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第11卷
第10版
10.3390/sym11101195
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第条

Tribonacci数及其相关有趣恒等式

通过
周淑杰（Shujie Zhou）
和
李晨
*
西北大学数学学院，西安710127
*
信件应寄给的作者。
对称 2019,11(10), 1195;https://doi.org/10.3390/sym11101195
收到的提交文件：2019年8月31日/修订日期：2019年9月19日/接受日期：2019年9月20日/发布日期：2019年9月24日
（本文属于特刊长江数学学会第32届大会（ICJMS2019）将在俄罗斯符拉迪沃斯托克远东联邦大学举行)
版本注释

摘要

:
本文的主要目的是利用初等方法和求和过程的对称性，研究与Tribonacci数有关的幂级数的计算问题，并给出这些数的一些有趣的恒等式。
关键词：
Tribonacci数字;三阶线性递归序列;卷积公式;幂级数;身份
MSC公司：
11B39；11B83号

1.简介

对于整数 n个 ≥ 0 斐波那契多项式 F类 n个 ( x个 ) 由定义 F类 0 ( x个 ) = 0 , F类 1 ( x个 ) = 1 和二阶线性递归序列：
F类 n个 + 1 ( x个 ) = x个 F类 n个 ( x个 ) + F类 n个 − 1 ( x个 ) , 对于 全部的 n个 ≥ 1 .
如果我们采取 x个 = 1 ，然后 { F类 n个 ( 1 ) } 成为著名的斐波那契数列。许多专家和学者研究了 F类 n个 ( x个 ) 并取得了一系列有价值的研究成果。例如，马元奎和张文鹏[1]研究了斐波那契多项式的某一乘积和的计算问题，并证明了下面公式中的等式。
让小时是一个正整数。那么，对于任何整数 n个 ≥ 0 ，一个具有身份：
∑ 一 1 + 一 2 + ⋯ + 一 小时 + 1 = n个 F类 一 1 ( x个 ) F类 一 2 ( x个 ) ⋯ F类 一 小时 + 1 ( x个 ) = 1 小时 ! · ∑ j个 = 1 小时 ( − 1 ) 小时 − j个 · S公司 ( 小时 , j个 ) x个 2 小时 − j个 × ∑ 我 = 0 n个 ( n个 − 我 + j个 ) ! ( n个 − 我 ) ! · 2 小时 + 我 − j个 − 1 我 · ( − 1 ) 我 · 2 我 · F类 n个 − 我 + j个 ( x个 ) x个 我 ,
其中，像往常一样，总和被接管 ( 小时 + 1 ) -维度非负整数坐标 ( 一 1 , 一 2 , ⋯ , 一 小时 + 1 ) 这样的话 一 1 + 一 2 + ⋯ + 一 小时 + 1 = n个 、和 S公司 ( 小时 , 我 ) 由定义 S公司 ( 小时 , 0 ) = 0 , S公司 ( 小时 , 小时 ) = 1 、和：
S公司 ( 小时 + 1 , 我 + 1 ) = 2 · ( 2 小时 − 1 − 我 ) · S公司 ( 小时 , 我 + 1 ) + S公司 ( 小时 , 我 )
对于所有正整数 1 ≤ 我 ≤ 小时 − 1 .
Taekyun Kim等人[2]首先介绍了卷积斐波那契数 第页 n个 ( x个 ) ，由生成函数定义：
1 1 − t吨 − t吨 2 x个 = ∑ n个 = 0 ∞ 第页 n个 ( x个 ) · t吨 n个 n个 ! , x个 ∈ R（右） .
然后，他们使用初等和组合方法证明了一系列重要结论，其中之一是以下恒等式：
第页 n个 ( x个 ) = ∑ 我 = 0 n个 n个 我 · 第页 我 ( 第页 ) · 第页 n个 − 我 ( x个 − 第页 ) = ∑ 我 = 0 n个 n个 我 · 第页 n个 − 我 ( 第页 ) · 第页 我 ( x个 − 第页 ) .
陈卓瑜、祁岚[三]使用不同的方法证明身份：
第页 n个 ( x个 ) = 1 2 ∑ 我 = 0 n个 ( − 1 ) 我 n个 我 〈 x个 〉 我 · 〈 x个 〉 n个 − 我 · L（左） n个 − 2 我 ,
哪里 L（左） n个 表示n个卢卡斯数字， 〈 x个 〉 0 = 1 、和：
〈 x个 〉 n个 = x个 ( x个 + 1 ) ( x个 + 2 ) ⋯ ( x个 + n个 − 1 )
对于所有整数 n个 ≥ 1 .
作为一个有趣的推论[三]陈卓瑜和祁兰证明了，对于任何正整数k个，一个具有身份：
∑ 一 1 + 一 2 + 一 三 + ⋯ + 一 k个 = n个 F类 一 1 · F类 一 2 · F类 一 三 ⋯ F类 一 k个 = 1 2 ( ( k个 − 1 ) ! ) 2 ∑ 我 = 0 n个 ( − 1 ) 我 · ( k个 + 我 − 1 ) ! · ( k个 + n个 − 我 − 1 ) ! 我 ! · ( n个 − 我 ) ! · L（左） n个 − 2 我 .
有关数字和多项式线性递归序列的论文包括[4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17]，太多了，无法一一列出。
在本文中，我们考虑Tribonacci数 T型 n个 （请参见([18]，A000073）），由三阶线性递归关系定义：
T型 n个 = T型 n个 − 1 + T型 n个 − 2 + T型 n个 − 三 , n个 ≥ 三 具有 T型 0 = 0 , T型 1 = T型 2 = 1 .
例如 T型 n个 是 T型 0 = 0 , T型 1 = 1 , T型 2 = 1 , T型 三 = 2 , T型 4 = 4 , T型 5 = 7 , T型 6 = 13 , T型 7 = 24 , T型 8 = 44 , T型 9 = 81 , T型 10 = 149 , T型 11 = 274 , ⋯.
生成函数 F类 ( x个 ) 序列的 { T型 n个 } 由以下人员提供：
F类 ( x个 ) = 1 1 − x个 − x个 2 − x个 三 = ∑ n个 = 0 ∞ T型 n个 + 1 · x个 n个 .
让 α , β 和 γ 是方程式的三个根 x个 三 − x个 2 − x个 − 1 = 0 ，然后从引用[19,20]我们有：
α = 19 + 三 33 三 + 19 − 三 33 三 + 1 三 ,
β = 2 − 1 + − 三 19 − 三 33 三 − 1 − − 三 19 + 三 33 三 6
和：
γ = 2 − 1 − − 三 19 − 三 33 三 − 1 + − 三 19 + 三 33 三 6 .
对于任何整数n个, T型 n个 可以表示为Binet型公式（请参见[21]):
T型 n个 = c（c） 1 α n个 + c（c） 2 β n个 + c（c） 三 γ n个 .
然后注意 T型 0 = 0 , T型 1 = T型 2 = 1 ，来自方程式(2)我们有：
c（c） 1 + c（c） 2 + c（c） 三 = 0 , c（c） 1 α + c（c） 2 β + c（c） 三 γ = 1 , c（c） 1 α 2 + c（c） 2 β 2 + c（c） 三 γ 2 = 1 .
很明显，方程(三)暗示：
c（c） 1 = α α − β α − γ = 1 − α 2 + 4 α − 1 , c（c） 2 = β β − α β − γ = 1 − β 2 + 4 β − 1 , c（c） 三 = γ γ − α γ − β = 1 − γ 2 + 4 γ − 1 .
T.Komatsu等人[19,20,22]、E.Kilic[21]研究了Tribonacci数的算术性质，得到了许多有意义的卷积恒等式 T型 n个 .
灵感来自[2,三]，询问任何实数都是很自然的小时，系数的属性是什么 T型 n个 ( 小时 ) 函数的幂级数：
F类 ( 小时 , x个 ) = 1 1 − x个 − x个 2 − x个 三 小时 = ∑ n个 = 0 ∞ T型 n个 ( 小时 ) · x个 n个 ?
此外 T型 n个 ( 小时 ) 和 T型 n个 ?
针对这些问题，本文进行了初步探讨，并证明了以下主要结果：
定理 1
让h表示任何固定实数。那么对于任何整数 n个 ≥ 0 ，以下标识保持不变：
T型 n个 ( 小时 ) = 1 6 ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 三 T型 w个 + 1 − u个 − 2 T型 w个 − u个 − T型 w个 − u个 − 1 × 三 T型 w个 + 1 − v（v） − 2 T型 w个 − v（v） − T型 w个 − v（v） − 1 − 1 6 ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 三 T型 三 w个 + 1 − n个 − 2 T型 三 w个 − n个 − T型 三 w个 − 1 − n个 ,
哪里 ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 表示所有三维非负整数坐标的总和 ( u个 , v（v） , w个 ) 这样的话 u个 + v（v） + w个 = n个 、和 〈 小时 〉 0 = 1 :
〈 小时 〉 n个 = 小时 ( 小时 + 1 ) ( 小时 + 2 ) ⋯ ( 小时 + n个 − 1 )
对于所有正整数n。
请注意 T型 n个 ( 1 ) = T型 n个 + 1 和 〈 1 〉 n个 n个 ! = 1 ; 根据这个定理，我们可以立即推断出以下三个推论：
推论 1
对于任何正整数n，以下恒等式为真：
T型 n个 + 1 = 1 6 ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 三 T型 w个 + 1 − u个 − 2 T型 w个 − u个 − T型 w个 − u个 − 1 · 三 T型 w个 + 1 − v（v） − 2 T型 w个 − v（v） − T型 w个 − v（v） − 1 − 1 6 ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 三 T型 三 w个 + 1 − n个 − 2 T型 三 w个 − n个 − T型 三 w个 − 1 − n个 .
推论 2
对于任何正整数h和n，以下恒等式成立：
T型 n个 ( 小时 ) = ∑ 一 1 + 一 2 + ⋯ + 一 小时 = n个 T型 一 1 + 1 · T型 一 2 + 1 ⋯ T型 一 小时 + 1 = 1 6 ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 三 T型 w个 + 1 − u个 − 2 T型 w个 − u个 − T型 w个 − u个 − 1 × 三 T型 w个 + 1 − v（v） − 2 T型 w个 − v（v） − T型 w个 − v（v） − 1 − 1 6 ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 三 T型 三 w个 + 1 − n个 − 2 T型 三 w个 − n个 − T型 三 w个 − 1 − n个 .
推论 3
对于任何正整数n，以下恒等式成立：
T型 n个 1 2 = 1 6 · 4 n个 ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 ( 2 u个 ) ! ( u个 ! ) 2 ( 2 v（v） ) ! ( v（v） ! ) 2 ( 2 w个 ) ! ( w个 ! ) 2 三 T型 w个 + 1 − u个 − 2 T型 w个 − u个 − T型 w个 − u个 − 1 × 三 T型 w个 + 1 − v（v） − 2 T型 w个 − v（v） − T型 w个 − v（v） − 1 − 1 6 · 4 n个 ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 ( 2 u个 ) ! ( u个 ! ) 2 ( 2 v（v） ) ! ( v（v） ! ) 2 ( 2 w个 ) ! ( w个 ! ) 2 三 T型 三 w个 + 1 − n个 − 2 T型 三 w个 − n个 − T型 三 w个 − 1 − n个 .

2.一个简单引理

在本节中，我们给出了定理证明所需的一个简单恒等式。当然，简单的数论和数学分析知识用于证明以下引理。此主题可在中找到[23]，所以没有必要在这里重复。下一个引理包含相关恒等式：
引理 1
设h为固定正数。那么对于任何整数 n个 ≥ 0 ，我们的身份是：
∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 1 α u个 β v（v） γ w个 = 1 6 ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! × 三 T型 w个 + 1 − u个 − 2 T型 w个 − u个 − T型 w个 − u个 − 1 · 三 T型 w个 + 1 − v（v） − 2 T型 w个 − v（v） − T型 w个 − v（v） − 1 − 1 6 ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 三 T型 三 w个 + 1 − n个 − 2 T型 三 w个 − n个 − T型 三 w个 − 1 − n个 .
证明。 
自 α , β 和 γ 是方程的三个根 x个 三 − x个 2 − x个 − 1 = 0 根据方程根和系数之间的关系，我们得到 α · β · γ = 1 。因此，对于任何非负整数 u个 , v（v） 和w个:
α w个 − u个 + β w个 − u个 + γ w个 − u个 α w个 − v（v） + β w个 − v（v） + γ w个 − v（v） = α 2 w个 − u个 − v（v） + β 2 w个 − u个 − v（v） + γ 2 w个 − u个 − v（v） + α w个 − u个 β w个 − v（v） + α w个 − u个 γ w个 − v（v） + β w个 − u个 α w个 − v（v） + β w个 − u个 γ w个 − v（v） + γ w个 − u个 α w个 − v（v） + γ w个 − u个 β w个 − v（v） = α 2 w个 − u个 − v（v） + β 2 w个 − u个 − v（v） + γ 2 w个 − u个 − v（v） + 1 α u个 β v（v） γ w个 + 1 α u个 β w个 γ v（v） + 1 α v（v） β u个 γ w个 + 1 α v（v） β w个 γ u个 + 1 α w个 β u个 γ v（v） + 1 α w个 β v（v） γ u个 .
另一方面，根据方程式(4)我们还有：
c（c） 1 − α 2 + 4 α − 1 = − c（c） 1 α 2 + 4 c（c） 1 α − c（c） 1 = 1 ,
c（c） 2 − β 2 + 4 β − 1 = − c（c） 2 β 2 + 4 c（c） 2 β − c（c） 2 = 1
和：
c（c） 三 − γ 2 + 4 γ − 1 = − c（c） 三 γ 2 + 4 c（c） 三 γ − c（c） 三 = 1 .
所以对于任何整数第页，我们有：
α 第页 = c（c） 1 − α 2 + 4 α − 1 α 第页 = − c（c） 1 α 2 + 第页 + 4 c（c） 1 α 1 + 第页 − c（c） 1 α 第页 ,
β 第页 = c（c） 2 − β 2 + 4 β − 1 β 第页 = − c（c） 2 β 2 + 第页 + 4 c（c） 2 β 1 + 第页 − c（c） 2 β 第页
和：
γ 第页 = c（c） 三 − γ 2 + 4 γ − 1 β 第页 = − c（c） 三 γ 2 + 第页 + 4 c（c） 三 γ 1 + 第页 − c（c） 三 γ 第页 .
根据这些恒等式并结合方程式(2)我们可以立即推断：
α 第页 + β 第页 + γ 第页 = − c（c） 1 α 2 + 第页 + c（c） 2 β 2 + 第页 + c（c） 三 γ 2 + 第页 + 4 c（c） 1 α 1 + 第页 + c（c） 2 β 1 + 第页 + c（c） 三 γ 1 + 第页 − c（c） 1 α 第页 + c（c） 2 β 第页 + c（c） 三 γ 第页 = − T型 2 + 第页 + 4 T型 1 + 第页 − T型 第页 = 三 T型 1 + 第页 − 2 T型 第页 − T型 第页 − 1 .
结合方程式（5）和（6），注意非负整数坐标 ( u个 , v（v） , w个 ) 具有 w个 + v（v） + w个 = n个 对称，我们有：
∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! α w个 − u个 + β w个 − u个 + γ w个 − u个 α w个 − v（v） + β w个 − v（v） + γ w个 − v（v） = ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 三 T型 w个 + 1 − u个 − 2 T型 w个 − u个 − T型 w个 − u个 − 1 × 三 T型 w个 + 1 − v（v） − 2 T型 w个 − v（v） − T型 w个 − v（v） − 1
和：
∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! α w个 − u个 + β w个 − u个 + γ w个 − u个 α w个 − v（v） + β w个 − v（v） + γ w个 − v（v） = ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 三 T型 三 w个 + 1 − n个 − 2 T型 三 w个 − n个 − T型 三 w个 − n个 − 1 + ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 1 α u个 β v（v） γ w个 + 1 α u个 β w个 γ v（v） + 1 α v（v） β u个 γ w个 + ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 1 α v（v） β w个 γ u个 + 1 α w个 β u个 γ v（v） + 1 α w个 β v（v） γ u个 = ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 三 T型 三 w个 + 1 − n个 − 2 T型 三 w个 − n个 − T型 三 w个 − n个 − 1 + 6 ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 1 α u个 β v（v） γ w个 .
现在，引理由方程（7）和（8）导出。 □

3.定理证明

现在我们可以很容易地证明我们的定理了。事实上，对于任何实数小时，并注意到 ( 1 − x个 ) − 小时 ，内容如下：
1 ( 1 − x个 ) 小时 = ∑ n个 = 0 ∞ 〈 小时 〉 n个 n个 ! · x个 n个 , | x个 | < 1
我们有：
F类 ( 小时 , x个 ) = 1 1 − x个 − x个 2 − x个 三 小时 = 1 1 − x个 α 小时 1 − x个 β 小时 1 − x个 γ 小时 = ∑ n个 = 0 ∞ 〈 小时 〉 n个 n个 ! · x个 n个 α n个 ∑ n个 = 0 ∞ 〈 小时 〉 n个 n个 ! · x个 n个 β n个 ∑ n个 = 0 ∞ 〈 小时 〉 n个 n个 ! · x个 n个 γ n个 = ∑ n个 = 0 ∞ ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 1 α u个 β v（v） γ w个 · x个 n个 .
另一方面，我们还拥有：
F类 ( 小时 , x个 ) = ∑ n个 = 0 ∞ T型 n个 ( 小时 ) · x个 n个 .
应用方程（9）和（10）、引理和幂级数展开的唯一性，我们得出：
T型 n个 ( 小时 ) = ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 1 α u个 β v（v） γ w个 = 1 6 ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 三 T型 w个 + 1 − u个 − 2 T型 w个 − u个 − T型 w个 − u个 − 1 × 三 T型 w个 + 1 − v（v） − 2 T型 w个 − v（v） − T型 w个 − v（v） − 1 − 1 6 ∑ u个 + v（v） + w个 = n个 〈 小时 〉 u个 u个 ! 〈 小时 〉 v（v） v（v） ! 〈 小时 〉 w个 w个 ! 三 T型 三 w个 + 1 − n个 − 2 T型 三 w个 − n个 − T型 三 w个 − 1 − n个 .
这就完成了我们定理的证明。

4.结论

本文的主要结果是一个定理和三个推论。该定理在 T型 n个 ( 小时 ) 和 T型 n个 换句话说， T型 n个 ( 小时 ) 可以表示为 T型 n个 三个推论实际上是特定值的简化版本小时在定理中。显然，本文的研究方法也可以作为进一步研究高阶线性递归序列线Tribonacci多项式性质的参考。

作者贡献

所有作者都对这项工作做出了同等贡献。所有作者都阅读并批准了最终的手稿。

基金

这项工作得到了中国国家科学基金会（11771351）和（11826205）的支持。

致谢

作者想感谢裁判们非常有用和详细的评论，这些评论大大改进了本文的表述。

利益冲突

作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。

参考文献

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分享和引用

MDPI和ACS样式

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AMA风格

周S、陈磊。Tribonacci数和一些相关的有趣恒等式。对称. 2019; 11(10):1195.https://doi.org/10.3390/sym11101195

芝加哥/图拉宾风格

周、舒杰和李晨。2019.“Tribonacci数和一些相关有趣的恒等式”对称11，编号10:1195。https://doi.org/10.3390/sym11101195

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