搜索： a001810-编号：a001810
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A002720型
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| n-集的部分置换数；n X n个二进制矩阵的数量，每行和每列最多一个1。
（原名M1795 N0708）
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155
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1, 2, 7, 34, 209, 1546, 13327, 130922, 1441729, 17572114, 234662231, 3405357682, 53334454417, 896324308634, 16083557845279, 306827170866106, 6199668952527617, 132240988644215842, 2968971263911288999, 69974827707903049154, 1727194482044146637521, 44552237162692939114282
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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a（n）也是[1.n]的所有排列的递增子序列的总数（参见Lifschitz和Pittel）-N.J.A.斯隆2012年5月6日
a（n）也是完全二部图K（n，n）中的匹配数沙伦·塞拉（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年5月19日
a（n）也是B_n中避免有符号置换的12个数（参见Simion ref）。
a（n）也是对称逆半群（幺半群）I_n.-a.Umar的阶，2008年9月9日
设B_{n}（x）=Sum_{j>=0}exp（j！/（j-n）*x-1）/j！；那么a（n）=2！[x^2]Taylor（B_{n}（x）），其中[x^2]表示B_{n}（x）的Taylor级数中x^2的系数。
a（n）是完全二部图K{n，n}的Hosoya指数-埃里克·韦斯特因2011年7月9日
a（n）也是n X n板上k辆车的非攻击性位置数，总和k>=0-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年8月28日
另外，n X n rook图中的顶点覆盖数和独立顶点集数-埃里克·韦斯特因2013年1月4日
a（n）是[n]到[n]的子集中的内射函数数，其中[n]={1,2，…，n}。对于大小为k的子集D，有n/（n-k）！从D到[n]的内射函数。对所有子集求和，得到a（n）=Sum_{k=0..n}C（n，k）*n/（n-k）！=Sum_｛k=0..n｝k*C（n，k）^2-丹尼斯·P·沃尔什2015年11月16日
a（n）/n！是乌拉姆“历史相关随机序列”第n项的期望值。见Kac（1989），等式（2）-N.J.A.斯隆2019年11月16日
对于所有n，a（2*n）是奇数，a（2*n+1）是偶数。更一般地说，对于每个正整数k，a（n+k）==a（n）（mod k）对于所有n。因此，对于每个正向整数k，通过减少a（n==0（mod 7），a（11*n+4）==0-彼得·巴拉2022年11月7日
猜想：a（n）*k是所有整数分区中最大部分的和，这些整数分区包含它们与n+1部分和最小部分k的第一个差异-约翰·泰勒·拉斯科2024年2月28日
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参考文献
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霍伊，《半群理论基础》。牛津：克拉伦登出版社（1995）。【摘自A.Umar，2008年9月9日】
J.Ser，Les Calculs Formels des Séries de Factorielles出版社。高瑟·维拉斯（Gauthier-Villars），巴黎，1933年，第78页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
H.S.Wall，连分式分析理论，切尔西1973年，第356页。
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链接
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弗朗西丝卡·艾卡迪（Francesca Aicardi）、迭戈·阿西斯（Diego Arcis）和杰苏斯·朱尤马亚（Jesús Juyumaya），分枝逆与平面幺半群，arXiv:2210.17461[math.RT]，2022年。
T.Banica，量子部分等距的代数结构，arXiv:1411.0577[math.OA]，2014-2015年。
C.Banderier、M.Bousquet-Mélou、A.Denise、P.Flajolet、D.Gardy和D.Gouyou-Beauchamps，生成树的生成函数《离散数学》246（1-3），2002年3月，第29-55页。
D.Borwein、S.Rankin、S.和L.Renner，内射部分变换的枚举，离散数学。（1989），73:291-296。【摘自A.Umar，2008年9月9日】
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第598页。
瓦茨拉夫·科特索维奇，非攻击性棋子2013年第6版，第219页。
V.Lifschitz和P.Pittel，随机置换的递增子序列数J.组合理论系列。A 31（1981），第1、1-20号。MR0626437（84e:05012）
W.D.Munn，对称逆半群的特征，程序。剑桥菲洛斯。《社会分类》第53卷（1957年），第13-18页。【摘自A.Umar，2008年9月9日】
J.Ser，工厂会计1933年，巴黎，戈瑟·维拉斯[当地副本]。
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配方奶粉
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a（n）=和{k=0..n}k*C（n，k）^2。
例如：（1/（1-x））*exp（x/（1-x））-高德纳1995年7月
带递归的D-有限：a（n）=2*n*a（n-1）-（n-1）^2*a（n-2）。
a（n）=和{k=0..n}C（n，k）n/k-保罗·巴里2004年5月7日
a（n）=和{k=0..n}P（n，k）*C（n，k）；a（n）=和{k=0..n}n^2/（k！*（n-k）^2). -罗斯·拉海耶2004年9月20日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*Stirling1（n，k）*Bell（k+1）-弗拉德塔·乔沃维奇2005年3月18日
通过b（0）=1，b（n）=b（n-1）+（1/n）*Sum_{k=0..n-1}定义b（k）。则b（n）=a（n）/n-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2005年9月5日
渐近地，a（n）/n！~（1/2）*Pi^（-1/2）*exp（-1/2+2*n^（1/2））/n^（1/4），所以a（n）~C*BesselI（0，2*sqrt（n））*n！C=exp（-1/2）=0.6065306597126334236…-Alec Mihailovs，2005年9月6日，建立了一个猜想富兰克林·T·亚当斯-沃特斯
a（n）=（n！/e）*和{k>=0}二项式（n+k，n）/k-戈特弗里德·赫尔姆斯2006年11月25日
积分表示为正半轴上正函数的第n个矩（Stieltjes矩问题的解），用Maple表示法：a（n）=int（x^n*BesselI（0,2*sqrt（x））*exp（-x）/exp（1），x=0..无穷大），n=0,1-卡罗尔·彭森和G.H.E.Duchamp（gduchamp2（AT）free.fr），2007年1月9日
a（n）=n！*拉盖尔L[n，-1]。
例如：exp（x）*Sum_{n>=0}x^n/n^2=Sum_{n>=0}a（n）*x^n/n^2. -保罗·D·汉纳2011年11月18日
收敛序列中来自Stieltjes连续分数的分母A073003型，Euler-Compertz常数G:=Integral_{x=0..oo}1/（1+x）*exp（-x）dx：
G=1/（2-1^2/（4-2^2/。参见[墙，第18章，（92.7），a=1]。收敛到连分式的序列开始于[1/2，4/7，20/34，124/209，…]。分子在A002793号.（结束）
一般公式：1=和{n>=0}a（n）*x^n*（1-（n+1）*x）^2-保罗·D·汉纳2012年11月27日
例如：exp（x/（1-x））/（1-x）=g（0）/（1-x），其中g（k）=1+x/（（2*k+1）*（1-x；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月28日
a（n）=和{k=0..n}L（n，k）*（k+1）；L（n，k）无符号Lah数-彼得·卢施尼2014年10月18日
0=a（n）*（-24*a（n+2）+99*a n+3））-迈克尔·索莫斯2018年7月31日
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例子
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G.f.=1+2*x+7*x^2+34*x^3+209*x^4+1546*x^5+13327*x^6+130922*x^7+-迈克尔·索莫斯2018年7月31日
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MAPLE公司
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A002720型：=进程（n）导出（-x）*n*hypergeom（[n+1]，[1]，x）；simplify（subs（x=1，%））结束：seq(A002720型（n） ，n=0..25）#彼得·卢施尼2011年3月30日
选项记忆；
如果n<=1，则
n+1；
其他的
2*n*进程名（n-1）-（n-1；
结束if；
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数学
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表[n！LaguerreL[n，-1]，{n，0，25}]
递归表[{（n+1）^2 a[n]-2（n+2）a[n+1]+a[n+2]==0，a[1]==2，a[2]==7}，a，{n，25}](*埃里克·韦斯特因2017年9月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=和（k=0，n，k！*二项式（n，k）^2）；
（PARI）a（n）=suminf（k=0，二项式（n+k，n）/k！）/（exp（1）/n！）/*戈特弗里德·赫尔姆斯2006年11月25日*/
（PARI）{a（n）=n！^2*polcoeff（exp（x+x*O（x^n））*sum（m=0，n，x^m/m！^2），n）}/*保罗·D·汉纳2011年11月18日*/
（PARI）{a（n）=如果（n==0，1，polceoff（1-和（m=0，n-1，a（m）*x^m*（1-（m+1）*x+x*O（x^n））^2），n））}/*保罗·D·汉纳2012年11月27日*/
（PARI）我的（x='x+O（'x^22））；Vec（塞拉普拉斯（（1/（1-x））*exp（x/（1-x，）））\\乔格·阿恩特2022年8月11日
（岩浆）[因子（n）*求值（拉盖尔多项式（n），-1）：[0.25]]中的n//G.C.格鲁贝尔2022年8月11日
（SageMath）[（0..25）中n的阶乘（n）*laguerre（n，-1）]#G.C.格鲁贝尔2022年8月11日
（Python）
从数学导入阶乘，梳
定义A002720型（n） ：返回和（阶乘（k）*梳（n，k）**范围（n+1）中k的2）#柴华武2023年8月31日
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A053495号
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| 通过迭代f（u，v）=1/u-x*v定义的分子多项式系数形成的三角形，应用于元素列表{1,2,3,4，…}。 |
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22
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1, 1, -1, -1, 2, -2, 1, -4, 6, -6, -1, 6, -18, 24, -24, 1, -9, 36, -96, 120, -120, -1, 12, -72, 240, -600, 720, -720, 1, -16, 120, -600, 1800, -4320, 5040, -5040, -1, 20, -200, 1200, -5400, 15120, -35280, 40320, -40320, 1, -25, 300, -2400, 12600
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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链接
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配方奶粉
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表[（-1）^（r+c+1）二项式[楼层[（r+c）/2]，楼层[（r-c）/2]]楼层[（r+c+1）/2]！/地板[（r-c+1）/2]！，{r，0，7}，{c，0，r}]
a[0]：=-1；a[1]：=1-x；a[n]：=a[n]=n x a[n-1]+a[n-2]（匹配除a[0]之外的序列）。
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例子
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1，1-x，-1+2*x-2*x^2，1-4*x+6*x^2-6*x^3。。。
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数学
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系数列表[#，x]&/@分子[FoldList[（1/#1-x#2）&，1，范围[12]//一起]
FoldList[（1/#1-x#2）&，1，Range[4]//一起（一个更简单的版本，显示有理函数）
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交叉参考
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作者
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经核准的
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邮编：263771
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| 行读取的三角形：T（n，k）（n>=0，k>=0）是模式312的n次和k次排列数。 |
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1, 1, 2, 5, 1, 14, 5, 4, 1, 42, 21, 23, 14, 12, 5, 3, 132, 84, 107, 82, 96, 55, 64, 37, 29, 22, 10, 0, 2, 429, 330, 464, 410, 526, 394, 475, 365, 360, 298, 281, 175, 206, 126, 93, 55, 23, 14, 13, 1, 2, 1430, 1287, 1950, 1918, 2593, 2225, 2858, 2489, 2682, 2401
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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此外，固定模式132、213、231中n和k出现的排列次数（这些都通过反面和反面连接）。
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链接
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T.Mansour和A.Vainshtein，计算排列中132次出现的次数，arXiv:math/0105073[math.CO]，2001年。
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配方奶粉
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例子
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三角形开始：
1;
1;
2;
5, 1;
14、5、4、1；
42, 21, 23, 14, 12, 5, 3;
132, 84, 107, 82, 96, 55, 64, 37, 29, 22, 10, 0, 2;
。。。
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数学
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联接@@数组[表[长度@选择[排列@范围@#, 长度@选择[子集[#，{3}]，订购@订购@#=={3,1,2}&]==k&]，{k，0，二项式[#+1，3]}]//。{a__，0}:>{a}&，8，0](*乔戈斯·卡洛格罗普洛斯2021年3月26日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A138159号
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| 行读取的三角形：T（n，k）是模式321（n>=1，0<=k<=n（n-1）（n-2）/6）中出现k次的[n]排列数。 |
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1, 1, 2, 5, 1, 14, 6, 3, 0, 1, 42, 27, 24, 7, 9, 6, 0, 4, 0, 0, 1, 132, 110, 133, 70, 74, 54, 37, 32, 24, 12, 16, 6, 6, 8, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 1, 429, 429, 635, 461, 507, 395, 387, 320, 260, 232, 191, 162, 104, 130, 100, 24, 74, 62, 18, 32, 10, 30, 13, 8, 0, 10, 10, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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第n行有1+n（n-1）（n-2）/6项。
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链接
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Toufik Mansour、Sherry H.F.Yan和Laura L.M.Yang，计算对合中231的出现次数《离散数学》306（2006），第564-572页。
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配方奶粉
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[n]的给定置换p的321个图案的数量由Sum（L[i]R[i]，i=1..n）给出，其中L（R）是p.L的左（右）反转向量，R由R[i]+i=p[i]+L[i]关联（给定的Maple程序使用这种方法）。引用包含前几列的公式和生成函数（有些只是推测的）。
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例子
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T（4,2）=3，因为我们有4312，4231和3421。
三角形开始：
1;
1;
2;
5, 1;
14, 6, 3, 0, 1;
42, 27, 24, 7, 9, 6, 0, 4, 0, 0, 1;
132, 110, 133, 70, 74, 54, 37, 32, 24, 12, 16, 6, 6, 8, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 1;
。。。
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MAPLE公司
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#下面的Maple程序生成三角形的第9行；更改n的值以获得其他行。
n： =9:with（combinet）：P:=置换（n）：f:=proc（k）局部L:L:=proc（j）局部ct，i:ct:=0：对于i到j-1 do，如果P[k][j]<P[k][i]，那么ct:=ct+1 else end if end do:ct end proc:add（L（j）*（L（j）+P[k〕[j]-j），j=1..n）end proc:a:=排序（[seq（f（k），k=1..阶乘（n）]）]）：for h从0到（1/6）*n*（n-1）*（n-2）do c[h]：=0：对于m到阶乘（n）do如果a[m]=h，则c[h'：=c[h]+1 else end if end do end do:seq（c[h]，h=0..（1/6）*n*（n-1）*（n-2））；
#第二个Maple项目：
b： =proc（s，c）选项记忆；（n->`如果`（n=0，x^c，加上（b（s减去{j}，
（t->（j-n+t）*t+c）（nops（选择（x->x>j，s）），j=s））（nobs）
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p））（b（{$1..n}，0））：
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数学
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ro[n_]：=与[{}，P=置换[Range[n]]；f[k_]：=用[{}，L[j_]：=用[{neneneep，ct=0；Do[If[P[[k，j]]<P[k，i]]，ct=ct+1]，{i，1，j-1}]；ct】；总和[L[j]*（L[j]+P[[k，j]]-j），{j，1，n}]]；a=排序[表[f[k]，{k，1，n！}]]；Do[c[h]=0；做[如果[a[[m]]==h，c[h]=c[h]+1]，{m，1，n！}]，{h，0，（1/6）*n*（n-1）*（n-2）}]；表[c[h]，{h，0，（1/6）*n*（n-1）*（n-2）}]]；扁平[表格[ro[n]，{n，1，7}]](*Jean-François Alcover公司，2011年9月1日，Maple之后*）
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作者
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经核准的
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1、2、6、1、24、16、2、120、200、94、14、1、720、2400、2684、1284、310、36、2、5040、29400、63308、66158、38390、13037、2660、328、26、1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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考虑行生成函数A_n（x）=sum_k A（n，k）x^k。然后
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链接
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例子
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在三角格式中，ASM的数量如下：
n=1:1
n=2:2
n=3:6,1
n=4:24,16,2
n=5:120200,94,14,1
n=6:720240026841284310,36,2
编号：7:504029400633086615838390130372660328,26,1
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交叉参考
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关键词
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非n,坚硬的,标签
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作者
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扩展
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经核准的
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