搜索： a245611-编号：a24561
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0, 1, 2, 3, 1, 4, 5, 2, 6, 7, 3, 8, 2, 1, 9, 10, 4, 3, 11, 5, 12, 13, 2, 14, 3, 6, 15, 4, 7, 16, 17, 3, 5, 18, 8, 19, 20, 2, 4, 21, 1, 22, 6, 9, 23, 5, 10, 7, 24, 4, 25, 26, 3, 27, 28, 11, 29, 8, 5, 6, 4, 12, 2, 30, 13, 31, 7, 2, 32, 33, 14, 5, 9, 3, 34, 35, 6, 10, 36, 15, 8, 37, 4, 38, 5, 7, 39, 3, 16, 40, 41, 17, 11, 6, 3, 42, 43, 5, 44, 45, 18, 9, 12, 8, 7
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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链接
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公式
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a（1）=0，a（2）=1，对于n>2，a（n）=a(A285712型（n） ）+[n<>2 mod 3]。（其中[]是艾弗森括号，如果n的形式是3k或3k+1，则此处为1，如果n是3k+2，则为0。）
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黄体脂酮素
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（方案）
;; 第一个实现使用了memoization-macro definec：
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 3, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 3, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 3, 0, 0, 2, 0, 1, 1, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,14
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链接
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公式
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a（1）=0，a（2）=1，对于n>2，a（n）=a(A285712型（n） ）+[n==2 mod 3]。（其中[]是艾弗森括号，只有当n的形式为3k+2时，此处才为1，否则为0。）
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数学
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a[n_]：=PrimeOmega[2*n-1]-1；a[1]=0；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月23日*）
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黄体脂酮素
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（方案）
;; 第一个实现使用了memoization-macro definec：
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 7, 3, 6, 63, 15, 2, 1023, 32767, 13, 11, 255, 511, 127, 31, 28, 507, 134217727, 8388606, 524287, 17179869183, 60, 16777215, 16383, 8388607, 65535, 510, 62, 4095, 4, 14, 1073741823, 33554429, 223, 12855504354071922204335696738729300820177623950262342682411007, 16381, 268435451, 19807040628566084398385987583, 8589934589, 55
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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链接
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公式
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作为其他相关排列的组合：
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 4, 3, 8, 9, 6, 5, 16, 27, 18, 25, 12, 15, 10, 7, 32, 81, 54, 125, 36, 75, 50, 49, 24, 45, 30, 35, 20, 21, 14, 11, 64, 243, 162, 625, 108, 375, 250, 343, 72, 225, 150, 245, 100, 147, 98, 121, 48, 135, 90, 175, 60, 105, 70, 77, 40, 63, 42, 55, 28, 33, 22, 13, 128
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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这是正整数的置换。
注意索引：域从0开始，而范围不包括0，因此这既不是非负整数集上的双射，也不是正自然数集上的单射，而是从前者集到后者的双射。
请注意，等分减半如何返回相同的序列。（对于a（0）=1，取上限1/2）。
（结束）
这个不规则的表可以表示为二叉树。左边的每个孩子都是通过双倍的父级获得的，右边的每个孩子是通过应用A003961号致家长：
1
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...................2...................
4 3
8......../ \........9 6......../ \........5
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
16 27 18 25 12 15 10 7
32 81 54 125 36 75 50 49 24 45 30 35 20 21 14 11
等。
（结束）
此序列由A228351号通过应用以下过程：1）消除以一结尾的组合，除非第一个组合是以一结尾，2）从每个组件中减去一个单位，3）用Product_{k=1..r}替换每个元组[t1，…，t_r]A000040型（k） ^（t_k）（参见示例）。
除了（1）、（2）和（6、9、16、7），这个置换还有其他循环吗？（结束）
（在上述问题中，假设起始偏移为1而不是0）。
问题：
（结束）
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链接
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公式
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对于n>=1，a（2n）是偶数，a（2 n+1）是奇数。a（2^k）=2^（k+1），对于所有k>=0。
a（0）=1，a（1）=2，a（2n）=2*a（n），a（2 n+1）=A003961号（a（n））。
作为对平价的更一般的观察，我们有：
（结束）
作为相关排列的组合：
此外，对于所有n>=0，它认为：
（结束）
--
--
--
--
（结束）
（结束）
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例子
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[1], [2], [1,1], [3], [1,2], [2,1] ... -> [1], [2], [3], [1,2], ... -> [0], [1], [2], [0,1], ... -> 2^0, 2^1, 2^2, 2^0*3^1, ... = 1, 2, 4, 3, ... -洛伦佐·索拉斯（Lorenzo Sauras Altuzarra）2020年11月28日
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数学
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f[n_]：=反向@地图[Ceiling[（Length@#-1）/2]&，删除案例[Split@Join[Riffle[IntegerDigits[n，2]，0]，{0}]，{k__}/；k==1]]；{1} ~加入~
表[函数[t，素数[t]乘积[Prime[m]^（f[n][[m]]），{m，t}]][DigitCount[n，2，1]]，{n，120}](*迈克尔·德弗利格2016年7月25日*）
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黄体脂酮素
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（方案，记忆Antti Karttunen的IntSeq-library中定义的宏）
;; 基于给定重复周期的版本：
;; 基于Quet原始公式的版本：
（Python）
来自症状输入素
如果n：
k、 c，m=n，0，1
而k：
c+=1
m*=素数（c）**（s:=（~k&k-1）.bit_length（））
k>>=s+1
返回m*prime（c）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000040型,A000120号,A000225号,A000788号,A003961号,A007814号,A054429号,A055396号,A064216号,A135523号,A161992号,A163510号,A245605型,A245612型,A246375型,A246378号,A246681型,A161511号,A228351号,A243499型,A243503型,A243504型,269854元,A280873型,A285727型,A290251型,A293437型,A337909型.
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关键字
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作者
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扩展
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由计算出的更多术语和添加的示例安蒂·卡图恩2014年6月20日
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 5, 4, 7, 11, 6, 13, 17, 10, 19, 9, 8, 23, 29, 14, 15, 31, 22, 37, 41, 12, 43, 25, 26, 47, 21, 34, 53, 59, 20, 33, 61, 38, 67, 71, 18, 35, 73, 16, 79, 39, 46, 83, 55, 58, 51, 89, 28, 97, 101, 30, 103, 107, 62, 109, 57, 44, 65, 49, 74, 27, 113, 82, 127, 85, 24, 131
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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一个((A003961号（n） +1）/2）=n和A003961号（a（n））=2*n-1表示所有n。如果序列仅由奇数索引，则它变为乘法序列。在这个表示为b的变量序列中，即使指数也不存在，我们得到b（1）=a（1）=1，b（3）=a，b（15）=6=b（3）*b（5），依此类推。对于x，y>0，这个属性也可以表示为：a（x）*a（y）=a（（（2x-1）*（2y-1）+1）/2）-莱因哈德·祖姆凯勒[由重新表述彼得·穆恩2020年5月23日]
通常意义上不是乘法-但让m=2n-1=product_j（p_j）^（e_j），然后a（n）=a（（m+1）/2）=product_j（p_（j-1））^-亨利·博托姆利2005年4月15日
使用素数移位运算的几种排列A064989号在他们的定义中，当从右边与这个置换组合时，产生一个从奇数对分得到的置换。例如，我们有：
（结束）
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链接
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公式
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和{k=1..n}a（k）~c*n^2，其中c=Product_{p素数>2}（（p^2-p）/（p^2q（p）））=0.662117868…，其中q（p(A151799号). -阿米拉姆·埃尔达尔，2023年1月21日
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例子
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对于n=11，第11个奇数是2*11-1=21=3^1*7^1。用前面的素数2和5替换素数3和7得到2^1*5^1=10，因此a（11）=10-迈克尔·B·波特2016年7月25日
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数学
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表[Times@@Power[If[#==1，1，NextPrime[#，-1]]&/@First@#，Last@#]&@Transpose@FactorInteger[2n-1]，{n，69}](*迈克尔·德弗利格2014年12月18日，2016年3月17日修订*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={my（f=因子（2*n-1））\\米歇尔·马库斯2016年3月17日
（Python）
来自sympy import factor，prevprime
从运算符导入mul
定义a（n）：
f=因子（2*n-1）
如果n==1，则返回1（mul，[prevprime（i）**f[i]代表f中的i）#因德拉尼尔·戈什2017年5月13日
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交叉参考
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关键字
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A243071型
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| 非负整数的置换：a（1）=0，a（2）=1，a（2n）=2*a（n），a（2-n+1）=1+2*a(A064989号（2n+1））。 |
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+10
77
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0, 1, 3, 2, 7, 6, 15, 4, 5, 14, 31, 12, 63, 30, 13, 8, 127, 10, 255, 28, 29, 62, 511, 24, 11, 126, 9, 60, 1023, 26, 2047, 16, 61, 254, 27, 20, 4095, 510, 125, 56, 8191, 58, 16383, 124, 25, 1022, 32767, 48, 23, 22, 253, 252, 65535, 18, 59, 120, 509, 2046, 131071
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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注意索引：域从1开始，而范围也包括零。
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链接
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公式
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a（1）=0，a（2）=1，a（2n）=2*a（n），a（2n+1）=1+2*a(A064989号（2n+1））。
（结束）
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黄体脂酮素
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（PARI）
A064989号（n） ={my（f）；f=因子（n）；如果（n>1&&f[1,1]==2），f[1,2]=0）；对于（i=1，#f~，f[i，1]=precprime（f[i、1]-1））；因子回退（f）}；
（PARI）A243071型（n） =如果（n<=2，n-1，my（f=系数（n），p，p2=1，res=0）；对于（i=1，#f~，p=1<<（素数（f[i，1]）-1）；res+=（p*p2*（2^（f[i，2]）-1））；p2<<=f[i，2]）；（（（3<<#二进制（res\2））-res-1）；\\（结合中给出的程序A156552号和A054429号) -安蒂·卡图恩2023年7月28日
（方案，记忆定义自安蒂·卡图恩的IntSeq-library）
（Python）
从functools导入reduce
来自sympy import factor，prevprime
从运算符导入mul
定义a064989（n）：
f=因子（n）
如果n==1，则返回1，否则减少（mul，（如果i==2，则为1，否则预素数（i）**f[i]表示f中的i））
定义a（n）：如果n<3其他2*a（n//2），如果n%2==0其他1+2*a（a064989（n）），则返回n-1
打印（[a（n）代表范围（1101）中的n）]#因德拉尼尔·戈什，2017年6月15日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000040型,A000225号,A007814号,A054429号,A064989号,A064216号,A122111号,A209229型,A245611型（=（a（2n-1）-1）/2，对于n>1），A245612型,A292383型,A292385型,A297171型（莫比乌斯变换）。
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 5, 3, 14, 13, 8, 4, 41, 63, 38, 25, 23, 18, 11, 6, 122, 313, 188, 172, 113, 123, 74, 61, 68, 88, 53, 39, 32, 28, 17, 7, 365, 1563, 938, 1201, 563, 858, 515, 666, 338, 613, 368, 424, 221, 303, 182, 85, 203, 438, 263, 270, 158, 193, 116, 72, 95, 138, 83, 46, 50, 33, 20, 9
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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注意索引：域从0开始，而范围不包括0。
1
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...................2...................
5 3
14......../ \........13 8......../ \........4
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
41 63 38 25 23 18 11 6
122 313 188 172 113 123 74 61 68 88 53 39 32 28 17 7
等。
（结束）
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链接
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公式
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数学
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表[（Times@@Power[If[#==1，1，NextPrime@#]&/@First@#，Last@#]+1）/2&@Transpose@FactorInteger@If[n==0，1，Prime[#]乘积[Prime[m]^（Map[Ceiling[（Length@#-1）/2]&，DeleteCase[Split@Join[Riffle[IntegerDigits[n，2]，0]，{0}]，{k__}/；k==1]][[-m]]），{m，#}]&[数字计数[n，2，1]]，{n，0，63}](*迈克尔·德弗利格2016年7月25日*）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键字
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 6, 2, 2, 6, 2, 4, 8, 2, 2, 6, 6, 2, 6, 2, 2, 12, 2, 4, 6, 2, 6, 6, 2, 2, 12, 6, 2, 6, 2, 2, 12, 6, 2, 16, 2, 6, 6, 2, 6, 6, 6, 2, 12, 2, 2, 30, 2, 2, 6, 2, 6, 12, 6, 4, 6, 8, 2, 6, 2, 6, 24, 2, 2, 6, 6, 6, 12, 2, 2, 12, 6, 2, 6, 6, 2, 30, 2, 4, 12, 2, 12, 6, 2, 2, 6, 6, 6, 24, 2, 2, 30, 2, 2, 6, 6, 6, 12, 6, 2, 6, 6, 6, 6, 6, 2, 36, 2, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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该序列通过与作为f（2*n-1）获得的任何序列进行匹配，充当与奇数素数因式分解相关的序列的过滤器，其中f（n）是仅依赖于n的素数签名的任何函数（参见“从…中的指数计算的序列”的索引项）。Crossrefs部分的最后一行列出了截至2016年11月11日数据库中出现的此类序列，尽管一些匹配可能是虚假的。
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链接
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公式
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（结束）
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数学
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a[n_]：=倍@@（素数[Range[Length[f=FactorInteger[2*n-1]]]]^Sort[f[[；；，2]]，Greater]）；a[1]=1；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月23日*）
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黄体脂酮素
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（方案）
（Python）
来自sympy导入因子
定义P（n）：
f=因子（n）
返回排序（[f[i]代表f中的i）
定义a046523（n）：
x=1
为True时：
如果P（n）==P（x）：返回x
其他：x+=1
定义a（n）：返回a046523（2*n-1）#因德拉尼尔·戈什，2017年5月11日
（Python）
从数学导入prod
来自sympy import prime，factorint
定义A278223型（n） ：return prod（prime（i+1）**e代表枚举中的i，e（已排序（factorint（（n<<1）-1）.values（），reverse=True））#柴华武2022年9月16日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 4, 3, 8, 16, 5, 32, 64, 9, 128, 6, 7, 256, 512, 17, 10, 1024, 33, 2048, 4096, 11, 8192, 12, 65, 16384, 18, 129, 32768, 65536, 19, 34, 131072, 257, 262144, 524288, 13, 20, 1048576, 15, 2097152, 66, 513, 4194304, 36, 1025, 130, 8388608, 35, 16777216, 33554432, 21, 67108864, 134217728, 2049, 268435456, 258, 67, 68, 24, 4097, 14
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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注意索引：域从1开始，而范围也包括零。
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链接
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公式
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作为相关排列的组合：
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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1, 2, 3, 5, 4, 9, 13, 6, 17, 37, 8, 25, 7, 10, 69, 33, 26, 11, 41, 16, 277, 45, 18, 65, 21, 14, 1109, 15, 52, 73, 57, 74, 35, 209, 82, 293, 141, 34, 53, 329, 12, 1173, 31, 36, 213, 149, 104, 43, 49, 20, 145, 173, 138, 81, 581, 114, 553, 71, 90, 133, 101, 282, 19, 325, 24, 457, 165, 50, 77, 97, 62, 105, 555, 42
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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公式
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作为相关排列的组合：
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黄体脂酮素
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（PARI）
A064989号（n） =我的（f=系数（n））；对于（i=1，#f~，如果（2==f[i，1]），f[i、1]=1，f[i，1]=预素数（f[i；1]-1））；因子回收（f）；
对于（n=110001，写入（“b245607.txt”，n，“”，A245607型（n） ）；
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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