搜索： a263771-编号：a263781
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A002054号
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| 二项式系数C（2n+1，n-1）。
（原名M3913 N1607）
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88
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1, 5, 21, 84, 330, 1287, 5005, 19448, 75582, 293930, 1144066, 4457400, 17383860, 67863915, 265182525, 1037158320, 4059928950, 15905368710, 62359143990, 244662670200, 960566918220, 3773655750150, 14833897694226, 58343356817424, 229591913401900
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a（n）=S_{n+2}中正好包含一个312模式的置换数。例如，S_3的a_1=1置换恰好包含一个312模式，而S_4的a_2=5置换正好包含一个321模式，即1423、2413、3124、3142和4231。如果312被132、213或231（但不是123或321，参见A003517号). [意见修订人N.J.A.斯隆2022年11月26日]
半长n+1的所有Dyck路径中的谷数。例如：a（2）=5，因为UD*UD*UD、UD*UUDD、UUDD*UD，UUD*UDD、UUUDDD，其中U=（1,1），D=（1，-1），谷值用*表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
半长n+1的所有Dyck路径中的UU数（双上升）。示例：a（2）=5，因为UDUDUD、UDU*UDD、U*UDDUD、U*UDUDD、U*U*UDDD，双升序用*表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
在半长n+1的所有Dyck路径中，高于一级（高峰值）的峰值数。示例：a（2）=5，因为UDUDUD、UDUU*DD、UU*DDUD、UU*DU*DD、UUU*DDD，高峰用*表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
通过非交叉对角线将凸（n+3）-边剖分为多个区域的次数，其中n-1个区域为三角形。例如：a（2）=5，因为凸五边形ABCDE被AC、BD、CE、DA、EB中的任何对角线分割成正好包含1个三角形的区域-Emeric Deutsch公司，2004年5月31日
具有n+1个内部节点的所有完整二叉树中的跳转数。在完整二叉树的预序遍历中，从较深级别的节点到严格较高级别的节点的任何转换都称为跳转-Emeric Deutsch公司2007年1月18日
a（n）是所有Dyck路径中非空Dyck子路径的总数(A000108号)例如，Dyck路径UUDUUDDD的Dyck子路径延伸到位置1-8（整个路径）、2-3、2-7、4-7、5-6，因此为a（4）贡献5-大卫·卡伦2008年7月25日
a（n+1）是避免模式132的所有n个排列集合中的上升总数。例如，a（2）＝5，因为在集合123、213、231、312、321中有5个上升-切恩·霍姆伯格2013年10月25日
具有最大条目2n+1的形状（n+1，n+1）递增表的数量。递增表是一个半标准表，其中的行和列严格递增，条目集是正整数的初始段。例如：a（2）=5计算五个表（124）（235）、（123）（245）、（124”（345）、“（134）（244）”、“（123）”（245”）-奥利弗·佩切尼克2014年5月2日
a（n）是2n+1到大小为2的n-1块和大小为3的1块的非交叉分区数-奥利弗·佩切尼克2014年5月2日
半平面中的路径数x>=0，从（0,0）到（2n+1,3），由步骤U=（1,1）和D=（1，-1）组成。例如，对于n=2，我们有5条路径：UUUUD、UUUDU、UUDUU、UDUUU、DUUUU-何塞·路易斯·拉米雷斯·拉米雷斯2015年4月19日
还有2n+2位的二进制数和两个大于1的0的二进制数。例如，a（2）=5个二进制数为：100001、100010、100100、101000、110000，十进制值为33、34、36、40、48。允许第一个数字0表示A001791号，排名依据A345910型/A345912型.
此外，2n+2的整数组合数与交替和-2，其中序列（y_1，…，y_k）的交替和是sum_i（-1）^（i-1）y_i。例如，a（3）=21的组合为：
(35) (152) (1124) (11141) (111113)
(251) (1223) (12131) (111212)
(1322) (13121) (111311)
(1421) (14111) (121112)
(2114) (121211)
(2213) (131111)
(2312)
（2411）
以下与这些组合物有关：
（结束）
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第828页。
乔治·格拉泽（George Grätzer），《一般格理论》（General Lattice Theory）。Birkhauser，巴塞尔，1998年，第2版，第474页，第3行。
A.P.普鲁德尼科夫，余。A.Brychkov和O.I.Marichev，“积分与级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，Gordon和Breach科学出版社，1986-1992年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
安瓦尔·加布拉（Anwar Al Ghabra）、K.Gopala Krishna、Patrick Labele和Vasilia Shramchenko，多根平面树的计数，arXiv:2301.09765[math.CO]，2023。
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov，置换的纯下降统计量《离散数学》，第340卷，第10期（2017年），第2550-2558页；预印本, 2017.
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Armen Petrossian，具有给定模式位置模的灾难的Dyck路径，澳大利亚J.Comb。（2022）第84卷，第2期，398-418。
A.凯利，关于多边形的划分，程序。伦敦数学。Soc.，Vol.22（1891），pp.237-262=数学论文集，Vols。1-13，剑桥大学出版社，伦敦，1889-1897年，第13卷，第93页及其后。
Emeric Deutsch公司，Dyck路径枚举，离散数学。，第204卷，第1-3期（1999年），第167-202页。
卢卡·费拉里和伊曼纽尔·穆纳里尼，一些路径格中边的计数，J.国际顺序。，第17卷（2014年），第14.1.5条；arXiv预印本，arXiv:12036792【math.CO】，2012年。
何晓宇、黄慧卿、南义勋和塔珀，随机方块和反向随机方块，arXiv:2109.12455[math.CO]，2021。
克莱门斯·休伯格（Clemens Heuberger）、莎拉·塞尔柯克（Sarah J.Selkirk）和斯蒂芬·瓦格纳（Stephan Wagner），基于降阶模k高度的广义Dyck路径计数，arXiv:2204.14023[math.CO]，2022。
沃纳·克兰迪克，树、跳跃和真正的根，J.计算与应用数学。，第162卷，第1期（2004年），第51-55页。
图菲克·曼苏尔，Dyck路径统计《整数序列杂志》，第9卷（2006年），第06.1.5条。
Toufik Mansour和Alek Vainshtein，计算排列中123的出现次数，arXiv:math/0105073[math.CO]，2001年。
罗纳德·里德，关于多边形的一般剖分《Aequationes Mathematicae》，第18卷，第1-2期（1978年），第370-388页；预打印, 1974.
Richard P.Stanley，多边形剖切和标准Young表，J.Comb。理论，Ser。A、 第76卷，第1期（1996年），第175-177页。
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配方奶粉
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a（n）=和{j=0..n-1}二项式（2*j，j）*二项式Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月26日
a（n）=二项式（2*n+1，n-1）=n*C（n+1）/2，C（n）=A000108号（n） （加泰罗尼亚语）。
G.f.：（1-2*x-（1-3*x）*c（x））/（x*（1-4*x）），带有A000108号.（结束）
通用：2F1（5/2，2；4；4*x）-R.J.马塔尔2015年8月9日
递归D-有限：a（n+1）=a（n）*（2*n+3）*（2*n+2）/（n*（n+3））-柴华武2016年1月26日
例如：（贝塞尔I（0,2*x）+（1-1/x）*BesselI（1,2*x。
a（n）~2^（2*n+1）/sqrt（Pi*n）。（结束）
a（n）=（1/（n+1））*和{i=0..n-1}（n+1-i）*二项式（2n+2，i），n>=1-塔拉斯·戈伊，2018年8月9日
总面积：（x-1+（1-3*x）/sqrt（1-4*x））/（2*x^2）-迈克尔·索莫斯2021年7月28日
和{n>=1}1/a（n）=5/3-2*Pi/（9*sqrt（3））。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=52*log（phi）/（5*sqrt（5））-7/5，其中phi是黄金比率(A001622号). （结束）
G.f.:x/（1-4*x）^2*c（-x/（1-1-4*x））^3，其中c（x）=（1-sqrt（1-4**））/（2*x）是加泰罗尼亚数字的G.fA000108号. -彼得·巴拉2024年2月3日
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例子
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G.f.=x+5*x^2+21*x^3+84*x^4+330*x^5+1287*x^6+5005*x^7+。。。
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MAPLE公司
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with（combstruct）：seq（（count（Composition（2*n+2），size=n）），n=1..24）#零入侵拉霍斯，2007年5月3日
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数学
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系数列表[系列[8/（（Sqrt[1-4x]+1）^3）*Sqrt[1-4x]），{x，0，22}]，x](*罗伯特·威尔逊v2011年8月8日*）
a[n]：=二项式[2n+1，n-1]；(*迈克尔·索莫斯2014年4月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=二项式（2*n+1，n-1）}；
（岩浆）[二项式（2*n+1，n-1）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪，2015年4月20日
（Python）
来自未来进口部
对于范围（1，10**3）中的n：
b=b*（2*n+2）*（2*n+3）//（n*（n+3#柴华武2016年1月26日
（GAP）列表（[1..25]，n->二项式（2*n+1，n-1））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年8月9日
（Sage）[（1..25）中n的二项式（2*n+1，n-1）]#G.C.格鲁贝尔2019年3月22日
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交叉参考
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参见。A000097号,A000346号,A000984号,A001622号,A001700号,A007318号,A008549号,A031444号,A058622号,A097805号,A116406号,A138364号,A163493号,A202736型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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已批准
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A138159号
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| 行读取的三角形：T（n，k）是模式321（n>=1，0<=k<=n（n-1）（n-2）/6）中出现k次的[n]排列数。 |
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10
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1, 1, 2, 5, 1, 14, 6, 3, 0, 1, 42, 27, 24, 7, 9, 6, 0, 4, 0, 0, 1, 132, 110, 133, 70, 74, 54, 37, 32, 24, 12, 16, 6, 6, 8, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 1, 429, 429, 635, 461, 507, 395, 387, 320, 260, 232, 191, 162, 104, 130, 100, 24, 74, 62, 18, 32, 10, 30, 13, 8, 0, 10, 10, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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第n行有1+n（n-1）（n-2）/6项。
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链接
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Toufik Mansour、Sherry H.F.Yan和Laura L.M.Yang，计算对合中231的出现次数《离散数学》306（2006），第564-572页。
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配方奶粉
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[n]的给定置换p的321个图案的数量由Sum（L[i]R[i]，i=1..n）给出，其中L（R）是p.L的左（右）反转向量，R由R[i]+i=p[i]+L[i]关联（给定的Maple程序使用这种方法）。参考文献包含前几列的公式和生成函数（有些只是推测的）。
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例子
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T（4,2）=3，因为我们有4312、4231和3421。
三角形起点：
1;
1;
2;
5, 1;
14, 6, 3, 0, 1;
42, 27, 24, 7, 9, 6, 0, 4, 0, 0, 1;
132, 110, 133, 70, 74, 54, 37, 32, 24, 12, 16, 6, 6, 8, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 1;
...
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MAPLE公司
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#下面的Maple程序生成三角形的第9行；更改n的值以获得其他行。
n： =9:带（combine）：P:=permute（n）：f:=proc（k）local L:L:=proc（j）local ct，i:ct:=0：对于i到j-1，如果P[k][j]<P[k][i]，则ct:=ct+1 else end if end do:ct end proc:add（L（j）*（L（j）+P[k][j]-j），j=1.n）end proc:a:=sort（[seq（f（k），k=1.factorial（n））]）：对于h从0到（1/6）*n*（n-1）*（n-2）do c[h]：=0：对于m到阶乘（n）do，如果a[m]=h，则c[h]：=c[h]+1 else end if end do end do:seq（c[h]，h=0..（1/6）*n*（n-1）*（n-2））；
#第二个Maple项目：
b： =proc（s，c）选项记忆；（n->`如果`（n=0，x^c，加上（b（s减去{j}，
（t->（j-n+t）*t+c）（nops（选择（x->x>j，s）），j=s））（nobs）
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p））（b（{$1..n}，0））：
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数学
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ro[n_]：=与[{}，P=置换[Range[n]]；f[k_]：=用[{}，L[j_]：=用[{neneneep，ct=0；Do[If[P[[k，j]]<P[k，i]]，ct=ct+1]，{i，1，j-1}]；ct】；总和[L[j]*（L[j]+P[[k，j]]-j），{j，1，n}]]；a=排序[表[f[k]，{k，1，n！}]]；Do[c[h]=0；做[如果[a[[m]]==h，c[h]=c[h]+1]，{m，1，n！}]，{h，0，（1/6）*n*（n-1）*（n-2）}]；表[c[h]，{h，0，（1/6）*n*（n-1）*（n-2）}]]；扁平[表格[ro[n]，{n，1，7}]](*Jean-François Alcover公司2011年9月1日，Maple之后*）
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交叉参考
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作者
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1、1、2、6、23、1、103、10、6、1、512、77、69、30、21、5、6、2740、548、598、330、335、123、174、58、58、37、26、3、9、1、15485、3799、4686、2970、3411、1676、2338、1040、1317、878、777、363、608、230、252、165、133、30、93、26、31、4、1、3、4、91245、26165、35148、24550、30182、17185、24685、129 76、16867、12248、12360、7203、11086、5692、6391， 5194, 5006, 2751, 3917, 2019, 2482, 1622, 1371, 812, 1233, 490, 495, 416, 360, 157, 282, 54, 78, 41, 29, 22, 49, 7, 4, 0, 6
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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图案1342、2431和3124的顺序相同。
图案1423、2314、3241和4132的顺序似乎相同。
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链接
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彼得·卡吉，行n=0..13，扁平基于Anders Kaseorg在Code Golf Stack Exchange链接上的Rust计划。
安德斯·卡瑟奥，答案：排列模式，Code Golf Stack Exchange。
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例子
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三角形开始：
否|0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
----+-------------------------------------------------------------
0|1；
1 | 1;
2 | 2;
3 | 6;
4 | 23, 1;
5 | 103, 10, 6, 1;
6 | 512, 77, 69, 30, 21, 5, 6;
7 | 2740, 548, 598, 330, 335, 123, 174, 58, 58, 37, 26, 3, 9, 1;
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数学
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联接@@数组[表[长度@选择[排列@范围@#, 长度@选择[子集[#，{4}]，订购@订购@#=={4，2，1，3}&]==k&]，{k，0，二项式[n+1，4]}]//。｛a_，0｝：>｛a｝&，8，0](*乔戈斯·卡洛格罗普洛斯2021年3月25日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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1, 1, 2, 6, 23, 1, 103, 9, 8, 512, 62, 82, 34, 28, 2, 2740, 402, 612, 384, 466, 94, 232, 42, 60, 8, 15485, 2593, 4187, 3036, 4356, 1746, 3132, 1064, 1918, 909, 654, 333, 612, 144, 104, 22, 24, 1, 91245, 16921, 28065, 21638, 33274, 17598, 31180, 12942, 24000, 14290, 15434, 7770, 15692, 5965, 6896, 3947, 5660, 2226, 3674, 1314, 1512, 516, 508, 204, 332, 37, 40
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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相当于图案3142的表格。
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链接
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彼得·卡吉，行n=0..13，扁平基于Anders Kaseorg在Code Golf Stack Exchange链接中的Rust计划。
安德斯·卡瑟奥，答案：排列模式，Code Golf Stack Exchange。
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例子
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三角形开始：
否|0 1 2 3 4 5 6
---+------------------------------------------------------------------
0 | 1;
1 | 1;
2 | 2;
3|6；
4 | 23, 1;
5 | 103, 9, 8;
6 | 512, 62, 82, 34, 28, 2;
7 | 2740, 402, 612, 384, 466, 94, 232, ...
8 | 15485, 2593, 4187, 3036, 4356, 1746, 3132, ...
9 | 91245、16921、28065、21638、33274、17598、31180等。。。
10 | 555662, 112196, 188514, 149946, 237128, 140954, 257686, ...
11 | 3475090, 755920, 1278590, 1036826, 1658064, 1041598, 1933438, ...
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交叉参考
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关键词
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非n,标签
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作者
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A001810号
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| a（n）=n*n*（n-1）*（n-2）/36。
（原M5019 N2163）
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0, 0, 0, 1, 16, 200, 2400, 29400, 376320, 5080320, 72576000, 1097712000, 17563392000, 296821324800, 5288816332800, 99165306240000, 1952793722880000, 40311241850880000, 870722823979008000, 19645683716026368000, 462251381553561600000, 11325158848062259200000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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a（n）是[n]上所有排列中3-2-1模式的总数。这是因为有n！排列、每个排列中的二项（n，3）三元组以及随机排列中的给定三元组形成3-2-1模式（或长度为3的任何其他指定模式）的概率为1/6-大卫·卡伦2006年10月26日
旧名称是“拉盖尔多项式系数”。
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第799页。
Cornelius Lanczos，应用分析。普伦蒂斯·霍尔（Prentice-Hall），新泽西州恩格尔伍德克利夫斯（Englewood Cliffs），1956年，第519页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
科尼利厄斯·兰佐斯，应用分析.（选定页面的注释扫描）
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配方奶粉
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a（n）=-A021009型（n，3），n>=0。a（n）=（（n！/3！）^2）/（n-3）！，n>=3。
例如：x^3/（3！*（1-x）^4）。
如果我们定义f（n，i，x）=和{k=i.n}和{j=i.k}二项式（k，j）*Stirling1（n，k）*Stiling2（j，i）*x^（k-j），那么a（n）=（-1）^（n-1）*f（n、3、-4），（n>=3）-米兰Janjic2009年3月1日
求和{n>=3}（-1）^（n+1）/a（n）=63*（γ-Ei（-1））-36*（1/e+1），其中Ei（-1-A099285.（结束）
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例子
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G.f.=x ^3+16*x ^4+200*x ^5+2400*x ^6+29400*x ^7+376320*x ^8+。。。
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MAPLE公司
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[seq（n！*n*（n-1）*（n-2）/36，n=0..30）]；
with（combstruct）：ZL:=[st，{st=Prod（left，right），left=Set（U，card=r+1），right=Set（U，card<r），U=Sequence（Z，card>=1）}，labed]：subs（r=2，stack）：seq（count（subs（r=2，ZL），size=m），m=0..20）#零入侵拉霍斯2008年2月7日
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数学
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表[n！n*（n-1）*（n-2）/36，{n，0，20}](*T.D.诺伊，2012年8月10日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[阶乘（m）*二项式（m，3）/6，对于范围（22）中的m]#零入侵拉霍斯2008年7月5日
（PARI）用于（n=0，20，打印1（n！*n*（n-1）*（n-2）/36，“，”））\\G.C.格鲁贝尔2018年5月16日
（岩浆）[因子（n）*n*（n-1）*（n-2）/36:n in[0..20]]//G.C.格鲁贝尔2018年5月16日
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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彼得·卡吉，行n=0..13，扁平基于Anders Kaseorg在Code Golf Stack Exchange链接中的Rust计划。
安德斯·卡瑟奥，答案：排列模式，Code Golf Stack Exchange。
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三角形开始：
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3|6；
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6 | 513, 75, 74, 26, 17, 9, 6;
7 | 2762, 522, 645, 321, 290, 130, 166, ...
8 | 15793, 3579, 5023, 3058, 3232, 1527, 2228, ...
9 | 94776, 24670, 37549, 26174, 30409, 15966, 23762, ...
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11 | 3824112、1219974、2043416、1693787、2213548、1420513、2086877等。。。
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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相当于3412图案的表格。
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安德斯·卡瑟奥，答案：排列模式，Code Golf Stack Exchange。
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三角形开始：
否|0 1 2 3 4 5 6
---+-------------------------------------------------------------------
0 | 1;
1 | 1;
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3|6；
4 | 23, 1;
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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等同于用于图案2134、3421和4312的表。
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安德斯·卡瑟奥，答案：排列模式，Code Golf Stack Exchange。
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表格开始：
否|0 1 2 3 4 5 6
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0 | 1;
1 | 1;
2 | 2;
3|6；
4 | 23, 1;
5 | 103, 11, 4, 2;
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9 | 94359、31199、36691、26602、25756、17628、22984等。。。
10 | 586590, 218033, 284370, 218957, 231390, 166338, 221429, ...
11 | 3763290, 1535207, 2174352, 1767837, 1994176, 1496134, 2028316, ...
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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相当于图案2341、3214和4123的表格。
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安德斯·卡瑟奥，答案：排列模式，Code Golf Stack Exchange。
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否|0 1 2 3 4 5 6
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11 | 3763290、1948212、3089010、2167834、2493489、1476655、2136586等。。。
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