 6, 1
评论
作为偏移量为n=0，k=1的数组，也表示k的除数的长度n链的个数-古斯·怀斯曼2022年8月4日
配方奶粉
如果n=产品_ i p_ i ^ e_i，则T（n，k）=产品_ i C（k+e_i-1，e_i）。T（n，k）=sum_d{d|n}T（n-1，d）=A077593号（n，k）-A077593号（n-1，k）。
列是乘法的。
第k列的Dirichlet g.f.：Zeta（s）^k-杰弗里·克雷策2015年2月16日
例子
T（6,3）=9，因为我们有：1*1*6，1*2*3，1*3*2，1*6*1，2*1*3，2*3*1，3*1*2，3*2*1，6*1*1-杰弗里·克雷策2015年2月16日
数组开始：
k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8
n=0：1 1 1 1 11 1 1
n=1:1 2 2 3 2 4 4
n=2:1 3 3 6 3 9 3 10
n=3:1 4 4 10 4 16 4 20
n=4:1 5 5 15 5 25 5 35
n=5:1 6 6 21 6 36 6 56
n=6:1 7 7 28 7 49 7 84
n=7:1 8 8 36 8 64 8 120
n=8:1 9 9 45 9 81 9 165
三角形T（n，k）=A（n-k，k）给出了k的除数的长度n-k链的数量。它开始于：
1
1 1
1 2 1
1 3 2 1
1 4 3 3 1
1 5 4 6 2 1
1 6 5 10 3 4 1
1 7 6 15 4 9 2 1
1 8 7 21 5 16 3 4 1
1 9 8 28 6 25 4 10 3 1
1 10 9 36 7 36 5 20 6 4 1
1 11 10 45 8 49 6 35 10 9 2 1
（结束）
MAPLE公司
带有（数字理论）：
A： =proc（n，k）选项记忆`如果`（k=1，1，
加法（A（d，k-1），d=除数（n））
结束时间：
seq（seq（A（n，1+d-n），n=1..d），d=1..14）#阿洛伊斯·海因茨2015年2月25日
数学
τ[n，1]=1；τ[n_，k_]：=τ[n，k]=加号@@（τ[#，k-1]和/@除数[n]）；表[tau[n-k+1，k]，{n，14}，{k，n，1，-1}]//扁平(*罗伯特·威尔逊v*)
τ[1，k]：=1；tau[n_，k_]：=倍@@（二项式[Last[#]+k-1，k-1]&/@FactorInteger[n]）；表[tau[k，n-k+1]，{n，1，13}，{k，1，n}]//扁平(*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月13日*）
表[Length[Select[Tuples[Divisors[k]，n-k]，And@@Divisible@@@Partition[#，2，1]&]]，{n，12}，{k，1，n}]（*三角形，古斯·怀斯曼2021年5月3日*）
表[Length[Select[Tuples[Divisors[k]，n-1]，And@@Divisible@@@Partition[#，2，1]&]]，{n，6}，{k，6}]（*ARRAY，古斯·怀斯曼2021年5月3日*）
交叉参考
列包括（具有多重性和一些偏移）A000012号,A000027号,A000027号,A000217号,A000027号,A000290型,A000027号,A000292号,A000217号,A000290型,A000027号,A002411号,A000027号,A000290型,A000290型,A000332号等。
2015年（n，k）计算从n到1的严格长度k+1除数链。
通过降序反对偶读取的平方数组：T（n，k）=mu^n（k），其中mu^1（k）=mu（k）=A008683号（k） 对于每个n>=1，mu^（n+1）（k）是mu（k）和mu^n（k）的Dirichlet卷积。
+10
8
1, -1, 1, -1, -2, 1, 0, -2, -3, 1, -1, 1, -3, -4, 1, 1, -2, 3, -4, -5, 1, -1, 4, -3, 6, -5, -6, 1, 0, -2, 9, -4, 10, -6, -7, 1, 0, 0, -3, 16, -5, 15, -7, -8, 1, 1, 1, -1, -4, 25, -6, 21, -8, -9, 1, -1, 4, 3, -4, -5, 36, -7, 28, -9, -10, 1, 0, -2, 9, 6, -10, -6
配方奶粉
如果k=乘积（p_j^m_j），则T（n，k）=乘积。
第n行的Dirichlet g.f.：1/zeta^n（s）。
T（n，p）=-n。
例子
否|1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12。。。
---+--------------------------------------------------------------
1 | 1 -1 -1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 ...
2 | 1 -2 -2 1 -2 4 -2 0 1 4 -2 -2 ...
3 | 1 -3 -3 3 -3 9 -3 -1 3 9 -3 -9 ...
4 | 1 -4 -4 6 -4 16 -4 -4 6 16 -4 -24 ...
5 | 1 -5 -5 10 -5 25 -5 -10 10 25 -5 -50 ...
6 | 1 -6 -6 15 -6 36 -6 -20 15 36 -6 -90 ...
7 | 1 -7 -7 21 -7 49 -7 -35 21 49 -7 -147 ...
8 | 1 -8 -8 28 -8 64 -8 -56 28 64 -8 -224 ...
9 | 1 -9 -9 36 -9 81 -9 -84 36 81 -9 -324 ...
10 | 1 -10 -10 45 -10 100 -10 -120 45 100 -10 -450 ...
11 | 1 -11 -11 55 -11 121 -11 -165 55 121 -11 -605 ...
12 | 1 -12 -12 66 -12 144 -12 -220 66 144 -12 -792 ...
13 | 1 -13 -13 78 -13 169 -13 -286 78 169 -13 -1014 ...
14 | 1 -14 -14 91 -14 196 -14 -364 91 196 -14 -1274 ...
15 | 1 -15 -15 105 -15 225 -15 -455 105 225 -15 -1575 ...
...
数学
T[n_，k_]：=如果[k==1，1，乘积[（-1）^e二项式[n，e]，{e，因子整数[k][[All，2]}]]；
黄体脂酮素
（Python）
从症状输入二项式，素数作为pf，多重性作为mult
从数学导入prod
定义T（n，k）：
pf（k）中p的返回prod（（-1）**mult（p，k）*二项式（n，mult（p，k））
（PARI）T（n，k）=my（f=因子（k））；对于（k=1，#f~，f[k，1]=二项式（n，f[k[2]）*（-1）^f[k,2]；f[k，2]=1）；因子回收（f）\\米歇尔·马库斯2021年8月21日
按行读取的不规则三角形，其中T（n，k）是n，0≤k≤Omega（n）+1的除数的严格长度k链的数目。
+10
7
1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 5, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 5, 2, 1, 2, 1, 1, 6, 12, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 5, 2, 1, 4, 5, 2, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 6, 12, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 6, 12, 10, 3, 1, 4, 5, 2, 1, 4, 5, 2
例子
三角形开始：
1: 1 1
2: 1 2 1
3: 1 2 1
4: 1 3 3 1
5: 1 2 1
6: 1 4 5 2
7: 1 2 1
8: 1 4 6 4 1
9: 1 3 3 1
10: 1 4 5 2
11: 1 2 1
12: 1 6 12 10 3
13: 1 2 1
14: 1 4 5 2
15: 1 4 5 2
16: 1 5 10 10 5 1
例如，行n=12对以下链进行计数：
() (1) (2/1) (4/2/1) (12/4/2/1)
(2) (3/1) (6/2/1) (12/6/2/1)
(3) (4/1) (6/3/1) (12/6/3/1)
(4) (4/2) (12/2/1)
(6) (6/1) (12/3/1)
(12) (6/2) (12/4/1)
(6/3) (12/4/2)
(12/1) (12/6/1)
(12/2) (12/6/2)
(12/3) (12/6/3)
(12/4)
(12/6)
数学
表[Length[Select[Reverse/@Subsets[Divisors[n]，{k}]，And@@Divisible@@@Partition[#，2，1]&]]，{n，15}，{k，0，PrimeOmega[n]+1}]
交叉参考
囊性纤维变性。A002033号,A007425号,A007426号,A051026号,A062319号,A143773号,A186972号,A327527型,A337074型,A337105型,A337107型,A343658型.
1, 3, 4, 15, 6, 84, 8, 165, 55, 286, 12, 6188, 14, 680, 816, 4845, 18, 33649, 20, 53130, 2024, 2300, 24, 2629575, 351, 3654, 4060, 237336, 30, 10295472, 32, 435897, 7140, 7770, 8436, 177232627, 38, 10660, 11480, 62891499, 42, 85900584, 44, 1906884, 2118760
例子
a（1）=1到a（5）=6多集：
{1} {1,1} {1,1,1} {1,1,1,1} {1,1,1,1,1}
{1,2} {1,1,3} {1,1,1,2} {1,1,1,1,5}
{2,2} {1,3,3} {1,1,1,4} {1,1,1,5,5}
{3,3,3} {1,1,2,2} {1,1,5,5,5}
{1,1,2,4} {1,5,5,5,5}
{1,1,4,4} {5,5,5,5,5}
{1,2,2,2}
{1,2,2,4}
{1,2,4,4}
{1,4,4,4}
{2,2,2,2}
{2,2,2,4}
{2,2,4,4}
{2,4,4,4}
{4,4,4,4}
数学
multchoo[n_，k_]：=二项式[n+k-1，k]；
表[multchoo[DivisorSigma[0，n]，{n，25}]
黄体脂酮素
（Python）
从数学导入梳
从sympy导入divisor_count
1, 3, 4, 15, 6, 49, 8, 165, 55, 121, 12, 1183, 14, 225, 256, 4845, 18, 3610, 20, 4851, 484, 529, 24, 73125, 351, 729, 4060, 12615, 30, 29791, 32, 435897, 1156, 1225, 1296, 494209, 38, 1521, 1600, 505981, 42, 79507, 44, 46575, 49726, 2209, 48
例子
a（1）=1到a（5）=6链：
(1) (1/1) (1/1/1) (1/1/1/1) (1/1/1/1/1)
(2/1) (3/1/1) (2/1/1/1) (5/1/1/1/1)
(2/2) (3/3/1) (2/2/1/1) (5/5/1/1/1)
(3/3/3) (2/2/2/1) (5/5/5/1/1)
(2/2/2/2) (5/5/5/5/1)
(4/1/1/1) (5/5/5/5/5)
(4/2/1/1)
(4/2/2/1)
(4/2/2/2)
(4/4/1/1)
(4/4/2/1)
(4/4/2/2)
(4/4/4/1)
(4/4/4/2)
(4/4/4/4)
数学
表[Length[Select[Tuples[Divisors[n]，n]，OrderedQ[#]&&And@@Divisible@@Reverse/@Partition[#，2，1]&]]，{n，10}]
交叉参考
2015年（n，k-1）对从n到1的除数的严格k链进行计数。
搜索在0.011秒内完成
查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。
许可协议、使用条款、隐私政策。.
上次修改时间：美国东部夏令时2024年9月22日06:15。包含376097个序列。（在oeis4上运行。）
| 