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多边形的半径内圆或的多面体大气层内,表示第页或者有时ρ(约翰逊1929)。具有内圆的多边形是相同的可铭刻或相切。

a的半径正多边形具有n个侧面和边长一由提供

 r=1/2cot(pi/n)。
(1)

下表总结了一些不规则的可铭文多边形的内半径。

对于三角形,

第页=1/2平方米(((b+c-a)(c+a-b)(a+b-c))/(a+b+c))
(2)
=增量/秒
(3)
=4Rsin(1/2A)sin(1/2 B)sin,
(4)

哪里三角洲地区三角形,一,b条,c(c)是边长,秒半周长,R(右)外半径,A类,B、和C类角度对边吗一,b条,c(c)(约翰逊1929年,第189页)。如果是两个三角形边长一b条和inradius一起第页,然后是第三条边的长度c(c)可以通过求解(1)找到c(c),导致立方体的方程式.

方程式(◇) 可以使用三线坐标。自插入器间距相等从三个侧面看,它的三线坐标是1:1:1,精确的三线坐标为r: 回复:回复.比率k个齐次坐标的精确三线的

 k=(2增量)/(a+b+c)=增量/s。
(5)

但是自从k=r在这种情况下,

 r=k=增量/s,
(6)

Q.E.D.公司。

涉及半径的其他方程包括

第页=(abc)/(4sR)
(7)
=(增量^2)/(r_1r_2r_3)
(8)
=R(cosA+cosB+cosC-1)
(9)

哪里秒半周长,R(右)圆周半径,r(i)外半径参考三角形(约翰逊1929年,第189-191页)。

d日是半径之间的距离第页外半径 R(右),d=rR^_.然后欧拉三角形公式声明

 R^2-d^2=2Rr,
(10)

或同等

 1/(R-d)+1/(R+d)=1/R
(11)

(麦凯1886-1887;凯西1888,第74-75页)。约翰逊(1929年,第186-190页)给出了这些和许多其他身份。

对于柏拉图式的阿基米德固体,半径r日对偶多面体可以用术语表示外半径 R(右)固体的,中半径 rho=rho_d、和边缘长度一作为

r日=(rho^2)/(平方英尺(rho^2+1/4a^2))
(12)
=(R^2-1/4a^2)/R,
(13)

这些半径服从

 Rr_d=ρ^2。
(14)

另请参见

卡诺定理,周长半径,欧拉三角形公式,日本人定理,中点半径

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J.凯西。《欧几里得原理》前六本书的续集,包含简单介绍《现代几何与无数实例》,第5版,修订版。都柏林:霍奇斯,菲吉斯公司,1888年。科克塞特,H.S。M。和Greitzer,S.L。几何图形再次访问。华盛顿特区:数学。美国协会。,第10页,1967年。约翰逊,注册会计师。现代几何学:关于三角形和圆的几何学的初级论文。马萨诸塞州波士顿:霍顿·米夫林,1929年。J.S.麦凯。“历史关于几何定理及其发展的注释【18世纪】。"程序。爱丁堡数学。Soc公司。 5, 62-78, 1886-1887.J.S.麦凯。“与三角形的内外圆半径有关的公式。”程序。爱丁堡数学。Soc公司。 12, 86-105, 1893.J.S.麦凯。“与三角形的内外圆半径有关的公式。”程序。爱丁堡数学。Soc公司。 13, 103-104, 1894.

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引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Inradius”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Inradius.html

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