搜索： a157897-编号：a157897
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A000073号
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| Tribonacci数：a（n）=a（n-1）+a（n-2）+a。
（原名M1074 N0406）
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392
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0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, 410744, 755476, 1389537, 2555757, 4700770, 8646064, 15902591, 29249425, 53798080, 98950096, 181997601, 334745777, 615693474, 1132436852
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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此外（对于n>1）具有n+1个边且所有叶子都位于第三级的有序树的数量。例如：a（4）=2，因为我们有两棵有序树，有5条边，所有叶子都在第三层：（i）一条边从根发出，在其末端有两条长度为2的路径挂起；（ii）一条长度为二的路径从根发生，在其端部有三条边挂起-Emeric Deutsch公司2004年1月3日
设A表示3X3矩阵[0,0,1；1,1,1；0,1,0]。a（n）对应于a^n中的（1,2）和（3,1）条目-保罗·巴里2004年10月15日
满足-k≤p（i）-i≤r，i=1..n-2，k=1，r=2的置换数-弗拉基米尔·波罗的海2005年1月17日
长度为n-3且没有三个连续0的二进制序列的数量。例如：a（7）=13，因为在长度为4的16个二进制序列中，只有0000、0001和1000有三个连续的0-Emeric Deutsch公司2006年4月27日
a（n+2）是任意3X3矩阵[1，1，1；0，0，1；1，0，0]或[1，1,0，0；1，0,1；1，0-0]或[1]，1,1，0；0，1，0]的n次方的左上条目-R.J.马塔尔2014年2月3日
a（n-1）是3X3矩阵[0，0，1；1，1；0，1，0]，[0，1，0；0，1,1；1，1,0]，[0，0,1；0，0]或[0，1,0；0；0-R.J.马塔尔2014年2月3日
摩擦常数t的非负幂=A058265号是t^n=a（n）*t^2+（a（n-1）+a（n-2））*t+a（n-1）*1，对于n>=0，a（-1）=1，a（-2）=-1。这是从t^3=t^2+t+1导出的重复周期得出的。请参阅中的示例A058265号第一个非负幂。有关负幂，请参见A319200型. -沃尔夫迪特·朗2018年10月23日
“tribonacci数”这个词是由马克·范伯格（1963）创造的，他是宾夕法尼亚州萨斯奎哈纳镇初级中学9年级的一名14岁学生。他于1967年死于一场摩托车事故-阿米拉姆·埃尔达尔2021年4月16日
Andrews、Just和Simay（2022022）指出，有人认为查尔斯·达尔文的《物种起源》中提到的这个序列与大象种群的关系与斐波那契数与兔子种群的关系相同-N.J.A.斯隆2022年7月12日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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G.f.：x^2/（1-x-x^2-x^3）。
G.f.:x^2/（1-x/（1-x/（1+x^2/（1+x））））-迈克尔·索莫斯2012年5月12日
G.f.：求和{n>=0}x^（n+2）*[乘积{k=1..n}（k+k*x+x^2）/（1+k*x+k*x2）]=x^2+x^3+2*x^4+4*x^5+7*x^6+13*x^7+。。。可以用压缩和的方法证明-彼得·巴拉，2015年1月4日
a（n）=M ^n*[1 0 0]中的中心项，其中M=3 X 3矩阵[0 1 0/0 0 1/1 1]。（M^n*[1 0 0]=[a（n-1）a（n）a（n+1）]。）a（n）/a（n-1）趋于摩擦学常数1.839286755=A058265号，M的特征值和x^3-x^2-x-1=0的根-加里·亚当森2004年12月17日
a（n+2）=和{k=0..n}T（n-k，k），其中T（n，k）=三项系数(A027907号). -保罗·巴里2005年2月15日
设C=摩擦学常数，1.83928675。。。；则C^n=a（n）*（1/C）+a（n+1）*（1/1/C^2）+a（n+2）*（1/C+1/C^2+1/C^3）。示例：C^4=11.444…=2*（1/C）+4*（1/C+1/C^2）+7*（1/C+1/C^2+1/C^3）-加里·亚当森2006年11月5日
a（n）=j*C^n+k*r1^n+L*r2^n，其中C是摩擦学常数（C=1.8392867552…），x^3-x^2-x-1=0的实根，r1和r2是其他两个根（它们是复杂的），r1=m+p*i和r2=m-p*i，其中i=sqrt（-1），m=（1-C）/2（m=-0.4196433776…）和p=（（3*C-5）*（C+1）/4）^（1/2）=0.6062902 7292…，其中j=1/（（C-m）^2+p^2）=0.1828035330…，k=a+b*i，L=a-b*iPhilippe LALLOUET（philip.LALLOUET（AT）wanadoo.fr），2007年6月23日
a（n+1）=3*c*（（1/3）*（a+b+1））^n/（c^2-2*c+4）其中a=（19+3*sqrt（33））^（1/3），b=（19-3*sqert（33），^（1/3），c=（586+102*sqort（33）”^（1-3）。四舍五入到最接近的整数Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年2月2日
a（n）=圆形（3*（（a+b+1）/3）^n/（a^2+b^2+4）），其中a=（19+3*sqrt（33））^（1/3），b=-安东·尼科诺夫
g.f.的另一种形式：f（z）=（z^2-z^3）/（1-2*z+z^4）。然后我们得到a（n）作为和：a（n）=sum_{i=0..地板（（n-2）/4）}（（-1）^i*二项式（n-2-3*i，i）*2^（n-2-4*i））-sum_{i=0..地板（（n-3）/4）}（（-1）^i*二项式（n-3-3*i，i）*2^（n-3-4*i））），具有自然约定：sum_{i=m.n｝α（i）=0-理查德·乔利特2010年2月22日
a（n）=和{k=1..n}和{i=k.n，mod（4*k-i，3）=0}二项式（k，（4*k-i）/3）*（-1）^（i-k）/3）x二项式-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月18日
a（n）=2*a（n-2）+2*a（n-3）+a（n-4）-加里·德特利夫斯2010年9月13日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-4），其中a（0）=a（1）=0，a（2）=a（3）=1-文森佐·利班迪2010年12月20日
起始（1、2、4、7…）是（1、1、1，0、0、0…）的INVERT变换-加里·亚当森2013年5月13日
G.f.：Q（0）*x^2/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（4*k+1+x+x^2）/（x*（4*k+3+x+x2）+1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月9日
a（n+2）=和{j=0..floor（n/2）}和{k=0..j}二项式（n-2*j，k）*二项式-托尼·福斯特三世2017年9月8日
和{k=0..n}a（k）=（a（n+2）+a（n）-1）/2。请参见A008937号.
Sum_{k=0..n}k*a（k）=（（n-1）*a（n+2）-a（n+1）+n*a（n）+1）/2。请参见A337282型.（结束）
对于n>1，a（n）=b（n），其中b（1）=1，然后b（n）=和{k=1..n-1}b（n-k）*A000931号（k+2）-康拉德2022年11月24日
Sum_{k=0..n}k^2*a（k）=（（n^2-4*n+6）*a（n+1）-（2*n^2-2*n+5）*a（n）+（n^2-2*n+3）*a（n-1）-3）/2-Prabha Sivaramannair公司2024年2月10日
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例子
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G.f.=x ^2+x ^3+2*x ^4+4*x ^5+7*x ^6+13*x ^7+24*x ^8+44*x ^9+81*x ^10+。。。
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枫木
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a： =n->（<<0|1|0>，<0|0|1>，<1|1>>^n）[1，3]：
#第二个Maple项目：
A000073号：=proc（n）选项记住；如果n<=1，则0 elif n=2，则1 else进程名（n-1）+进程名（n-2）+进程名称（n-3）；fi；结束#N.J.A.斯隆，2018年8月6日
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数学
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系数列表[级数[x^2/（1-x-x^2-x^3），{x，0，50}]，x]
a[0]=a[1]=0；a[2]=1；a[n]：=a[n]=a[n-1]+a[n-2]+a[n-3]；数组[a，36，0](*罗伯特·威尔逊v2010年11月7日*）
a[n_]：=级数系数[如果[n<0，x/（1+x+x^2-x^3），x^2/（1-x-x^2-x ^3）]，{x，0，Abs@n}](*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*）
表[-RootSum[-1-#-#^2+#^3&，-#^n-9#^（n+1）+4#^，（n+2）&]/22，{n，0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年11月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=polceoff（如果（n<0，x/（1+x+x^2-x^3），x^2/（1-x-x^2-x^3））+x*O（x^abs（n）），abs（n））}/*迈克尔·索莫斯2007年9月3日*/
（PARI）x='x+O（'x^99）；concat（[0,0]，Vec（x^2/（1-x-x^2-x^3））\\阿尔图·阿尔坎2016年4月4日
（极大值）a（n）：=和（和（如果mod（4*k-i，3）>0，则0，否则为二项式（k，（4*k-i）/3）*（-1）^（i-k）/3）*binominal（n-i+k-1，k-1），i，k，n），k，1，n）\\弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月18日
（哈斯克尔）
a000073 n=a000073_列表！！n个
a000073_list=0:0:1:zip带（+）a000073_list（尾部
（zipWith（+）a000073_list$tail a000073-list））
（Python）
定义a（n，adict={0:0，1:0，2:1}）：
如果根中有n：
返回adict[n]
adict[n]=a（n-1）+a（n-2）+a（n-3）
从functools导入缓存
@高速缓存
如果n<=1：返回0
如果n==2：返回1
（Magma）[n le 3选择Floor（n/3）else Self（n-1）+Self//文森佐·利班迪2016年1月29日
（间隙）a:=[0,0,1]；；对于[4..40]中的n，做a[n]：=a[n-1]+a[n-2]+a[n-3]；od；a#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月24日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000045号,A000078号,A000213号,A000931号,A001590号（第一个差异，也是a（n）+a（n+1）），A001644号,A008288号（tribonacci三角形），A008937号（部分金额），A021913号,A027024号,A027083号,A027084美元,A046738号（皮萨诺时期），A050231号,A054668号,A062544号,A063401号,A077902号,A081172号,A089068号,A118390型,A145027型,A153462号,A230216型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A059259号
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| 按行读取三角形，给出x ^i y^j的系数T（i，j），单位为1/（1-x-x*y-y^2）=1/（（1+y）（1-x-y）），其中（i，j）=（0,0），（1,0）。。。 |
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+10
26
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1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 1, 3, 4, 2, 1, 1, 4, 7, 6, 3, 0, 1, 5, 11, 13, 9, 3, 1, 1, 6, 16, 24, 22, 12, 4, 0, 1, 7, 22, 40, 46, 34, 16, 4, 1, 1, 8, 29, 62, 86, 80, 50, 20, 5, 0, 1, 9, 37, 91, 148, 166, 130, 70, 25, 5, 1, 1, 10, 46, 128, 239, 314, 296, 200
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 8
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评论
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这个序列提供了递归a（n）=a（n-1）+k*（k+1）*a（n-2），a（0）=a。解是（1，1，k^2+k+1，2*k^2+2*k+1，…），其系数可以从三角形的行中读取。三角形的行和由k=1给出。这些是雅各布斯塔尔数，A001045号。作为一个方形数组来看，它的第一行是（1,0,1,0,1，…），例如，f.cosh（x），g.f.1/（1-x^2），随后的行是由1/（（1-x）^n*（1-x*2））给出的连续部分和-保罗·巴里2003年3月17日
T（n，k）是使用k（1,1）-栅栏平铺和n-k正方形的（一维）板的n-平铺数。（1，1）-栅栏是由两块宽度为1的瓷砖组成的，两块瓷砖之间有一个宽度1的间隙-迈克尔·艾伦2020年6月25日
参见Edwards-Allen 2020年论文第14页，以获取英国人猜想的证据-迈克尔·德弗利格2020年12月10日
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链接
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Joseph Briggs、Alex Parker、Coy Schwieder和Chris Wells，青蛙、帽子和常见子序列，arXiv:2404.07285[math.CO]，2024。见第28页。
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配方奶粉
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G.f.：1/（1-x-x*y-y^2）。
作为反对偶读取的一个方阵，这是T（n，k）=Sum_{i=0..n}（-1）^（n-i）*C（i+k，k）-保罗·巴里2003年7月1日
T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-2，k-1）+T-菲利普·德尔汉姆2013年11月24日
T（n，0）=1，T（n，n）=（1+（-1）^n）/2，并且T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-1，k-1），对于0＜k＜n-马修·恩格兰德2014年5月24日
如果n>=k>0，T（n，k）+T（n-1，k-1）=二项式（n，k）。
T（2*n-1,2*n-2）=T（2*n，2*n-1）=n，T（2*.n，2*n-2）=n^2，当n>0时，T（2*n+1,2*n-1）=n*（n+1）。
对于n>1，T（n，2）=二项式（n-2,2）+n-1；对于n>2，T（n,3）=二项式（n-3,3）+2*二项式。
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例子
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三角形开始：
1;
1, 0;
1, 1, 1;
1, 2, 2, 0;
1, 3, 4, 2, 1;
1, 4, 7, 6, 3, 0;
1, 5, 11, 13, 9, 3, 1;
1, 6, 16, 24, 22, 12, 4, 0;
1, 7, 22, 40, 46, 34, 16, 4, 1;
1, 8, 29, 62, 86, 80, 50, 20, 5, 0;
1, 9, 37, 91, 148, 166, 130, 70, 25, 5, 1;
1, 10, 46, 128, 239, 314, 296, 200, 95, 30, 6, 0;
...
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枫木
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读取转换；1/（1-x-x*y-y^2）；系列2（%，x，y，12）；第二系列策略（%，x，y，12）；
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数学
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T[n_，0]：=1；T[n_，n_]：=（1+（-1）^n）/2；T[n_，k_]：=T[n，k]=T[n-1，k]+T[n-1，k-1]；表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2017年1月3日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
@缓存函数
定义前缀（n，k）：
如果k==n：返回（-1）^n
如果k==0：返回0
返回prec（n-1，k-1）-sum（prec（n，k+i-1）for i in（2..n-k+1））
返回[（-1）^（n-k+1）*prec（n+1，k）for k in（1..n）]
（PARI）{T（n，k）=if（k==0，1，if（k==n，（1+（-1）^n）/2，T（n-1，k）+T（n-1，k-1））}；
对于（n=0，10，对于（k=0，n，打印1（T（n，k），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2019年4月29日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A123521号
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| 按行读取的三角形：T（n，k）=具有k块1X2瓷砖（水平位置）和2n-2k块1X1瓷砖（0<=k<=n）的2Xn网格的瓷砖数。 |
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+10
13
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1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 6, 11, 6, 1, 1, 8, 22, 24, 9, 1, 10, 37, 62, 46, 12, 1, 1, 12, 56, 128, 148, 80, 16, 1, 14, 79, 230, 367, 314, 130, 20, 1, 1, 16, 106, 376, 771, 920, 610, 200, 25, 1, 18, 137, 574, 1444, 2232, 2083, 1106, 295, 30, 1, 1, 20, 172, 832, 2486, 4744, 5776, 4352, 1897, 420, 36
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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还有斐波那契多项式的平方系数的三角形。第n行有1+2*层（n/2）术语。第n行中的项之和=（斐波那契（n+1））^2(A007598号).
T（n，k）是n块板（尺寸为n X 1的板）使用k（1/2，1/2）-栅栏瓷砖和2*（n-k）半正方形（1/2 X 1块，始终放置在较短的边水平的位置）的瓷砖数量。（1/2，1/2）-栅栏是由两块1/2 X 1的瓷砖组成，由1/2宽的间隙隔开。
T（n，k）是（1/（1-x^2），x/（1-x）^2）Riordan数组的第（n，（n-k））个条目。
（-1）^（n+k）*T（n，k）是（1/（1-x^2），x/（1+x）^2）Riordan数组的第（n，（n-k））项(A158454号). （结束）
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参考文献
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Kenneth Edwards，Michael A.Allen，《斐波那契数平方的新组合解释》，第二部分，斐波那奇。问，58:2（2020），169-177。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：G=（1-t*z）/（（1+t*z）*（1-z-2*t*z+t^2*z^2））。G=1/（1-G），其中G=z+t^2*z^2+2*t*z^2/（1-t*z）是不可分解平铺的G.f.，即那些不能垂直拆分为较小平铺的平铺。行生成多项式为P（n）=（斐波那契（n））^2。它们满足递推关系P（n）=（1+t）*（P（n-1）+t*P（n-2））-t^3*P（n-3）。
T（n，k）=T（n-2，k-2）+二项式（2*n-k-1，2*n-2*k-1）-迈克尔·艾伦2020年6月24日
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例子
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T（3,1）=4，因为1 X 2瓷砖可以放置在2 X 3栅格的四个角中的任何一个。
不规则三角形的开头为：
1;
1;
1, 2, 1;
1, 4, 4;
1, 6, 11, 6, 1;
1, 8, 22, 24, 9;
1, 10, 37, 62, 46, 12, 1;
1, 12, 56, 128, 148, 80, 16;
1, 14, 79, 230, 367, 314, 130, 20, 1;
1, 16, 106, 376, 771, 920, 610, 200, 25;
1, 18, 137, 574, 1444, 2232, 2083, 1106, 295, 30, 1;
1, 20, 172, 832, 2486, 4744, 5776, 4352, 1897, 420, 36;
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枫木
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G： =（1-t*z）/（1+t*z以三角形形式生成序列
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数学
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块[{T}，T[0，0]=T[1，0]=1；T[n_，k_]：=其中[k==0，1，k==1，2（n-1），真，T[n-2，k-2]+二项式[2n-k-1，2n-2k-1]]；表[T[n，k]，{n，0，14}，{k，0，2层[n/2]}]//扁平(*迈克尔·德弗利格2020年6月24日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）
如果k等于0，则返回1；
elif k eq 1然后返回2*（n-1）；
else返回A123521号（n-2，k-2）+二项式（2*n-k-1，2*n-2*k-1）；
端函数；
（SageMath）
@缓存函数
如果（k==0）：返回1
elif（k==1）：返回2*（n-1）
else：返回T（n-2，k-2）+二项式（2*n-k-1，2*n-2*k-1）
压扁（[[T（n，k）代表k in（0..2*（n//2））]代表n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔2022年9月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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经核准的
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A335964型
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| 按行读取三角形，T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-3，k-1）+T。 |
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1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 3, 2, 0, 0, 0, 1, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 1, 5, 7, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 11, 6, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 7, 16, 13, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 8, 22, 24, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 9, 29, 40, 22, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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T（n，k）是使用k（1,1）-栅栏瓷砖和n-2k方形瓷砖的n块板（尺寸为n X 1的板）的瓷砖数量。（w，g）-栅栏瓷砖由两块宽度为w的瓷砖组成，由宽度为g的间隙隔开。
T（2*j+r，k）是（f（j，x））^（2-r）*（f（j+1，x））^r中的x^k的系数，其中f（n，x）是由f（n+1，x）=f（n，x）+x*f（n-1，x）定义的斐波那契多项式的一种形式，其中f（0，x）=1，f（n<0，x）=0-迈克尔·艾伦2021年10月2日
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链接
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配方奶粉
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G.f.：1/（（1+x^2*y）（1-x-x^2*y）），即T（n，k）是G.f展开式中x^n*y^k的系数。
T（n，0）=1。
当n>1时，T（n，1）=n-2。
对于n>3，T（n，2）=二项式（n-4,2）+n-3。
T（n，3）=二项式（n-6,3）+2*二项式（n-5,2），对于n>5。
当m>0时，T（4*m-3,2*m-2）=T（4*m-1,2*m-1）=m。
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例子
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三角形开始：
1;
1, 0;
1, 0, 0;
1, 1, 0, 0;
1, 2, 1, 0, 0;
1, 3, 2, 0, 0, 0;
1, 4, 4, 0, 0, 0, 0;
1, 5, 7, 2, 0, 0, 0, 0;
1, 6, 11, 6, 1, 0, 0, 0, 0;
1, 7, 16, 13, 3, 0, 0, 0, 0, 0;
1, 8, 22, 24, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0;
1, 9, 29, 40, 22, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0;
...
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数学
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T[n，k_]：=如果[n<k | | k<0，0，T[n-1，k]+T[n-3，k-1]+T[n-4，k-2]+KroneckerDelta[n，k，0]]；扁平[表[T[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]]
（*或通过g.f.:*）
压扁[表[系数列表[系列[1/（（1+x^2*y）（1-x-x^2*y）），{x，0，23}，{y，0，11}]，{x，y}][[n+1，k+1]]，{n，0，11}，}，0，n}]]
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黄体脂酮素
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（PARI）TT（n，k）=如果（n<k，0，if（（n==0）||（k==0），1，如果（k==n，（1+（-1）^n）/2，TT（n-1，k）+TT（n-1，k-1））\\A059259号
T（n，k）=TT（n-k，k）；
\\矩阵（7，7，n，k，T（n-1，k-1））\\米歇尔·马库斯2020年7月18日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A350110型
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| 按行读取三角形，T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-1，k-1）-T（n-2，k-1。 |
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1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 3, 5, 4, 0, 0, 1, 4, 8, 8, 4, 2, 1, 1, 5, 12, 16, 13, 9, 3, 0, 1, 6, 17, 28, 30, 22, 9, 0, 0, 1, 7, 23, 45, 58, 51, 27, 9, 3, 1, 1, 8, 30, 68, 103, 108, 78, 40, 18, 4, 0, 1, 9, 38, 98, 171, 211, 187, 123, 58, 16, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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它也是双参数三角形族的m=3，t=2成员，因此t（n，k）是使用k（1，m-1；t）-梳和n-k单位方形瓷砖的（n+（t-1）*k）X1板的瓷砖数。（1，g；t）梳由一行t个单位的方形瓷砖组成，这些瓷砖通过宽度为g的间隙彼此隔开-迈克尔·艾伦2021年12月27日
T（3*j+r-k，k）是r=0,1,2时x^k在（f（j，x））^（3-r）*（f（j+1,x））*r中的系数，其中f（n，x）是由f（n+1，x）=f（n、x）+x*f（n-1，x）定义的斐波那契多项式的一种形式，f（0，x）=1，f（n<0，x）=0。
T（n+3-k，k）是大小为k的{1,2，…，n}的子集的数目，使得子集中的两个元素相差3。
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链接
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配方奶粉
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T（n，0）=1。
T（n，n）=德尔塔（n mod 3,0）。
当n>1时，T（n，1）=n-2。
对于j>0，p=1,2，且r=1，…，T（3*j-r，3*j-p）=0，。。。，第页。
T（3*（j-1）+p，3*（j-1））=T（3*j，3*j-p）=j^p，对于j>0和p=0,1,2,3。
当j>0时，T（3*j+1,3*j-1）=3*j（j+1）/2。
当j>1时，T（3*j+2,3*j-2）=3*（C（j+2.4）+C（j+1,2）^2）。
行总和的G.f:（1-x）/（（1-2*x）*（1+x^2-x^3））。
反对角线和的G.f.：（1-x^2）/（（1-x-x2）*（1+x^3-x^6））。
T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-1，k-1），对于n>=2*k+1，如果k>=0。
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例子
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三角形开始：
1;
1, 0;
1, 0, 0;
1, 1, 1, 1;
1, 2, 3, 2, 0;
1, 3, 5, 4, 0, 0;
1, 4, 8, 8, 4, 2, 1;
1, 5, 12, 16, 13, 9, 3, 0;
1, 6, 17, 28, 30, 22, 9, 0, 0;
1, 7, 23, 45, 58, 51, 27, 9, 3, 1;
1, 8, 30, 68, 103, 108, 78, 40, 18, 4, 0;
1, 9, 38, 98, 171, 211, 187, 123, 58, 16, 0, 0;
1, 10, 47, 136, 269, 382, 399, 310, 176, 64, 16, 4, 1;
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数学
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T[n_，k_]：=如果[k<0||n<k，0，T[n-1，k]+T[n-1，k-1]-T[n-2，k-1]+T[n 3，k 1]+T[n-3，k 2]+T[n3，k 3]-T[n 4，k 3]-T[n-4，k 4]+KroneckerDelta[n，k，0]；扁平[表[T[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]]
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A350111型
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是使用k（1,3）-栅栏和n-k正方形的（n+k）-板的平铺数。 |
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+10
7
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1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 2, 0, 1, 3, 6, 7, 4, 0, 0, 1, 4, 9, 12, 8, 0, 0, 0, 1, 5, 13, 20, 16, 8, 4, 2, 1, 1, 6, 18, 32, 36, 28, 19, 12, 3, 0, 1, 7, 24, 50, 69, 69, 58, 31, 9, 0, 0, 1, 8, 31, 74, 120, 144, 127, 78, 27, 0, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,17
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评论
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它也是双参数三角形族的m=4，t=2成员，因此t（n，k）是使用k（1，m-1；t）-梳和n-k单位方形瓷砖的（n+（t-1）*k）X1板的瓷砖数。（1，g；t）梳由一行t个单位的方形瓷砖组成，这些瓷砖通过宽度为g的间隙彼此隔开。
T（4*j+r-k，k）是r=0,1,2,3时x^k在（f（j，x））^（4-r）*（f（j+1，x。
T（n+4-k，k）是大小为k的{1,2，…，n}的子集的数目，使得子集中的两个元素相差4。
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-2，k-1）-T（n-3，k-1，k-7）-T（n-8，k-8）+δ（n，0）*δ（k，0）-δ。
T（n，0）=1。
T（n，n）=德尔塔（n mod 4,0）。
当n>2时，T（n，1）=n-3。
对于j>0，p=1,2,3，且r=1，…，T（4*j-r，4*j-p）=0，。。。，第页。
T（4*（j-1）+p，4*（j-1））=T（4*j，4*j-p）=j^p，对于j>0和p=0,1,2,3,4。
当j>0时，T（4*j+1,4*j-1）=4*j（j+1）/2。
当j>1时，T（4*j+2,4*j-2）=4*C（j+2,4）+6*C（j+1,2）^2。
行总和的G.f:（1-x-x^3）/（（1-2*x）*（1-x^2）*（1+2*x^2+x^3+x^4））。
反对角线和的G.f:（1-x^2-x^3+x^4-x^6）/（（1-x-x^2）*（1-x*4）*（1+3*x^4+x^8））。
T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-1，k-1），对于n>=3*k+1，如果k>=0。
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例子
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三角形开始：
1;
1, 0;
1, 0, 0;
1, 0, 0, 0;
1, 1, 1, 1, 1;
1, 2, 3, 4, 2, 0;
1, 3, 6, 7, 4, 0, 0;
1, 4, 9, 12, 8, 0, 0, 0;
1, 5, 13, 20, 16, 8, 4, 2, 1;
1, 6, 18, 32, 36, 28, 19, 12, 3, 0;
1, 7, 24, 50, 69, 69, 58, 31, 9, 0, 0;
1, 8, 31, 74, 120, 144, 127, 78, 27, 0, 0, 0;
1, 9, 39, 105, 195, 264, 265, 189, 81, 27, 9, 3, 1;
1, 10, 48, 144, 300, 458, 522, 432, 270, 132, 58, 24, 4, 0;
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|
数学
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f[n_]：=如果[n<0，0，f[n-1]+x*f[n-2]+KroneckerDelta[n，0]]；
T[n_，k_]：=模块[{j=楼层[（n+k）/4]，r=Mod[n+k，4]}，
系数[f[j]^（4-r）*f[j+1]^r，x，k]]；
扁平@桌子[T[n，k]，{n，0，13}，{k，0，n}]
（*或*）
T[n_，k]：=如果[k<0||n<k，0，T[n-1，k]+T[n-2，k-1]-T[n-3，k-1]+T[n-3，k-2]+T[n-4，k-1]+T[n-4，k-3]+2*T[n-4，k-4]+T[n-5，k-2]+2*T[n-5，k-3]-T[n-5，k-4]-T[n-6，k-3]-T[n-6，k-5]-T[n-7，k-4]-T[n-7，k-5]-T[n-7，k-6]-T[n-8，k-7]-T[n-8，k-8]+克罗内克德尔塔[n，k，0]-克罗内克德尔塔[n，2]*克罗内克德尔塔[k，1]-KroneckerDelta[n，3]*Kronecker Delta[k，2]-KronenckerDelta[n，k，4]；扁平@桌子[T[n，k]，{n，0，9}，{k，0，n}]
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A350112
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是使用k（1,4）-栅栏和n-k正方形的（n+k）-板的平铺数。 |
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+10
7
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1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 0, 1, 3, 6, 10, 9, 4, 0, 0, 1, 4, 10, 16, 16, 8, 0, 0, 0, 1, 5, 14, 25, 28, 16, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 19, 38, 48, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1, 7, 25, 56, 80, 80, 60, 40, 25, 15, 3, 0, 1, 8, 32, 80, 136, 166, 157, 128, 95, 40, 9, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,23
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评论
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它也是双参数三角形族的m=5，t=2成员，因此t（n，k）是使用k（1，m-1；t）-梳和n-k单位方形瓷砖的（n+（t-1）*k）X1板的瓷砖数。（1，g；t）梳由一行t个单位的方形瓷砖组成，这些瓷砖通过宽度为g的间隙彼此隔开。
T（5*j+r-k，k）是x^k在（f（j，x））^（5-r）*（f（j+1，x）。
T（n+5-k，k）是大小为k的{1,2，…，n}的子集的数目，使得子集中的两个元素相差5。
（5j+r）-次反对角线之和（将初始1计算为0）为f（j）^（5-r）*f（j+1）^ r，其中j=0,1，。。。，r=0,1,2,3,4，f（n）是斐波那契数A000045号（n+1）。
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链接
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配方奶粉
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T（n，0）=1。
T（n，n）=增量（n mod 5,0）。
对于n>3，T（n，1）=n-4。
当j>0，p=1,2,3,4，且r=1，…，时，T（5*j-r，5*j-p）=0，。。。，第页。
T（5*（j-1）+p，5*（j-1））=T（5*j，5*j-p）=j^p，对于j>0和p=0.1，。。。，5
当j>0时，T（5*j+1,5*j-1）=5*j（j+1）/2。
当j>1时，T（5*j+2,5*j-2）=5*C（j+2,4）+10*C（j+1,2）^2。
如果k>=0，则对于n>=4*k+1，T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-1，k-1）。
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例子
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三角形开始：
1;
1, 0;
1, 0, 0;
1, 0, 0, 0;
1, 0, 0, 0, 0;
1, 1, 1, 1, 1, 1;
1, 2, 3, 4, 5, 2, 0;
1, 3, 6, 10, 9, 4, 0, 0;
1, 4, 10, 16, 16, 8, 0, 0, 0;
1, 5, 14, 25, 28, 16, 0, 0, 0, 0;
1, 6, 19, 38, 48, 32, 16, 8, 4, 2, 1;
1, 7, 25, 56, 80, 80, 60, 40, 25, 15, 3, 0;
1, 8, 32, 80, 136, 166, 157, 128, 95, 40, 9, 0, 0;
1, 9, 40, 112, 217, 309, 346, 330, 223, 105, 27, 0, 0, 0;
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数学
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f[n_]：=如果[n<0，0，f[n-1]+x*f[n-2]+KroneckerDelta[n，0]]；
T[n_，k_]：=模块[{j=楼层[（n+k）/5]，r=Mod[n+k，5]}，
系数[f[j]^（5-r）*f[j+1]^r，x，k]]；
扁平@桌子[T[n，k]，{n，0，13}，{k，0，n}]
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状态
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经核准的
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54665美元
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| 按行读取三角形，T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-1，k-1）-T（n-2，k-1。 |
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1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 4, 0, 1, 1, 3, 6, 3, 3, 0, 1, 4, 9, 8, 9, 0, 1, 1, 5, 13, 17, 18, 6, 4, 0, 1, 6, 18, 30, 36, 20, 16, 0, 1, 1, 7, 24, 48, 66, 55, 40, 10, 5, 0, 1, 8, 31, 72, 114, 120, 100, 40, 25, 0, 1, 1, 9, 39, 103, 186
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这是一个双参数三角形族的m=2，t=3成员，使得t（n，k）是使用k（1，m-1；t）-梳和n-k单位正方形瓷砖的（n+（t-1）*k）X1板的瓷砖数量。（1，g；t）梳由一行t个单位的方形瓷砖组成，这些瓷砖通过宽度为g的间隙彼此隔开。
T（2*j+r-2*k，k）是r=0,1的x^k in（f（j，x））^（2-r）*（f（j+1，x），^r的系数，其中f（n，x）是由f（n、x）=f（n-1，x）+x*f（n-3，x）+delta（n，0）定义的Narayana奶牛多项式，其中，f（n<0，x）=0。
T（n+4-2*k，k）是大小为k的{1,2，…，n}的子集的数目，使得子集中的两个元素相差2或4。
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链接
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配方奶粉
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T（n，0）=1。
T（n，n）=增量（n mod 2,0）。
当n>1时，T（n，1）=n-2。
当j>0时，T（2*j-r，2*j-1）=0，r=0.1。
当j>0且p=0.1,2时，T（2*（j-1）+p，2*（j-1））=j^p。
当j>0时，T（2*（j-1）+3,2*（j-1））=j^2*（j+1）/2。
当j>0且p=0.1,2时，T（2*j+p，2*j-p）=C（j+1,2）^p。
行总和的G.f:（1-x）/（1-2*x）。
T（n-2*k，k）除以k的和的G.f:（1-x^3）/（（1-x-x^2）*（1+x^4-x^6））。
T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-1，k-1），如果n>=2*k+1，如果k>=0。
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例子
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三角形开始：
1;
1, 0;
1, 0, 1;
1, 1, 2, 0;
1, 2, 4, 0, 1;
1, 3, 6, 3, 3, 0;
1, 4, 9, 8, 9, 0, 1;
1, 5, 13, 17, 18, 6, 4, 0;
1, 6, 18, 30, 36, 20, 16, 0, 1;
1, 7, 24, 48, 66, 55, 40, 10, 5, 0;
1, 8, 31, 72, 114, 120, 100, 40, 25, 0, 1;
1, 9, 39, 103, 186, 234, 221, 135, 75, 15, 6, 0;
...
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数学
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T[n_，k_]：=如果[k<0||n<k，0，T[n-1，k]+T[n-2，k-1]+T[2，k-2]+T[n-3，k-1]-T[n-3，k-3]+KroneckerDelta[n，k，0]-Kronecker Delta[n-，k，1]]；表[T[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]//展平
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交叉参考
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经核准的
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A354666型
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| 按行读取三角形，T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-2，k-1）+2*T（n-2，k-2）-T（n-3，k-1=0。 |
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1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 4, 0, 1, 1, 2, 6, 0, 3, 0, 1, 3, 9, 4, 9, 0, 1, 1, 4, 12, 10, 18, 0, 4, 0, 1, 5, 16, 21, 36, 10, 16, 0, 1, 1, 6, 21, 36, 60, 30, 40, 0, 5, 0, 1, 7, 27, 57, 100, 81, 100, 20, 25, 0, 1, 1, 8, 34, 84, 158, 168
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这是一个双参数三角形族的m=2，t=4成员，使得t（n，k）是使用k（1，m-1；t）-梳和n-k单位正方形瓷砖的（n+（t-1）*k）X1板的瓷砖数。（1，g；t）梳由一行t个单位的正方形瓦片组成，这些瓦片通过宽度为g的间隙彼此隔开。
T（2*j+r-3*k，k）是r=0,1时x^k在（f（j，x））^（2-r）*（f（j+1，x），^r中的系数，其中f（n，x）是由f（n、x）=f（n-1，x）+x*f（n-4，x）+delta（n，0）定义的（1,4）-bonachi多项式，其中，f（n<0，x）=0。
T（n+6-3*k，k）是大小为k的{1,2，…，n}的子集的数目，使得子集中的两个元素相差2，4或6。
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链接
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配方奶粉
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T（n，0）=1。
T（n，n）=增量（n mod 2,0）。
当n>2时，T（n，1）=n-3。
当j>0时，T（2*j-r，2*j-1）=0，r=-1,0,1。
当j>0且p=0.1,2时，T（2*（j-1）+p，2*（j-1））=j^p。
当j>0且p=1,2时，T（2*j+p，2*（j-1））=j^2*（（j+1）/2）^p。
T（2*j+3.2*（j-1））=（j*（j+1））^2*（j+2）/12，对于j>0。
当j>0且p=0.1,2时，T（2*（j+p），2*j-p）=C（j+2,3）^p。
行总和的G.f:（1-2*x^2）/（1-x-3*x^2+2*x^3）。
T（n-3*k，k）除以k的和的G.f:（1-x^5-x^8）/（1-x-x^5+x^6-x^7-2*x^8+x^9-x^10+x^13+x^16）。
T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-1，k-1），对于n>=3*k+1，如果k>=0。
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例子
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三角形开始：
1;
1, 0;
1, 0, 1;
1, 0, 2, 0;
1, 1, 4, 0, 1;
1, 2, 6, 0, 3, 0;
1, 3, 9, 4, 9, 0, 1;
1, 4, 12, 10, 18, 0, 4, 0;
1, 5, 16, 21, 36, 10, 16, 0, 1;
1, 6, 21, 36, 60, 30, 40, 0, 5, 0;
1, 7, 27, 57, 100, 81, 100, 20, 25, 0, 1;
1, 8, 34, 84, 158, 168, 200, 70, 75, 0, 6, 0;
1, 9, 42, 118, 243, 322, 400, 231, 225, 35, 36, 0, 1;
...
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数学
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T[n_，k_]：=如果[k<0|n<k，0，T[n-1，k]+T[n-2，k-1]+2*T[n-2，k-2]-T[n-3，k-1]-T[n-3，k-2]+T[n 4，k 1]+T[n-4，k-2]-T[n-4，k 3]-T[n 4；表[T[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]//表格
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交叉参考
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作者
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经核准的
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A354667型
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是使用k（1,1；5）-梳和n-k正方形的（n+4*k）X1板的平铺数。 |
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1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 1, 1, 6, 0, 3, 0, 1, 2, 9, 0, 9, 0, 1, 1, 3, 12, 5, 18, 0, 4, 0, 1, 4, 16, 12, 36, 0, 16, 0, 1, 1, 5, 20, 25, 60, 15, 40, 0, 5, 0, 1, 6, 25, 42, 100, 42, 100, 0, 25, 0, 1, 1, 7, 31, 66, 150, 112, 200
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,9
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评论
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这是一个双参数三角形族的m=2，t=5成员，使得t（n，k）是使用k（1，m-1；t）-梳和n-k单位正方形瓷砖的（n+（t-1）*k）X1板的瓷砖数量。（1，g；t）梳由一行t个单位的正方形瓦片组成，这些瓦片通过宽度为g的间隙彼此隔开。
T（2*j+r-4*k，k）是r=0,1时x^k在（f（j，x））^（2-r）*（f（j+1，x），^r中的系数，其中f（n，x）是由f（n、x）=f（n-1，x）+x*f（n-5，x）+delta（n，0）定义的（1,5）-bonachi多项式，其中，f（n<0，x）=0。
T（n+8-4*k，k）是大小为k的{1,2，…，n}的子集的数目，使得子集中的两个元素相差2，4，6或8。
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配方奶粉
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T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-1，k-1）-T（n-2，k-1 0）-δ（n，1）*δ（k，1）-δ。
T（n，0）=1。
T（n，n）=增量（n mod 2,0）。
当n>3时，T（n，1）=n-4。
当j>0时，T（2*j+r，2*j-1）=0，r=-1,0,1,2。
T（n，2*j）=C（n/2，j）^2，对于j>0和n偶数以及2*j<=n<=2*j+8。
对于j>0和n奇数以及2*j<n<2*j+8，T（n，2*j）=C（（n-1）/2，j）*C（（n+1）/2，j）。
当j>0且p=0.1,2时，T（2*j+3*p，2*j-p）=C（j+3,4）^p。
行总和的G.f:（1-x-x^2）/（1-2*x-x^2+2*x^3）。
T（n-4*k，k）除以k的和的G.f:（1-x^5-x^7-x^10+x^15）/（1-x-x^5+x^6-x^7+x^8-x^9-2*x^10+x^11-x^12+2*x^15-x^16+2*x*17+x^20-x^25）。
T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-1，k-1），对于n>=4*k+1，如果k>=0。
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例子
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三角形开始：
1;
1, 0;
1, 0, 1;
1, 0, 2, 0;
1, 0, 4, 0, 1;
1, 1, 6, 0, 3, 0;
1, 2, 9, 0, 9, 0, 1;
1, 3, 12, 5, 18, 0, 4, 0;
1, 4, 16, 12, 36, 0, 16, 0, 1;
1, 5, 20, 25, 60, 15, 40, 0, 5, 0;
1, 6, 25, 42, 100, 42, 100, 0, 25, 0, 1;
1, 7, 31, 66, 150, 112, 200, 35, 75, 0, 6, 0;
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数学
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T[n，k_]：=如果[k<0 | | n<k，0，T[n-1，k]+T[n-1，k-1]-T[n-2，k-1]+2*T[n 2，k-2]+T[n 3，k 1]-T[n-3，k 2]-2*T[n-3，k-3]-T[n 4，k 1]+T[n 4，k-5]+克罗内克三角洲[n，k，0]-克罗内克三角形[n，k，1]-克罗内克三角形[n，k，2]-克罗内克三角洲[n，3]*克罗内克增量[k，1]+克罗内克德尔塔[n，k，3]]；扁平@桌子[T[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]
f[n_]：=如果[n<0，0，f[n-1]+x*f[n-5]+KroneckerDelta[n，0]]；T[n_，k_]：=模块[{j=楼层[（n+4*k）/2]，r=Mod[n+4*k，2]}，系数[f[j]^（2-r）*f[j+1]^r，x，k]]；压扁@桌子[T[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]
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