搜索： a068310-编号：a0683100
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3, 2, 15, 6, 35, 3, 7, 5, 11, 30, 143, 42, 195, 14, 255, 2, 323, 10, 399, 110, 483, 33, 23
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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2,1
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链接
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关键词
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死去的
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状态
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经核准的
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A005563号
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| a（n）=n*（n+2）=（n+1）^2-1。
（原名M2720）
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+10个
295
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0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, 143, 168, 195, 224, 255, 288, 323, 360, 399, 440, 483, 528, 575, 624, 675, 728, 783, 840, 899, 960, 1023, 1088, 1155, 1224, 1295, 1368, 1443, 1520, 1599, 1680, 1763, 1848, 1935, 2024, 2115, 2208, 2303, 2400, 2499, 2600
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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Erdős推测n^2-1=k！有解当且仅当n为5、11或71时（当k为4、5或7时）。
二阶线性递归y（m）=2y（m-1）+a（n）*y（m-2），y（0）=y（1）=1，具有只涉及整数幂的闭式解-伦·斯迈利2001年12月8日
设k为正整数，M_n为n×n矩阵M_（i，j）=k^abs（i-j），则det（M_n）=（-1）^（n-1）*a（k-1）^-贝诺伊特·克洛伊特，2002年5月28日
也可以将k编号为4*k+4是一个正方形-西诺·希利亚德2003年12月18日
对于每个项k，函数sqrt（x^2+1）从1开始，在k次迭代后生成一个整数-杰拉尔德·麦卡维2004年8月19日
方程X^3+X^2=Y^2的解的非负X值。要查找Y值：b（n）=n（n+1）（n+2）-穆罕默德·布哈米达2007年11月6日
序列允许我们找到方程的X值：X+（X+1）^2+（X+2）^3=Y^2。为了证明X=n^2+2n:Y^2=X+（X+1）^2+（X+2）^3=X^3+7*X^2+15X+9=（X+1”）（X^2+6X+9）=（X+1）*（X+3）^2，它的意思是：（X+1。我们可以设：k=n+1，这给出：X=n^2+2n和Y=（n+1）（n^2+2n+3）-穆罕默德·布哈米达2007年11月12日
蟾蜍和青蛙拼图：
这也是n只青蛙和n只蟾蜍在2n+1方块（或位置，或睡莲叶）上交换位置所需的移动次数，其中一个移动是一次滑动或跳跃，如n=2，a（n）=8
T T-F F
T-T F F
温度-温度
T英尺T英尺-
T F-F T
-前变速器前变速器
F-T F T（飞行时间）
F F T-T
前F-T T
霍尔顿的文章提醒了我这一点，但在查阅辛马斯特的资料后，我发现这个谜团至少可以追溯到1867年。
1883年，爱德华·卢卡斯（Edouard Lucas）可能是第一个公布每种动物n的移动次数的人。（结束）
设f（x）是x中的多项式，则f（x+n*f（x；这里n属于n。当x属于Z时，商f（x+n*f（x））/f =A056108号（n） +a（n）*sqrt（2）-A.K.德瓦拉吉2009年9月18日
对于n>0，连分式[n，1，n]=（n+1）/a（n）；例如，[6，1，6]＝7/48-加里·亚当森2010年7月15日
起始（3，8，15，…）=[3，5，2，0，0，…]的二项式变换；例如，a（3）=15=（1*3+2*5+1*2）=（3+10+2）-加里·亚当森2010年7月30日
a（n）本质上是多边形数的情况0。多边形数定义为P_k（n）=Sum_{i=1..n}（（k-2）*i-（k-3））。因此P_0（n）=2*n-n^2，a（n）=-P_0（n+2）。另请参见A067998年对于k=1的情况A080956号. -彼得·卢什尼2011年7月8日
a（n）是含有{1，…，n+1}整数元素的2x2矩阵的最大行列式，因此含有{1、…，5}=5^2-1=a（4）=24整数元素的2×2矩阵的最大行列式-阿尔多·冈萨雷斯-洛伦佐2011年10月12日
使用四个连续的三角形数字t1、t2、t3和t4，绘制点（0，0）、（t1，t2）和（t3，t4）以创建三角形。这个三角形面积的两倍是这个序列中从n=1开始的数字，得出8-J.M.贝戈2012年5月3日
给定一个自旋为S=n/2（总是半整数）的粒子，其自旋矢量大小平方的量子力学期望值计算为<S^2>=S（S+1）=n（n+2）/4，即n=2S的四分之一a（n）。这在磁学和磁共振理论中起着重要作用-斯坦尼斯拉夫·西科拉2012年5月26日
数量m，使楼层（sqrt（m））=楼层（m/floor（sqrt（m）-佐藤拓美2012年10月10日
Len Smiley于2001年12月8日提到的a（n）=2*a（n-1）+a（m-2）*a（n-2），n>=2，a（0）=0，a（1）=1的闭式解中的整数是m和-m+2，其中m>=3是一个正整数-费利克斯·穆加二世2014年3月18日
设m>=3为正整数。如果a（n）=2*a（n-1）+a（m-2）*a（n-2），n>=2，a（0）=0，a（1）=1，那么lim_{n->oo}a（n+1）/a（n）=m-费利克斯·穆加二世2014年3月18日
对于n>=4，轮图W_n的Szeged指数（带有n+1个顶点）。在Sarma等人的参考文献中，定理2.7是不正确的-Emeric Deutsch公司2014年8月7日
如果P_{k}（n）是第n个k角数，则a（n）=t*P_{s}（n+2）-s*P_}t}（n+2）表示s=t+1-布鲁诺·贝塞利2014年9月4日
对于n>=1，a（n）是简单李代数a_n的维数-沃尔夫迪特·朗2015年10月21日
对于n>0，a（n）mod（n+1）=a（n-托拉赫·拉什2016年4月4日
推测：当使用埃拉托斯特尼筛和筛分（n+1..a（n）），除数（1..n）和n>0时，将不会有超过一个（n-1）的复合数-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2016年4月8日
a（n）mod 8是周期性的，周期4重复（0,3,0,7），即a（n）mod 8=5/2-（5/2）cos（n*Pi）-sin（n*Pi/2）+sin（3*n*Pi/2）-安德烈斯·西卡廷2016年6月2日
从Klauber三角形（参见Kival Ngaokrajang链接）右侧开始的第二条合成对角线（唯一的素数是数字3），它是由正整数和前1、后3、后5等组成的，每个都位于最后一个的下方-查尔斯·库斯尼奇2017年7月3日
a（n）是n阶Raviart-Tomas或nédélec第一类有限元空间三角形单元中的自由度-马修·斯克鲁格斯2020年4月22日
对于n>1，a（n-2）是Quine-McCluskey算法第二阶段的最大元素数，其minterms不被n位函数覆盖。在n=3时，我们有a（3-2）=a（1）=1*（1+2）=3和f（a，B，C）=σ（0,1,2,5,6,7）。
.
0 1 2 5 6 7
+---------------
*（0,1）| X X
（0,2）|X X
（1,5）| X X
*（2,6）| X X
*（5,7）| X X
（6,7）| X X
.
*：表示覆盖的元素。（结束）
1/a（n）是第一个k个奇数之和与下一个n*k个奇数之和的比率-梅尔文·佩拉尔塔2021年7月15日
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参考文献
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E.R.Berlekamp、J.H.Conway和R.K.Guy，《胜利之道》，纽约学术出版社，第2卷。，1982年，见蟾蜍和青蛙拼图下的索引。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《令人困惑的谜题和令人兴奋的小品》（Perplexing Puzzles and Tanovating Teasers），第21页（《一角硬币和一分钱的开关》（The Dime and Penny Switcheroo））。
R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，第D25节。
Derek Holton，学校数学，37#1（2008年1月）20-22。
爱德华·卢卡斯（Edouard Lucas），《数学评论》（Récréations Mathématiques），高瑟·维拉斯（Gauthier-Villars），第2卷（1883）141-143。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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杰里米亚·巴茨、布鲁斯·迪尔登和乔尔·利亚姆斯，间隙平衡数的类别，arXiv:1810.07895[math.NT]，2018年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014。
斯坦尼斯拉夫·斯库拉，OEIS上的磁共振，Stan的核磁共振博客（2014年12月31日），2019年11月12日检索。
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配方奶粉
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通用：x*（3-x）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=（n！+（n+1）！）/（n-1）！，n>0-加里·德特利夫斯2009年8月10日
a（n）=楼层（n^5/（n^3+1）），偏移量为1（a（1）=0）-加里·德特利夫斯2010年2月11日
a（n）=a（n-1）+2*n+1（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月18日
a（n）=2/（积分_{x=0..Pi/2}（sin（x））^（n-1）*（cos（x））^3），对于n>0-弗朗西斯科·达迪，2011年8月2日
G.f.:U（0），其中U（k）=-1+（k+1）^2/（1-x/（x+（k+1）^2/U（k+1；（连分数，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月19日
a（n）=15*C（n+4.3）*C（n+4.5）/（C（n/4.2）*C-加里·德特利夫斯2013年8月5日
a（n）=（n+2）/（n-1）！+n！），n>0-伊万·伊纳基耶夫2013年11月11日
当n>=0时，a（n）=3*C（n+1,2）-C（n，2）-费利克斯·穆加二世2014年3月11日
a（-2-n）=Z中所有n的a（n）-迈克尔·索莫斯2014年8月7日
对于n>=1，a（n^2+n-2）=a（n-1）*a（n）-米科·拉巴兰2017年10月15日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=1/4-阿米拉姆·埃尔达尔2020年11月4日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=2。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=-sqrt（2）*sin（sqrt（1）*Pi）/Pi。（结束）
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例子
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G.f.=3*x+8*x^2+15*x^3+24*x^4+35*x^5+48*x^6+63*x^7+80*x^8+。。。
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数学
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表[n^2-1，{n，42}](*零入侵拉霍斯2007年3月21日*）
列表相关[{1，2}，范围[-1，50]，{1，-1}，0，Plus，Times](*哈维·P·戴尔，2015年8月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）连接（0，Vec（x*（3-x）/（1-x）^3+O（x^90））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月22日
（最大值）makelist（n*（n+2），n，0，56）/*马丁·埃特尔，2012年10月15日*/
（哈斯克尔）
a005563 n=n*（n+2）
a005563_list=zipWith（*）[0..][2..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年12月16日
（岩浆）[0..60]]中的[n*（n+2）：n//G.C.格鲁贝尔2024年3月29日
（SageMath）[n*（n+2）表示范围（61）内的n]#G.C.格鲁贝尔2024年3月29日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 9, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 16, 1, 9, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 25, 1, 9, 4, 1, 1, 1, 16, 1, 1, 1, 36, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 9, 1, 1, 16, 49, 25, 1, 4, 1, 9, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 9, 64, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 36, 1, 1, 25, 4, 1, 1, 1, 16, 81, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 1, 4, 1, 1, 1, 16, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,4
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评论
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链接
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配方奶粉
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Dirichlet g.f.：zeta（s）*zeta（2s-2）/zeta（2 s）-R.J.马塔尔2011年10月31日
求和{k=1..n}a（k）~泽塔（3/2）*n^（3/2”/（3*Zeta（3））-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年2月1日
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MAPLE公司
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展开（数量理论：-ntpow（n，2））；
结束进程：
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数学
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a[n_]：=第一个[Select[Reverse[Divisors[n]]，IntegerQ[Sqrt[#]]&，1]]；表[a[n]，{n，1100}](*Jean-François Alcover公司2011年12月12日*）
f[p_，e_]：=p^（2*楼层[e/2]）；a[n_]：=倍@@（f@@@FactorInteger[n]）；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月7日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a008833 n=头部$过滤器（（==0）。（修订版）$
反转$takeWhile（<=n）$tail a000290_list
（Python）
从sympy.theory.factor导入核心
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,多重
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作者
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状态
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经核准的
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3, 2, 7, 3, 23, 8, 47, 15, 79, 24, 119, 2, 167, 48, 3, 63, 287, 80, 359, 6, 88, 120, 527, 28, 623, 168, 727, 12, 839, 44, 959, 255, 216, 288, 8, 20, 1367, 360, 19, 77, 1679, 22, 1847, 30, 208, 528, 2207, 7, 2399, 624, 128, 42, 2807, 728, 696, 3, 160, 840, 3479, 11
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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最小m>0，其中x^2-m*y^2=1具有y=n的解。
对于n>1，a（n）<=n^2-2-柴华武2016年1月26日
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链接
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配方奶粉
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对于n是奇素数的幂，a（n）=n^2-2。对于n的奇数素数幂的两倍，a（n）=（n/2）^2-1-T.D.诺伊2007年9月13日
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例子
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a（4）=3，基于3*4^2+1=7^2。
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数学
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a[n_]：=对于[m=1，True，m++，如果[IntegerQ[Sqrt[m*n^2+1]]，返回[m]]；表[a[n]，{n，100}]
lm[n_]：=模块[{m=1}，While[！IntegerQ[Sqrt[m n^2+1]]，m++]；m] ；数组[lm，60](*哈维·P·戴尔2013年2月24日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a067872 n=（直到（==1）。a010052。（+1））（+nn）nn）`div`nn
其中nn=n^2
（Python）
y、 x，n2=n*（n+2），2*n+3，n**2
m、 r=divmod（y，n2）
而r：
y+=x
x+=2
m、 r=divmod（y，n2）
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交叉参考
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关键词
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美好的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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7, 26, 63, 124, 215, 342, 511, 91, 37, 1330, 1727, 2196, 2743, 3374, 4095, 614, 17, 254, 7999, 9260, 10647, 12166, 13823, 1953, 17575, 19682, 813, 24388, 26999, 29790, 32767, 4492, 39303, 42874, 46655, 1876, 54871, 59318, 63999, 8615, 74087, 79506
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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2,1
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评论
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换句话说，n^3-1的立方部分，或n^3-1.的立方核。的立方模拟A068310型.
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（9）=（9^3-1）/8=（2^3*7*13）/（2^3）=728/8=91。
a（10）=（10^3-1）/27=（3^3*37）/（3^3）=999/27=37。
a（18）=（18^3-1）/343=（7^3*17）/（7^3）=5831/343=17。
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MAPLE公司
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a： =n->mul（f[1]^（f[2]mod 3），f=ifactors（n^3-1）[2]）：
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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15, 5, 255, 39, 1295, 150, 4095, 410, 9999, 915, 20735, 1785, 38415, 3164, 65535, 5220, 104975, 8145, 159999, 12155, 234255, 17490, 331775, 24414, 456975, 33215, 614655, 44205, 809999, 57720, 1048575, 74120, 1336335, 93789, 1679615, 117135
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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2,1
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评论
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（3）=5，因为（3^4-1）/16=80/16=（2^4*5）/（2^4）=5。
a（5）=39，因为（5^4-1）/16=624/16=（2^4*3*13）/（2^4）=39。
a（7）=150，因为（7^4-1）/16=2400/16=（2^5*3*5^2）/（2^4）=150。
a（9）=410，因为（9^4-1）/16=6560/16=（2^5*5*41）/（2^4）=410。
a（63）=61535，因为（63^4-1）/256=15752960/256=（2^8*5*31*397）/（2^8）=6153。
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000188号,A000583号,A002350元,A004709号,A007948号,A008835号,A062378号,A067872号,A033314号,A068310型,A128972号.
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A354672型
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| 在Pellian方程x^2-D*y^2=1中，用x不是最小可能值的性质来计算x，其中D=（x^2-1）的无平方部分。 |
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7, 17, 26, 31, 49, 71, 97, 99, 127, 161, 199, 241, 244, 287, 337, 362, 391, 449, 485, 511, 577, 647, 721, 799, 846, 881, 967, 1057, 1151, 1249, 1351, 1457, 1567, 1681, 1799, 1921, 2024, 2047, 2177, 2311, 2449, 2591, 2737, 2887, 2889, 3041, 3199, 3361, 3363
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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链接
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例子
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a（2）=17。17^2-1=288的平方自由部分是D=2。但是x^2-2*y^2=1的最小可能解不是x=17，而是x=3（y=2）。
15不是一个项：15^2-1=224的无平方部分是D=14，x^2-14*y^2=1确实有最小解x=15（和y=4）。
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数学
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自由部分[n]：=
Times@@Power@@@（{#[[1]]，Mod[#[[2]]，2]}和/@FactorInteger[n]）；
a={}；NMAX=3400；dict//清除；
对于[n=2，n<=NMAX，n++，s=平方自由部分[n^2-1]；
如果[！IntegerQ[dict[s]]，dict[s]=1，AppendTo[a，n]]]；一
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 1, 4, 1, 16, 9, 16, 9, 4, 1, 4, 1, 16, 1, 144, 1, 36, 1, 4, 1, 16, 25, 16, 225, 4, 9, 4, 1, 64, 1, 64, 1, 36, 1, 36, 1, 16, 1, 16, 1, 4, 9, 4, 9, 16, 49, 400, 49, 100, 1, 36, 1, 144, 1, 16, 1, 4, 1, 4, 9, 64, 9, 64, 1, 4, 1, 4, 1, 144, 1, 144, 25, 4
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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2,2
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链接
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配方奶粉
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数学
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f[p_，e_]：=p^（2*楼层[e/2]）；a[n_]：=倍@@（f@@@FactorInteger[n^2-1]）；阵列[a，100，2](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年1月4日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
从sympy.theory.factor导入核心
定义a（n）：
返回（n**2-1）//核心（n**2-2）
（PARI）a（n）=（n^2-1）/核心（n^2-2）\\米歇尔·马库斯2023年2月19日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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