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n-集的部分置换数;在每行和每列中最多有一个1的n×n个二进制矩阵。 (原名M1795 N0708)
+10 156
1, 2, 7, 34, 209, 1546, 13327, 130922, 1441729, 17572114, 234662231, 3405357682, 53334454417, 896324308634, 16083557845279, 306827170866106, 6199668952527617, 132240988644215842, 2968971263911288999, 69974827707903049154, 1727194482044146637521, 44552237162692939114282
评论
a(n)也是[1..n]的所有置换的递增子序列的总数(参见Lifschitz和Pittel)-N.J.A.斯隆2012年5月6日
a(n)也是完全二部图K(n,n)中的匹配数沙伦·塞拉(sharonsela(AT)hotmail.com),2002年5月19日
a(n)也是B_n中避免有符号置换的12个数(参见Simion ref)。
a(n)也是对称逆半群(幺半群)I_n.-a.Umar的阶,2008年9月9日
设B_{n}(x)=Sum_{j>=0}exp(j!/(j-n)*x-1)/j!;那么a(n)=2![x^2]Taylor(B_{n}(x)),其中[x^2]表示B_{n}(x)的Taylor级数中x^2的系数。
a(n)也是n X n板上k辆车的非攻击性位置数,总和k>=0-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年8月28日
另外,n X n rook图中的顶点覆盖数和独立顶点集数-埃里克·W·韦斯坦2013年1月4日
a(n)是[n]到[n]的子集中的内射函数数,其中[n]={1,2,…,n}。对于大小为k的子集D,有n/(n-k)!从D到[n]的内射函数。对所有子集求和,得到a(n)=Sum_{k=0..n}C(n,k)*n/(n-k)!=求和{k=0..n}k*C(n,k)^2-丹尼斯·沃尔什2015年11月16日
a(n)/n!是乌拉姆“历史相关随机序列”第n项的期望值。见Kac(1989),等式(2)-N.J.A.斯隆2019年11月16日
a(2*n)是奇数,a(2*n+1)对所有n都是偶数。更一般地,对于每个正整数k,a(n+k)==对所有n都是a(n)(mod k)。因此,对于每个正整数k,通过减少a(n)模k而获得的序列是周期性的,周期除以k。序列的各种可分割性由此得出:例如,a(7*n+2)==0(mod 7),a(11*n+4)==0(mod 11),a(17*n+3)==0(mod 17)和a(19*n+4)==0(mod 19)-彼得·巴拉2022年11月7日
猜想:a(n)*k是所有整数分区中最大部分的和,这些整数分区包含它们与n+1部分和最小部分k的第一个差异-约翰·泰勒·拉斯科2024年2月28日
参考文献
霍伊,《半群理论基础》。牛津:克拉伦登出版社(1995)。【摘自A.Umar,2008年9月9日】
J.Ser,Les Calculs Formels des Séries de Factorielles出版社。高瑟·维拉斯(Gauthier-Villars),巴黎,1933年,第78页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
H.S.Wall,连分式分析理论,切尔西1973年,第356页。
链接
弗朗西丝卡·艾卡迪(Francesca Aicardi)、迭戈·阿西斯(Diego Arcis)和杰苏斯·朱尤马亚(Jesús Juyumaya),分枝逆与平面幺半群,arXiv:2210.17461[math.RT],2022年。
T.Banica,量子部分等距的代数结构,arXiv:1411.0577[math.OA],2014-2015年。
C.Banderier、M.Bousquet-Mélou、A.Denise、P.Flajolet、D.Gardy和D.Gouyou-Beauchamps,生成树的生成函数《离散数学》246(1-3),2002年3月,第29-55页。
D.Borwein、S.Rankin、S.和L.Renner,内射部分变换的枚举,离散数学。(1989), 73: 291-296. 【摘自A.Umar,2008年9月9日】
Aria Chen、Tyler Cummins、Rishi De Francesco、Jate Greene、Tanya Khovanova、Alexander Meng、Tanish Parida、Anirudh Pulugurtha、Anand Swaroop和Samuel Tsui,卡片技巧和信息,arXiv:2405.21007[math.HO],2024年。见第14页。
P.Flajolet和R.Sedgewick,分析组合数学, 2009; 见第598页。
瓦茨拉夫·科特索维奇,非攻击性棋子2013年第6版,第219页。
V.Lifschitz和P.Pittel,随机置换的递增子序列数J.组合理论系列。A 31(1981),编号1,1-20。MR0626437(84e:05012)
W.D.Munn,对称逆半群的特征,程序。剑桥菲洛斯。《社会分类》第53卷(1957年),第13-18页。【摘自A.Umar,2008年9月9日】
J.Ser,工厂会计1933年,巴黎,戈瑟·维拉斯[当地副本]。
配方奶粉
a(n)=和{k=0..n}k*C(n,k)^2。
例如:(1/(1-x))*exp(x/(1-x))-高德纳1995年7月
具有递推的D-有限:a(n)=2*n*a(n-1)-(n-1)^2*a(n-2)。
a(n)=和{k=0..n}C(n,k)n/k-保罗·巴里2004年5月7日
a(n)=和{k=0..n}P(n,k)*C(n,k);a(n)=和{k=0..n}n^2/(k!*(n-k)^2). -罗斯·拉海耶2004年9月20日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*Stirling1(n,k)*Bell(k+1)-弗拉德塔·乔沃维奇2005年3月18日
通过b(0)=1,b(n)=b(n-1)+(1/n)*Sum_{k=0..n-1}定义b(k)。则b(n)=a(n)/n-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2005年9月5日
渐近地,a(n)/n!~(1/2)*Pi^(-1/2)*exp(-1/2+2*n^(1/2))/n^(1/4),所以a(n)~C*BesselI(0,2*sqrt(n))*n!C=exp(-1/2)=0.6065306597126334236…-Alec Mihailovs,2005年9月6日,建立了一个猜想富兰克林·T·亚当斯-沃特斯
a(n)=(n!/e)*和{k>=0}二项式(n+k,n)/k-戈特弗里德·赫尔姆斯2006年11月25日
积分表示为正半轴上正函数的第n个矩(Stieltjes矩问题的解),用Maple表示法:a(n)=int(x^n*BesselI(0,2*sqrt(x))*exp(-x)/exp(1),x=0..无穷大),n=0,1-卡罗尔·彭森和G.H.E.Duchamp(gduchamp2(AT)free.fr),2007年1月9日
a(n)=n!*拉盖尔L[n,-1]。
例如:exp(x)*Sum_{n>=0}x^n/n^2=Sum_{n>=0}a(n)*x^n/n^2. -保罗·D·汉纳2011年11月18日
Stieltjes连分式收敛序列中的分母A073003美元,Euler Gompertz常数G:=Integral_{x=0..oo}1/(1+x)*exp(-x)dx:
G=1/(2-1^2/(4-2^2/。参见[墙,第18章,(92.7),a=1]。收敛到连分式的序列开始于[1/2,4/7,20/34,124/209,…]。分子在A002793号.(结束)
一般公式:1=和{n>=0}a(n)*x^n*(1-(n+1)*x)^2-保罗·D·汉纳2012年11月27日
例如:exp(x/(1-x))/(1-x)=g(0)/(1-x),其中g(k)=1+x/((2*k+1)*(1-x;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月28日
a(n)=和{k=0..n}L(n,k)*(k+1);L(n,k)无符号Lah数-彼得·卢什尼2014年10月18日
0=a(n)*(-24*a(n+2)+99*a n+3))-迈克尔·索莫斯2018年7月31日
例子
G.f.=1+2*x+7*x^2+34*x^3+209*x^4+1546*x^5+13327*x^6+130922*x^7+-迈克尔·索莫斯2018年7月31日
MAPLE公司
选项记忆;
如果n<=1,则
n+1;
其他的
2*n*进程名(n-1)-(n-1;
结束条件:;
数学
表[n!LaguerreL[n,-1],{n,0,25}]
递归表[{(n+1)^2 a[n]-2(n+2)a[n+1]+a[n+2]==0,a[1]==2,a[2]==7},a,{n,25}](*埃里克·W·韦斯坦2017年9月27日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=和(k=0,n,k!*二项式(n,k)^2);
(PARI)a(n)=suminf(k=0,二项式(n+k,n)/k!)/(经验(1)/n!)/*戈特弗里德·赫尔姆斯2006年11月25日*/
(PARI){a(n)=n!^2*polcoeff(exp(x+x*O(x^n))*sum(m=0,n,x^m/m!^2),n)}/*保罗·D·汉纳2011年11月18日*/
(PARI){a(n)=如果(n==0,1,polceoff(1-和(m=0,n-1,a(m)*x^m*(1-(m+1)*x+x*O(x^n))^2),n))}/*保罗·D·汉纳2012年11月27日*/
(PARI)我的(x='x+O('x^22));Vec(塞拉普拉斯((1/(1-x))*exp(x/(1-x,)))\\乔格·阿恩特2022年8月11日
(岩浆)[因子(n)*求值(拉盖尔多项式(n),-1):[0.25]]中的n//G.C.格鲁贝尔2022年8月11日
(SageMath)[(0..25)中n的阶乘(n)*laguerre(n,-1)]#G.C.格鲁贝尔2022年8月11日
(Python)
从数学导入阶乘,梳
定义A002720型(n) :返回和(阶乘(k)*梳(n,k)**范围(n+1)中k的2)#柴华武,2023年8月31日
通过迭代f(u,v)=1/u-x*v定义的分子多项式系数形成的三角形,应用于元素列表{1,2,3,4,…}。
+10 22
1, 1, -1, -1, 2, -2, 1, -4, 6, -6, -1, 6, -18, 24, -24, 1, -9, 36, -96, 120, -120, -1, 12, -72, 240, -600, 720, -720, 1, -16, 120, -600, 1800, -4320, 5040, -5040, -1, 20, -200, 1200, -5400, 15120, -35280, 40320, -40320, 1, -25, 300, -2400, 12600
配方奶粉
表[(-1)^(r+c+1)二项式[楼层[(r+c)/2],楼层[(r-c)/2]]楼层[(r+c+1)/2]!/地板[(r-c+1)/2]!,{r,0,7},{c,0,r}]
a[0]:=-1;a[1]:=1-x;a[n]:=a[n]=n x a[n-1]+a[n-2](匹配除a[0]之外的序列)。
例子
1,1-x,-1+2*x-2*x^2,1-4*x+6*x^2-6*x^3。。。
数学
系数列表[#,x]&/@分子[FoldList[(1/#1-x#2)&,1,范围[12]//一起]
FoldList[(1/#1-x#2)&,1,Range[4]//一起(一个更简单的版本,显示有理函数)
行读取的三角形:T(n,k)(n>=0,k>=0)是模式312的n次和k次排列数。
+10 15
1, 1, 2, 5, 1, 14, 5, 4, 1, 42, 21, 23, 14, 12, 5, 3, 132, 84, 107, 82, 96, 55, 64, 37, 29, 22, 10, 0, 2, 429, 330, 464, 410, 526, 394, 475, 365, 360, 298, 281, 175, 206, 126, 93, 55, 23, 14, 13, 1, 2, 1430, 1287, 1950, 1918, 2593, 2225, 2858, 2489, 2682, 2401
评论
还有固定模式132、213、231中的任一个的n和k次出现的排列的数量(这些都通过反转和反转连接)。
链接
T.Mansour和A.Vainshtein,计算排列中132的出现次数,arXiv:math/0105073[math.CO],2001年。
例子
三角形开始:
1;
1;
2;
5, 1;
14, 5, 4, 1;
42, 21, 23, 14, 12, 5, 3;
132, 84, 107, 82, 96, 55, 64, 37, 29, 22, 10, 0, 2;
...
数学
联接@@数组[表[长度@选择[排列@范围@#, 长度@选择[子集[#,{3}],订购@订购@#=={3,1,2}&]==k&],{k,0,二项式[#+1,3]}]//。{a__,0}:>{a}&,8,0](*乔戈斯·卡洛格罗普洛斯2021年3月26日*)
行读取的三角形:T(n,k)是模式321(n>=1,0<=k<=n(n-1)(n-2)/6)中出现k次的[n]排列数。
+10 10
1, 1, 2, 5, 1, 14, 6, 3, 0, 1, 42, 27, 24, 7, 9, 6, 0, 4, 0, 0, 1, 132, 110, 133, 70, 74, 54, 37, 32, 24, 12, 16, 6, 6, 8, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 1, 429, 429, 635, 461, 507, 395, 387, 320, 260, 232, 191, 162, 104, 130, 100, 24, 74, 62, 18, 32, 10, 30, 13, 8, 0, 10, 10, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 1
链接
Toufik Mansour、Sherry H.F.Yan和Laura L.M.Yang,计算对合中231的出现次数《离散数学》306(2006),第564-572页。
配方奶粉
[n]的给定置换p的321个图案的数量由Sum(L[i]R[i],i=1..n)给出,其中L(R)是p.L的左(右)反转向量,R由R[i]+i=p[i]+L[i]关联(给定的Maple程序使用这种方法)。参考文献包含前几列的公式和生成函数(有些只是推测的)。
例子
T(4,2)=3,因为我们有4312,4231和3421。
三角形开始:
1;
1;
2;
5, 1;
14, 6, 3, 0, 1;
42, 27, 24, 7, 9, 6, 0, 4, 0, 0, 1;
132, 110, 133, 70, 74, 54, 37, 32, 24, 12, 16, 6, 6, 8, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 1;
...
MAPLE公司
#下面的Maple程序生成三角形的第9行;更改n的值以获得其他行。
n: =9:with(combinet):P:=置换(n):f:=proc(k)局部L:L:=proc(j)局部ct,i:ct:=0:对于i到j-1 do,如果P[k][j]<P[k][i],那么ct:=ct+1 else end if end do:ct end proc:add(L(j)*(L(j)+P[k〕[j]-j),j=1..n)end proc:a:=排序([seq(f(k),k=1..阶乘(n)]):for h从0到(1/6)*n*(n-1)*(n-2)do c[h]:=0:对于m到阶乘(n)do如果a[m]=h,则c[h':=c[h]+1 else end if end do end do:seq(c[h],h=0..(1/6)*n*(n-1)*(n-2));
#第二个Maple项目:
b: =proc(s,c)选项记忆;(n->`如果`(n=0,x^c,加上(b(s减去{j},
(t->(j-n+t)*t+c)(nops(选择(x->x>j,s)),j=s))(nobs)
结束时间:
T: =n->(p->seq(系数(p,x,i),i=0..度(p))(b({$1..n},0)):
数学
ro[n]:=与[{}一起,P=置换[范围[n]];f[k_]:=用[{},L[j_]:=用[{neneneep,ct=0;Do[If[P[[k,j]]<P[k,i]],ct=ct+1],{i,1,j-1}];ct】;总和[L[j]*(L[j]+P[[k,j]]-j),{j,1,n}]];a=排序[表[f[k],{k,1,n!}]];Do[c[h]=0;做[如果[a[[m]]==h,c[h]=c[h]+1],{m,1,n!}],{h,0,(1/6)*n*(n-1)*(n-2)}];表[c[h],{h,0,(1/6)*n*(n-1)*(n-2)}]];扁平[表格[ro[n],{n,1,7}]](*Jean-François Alcover公司2011年9月1日,Maple之后*)
1, 2, 6, 1, 24, 16, 2, 120, 200, 94, 14, 1, 720, 2400, 2684, 1284, 310, 36, 2, 5040, 29400, 63308, 66158, 38390, 13037, 2660, 328, 26, 1
评论
考虑行生成函数A_n(x)=sum_k A(n,k)x^k。然后
例子
在三角格式中,ASM的数量如下:
n=1:1
n=2:2
n=3:6,1
n=4:24,16,2
n=5:120200,94,14,1
n=6:720240026841284310,36,2
编号:7:504029400633086615838390130372660328,26,1
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