搜索： a077846-编号：a077847
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A002605号
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| a（n）=2*（a（n-1）+a（n-2）），a（0）=0，a（1）=1。 |
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+10
134
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0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, 154947584, 423324672, 1156544512, 3159738368, 8632565760, 23584608256, 64434348032, 176037912576, 480944521216, 1313964867584
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 3
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评论
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单独来看，这个序列和A028859号收敛于1+sqrt（3）。这两个序列相互收敛到2+sqrt（3）和1+sqrt（3）/2克劳斯·卡斯伯格（Kastberg（AT）hotkey.net.au），2001年11月4日
数量（s（0），s（1）。。。，s（n+1）），使得i=1，2。。。，n+1，s（0）=2，s（n+1）=3-赫伯特·科西姆巴2004年6月2日
通过以下过程可以获得相同的序列。从分数1/1开始先验，分数的分母根据规则构建：加上顶部和底部得到新的底部，加上顶部，再加上底部的4倍得到新的顶部。分数序列的极限是sqrt（4）-西诺·希利亚德2005年9月25日
这个序列的Hankel变换是[1，2，0，0，0,0，0…]-菲利普·德尔汉姆2007年11月21日
a（n+1）是使用长度为1和2的红色和蓝色瓷砖来铺设长度为n的板的方式的数量-杰弗里·克雷策2009年2月7日
从偏移量1开始=Jacobsthal序列的INVERT变换，A001045美元: (1, 1, 3, 5, 11, 21, ...). -加里·亚当森2009年5月12日
序列0、1、-2、6、-16、44、-120、328、-896。。。（带交替符号）是卢卡斯U（-2，-2）序列-R.J.马塔尔2013年1月8日
a（n+1）计算图G上的n次行走（闭合）（1-顶点；1-循环，1-循环，2-循环，2-回路）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
正则语言（00+11+0101+1010）中长度为2*n-2的二进制字符串数*-杰弗里·沙利特2015年12月14日
对于n>=1，a（n）等于长度为n-1的单词数除以{0，1，2，3}，其中0和1避免了奇数长度-米兰Janjic2015年12月17日
a（n+1）是n分为两种类型的第1部分和第2部分的组成数-格雷戈里·西蒙2017年9月20日
对具有中性元素的n元集{1，…，n}进行的关联、拟平凡和保序二进制操作的数目-J.德维尔2017年9月28日
（1+平方英尺（3））^n=A026150型（n） +a（n）*sqrt（3），当n>=0时；实二次数字段Q中的整数（sqrt（3））-沃尔夫迪特·朗2018年2月10日
从1、2、6、16……开始。。。，长度n>0的排列数避免了长度4的部分有序模式（POP）{1>3，1>4}。也就是说，不具有长度为4的子序列的长度为n的排列的数目，其中第一元素大于第三和第四元素-谢尔盖·基塔耶夫2020年12月9日
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参考文献
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约翰·德比希尔（John Derbyshire），《Prime Obsession》，约瑟夫·亨利出版社，2004年4月，第16页。
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链接
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A.Abdurrahman，CM方法与数的展开，arXiv:1909.10889[math.NT]，2019年。
Jean-Luc Baril、Nathanaöl Hassler、Sergey Kirgizov和Josél.Ramírez，大曲折骑士之路，arXiv:2402.04851[math.CO]，2024。
Martin Burtscher、Igor Szczyrba和RafałSzczyrba，n-纳奇常数的解析表示及其推广《整数序列杂志》，第18卷（2015年），第15.4.5条。
M.Couceiro、J.Devillet和J.-L.Marichal，拟私有半群：特征和枚举，arXiv:1709.09162[math.RA]，2017年。
戴尔·格德曼鸟群，Youtube视频，2011年。
阿兰·普林斯，计算分析次数罗格斯大学最佳档案馆，2010年。
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配方奶粉
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a（n）=（-I*sqrt（2））^（n-1）*U（n-1，I/sqrt，2）），其中U（n，x）是切比雪夫U多项式-沃尔夫迪特·朗
G.f.:x/（1-2*x-2*x^2）。
例如：x*exp（x）*（sinh（sqrt（3）*x）/sqrt（2）+cosh（sqrt（3）*x））。
a（n）=（1+sqrt（3））^（n-1）*（1/2+sqert（3）/6）+。
1，1，3，3，9，9，…的二项式变换。。。二项式变换为A079935号.（结束）
a（n）=Sum_{k=0.floor（n/2）}二项式（n-k，k）*2^（n-k）-保罗·巴里2004年7月13日
a（n）=（（1+sqrt（3））^n-（1-sqrt。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，2*k+1）*3^k。
sinh（sqrt（3）x）/sqrt（三）（0，1，0，3，0，9，…）展开式的二项式变换。例如：exp（x）*sinh（平方码（3）*x）/sqrt（3）-保罗·巴里2003年5月9日
a（n）=（1/3）*Sum_{k=1..5}sin（Pi*k/2）*sin（2*Pi*k/3）*（1+2*cos（Pi*k/6））^n，n>=1-赫伯特·科西姆巴2004年6月2日
a（n+1）=（（3+sqrt（3））*（1+sqrtAl Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年6月29日
G.f.：Q（0）*x/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（4*k+2+2*x）/（x*（4*k+4+2*x）+1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月30日
当n>=3时，a（n）=2^（n-1）*hypergeom（[1-n/2，（1-n）/2]，[1-n]，-2）-彼得·卢什尼2015年12月16日
求和{k=0..n}a（k）*2^（n-k）=a（n+2）/2-2^n-格雷格·德累斯顿2022年2月11日
G.f.：x/（1-2*x-2*x^2）=和{n>=0}x^（n+1）*（乘积{k=1..n}（k+2*x+1）/（1+k*x））
对于任意m（两个系列都是伸缩的），x/（1-2*x-2*x^2）=Sum_{n>=0}（2*x）^n*（x*Product_{k=1..n}（m*k+2-m+x）/（1+2*m*k*x））。（结束）
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MAPLE公司
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a[0]：=0:a[1]：=1：对于从2到50的n，执行a[n]：=2*a[n-1]+2*a[n-2]od:seq（a[n'，n=0..33）#零入侵拉霍斯，2008年12月15日
a:=n->`如果`（n<3，n，2^（n-1）*超几何（[1-n/2，（1-n）/2]，[1-n]，-2））；
seq（简化（a（n）），n=0..29）#彼得·卢什尼2015年12月16日
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数学
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展开[表[（（1+Sqrt[3]）^n-（1-Sqrt[3]）^n）/（2Sqrt%3]），{n，0，30}]](*阿图尔·贾辛斯基2006年12月10日*）
线性递归[{2，2}，{0，1}，30](*罗伯特·威尔逊v2013年4月13日*）
圆形@桌子[Fibonacci[n，Sqrt[2]]2^（（n-1）/2），{n，0，20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年10月15日*）
nxt[{a，b}]：={b，2（a+b）}；嵌套列表[nxt，{0，1}，30][[全部，1]](*哈维·P·戴尔2022年9月17日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）[lucas_number1（n，2，-2）代表范围（0，30）内的n]#零入侵拉霍斯2009年4月22日
（鼠尾草）
a=二进制递归序列（2，2）
打印（[a（n）代表n in（0..29）]）#彼得·卢什尼2016年8月29日
（Magma）[楼层（（1+Sqrt（3））^n-（1-Sqrt//文森佐·利班迪2011年8月18日
（哈斯克尔）
a002605 n=a002605_列表！！n个
a002605_列表=
0:1:map（*2）（zipWith（+）a002605_list（tail a002605 _list））
（岩浆）[n le 2选择n-1其他2*Self（n-1）+2*Selve（n-2）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2018年1月7日
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交叉参考
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以下序列（和其他序列）属于同一家族：A001333号,A000129号,A026150型,A046717号,A015518号,A084057号,A063727号,A002533号,A002532号,A083098号,A083099号,A083100型,A015519号.
囊性纤维变性。A080953号,A052948号,A080040型,A028859号,A030195号,106435英镑,A108898号,A125145号,A265106型,A265107型,A265278型,A270810型,A293005型,A293006型,A293007型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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7, 47, 323, 2213, 15169, 103969, 712615, 4884335, 33477731, 229459781, 1572740737, 10779725377, 73885336903, 506417632943, 3471038093699, 23790849022949, 163064905066945, 1117663486445665, 7660579500052711
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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设f=地板，c=天花板。对于x>1，定义四个序列作为x的函数，如下所示：
p1（0）=f（x），p1（n）=f（x*p1（n-1））；
p2（0）=f（x），p2（n）=c（x*p2（n-1）；
p3（0）=c（x），p3（n）=f（x*p3（n-1）），如果n是奇数，p3；
p4（0）=c（x），p4（n）=c（x*p4（n-1））。
当前序列由a（n）=p3（n）给出。
遵循以下术语：A214986型，调用四个序列：电源楼层、电源楼层-天花板、电源天花板-地板和电源天花板序列。在下表中，如果序列看起来一致，则使用a编号的序列来标识序列，除非可能是初始术语。符号：S（t）=sqrt（t），r=（1+S（5））/2=黄金比率，极限=p3（n）/p2（n）的极限。
x。。。。。。p1…..p2…..p3…..p4……极限
...
p1、p2、p3、p4的属性：
（1） 如果x>2，p2和p3的项交错：p2（0）<p3（0）<p2（1）<p3（1）<p2（2）<p3（2）。。。此外，对于所有x>0和n>=0，p1（n）<=p2（n）<=p3（n）≤p4（n）≥p1（n+1）。
（2） 如果x>2，则四个函数p（x）存在极限L（x）=极限（p/x^n），L1（x）<=L2（x）<=L3（x）≤L4（x）。有关四个函数的绘图，请参阅Mathematica程序；其中之一也出现在Odlyzko和Wilf的文章中，以及对特殊情况x=3/2的讨论。
（3） 假设x=u+sqrt（v），其中v是一个非方正整数。如果u=f（x）或u=c（x），则p1、p2、p3、p4是线性递归序列。对于每个正整数q，从x=（u+sqrt（v））^q获得的序列p1，p2，p3，p4是否都是这样？
（4） 假设x是Pisot-Vijayaraghavan数。那么p1，p2，p3，p4必须是线性递归的吗？如果x也是二次无理b+c*sqrt（d），那么四个极限L（x）必须在Q（sqrt））域中吗？
（5） Odlyzko和Wilf的文章（第239页）提出了关于权力上限函数的三个有趣的问题；它们似乎仍在营业。
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链接
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A.M.Odlyzko和H.S.Wilf，函数迭代与约瑟夫问题格拉斯哥数学。J.33235-2401991年。
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配方奶粉
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a（n）=楼面（r*a（n-1），如果n是奇数，a（n。
a（n）=6*a（n-1）+6*a（n-2）-a（n-3）。
总尺寸：（7+5*x-x^2）/（1-6*x-6*x^2+x^3）。
a（n）=（10*（-2）^n+（10+3*sqrt（5））*（7-3*sqert（5），^（n+2）+（10-3*squart（5-布鲁诺·贝塞利2012年11月14日
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例子
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a（0）=天花板（r）=7，其中r=（1+sqrt（5））/2）^4=6.8。。。；a（1）=楼层（7*r）=47；a（2）=天花板（47）=323。
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数学
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x=黄金比率^4；z=30；（*z=#序列中的项*）
z1=100；（*z1=近似数字*）
f[x_]：=楼层[x]；c[x_]：=天花板[x]；
p1[0]=f[x]；p2[0]=f[x]；p3[0]＝c[x]；p4[0]=c[x]；
p1[n]：=f[x*p1[n-1]]
p2[n_]：=如果[Mod[n，2]==1，c[x*p2[n-1]]，f[x*p2[n-1]
p3[n_]：=如果[Mod[n，2]==1，f[x*p3[n-1]]，c[x*p3[n-1]
p4[n]：=c[x*p4[n-1]]
（*项目2。功率下限和功率上限功能图，p1（x）和p4（x）*）
f[x_]：=f[x]=楼层[x]；c[x_]：=c[x]=天花板[x]；
p1[x_，0]：=f[x]；p1[x_，n]：=f[x*p1[x，n-1]]；
p4[x_，0]：=c[x]；p4[x_，n]：=c[x*p4[x，n-1]]；
绘图[求值[{p1[x，10]/x^10，p4[x，10/x^10}]，{x，2，3}，PlotRange->{0，4}]
（*项目3。电源地板-天花板和电源天花板-地板功能图，p2（x）和p3（x）*）
f[x_]：=f[x]=楼层[x]；c[x_]：=c[x]=天花板[x]；
p2[x，0]：=f[x]；p3[x，0]：=c[x]；
p2[x_，n_]：=如果[Mod[n，2]==1，c[x*p2[x，n-1]]，f[x*p2[x，n-1]]
p3[x_，n_]：=如果[Mod[n，2]==1，f[x*p3[x，n-1]]，c[x*p3[x，n-1]]
绘图[评估[｛p2[x，10]/x^10，p3[x，10]/x^10｝]，｛x，2，3｝，PlotRange->｛0，4｝]
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A108898号
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| a（n+3）=3*a（n+2）-2*a（n），a（0）=-1，a（1）=1，a（2）=3。 |
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+10
10
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-1, 1, 3, 11, 31, 87, 239, 655, 1791, 4895, 13375, 36543, 99839, 272767, 745215, 2035967, 5562367, 15196671, 41518079, 113429503, 309895167, 846649343, 2313089023, 6319476735, 17265131519, 47169216511, 128868696063, 352075825151, 961889042431, 2627929735167, 7179637555199
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 3
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评论
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参考程序代码，“ibasek”对应于florotion“ik”。同一批中的序列为“kbase”=A005665号（仅限循环移动的河内塔）和“ibase”=A077846号.
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链接
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配方奶粉
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G.f.：（-1+4*x）/（（x-1）*（2*x^2+2*x-1））。
a（n）=（-1+（-（1-sqrt（3））^n+（1+sqrt。
当n>2时，a（n）=3*a（n-1）-2*a（n-3）。
（结束）
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MAPLE公司
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序列列表（序列（（-1+4*x）/（（x-1）*（2*x^2+2*x-1）），x=0，31））-或-Floretion代数乘法程序，FAMP代码：2ibaseksumseq[A*B]，其中A=+'i+'i'i'+'ij'+'ik'和B=+.5'i+.5'j-.5'k+.5i'-.5j'+.5k'+.50k'+.5'ij'+.5'k'-.5'ki'；Sumtype设置为：sum[（Y[0]，Y[1]，Y[2]），mod（3）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a108898 n=a108898_列表！！n个
a108898_list=-1:1:3：
zipWith（-）（map（*3）$drop 2 a108898_list）（映射（*2）a108898-list）
（PARI）Vec（-（1-4*x）/（1-x）*（1-2*x-2*x^2））+O（x^40））\\科林·巴克2019年4月29日
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交叉参考
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关键词
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容易的,签名
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作者
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状态
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经核准的
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A052948号
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| g.f.膨胀：（1-2*x）/（1-3*x+2*x^3）。 |
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+10
5
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1, 1, 3, 7, 19, 51, 139, 379, 1035, 2827, 7723, 21099, 57643, 157483, 430251, 1175467, 3211435, 8773803, 23970475, 65488555, 178918059, 488813227, 1335462571, 3648551595, 9968028331, 27233159851, 74402376363, 203271072427, 555346897579, 1517235940011, 4145165675179
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0, 3
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评论
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数量（0），s（1）。。。，s（n）），当i=1,2，。。。，n、 s（0）=3，s（n）=3。
一般来说，a（n，m，j，k）=（2/m）*Sum_{r=1..m-1}sin（j*r*Pi/m）*sin（k*r*Pi/m）*（1+2*cos（Pi*r/m））^n是（s（0），s（1）。。。，s（n）），当i=1,2，。。。，n、 s（0）=j，s（n）=k-赫伯特·科西姆巴2004年6月2日
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链接
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丹尼斯·切比金和理查德·埃伦伯格，下降多面体的f向量，arXiv:0812.1249[math.CO]，2008-2010年；光盘。计算。地理。，45 (2011), 410-424.
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配方奶粉
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a（n）=2*a（n-1）+2*a（n-2）-1。
a（n）=Sum_{alpha=RootOf（1-3*z+2*z^3）}alpha^（-n）/3。
a（n）=（1+（1+平方（3））^n+（1-sqrt（3）^n）/3。的二项式变换A025192号（带插值零）-保罗·巴里，2003年9月16日
a（n）=（1/3）*Sum_{k=1..5}sin（Pi*k/2）^2*（1+2*cos（Pi*k/6））^n-赫伯特·科西姆巴2004年6月2日
a（0）=1，a（1）=1、a（2）=3、a（n）=3*a（n-1）-2*a（n-3）-哈维·P·戴尔，2012年8月22日
例如：exp（x）*（1+2*cosh（sqrt（3）*x））/3-斯特凡诺·斯佩齐亚2024年3月2日
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MAPLE公司
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规范：=[S，{S=序列（并集（序列（序列（Z），Z），Z））}，未标记]：序列（组合结构[count]（规范，大小=n），n=0..20）；
seq（系数（级数（（1-2*x）/（1-3*x+2*x^3），x，n+1），x、n），n=0。。40); #G.C.格鲁贝尔2019年10月21日
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数学
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系数列表[级数[（1-2x）/（1-3x+2x^3），{x，0，30}]，x]（*或*）线性递归[{3，0，-2}，{1，1，3}，30](*哈维·P·戴尔2012年8月22日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）来自Sage.combinat.sloane_functions import recur_gen2b；它=重现基因2b（1，1，2，2，λn:-1）；[范围（0，29）中i的下一个（it）]#零入侵拉霍斯2008年7月9日
（PARI）Vec（（1-2*x）/（1-3*x+2*x^3）+O（x^30））
（Magma）R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），30）；系数（R！（（1-2*x）/（1-3*x+2*x^3））//G.C.格鲁贝尔2019年10月21日
（间隙）a:=[1,1,3]；；对于[4..30]中的n，做a[n]：=3*a[n-1]-2*a[n-3]；od；a#G.C.格鲁贝尔2019年10月21日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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百科全书（AT）pommard.inia.fr，2000年1月25日
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扩展
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状态
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经核准的
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A317502型
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| 行读取的三角形：T（0,0）=1；T（n，k）=3T（n-1，k）-2*T（n-3，k-1），k=0..层（n/3）；对于n或k<0，T（n，k）=0。 |
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+10
2
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1, 3, 9, 27, -2, 81, -12, 243, -54, 729, -216, 4, 2187, -810, 36, 6561, -2916, 216, 19683, -10206, 1080, -8, 59049, -34992, 4860, -96, 177147, -118098, 20412, -720, 531441, -393660, 81648, -4320, 16, 1594323, -1299078, 314928, -22680, 240, 4782969, -4251528, 1180980, -108864, 2160
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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三角形行中的数字沿着“第二层”斜对角线指向中给出的中心对正三角形的右上角A303901型（（3-2*x）^n）和沿“第二层”斜对角线指向中心对齐三角形的左上角317498英镑（（-2+3x）^n），请参见链接。（注：（3-2*x）^n和（-2+3x）^ n展开式中系数的中心对齐三角形中的第一层斜对角线如下所示A303941型和A302747型）1/（1-3x+2x^3）展开式中的系数由行和生成的序列给出。行和给出A077846号.如果s（n）是n处的行和，则s（n）/s（n-1）的比值约为2.7320508075688772(A090388号：1+sqrt（3）），当n接近无穷大时。
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参考文献
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Shara Lalo和Zagros Lalo，《多项式展开定理和数字三角形》，Zana出版社，2018年，ISBN:978-1-9995914-0-3，第136、396、397页。
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=3^（n-3k）*（-2）^k/（n-3k）！k！）*（n-2k）！其中n是非负整数，k=0..floor（n/3）。
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例子
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三角形开始：
1;
三；
9;
27, -2;
81, -12;
243, -54;
729, -216, 4;
2187, -810, 36;
6561, -2916, 216;
19683, -10206, 1080, -8;
59049, -34992, 4860, -96;
177147, -118098, 20412, -720;
531441, -393660, 81648, -4320, 16;
1594323, -1299078, 314928, -22680, 240;
4782969, -4251528, 1180980, -108864, 2160;
14348907, -13817466, 4330260, -489888, 15120, -32;
43046721, -44641044, 15588936, -2099520, 90720, -576;
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数学
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t[n_，k_]：=t[n，k]=3^（n-3k）*（-2）^k/（n-3k）！k！）*（n-2k）！；表[t[n，k]，{n，0，15}，{k，0，Floor[n/3]}]//扁平
t[0,0]=1；t[n_，k_]：=t[n，k]=如果[n<0|k<0，0，3*t[n-1，k]-2*t[n-3，k-1]]；表[t[n，k]，{n，0，15}，{k，0，Floor[n/3]}]//扁平
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关键词
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标签,签名,容易的
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