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提示
(来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索: a009003-编号:a009003
显示找到的70个结果中的1-10个。 第页12 4 5 6 7
    排序:关联|参考文献||被改进的|创建     格式:长的|短的|数据
A349536飞机 考虑Z X Z晶格上半径等于勾股斜边h(n)的圆(A009003号); a(n)=圆的Pi/4扇区内毕达哥拉斯三元组的数量。 +20
2
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 71, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 89 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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1,2
评论
斜边小于或等于下一个斜边的毕达哥拉斯三元组数。
参考文献
W.Sierpinski,《毕达哥拉斯三角》,多佛出版社,2003年。
链接
亚历山大·克里托夫,n=1..1050时的n,a(n)表
曼努埃尔·贝尼托和胡安·瓦罗纳,腿小于n的勾股三角形《计算与应用数学杂志》143,(2002),第117-126页。
E.埃克特,原始毕达哥拉斯三角形群《数学杂志》57(1984)22-27。
亚历山大·克里托夫,生成b文件的C代码
埃里克·魏斯坦的数学世界,勾股三重
配方奶粉
猜想:增量是a(n+1)-a(n)=2^(m-1),其中m是勾股素数的所有幂的和(A002144号)斜边h(n+1)的因式分解(PPT见Eckert)。然而,从58开始,增量为3。
例子
非本原毕达哥拉斯三元组的计数,按斜边递增的顺序出现:
低血压
n个(A009003号(n) )侧面a(n)
-- ------------ --------------- ----
1 5 (3,4) 1
2 10 (6,8) 2
3 13 (5,12) 3
4 15 (9,12) 4
5 17 (8,15) 5
6 20 (12,16) 6
7 25 (7,24), (15,20) 8
8 26 (10,24) 9
9 29 (20,21) 10
黄体脂酮素
(C)
//见随附干管。c(c)
对于(长j=1;j<101;++j)
{
对于(长k=1;k<101;++k)
{
if(k<=j)//以避免成对(因为我们需要1/8或四分之一平面)
{
双hyp=sqrt(j*j+k*k);
双c=(双)层(hyp);
如果(fabs(hyp-c)<DBL_EPSILON)arr[r++]=(long)c;
}}}
气泡排序(arr,r)//按斜边增加排序
对于(长j=0;j<r;++j)
{
如果(arr[j]!=arr[j+1])
{
//写入文件:j是序列值a[n]*2
//arr[j]是斜边值
}
}
交叉参考
囊性纤维变性。A008846号,A009003号
囊性纤维变性。A349538型(延伸到Z^2晶格的整圈)。
关键词
非n
作者
状态
经核准的
A354379型 腿也是斜边数的毕达哥拉斯三角形的下弦(A009003号). +20
2
25, 50, 65, 75, 85, 89, 100, 109, 125, 130, 145, 149, 150, 169, 170, 173, 175, 178, 185, 195, 200, 205, 218, 221, 225, 229, 233, 250, 255, 260, 265, 267, 275, 289, 290, 293, 298, 300, 305, 313, 325, 327, 338, 340, 346, 349, 350, 353, 356, 365, 370, 375, 377, 390, 400 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
如果m是按顺序排列的,那么m的任何倍数也是如此A354381飞机
链接
罗伯特·伊斯雷尔,n,a(n)表,n=1.10000
例子
25是按顺序排列的,因为毕达哥拉斯三元组(15、20、25)的每个成员都属于A009003号
毕达哥拉斯三元组(39、80、89)的所有术语A009003号因此89是按顺序排列的。
MAPLE公司
ishyp:=进程(n)本地;ormap(s->s mod 4=1,numtheory:-factorset(n))结束进程:
过滤器:=proc(n)局部s;
ormap(s->ishyp(sub(s,x))和ishyp,[隔离(x^2+y^2=n^2)])
结束进程:
选择(过滤器,[1..1000]美元)#罗伯特·伊斯雷尔2023年1月10日
数学
ishyp[n_]:=AnyTrue[FactorInteger[n][[All,1]],Mod[#,4]==1&];
filter[n_]:=AnyTrue[求解[x^2+y^2==n^2,整数],ishyp[x/.#]&&ishyp[y/.#]&];
选择[范围[400],过滤器](*Jean-François Alcover公司2023年5月11日之后罗伯特·伊斯雷尔*)
交叉参考
关键词
非n
作者
拉明·恩戈姆2022年5月24日
状态
经核准的
A162592号 低能数字A009003号不能表示为两个不同的非零平方和。 +20
1
15, 30, 35, 39, 51, 55, 60, 70, 75, 78, 87, 91, 95, 102, 105, 110, 111, 115, 119, 120, 123, 135, 140, 143, 150, 155, 156, 159, 165, 174, 175, 182, 183, 187, 190, 195, 203, 204, 210, 215, 219, 220, 222, 230, 235, 238, 240, 246, 247, 255, 259, 267, 270, 273, 275 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
具有至少一个形式为4k+1的质因子的数(这使得平方可分解为两个平方的和),以及具有至少一个形式为4k+3的质因子为奇数重数的数(这使得数字本身不可分解)。这是费马关于两个平方和的圣诞定理的直接结果(费马在1640年12月25日给梅森的一封信中宣布了它的证明,但没有给出)-Jean-Christophe Hervé2013年11月19日
数字n,使得n^2是两个非零平方的和,而n不是。还要注意,序列等价于“海波滕斯数”A009003号不能表示为2个非零平方和。“原因是,如果n正好是两个非零平方的和,并且n=a^2+a^2,那么n^2不能是两个不为零的平方的和-阿尔图·阿尔坎2016年4月14日
链接
埃里克·魏斯坦的数学世界,平方数字
校样维基,费马圣诞定理
维基百科(fr),费马的双人嘉年华(法语)。
配方奶粉
例子
13是斜边数A009003号(3) 但可以表示为A004431号(3) ,所以13不在这个序列中。
数学
f[n_]:=模[{k=1},While[(n-k^2)^(1/2)!=整数部分[(n-k ^2)*(1/2)],k++;如果[2*k^2>=n,k=0;中断[]]];k] ;lst1={};做[If[n^2]>0,附加到[lst1,n]],{n,3,5!}];lst1级(*A009003号次元数(平方是两个不同的非零平方的和)。*)lst2={};执行[If[n]>0,AppendTo[lst2,n]],{n,3,5!}];lst2级(*A004431号2个不同非零平方和的数字。*)补码[lst1,lst2]
交叉参考
关键词
非n
作者
扩展
添加了公式,检查了条目R.J.马塔尔2009年8月14日
状态
经核准的
A212794号 三角形数字(A000217号)也是斜边数(A009003号). +20
1
10、15、45、55、78、91、105、120、136、153、190、210、300、325、351、406、435、465、561、595、630、666、703、741、780、820、861、990、1035、1225、1275、1326、1378、1431、1485、1540、1653、1711、1770、1830、1891、2080、2145、2278、2346、2415、2485、2628 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
链接
罗伯特·伊斯雷尔,n,a(n)表,n=1.10000
MAPLE公司
ishyp:=proc(n)ormap(t->t mod 4=1,numtheory:-factorset(n))结束进程:
选择(ishyp,[seq(i*(i+1)/2,i=1..100)])#罗伯特·伊斯雷尔,2023年6月2日
数学
A212794list[upto_]:=选择[PolygonalNumber[Range[4,upto]],AnyTrue[Map[Mod[First[#],4]==1&,FactorInteger[#]],TrueQ]&];A212794列表[100](*保罗·沙萨2023年7月28日*)
黄体脂酮素
(n=1,99)的(PARI)为_A009003号(A000217号(n) )打印1(&P)(A000217号(n) “,”)
(PARI)是_A212794号(n) =是_A000217号(n) 是(&I)_A009003号(n)
交叉参考
的交点A000217号A009003号
关键词
非n
作者
M.F.哈斯勒2012年5月27日
状态
经核准的
A278647型 Hypotenuse数的第一个差异A009003号 +20
1
5, 3, 2, 2, 3, 5, 1, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 5, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 3, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 4, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 5, 5, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 1, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 3 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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1,1
评论
a(n)<=5,因为A009003号包含5的所有倍数-罗伯特·伊斯雷尔2016年12月8日
链接
罗伯特·伊斯雷尔,n,a(n)表,n=1.10000
配方奶粉
a(n)=A009003号(n+1)-A009003号(n) ●●●●。
MAPLE公司
五十: =select(t->有(数字:-factorset(t)mod 4,1),[1..1000]):
L[2..-1]-L[1..-2]#罗伯特·伊斯雷尔2016年12月8日
数学
差异@Select[Range@208,Length@PowersRepresentations[#^2,2,2]>1&](*迈克尔·德弗利格2016年11月25日,之后阿隆索·德尔·阿特A009003号*)
交叉参考
囊性纤维变性。A009003号
关键词
非n
作者
状态
经核准的
A295554型 a(n)是内切圆半径内的不同整数边三角形的数量A009003号(n) 其半径为整数。 +20
1
1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 12, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 12, 1, 1, 5, 1, 1 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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1,7
评论
对于n<=200,内切在半径圆内的不同整数三角形的数量A009003号(n) 其内径是整数的集合E={1、5、10、12、38},其中a(168)=38(参见参考文献中给出的表)。当n无穷大时,集合E无穷大吗?
当m=7、18、26、31、35…时,a(m)>1。。。以及{A009003号(m) }={25,50,65,75,85,…}={A009177号}.
我们观察到几何特性:
如果a(n)=1,则唯一三角形为直角三角形。
如果a(n)=5,我们会找到两个直角三角形,两个等腰三角形和另一个三角形(既不是等腰三角形也不是直角三角形)。
如果a(n)=10,我们会找到三个直角三角形、两个等腰三角形和五个其他三角形。
如果a(n)=12,我们会找到四个直角三角形和八个其他三角形。
边长为u、v和w的三角形的面积A由Heron公式给出:A=sqrt(s*(s-u)*(s-v)*(s-w)),其中s=(u+v+w)/2。
内半径r由r=A/s给出,外半径由r=u*v*w/4A给出。
链接
米歇尔·拉格诺,三角形
埃里克·魏斯坦的数学世界,周长半径
埃里克·魏斯坦的数学世界,Inradius公司
例子
a(7)=5,因为存在5个不同的整数外接圆三角形R=A009003号(7) =25,对应的整数半径为{4,6,8,10,12}。
数学
A009003号=选择[Range[200],Length[Powers Representations[#^2,2,2]]>1&];lst={};Do[R=零件[A009003号,n];它=0;Do[s=(a+b+c)/2;如果[IntegerQ[s],面积2=s(s-a)(s-b)(s-c);如果[area2>0&&IntegerQ[Sqrt[area2]]&&R==a*b*c/(4*Sqrt[区域2])&&IntigerQ[Sqrt[面积2]/s] ,它=它+1]],{a,2*R},{b,a},}c,b}];附加到[lst,it],{n,1,30}];第一次
交叉参考
囊性纤维变性。A009003号,A188158号,A208984型,A210207型
关键词
非n
作者
米歇尔·拉格诺2018年2月3日
状态
经核准的
A350040型 带斜边的整数直角三角形数A009003号(n) ●●●●。 +20
1
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,4,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,4,1,1,2,1,1,1,4,1,1,1,1,4,1,2 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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1,7
评论
a(n)mod 3=1表示前13211个术语中的95.3%,包括a(n。A.Tripathi的定理7(见下面的链接)提供了2、3、5、6等非常罕见的解释。当斜边为A006339号(8) = 390625. -鲁迪格·杰恩,2022年1月13日
所有正整数最终都会出现在这个序列中-查尔斯·格里特豪斯四世2022年1月13日
a(n)的正常值大致为log(n)^(log(3)/2)。对于任何固定k,n的渐近密度使得a(n)<=k为0。典型的a(n)的形式是(x*3^y-1)/2,x很小(因为大多数数字只有几个指数>1的素数)-查尔斯·格里特豪斯四世2022年1月13日
链接
鲁迪格·杰恩,n=1..13211的n,a(n)表
A.特里帕西,关于包含固定整数的毕达哥拉斯三元组,光纤。Q.,46/47(2008/2009),331-340。
黄体脂酮素
(PARI)是_A009003号(n) =集合搜索(集合(因子(n)[,1]%4),1);
f(n)={my(f=因子(n/(2^赋值(n,2)));(prod(k=1,#f~,if((f[k,1]%4)==1,2*f[k、2]+1,1))-1)/2;}\\A046080型
lista(nn)=应用(f,选择(is_A009003号,[1..nn])\\米歇尔·马库斯2022年1月13日
(PARI)A046080型(n,f=因子(n))=prod(k=如果(f[1,1]==2,2,1),#f~,如果(f[k,1]%4==1,2*f[k不处理n=1,与此处无关
上限(lim)=我的(v=列表(),u=向量小(lim\=1));对于初始步骤(p=5,lim,4,对于步骤(n=p,lim、p,u[n]=1));forfactored(n=5,lim,if(u[n[1]),listput(v,A046080型(0,n[2]));u=0;车辆(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2022年1月13日
(PARI)小于等于(lim)=我的(v=列表());forfactored(n=5,lim\=1,if(vecmin(n[2][,1]%4)==1,listput(v,prod(k=if(n[2],1]>2,1,2),#n[2]~,if;车辆(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2022年1月13日
交叉参考
囊性纤维变性。A006339号,A009003号,A046080型
关键词
非n,容易的
作者
韦斯利·伊万·赫特2021年12月11日
状态
经核准的
A002144号 毕达哥拉斯素数:形式为4*k+1的素数。
(原名M3823 N1566)
+10
481
5、13、17、29、37、41、53、61、73、89、97、101、109、113、137、149、157、173、181、193、197、229、233、241、257、269、277、281、293、313、317、337、349、353、373、389、397、401、409、421、433、449、457、461、509、521、541、557、569、577、593、601、613、617 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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1,1
评论
在字段Q(sqrt(-1))中分解的有理素数-N.J.A.斯隆2017年12月25日
这些是A009003号
-1是素数p的二次剩余模当且仅当p在这个序列中。
Sin(a(n)*Pi/2)=1,Pi=3.1415…,见A070750美元. -莱因哈德·祖姆凯勒,2002年5月4日
如果奇数素数p,q中至少有一个属于序列,那么根据高斯互易定律,x^2=p(mod q),x^2=q(mod p)的两个或两个同余都是可解的-Lekraj Beedassy公司2003年7月17日
奇数素数,使得二项式(p-1,(p-1)/2)==1(mod p)-贝诺伊特·克洛伊特2004年2月7日
素数是具有整数边的直角三角形的斜边。毕达哥拉斯三元组是{A002365号(n) ,A002366号(n) ,a(n)}。
此外,a^k+b^k形式的素数,k>1-阿玛纳斯·穆尔西2003年11月17日
a(n)的平方是其他两个平方的平均值。这个事实产生了一类b=a(n)的一元多项式x^2+bx+c,它将对整数进行因子分解,而与c的符号无关。参见A114200个.-欧文·默滕斯(Owen Mertens(AT)Misouristate.edu),2005年11月16日
同样,对于形式为n^p-(n-1)^p的Nexus数,最后一个数字总是1-亚历山大·阿达姆楚克2006年8月10日
毕达哥拉斯素数集是正基本判别式集的一个适当子集(A003658号). -保罗·穆尔贾迪2008年3月28日
A079260号(a(n))=1;的补语A137409号. -莱因哈德·祖姆凯勒2008年10月11日
发件人阿图尔·贾辛斯基,2008年12月10日:(开始)
如果我们取4个数字:1,A002314号(n) ,A152676号(n) ,A152680号(n) 那么乘法表模a(n)与拉丁方同构:
1 2 3 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1
同构于{1,i,-i,-1}的乘法表,其中i是sqrt(-1),A152680号(n) 与-1同构,A002314号(n) 带有i或-i和A152676号(n) 反之亦然-i或i.1,A002314号(n) ,A152676号(n) ,A152680号(n) 是Galois字段[a(n)]的子字段。(结束)
素数p使得p^3的除数的算术平均数是一个整数。这样的素数有两个序列,这一个和A002145号. -Ctibor O.Zizka公司2009年10月20日
等价地,包含单位平方根的F_p的最小扩展(必然为F_p)包含单位第4根的素数p。在这方面,序列族的n=2情况:见n=3(A129805号)且n=5(A172469号). -凯瑟琳·斯坦格2010年2月3日
的后续A007969号. -莱因哈德·祖姆凯勒2011年6月18日
A151763号(a(n))=1。
如果4*n+1是素数,那么n^n-1可以被4*n+1整除(参见Dickson参考文献)-加里·德特利夫斯,2013年5月22日
这些素数的平方不仅是两个非零平方的和,而且素数本身也是。2是唯一一个等于两个非零平方和且其平方不是的素数。因此,2不是毕达哥拉斯素数-Jean-Christophe Hervé2013年11月10日
这些素数是两个非零平方之和的说法源自费马关于两个平方和的定理-Jerzy R Borysowicz公司2019年1月2日
素数及其平方分解为两个非零平方是唯一的-Jean-Christophe Hervé2013年11月11日。见第227页Dickson参考,第二卷,(B)-沃尔夫迪特·朗2015年1月13日
形式4*k+1和e>=1的p素数的p^e是2个非零平方和-乔恩·佩里2014年11月23日
素数p使得某些整数q的等腰三角形(p,p,q)的面积是一个整数-米歇尔·拉格诺2014年12月31日
这是所有素数的集合,它们是两个平方的平均值-理查德·福伯格2015年3月1日
数字n是这样的((n-3)!!)^2==-1(mod n)-托马斯·奥多夫斯基2016年7月28日
这是的素数的子序列A004431号也属于2016年. -伯纳德·肖特2022年4月30日
除了来自的评论Jean-Christophe Hervé,2013年11月10日:所有幂以及这些素数的乘积都是两个非零平方的和。它们是A001481号,在乘法下关闭-克劳斯·普拉斯2023年11月19日
参考文献
David A.Cox,“形式x^2+ny^2的素数”,威利出版社,1989年。
L.E.Dickson,“数字理论的历史”,切尔西出版公司,1919年,第一卷,第386页
L.E.Dickson,《数字理论史》,卡内基研究所,Publ。第256号,第二卷,华盛顿特区,1920年,第227页。
M.du Sautoy,《初级音乐》,第四庄园/哈珀柯林斯出版社,2003年;见第76页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
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J.Butcher,数学微型8:二次剩余定理NZMS通讯,第75号,1999年4月。
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R.查普曼,二次互惠
A.David Christopher,费马双平方定理的分割理论证明《离散数学》,第339卷,第4期,2016年4月6日,第1410-1411页。
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伯纳德·弗雷尼科尔·德·贝西,三角形和矩形的特征:dans lequel plusieurs belles propriétés de ces triangles sont démontrees par de newaux principes米夏莱,巴黎(1676),第0-116页;见第44页,后果二。
伯纳德·弗雷尼科尔·德·贝西,解决排除问题的方法。组合的缩写。Des Quarrez魔法,见“Divers ouvrages de mathématiques et de physique,par MM.de l'Académie royale des sciences”,(1693)“Troisième example”,第17-26页,特别见第25页。
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欧内斯特·希布斯,素数的分量相互作用,《国会科技大学博士论文》(2022年),见第33页。
卢卡斯·拉卡萨(Lucas Lacasa)、巴托洛梅·卢克(Bartolome Luque)、伊格纳西奥·戈梅斯(Ignacio Gómez)和奥克塔维奥·米拉蒙特斯(Octavio Miramontes),关于一些素数序列的动力学方法,熵20.2(2018):131,另见arXiv:1802.08349[math.NT],2018。
R.C.Laubenbacher和D.J.Pengelley,艾森斯坦对二次互易定理的几何证明
卡洛斯·里维拉,拼图968。素数4m+1的另一性质,主要难题与问题的联系。
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罗斯玛丽·沙利文和尼尔·沃特林,从1到n的整数集上的独立可除对,INTEGERS 13(2013)#A65。
埃里克·魏斯坦的数学世界,威尔逊定理
埃里克·魏斯坦的数学世界,毕达哥拉斯三元组
维基百科,二次互惠
Wolfram研究公司,高斯互惠定律
D.扎吉尔,每个素数p==1(mod 4)是两个平方和的一元证明,美国数学。《月刊》,第97卷,第2期(1990年2月),第144页。[来自沃尔夫迪特·朗,2015年1月17日(感谢Charles Nash)]
配方奶粉
形式为x^2+y^2,(x)的奇素数=A002331号,年=A002330号,x<y)或形式为u^2+4*v^2,(u=A002972号,v=A002973号,带u奇数)-Lekraj Beedassy公司2004年7月16日
p^2-1=12*总和{i=0..floor(p/4)}楼层(sqrt(i*p)),其中p=a(n)=4*n+1。[西拉里]
a(n)=A000290型(A002972号(n) )+A000290型(2*A002973号(n) )=A000290型(A002331号(n+1))+A000290型(A002330号(n+1))-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月16日
a(n)=(A002972号(n) ^2+(2*A002973号(n) )^2,n>=1。请参阅Jean-Christophe Hervé2013年11月11日评论-沃尔夫迪特·朗2015年1月13日
a(n)=4*A005098号(n) +1-扎克·塞多夫2018年9月16日
发件人瓦茨拉夫·科特索维奇2020年4月30日:(开始)
产品{k>=1}(1-1/a(k)^2)=A088539号
产品{k>=1}(1+1/a(k)^2)=A243380型
产品{k>=1}(1-1/a(k)^3)=A334425飞机
产品{k>=1}(1+1/a(k)^3)=A334424飞机
产品{k>=1}(1-1/a(k)^4)=A334446飞机
产品{k>=1}(1+1/a(k)^4)=A334445飞机
产品{k>=1}(1-1/a(k)^5)=A334450美元
产品{k>=1}(1+1/a(k)^5)=A334449飞机.(结束)
发件人瓦茨拉夫·科特索维奇2020年5月5日:(开始)
产品{k>=1}(1+1/A002145号(k) )/(1+1/a(k))=Pi/(4*A064533号^2) = 1.3447728438248695625516649942427635670667319092323632111110962...
产品{k>=1}(1-1/A002145号(k) )/(1-1/a(k))=Pi/(8*A064533号^2) =0.672386421912434781275832497121381783533365954616181605555481…(结束)
求和{k>=1}1/a(k)^s=(1/2)*求和{n>=1奇数}莫比乌斯(n)*log(2*n*s)!*zeta(n*s)*abs(EulerE(n*s-1))/(Pi^(n*s*2^(2*n*s/n、 s>=3奇数-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2020年5月21日
Legendre符号(-1,a(n))=+1,对于n>=1-沃尔夫迪特·朗2021年3月3日
例子
下表显示了几个密切相关序列之间的关系:
这里p=A002144号=素数==1(mod 4),p=a^2+b^2,其中a<b;
一个=A002331号,b个=A002330号,t1=ab/2=A070151号;
p^2=c^2+d^2,其中c<d;c(c)=A002366号,天=A002365号,
t2=2ab=A145046型,t3=b^2-a^2=A070079号,
其中{c,d}={t2,t3},t4=cd/2=ab(b^2-a^2)。
---------------------------------
p a b t1 c d t2 t3 t4
---------------------------------
5 1 2 1 3 4 4 3 6
13 2 3 3 5 12 12 5 30
17 1 4 2 8 15 8 15 60
29 2 5 5 20 21 20 21 210
37 1 6 3 12 35 12 35 210
41 4 5 10 9 40 40 9 180
53 2 7 7 28 45 28 45 630
...
a(7)=53=A002972号(7)^2 + (2*A002973号(n) )^2=7^2+(2*1)^2=49+4,这是唯一的方法-沃尔夫迪特·朗2015年1月13日
MAPLE公司
a:=[];对于从1到500的n,do如果是i素数(4*n+1),那么a:=[op(a),4*n+1];fi;日期:A002144号:=n->a[n];
#备选方案
A002114号:=进程(n)
选项记忆;
局部a;
如果n=1,那么
5;
其他的
对于来自procname(n-1)+4x4do的a
如果是质数(a),则
返回a;
结束条件:;
结束do:
结束条件:;
结束进程:
序列(A002114号(n) ,n=1..100)#R.J.马塔尔2024年1月31日
数学
选择[4*Range[140]+1,PrimeQ[#]&](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月16日*)
选择[Prime[Range[150]],Mod[#,4]==1&](*哈维·P·戴尔2021年1月28日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a002144 n=a002144_列表!!(n-1)
a002144_list=过滤器(==1)。a010051)[1,5..]
--莱因哈德·祖姆凯勒,2012年3月6日,2011年2月22日
(岩浆)[0..200]|IsPrime(a)中的[a:n,其中a是4*n+1]//文森佐·利班迪2014年11月23日
(PARI)选择(p->p%4==1,素数(1000))
(Python)
从sympy导入质数
A002144号=[n表示n in(prime(x)表示x in range(1,10**3))if not(n-1)%4]
#柴华武2014年9月1日
(Python)
从sympy导入isprime
打印(列表(过滤器(isprime,范围(1,618,4)))#迈克尔·布拉尼基2021年5月13日
(鼠尾草)
定义A002144号_list(n):#返回所有毕达哥拉斯素数
如果x%4==1,则返回[prime_range(5,n+1)中x的x
A002144号_列表(617)#彼得·卢什尼2012年9月12日
交叉参考
囊性纤维变性。A004613号(乘法闭包)。
除初始期限外,与A002313号
有关n的值,请参见A005098号
中的素数A020668号
关键词
非n,容易的,美好的
作者
状态
经核准的
A004431号 两个不同的非零平方和的数字。 +10
74
5, 10, 13, 17, 20, 25, 26, 29, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 122, 125, 130, 136, 137, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 197 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
素因式分解包括至少一个1模4的素数同余和任何3模4的素因子同余的数具有偶数重数-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年5月3日
重新排序A055096号通过增加值而不重复-保罗·柯茨2008年9月8日
A063725号(a(n))>1-莱因哈德·祖姆凯勒2011年8月16日
这些数字的平方也是两个非零平方的和,所以这个序列是A009003号. -Jean-Christophe Hervé2013年11月10日
乘法运算结束。素元素是指那些只有一个素因子与1模4同余且重数为1的元素(A230779号). -Jean-Christophe Hervé2013年11月10日
发件人鲍勃·塞尔科2016年3月23日:(开始)
数字c,使得d<c,d>=1,其中c+d和c-d是平方的。例如,53+28=81,53-28=25。
给定素数p==1模4,当且仅当它的形式为p^i、p*2^j或p*k^2{i、j、k>=1}或这些形式的任意组合的乘积时,项才出现。因此,任何条件对任何权力的乘积也是条件。例如,p(1)=5,p(2)=13,所以出现45项是因为5*3^2=45,出现416项是因为13*2^5=416;因此出现了45*416=18720,45^3*416^11=18720^3*466^8也是如此。
形式j^2+2*j*k+2*k^2{j,k>=1}的数字。(结束)
假设我们有一个项t=x^2+y^2。则s^2*t=(s*x)^2+(s*y)^2是任何s>0的项。2*t=(y+x)^2+(x-y)^2也是一个术语。因此,q*s^2*t是任何s>0且q=1或2的项。示例:2*7^2*26=28^2+42^2;6^2*17 = 6^2 + 24^2. -Jerzy R Borysowicz公司2017年8月11日
为了找到上限u以内的项,我们可以搜索x^2+y^2=t,其中x是奇数,y是偶数。然后我们将形式2^m*t<=u的所有数字相加,然后删除重复的数字-大卫·A·科内斯2017年10月4日
发件人伯纳德·肖特2022年4月13日:(开始)
第五条注释“在乘法下闭合”可以用布拉马古塔恒等式证明:(a^2+b^2)*(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2。
素数的子序列是A002144号.(结束)
链接
维基百科,布拉马古塔的身份
例子
53=7^2+2^2,所以53在序列中。
MAPLE公司
isA004431:=进程(n)
局部a、b;
对于2 do中的a
如果a^2>=n,则
返回false;
结束条件:;
b:=n-a^2;
如果b<1,则
返回false;
结束条件:;
如果issqr(b),则
如果(sqrt(b)<>a),则
返回true;
结束条件:;
结束条件:;
结束do:
返回false;
结束进程:
A004431号:=进程(n)
选项记忆;
局部a;
如果n=1,那么
5;
其他的
对于来自procname(n-1)+1 do的a
如果是A004431(a),则
返回a;
结束条件:;
结束do:
结束条件:;
结束进程:#R.J.马塔尔2013年1月29日
数学
A004431号={};做[a=2m*n;b=m^2-n^2;c=m^2+n^2;附加到[A004431号,c],{m,100},{n,m-1}];Take[工会@A004431号, 63] (*罗伯特·威尔逊v,2009年5月2日*)
选择[范围@200,长度[功率演示文稿[#,2,2]/。{{0,_}->无,{a_,b}/;a==b->Nothing}]>0&](*迈克尔·德弗利格2016年3月24日*)
黄体脂酮素
(PARI)选择(isA004431(n)={n>1&&vecmin((n=系数(n)%4)[,1])==1&&![f[1]>2&&f[2]%2|f<-n~]},[1..199])\\M.F.哈斯勒,2009年2月6日,2019年11月24日更新
(PARI)是(n)=如果(n<5,返回(0));my(f=系数(n)%4);如果(vecmin(f[,1])>1,则返回(0));对于(i=1,#f[,1],如果(f[i,1]==3&&f[i、2]%2,返回(0));1
对于(n=1,1e3,如果(是(n),打印1(n,“,”))\\阿尔图·阿尔坎2015年12月6日
(PARI)小于等于(n)={my(res=List(),s);对于步骤(i=1,sqrtint(n\\大卫·A·科内斯2017年10月4日
(哈斯克尔)
导入数据。列表(findIndices)
a004431 n=a004431_list!!(n-1)
a004431_list=查找索引(>1)a063725_list
--莱因哈德·祖姆凯勒2011年8月16日
(Python)
定义缺陷(极限):
s=[i*i表示i在范围(1,int(limit**.5)+2)内,如果i*i<limit]
s2=集(a+b表示i,a在枚举中表示s中的b[i+1:],如果a+b<=极限)
返回排序(s2)
打印(aupto(197))#迈克尔·布拉尼基2021年5月10日
交叉参考
的补语A004439号
关键词
非n
作者
状态
经核准的
A004144号 非斜边数(不是两个不同非零平方和的正方形的指数)。
(原M0542)
+10
44
1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、14、16、18、19、21、22、23、24、27、28、31、32、33、36、38、42、43、44、46、47、48、49、54、56、57、59、62、63、64、66、67、69、71、72、76、77、79、81、83、84、86、88、92、93、94、96、98、99、103、107、108、112、114、118、121、124、126、127 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
也可以是没有素因子的数字,形式为4*k+1。
m是一个条件iffA072438号(m) =米。
密度0-查尔斯·格里特豪斯四世2012年4月16日
乘法运算结束。基本元素是A045326号,2和形式4*k+3的素数-Jean-Christophe Hervé2013年11月17日
参考文献
史蒂文·芬奇,《数学常数》,剑桥,2003年,第98-104页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
Evan M.Bailey,n=1..20000时的n,a(n)表(T.D.Noe的条款1..1000)
Evan M.Bailey,a004114.cpp型
史蒂文·芬奇,Landau-Ramanujan常数[断开的链接]
史蒂文·芬奇,Landau-Ramanujan常数[取自Wayback机器]
Daniel Shanks,非低能数字,光纤。夸脱。,第13卷,第4期(1975年),第319-321页。
埃里克·魏斯坦的数学世界,毕达哥拉斯三元组
配方奶粉
A005089号(a(n))=0-莱因哈德·祖姆凯勒2013年1月7日
x下面的项数是~(A*x/sqrt(log(x)))*(1+C/log(x)+O(1/log(x^2)),其中A=A244659号和C=A244662号(Shanks,1975)-阿米拉姆·埃尔达尔2022年1月29日
数学
fQ[n_]:=如果[n>1,第一个@Union@Mod[First@#&/@FactorInteger@n,4]!=1,正确];选择[Range@127,fQ]
A004144号=选择[范围[127],长度@减少[s^2+t^2==s#&&s>t>0,整数]==0&](*格里·马滕斯2020年6月9日*)
黄体脂酮素
(PARI)为(n)=n=1||vecmin(因子(n)[,1]%4)>1\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年4月16日
(PARI)list(lim)=my(v=list(),u=vectorsmall(lim\=1));对于初始步骤(p=5,lim,4,对于步骤(n=p,lim、p,u[n]=1));对于(i=1,lim,如果(u[i]==0,listput(v,i)));u=0;车辆(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2022年1月13日
(哈斯克尔)
导入数据。列表(元素索引)
a004144 n=a004144_列表!!(n-1)
a004144_list=映射(+1)$elemIndices 0 a005089_list
交叉参考
的补语A009003号
素数的子序列是A045326号
关键词
非n
作者
扩展
更多术语来自莱因哈德·祖姆凯勒2002年6月17日
姓名澄清人埃文·贝利2019年9月17日
状态
经核准的
第页12 4 5 6 7

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