搜索： a000607-标识：a000606
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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G.E.Andrews、A.Knopfmacher、J.Knopfmacher，恩格尔展开与罗杰斯·拉马努扬恒等式，J.数论80（2000），273-290。参见公式2.1。
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黄体脂酮素
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非n
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经核准的
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5, 6, 7, 8, 10, 12, 17, 18, 19, 27, 34, 36, 46, 48, 64, 65, 72, 73, 76, 86, 103, 106, 118, 125, 133, 153, 156, 159, 178, 201, 259, 263, 266, 270, 284, 295, 306, 307, 318, 352, 388, 406, 513, 515, 528, 542, 548, 620, 653, 669, 673, 743, 747, 770, 795, 823, 839
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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例子
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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例子
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2092在序列中是因为A000607号(2092) = 727374912588703256255 * 2092.
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交叉参考
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关键词
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非n,更多
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作者
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经核准的
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A001414号
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| n的整数对数：素数之和除以n（重复）。也称为sopfr（n）。
（原名M0461 N0168）
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642
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0, 2, 3, 4, 5, 5, 7, 6, 6, 7, 11, 7, 13, 9, 8, 8, 17, 8, 19, 9, 10, 13, 23, 9, 10, 15, 9, 11, 29, 10, 31, 10, 14, 19, 12, 10, 37, 21, 16, 11, 41, 12, 43, 15, 11, 25, 47, 11, 14, 12, 20, 17, 53, 11, 16, 13, 22, 31, 59, 12, 61, 33, 13, 12, 18, 16, 67, 21, 26, 14, 71, 12, 73, 39, 13, 23, 18, 18
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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麦克马洪称之为n的效力。
降级素分解中的运算符。例如，40个因子为2^3*5，sopfr（40）=2*3+5=11。
考虑将n写成零、一个或多个因子的乘积的所有方法；序列给出了最小的项和-阿玛纳斯·穆尔西2001年7月7日
a（n）<=n表示所有n，且a（n）=n当n是4或素数时。
看这个序列的图表。在对数散点图的下边缘，有一组模糊但明确的对角线条纹，向东南倾斜。它们的间距逐渐增大，坡度逐渐减小；它们在范围的下边缘更为明显。有什么解释吗-艾伦·C·韦克斯勒2015年10月11日
对于n>=2，glb和lub为：3*log（n）/log（3）<=a（n）<=n，其中lub发生在n=3^k，k>=1时。（Jakimczuk，2012年）-丹尼尔·福格斯2015年10月12日
不同于A337310型从第64、192、256、320、448、512……处的n开始。
（结束）
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参考文献
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K.Atanassov，新整数函数，与ψ和σ函数相关。四、 ，公牛。《数论相关主题12》（1988年），第31-35页。
Amarnath Murthy，划分函数的推广和引入Smarandache因子划分，Smarandache Notions Journal，Vol.11，1-2-3，Spring-2000。
阿玛纳斯·穆尔西（Amarnath Murthy）和查尔斯·阿什巴赫（Charles Ashbacher），广义分割与数论和Smarandache序列的一些新思想，海克斯（Hexis），凤凰（Phoenix）；美国2005年。见第1.4节。
乔·罗伯茨，《整数的诱惑》，《数学》。美国协会，1992年，第89页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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克里希纳斯瓦米·阿拉迪和保罗·埃尔德斯，关于一个加法算术函数《太平洋数学杂志》，第71卷，第2期（1977年），第275-294页，备用链路.
J.Iraids、K.Balodis、J.Cernenoks、M.Opmanis、R.Opmani和K.Podnieks，整数复杂性：实验和分析结果，arXiv预打印arXiv:1203.6462[math.NT]，2012。
莫汉·拉尔，数论函数的迭代，数学。公司。，第23卷，第105期（1969年），第181-183页。
P.A.MacMahon，对称函数微积分中素数的性质，程序。伦敦数学。《社会学》，23（1923），290-316.=科尔。论文，II，第354-380页。
史蒂夫·威瑟姆，线长图（清晰的上线是n（素数）、n/2、n/3、n/4……但sqrt（n）处有一条暗带。）
史蒂夫·威瑟姆，对数-长度图（在下边缘有不同的有趣之处。在较高的位置，您可以看到sqrt（n）、sqrt
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配方奶粉
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如果n=乘积p_j^k_j，则a（n）=总和p_j*k_j。
和{n>=1}（-1）^a（n）/n^s=（（2^s+1）/（2^s-1））*zeta（2*s）/zeta（s），如果Re（s）>1，则为0，如果s=1（Alladi和Erdős，1977）-阿米拉姆·埃尔达尔2020年11月2日
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例子
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a（24）＝2+2+3＝9。
a（30）=10:30可以写成30，15*2，10*3，6*5，5*3*2。相应的总和是30、17、13、11、10。这10个是最少的。
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MAPLE公司
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A001414号：=proc（n）局部e，j；e:=ifactors（n）[2]：添加（e[j][1]*e[j][2]，j=1..nops（e））结束：
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数学
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a[n_]：=加@@Times@@FactorInteger@n；a[1]=0；数组[a，78](*雷·钱德勒2005年11月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=局部（f）；如果（n<1，0，f=系数（n）；求和（k=1，矩阵大小（f）[1]，f[k，1]*f[k、2]）
（哈斯克尔）
a001414 1=0
a001414 n=总额a027746美元_当前n
（Sage）[范围（0，len（系数（n）））中j的总和（因子（n）[j][0]*因子（n#朱塞佩·科波列塔2015年1月19日
（Python）
来自症状输入因子
返回和（因子（n）.items（）中p的p*e，e）#柴华湖2016年1月8日
（Magma）[n eq 1选择0 else（分解（n）]中的&+[j[1]*j[2]：j）：[1..100]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年1月10日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 2, 5, 10, 17, 28, 41, 58, 77, 100, 129, 160, 197, 238, 281, 328, 381, 440, 501, 568, 639, 712, 791, 874, 963, 1060, 1161, 1264, 1371, 1480, 1593, 1720, 1851, 1988, 2127, 2276, 2427, 2584, 2747, 2914, 3087, 3266, 3447, 3638, 3831, 4028, 4227, 4438, 4661, 4888
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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对于a（n）<m<a（n+1），n>0，至少1m是一个完美的正方形。
证明：对于n=1，2。。。，6、命题明确。对于n>6，a（n）<（（素数（n）-1）/2）^2，集（k-1）^2<=a-王金源2018年10月4日
对于n>=5，我们有一个（n）<（（素数（n）+1）/2）^2。这可以通过注意到（（素数（n）+1）/2）^2-（（素数（n-1）+1）/2）^2-素数（m）=（素数n）+素数（n-1-宋嘉宁2022年11月13日
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参考文献
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E.Bach和J.Shallit，《算法数论》第1卷第2.7节：高效算法，麻省理工学院出版社，马萨诸塞州剑桥，1996年。
H.L.Nelson，“素数和”，J.Rec.Math。，14 (1981), 205-206.
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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克里斯蒂安·阿克斯勒，前n个素数之和的新界，arXiv:1606.06874[math.NT]，2016年。
劳伦斯·C·华盛顿，素数幂和II，arXiv预印本（2022）。arXiv:2209.12845[数学.NT]
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配方奶粉
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a（n）~n^2*log（n）/2.-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年4月24日（见巴赫和沙利特1996）
对于n>=3，a（n）>=（n-1）^2*（log（n-1。因此a（n）=n^2*log（n）/2+O（n^2*log（log（n）））。这比法尔斯的评论更准确-弗拉基米尔·舍维列夫2013年8月1日
a（n）=（n^2/2）*（对数n+对数n-3/2+（对数n-3）/log n+（2（对数n）^2-14对数n+27）/（4对数^2 n）+O（（对数n/log n）^3））[辛哈]-查尔斯·R·Greathouse IV2015年6月11日
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MAPLE公司
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s1：=[2]；对于从2到1000的n，做s1:=[op（s1），s1[n-1]+ithprime（n）]；od:s1；
加（i质数（i），i=1..n）；
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数学
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累计[Prime[范围[100]]](*扎克·塞多夫2011年4月10日*）
primeRunSum=0；表[primeRunSum=primeRunSam+Prime[k]，{k，100}](*扎克·塞多夫2011年4月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=向量（素数（n））\\米歇尔·马库斯2021年2月6日
（岩浆）[0]cat[&+[NthPrime（k）：k in[1..n]]：n in[1..50]]//布鲁诺·贝塞利，2011年4月11日（改编自文森佐·利班迪2014年3月5日哈斯勒变更后，2015年11月27日）
（哈斯克尔）
a007504 n=a007504_列表！！n个
a007504_list=扫描（+）0 a000040_list
（间隙）P:=已过滤（[1..250]，IsPrime）；；
a： =串联（[0]，列表（[1..长度（P）]，i->总和（[1..i]，k->P[k]））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月7日
（Python）
从itertools导入累加、计数、岛屿
从sympy导入质数
定义A007504号_gen（）：返回累加（prime（n）if n>0，else 0 for n in count（0））
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000041号,A034386号,A111287号,A013916号,A013918号（素数），A045345号,A050247号,A050248号,A068873号,A073619号,A034387号,A014148号,A014150型,A178138号,A254784号,A254858型.
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关键词
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非n,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 0, 3, -1, 4, 1, 0, -2, 5, 2, 6, -3, -1, 0, 7, 1, 8, 3, -2, -4, 9, -1, 0, -5, 2, 4, 10, 2, 11, 1, -3, -6, -1, 0, 12, -7, -4, -2, 13, 3, 14, 5, 3, -8, 15, 2, 0, 1, -5, 6, 16, -1, -2, -3, -6, -9, 17, -1, 18, -10, 4, 0, -3, 4, 19, 7, -7, 2, 20, 1, 21, -11, 2, 8, -1, 5, 22, 3, 0, -12, 23, -2, -4, -13, -8, -4, 24
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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如果n=素数（x_1）*素数（x2）*素（x_3）*…*素数（x_k）则a（n）=x_1-x_2+x_3-…+（-1）^（k-1）xk，其中xi是弱递增的正整数。
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链接
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配方奶粉
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数学
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表[Sum[Flatten[Cases[FactorInteger[n]，{p_，k_}:>表[PrimePi[p]，{k}]][[k]]*（-1）^（k-1），{k，PrimeOmega[n]}]，{n，100}]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={my（f=因子（n），vp=[]）；对于（k=1，#f~，对于（j=1，f[k，2]，vp=连接（vp，素数（f[k），1]））；）；总和（k=1，#vp，vp[k]*（-1）^（k+1））；}\\米歇尔·马库斯2018年7月6日
（Python）
来自sympy导入因子primepi
fs=[factorint（n，multiple=True）中p的素数pi（p）]
返回和（fs[：：2]）-和（fs[1:：2]#柴华湖2021年8月23日
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000586号
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| 将n划分为不同素数的次数。
（原名M0022 N0004 N0039）
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85
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1, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 5, 6, 7, 6, 9, 7, 9, 9, 9, 11, 11, 11, 13, 12, 14, 15, 15, 17, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 22, 25, 26, 27, 30, 29, 32, 32, 35, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 50, 50, 53, 55, 57, 61, 64, 67, 70, 71, 76, 78, 83, 87, 89, 93, 96
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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参考文献
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H.Gupta，与分区相关的某些平均值。Res.牛市。旁遮普大学编号：124 1957 427-430。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括两个条目中的该序列，N0004和N0039）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Edray Herber Goins和Talitha M.Washington，关于广义爬楼梯问题，Ars Combin.117（2014），183-190。MR3243840（已审核），arXiv:0909.5459[math.CO]，2009年。
H.古普塔，划分为不同素数，程序。美国国家科学院。科学。印度，21（1955），185-187。[断开的链接]
M.V.N.Murthy、M.Brack、R.K.Bhaduri、，关于整数的渐近可分辨素分划，arXiv:1904.02776[math.NT]，2019年3月22日。
K.F.Roth和G.Szekeres，分区理论中的一些渐近公式，夸脱。数学杂志。，牛津大学。(2) 5 (1954), 241-259.
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配方奶粉
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G.f.：乘积{k>=1}（1+x^prime（k））。
log（a（n））~Pi*sqrt（2*n/（3*log（n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年9月13日
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例子
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n=16将a（16）=3划分为不同的素部分：16=2+3+11=3+13=5+11。
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
b（n，i-1）+`if`（ithprime（i）>n，0，b（n-ithprime
结束时间：
a： =n->b（n，数值[pi]（n））：
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数学
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系数列表[级数[积[（1+x^素数[k]），{k，24}]，{x，0，素数[24]}]，x]
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，b[n、i-1]+如果[Prime[i]>n，0，b[n-Prime[i]，i-1]]]；a[n_]：=b[n，PrimePi[n]]；表[a[n]，｛n，0，100｝](*Jean-François Alcover公司2014年4月9日之后阿洛伊斯·海因茨*)
nmax=100；pmax=PrimePi[nmax]；poly=常量数组[0，nmax+1]；聚[1]]=1；poly[2]]=0；聚[[3]]=1；Do[p=质数[k]；Do[poly[[j]]+=聚[[j-p]]，{j，nmax+1，p+1，-1}]，{k，2，pmax}]；聚乙烯(*瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年9月20日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000586=p a000040_list，其中
p _ 0=1
p（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks（m-k）+p ks m
（Python）
从sympy导入isprime，primerange
从functools导入缓存
@高速缓存
定义a（n，k=无）：
如果k==无：k=n
如果n<1：返回int（n==0）
素数范围（1，k+1）中p的返回和（a（n-p，p-1））
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A344606型
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| n的素因子的交替排列数，计算多重性，包括双胞胎（x，x）。 |
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+10
57
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 1, 4, 1, 0, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 0, 1, 4, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 0, 2, 4, 1, 1, 2, 4, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 1, 0, 0, 2, 1, 4, 2, 2, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1, 6
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评论
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这些是n的素因子的排列，计算多重性，没有相邻的三元组（…，x，y，z，…），其中x<=y<=z或x>=y>=z。
没有双胞胎（x，x）的版本是A345164型，除了n是素数的平方外，它与这个序列相同。
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链接
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例子
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n=2、6、30、180、210、300、420、720、840的排列：
2 23 253 23253 2537 25253 23275 2323252 232527
32 325 32325 2735 25352 25273 2325232 232725
352 32523 3275 32525 25372 2523232 252327
523 35232 3527 35252 27253 252723
52323 3725 52325 27352 272325
5273 52523 32527 272523
5372 32725 325272
5723 35272 327252
7253 37252 523272
7352 52327 527232
52723 723252
57232 725232
72325
72523
例如，270的素因子没有交替排列，因为唯一的反游程是{3,2,3,5,3}和{3,5,1,2,3}，两者都不是交替的，所以a（270）=0。
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数学
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表[Length[Select[Permutations[Flatten[ConstantArray@@@FactorInteger[n]]]！匹配Q[#，{___，x_，y_，z_，___}/；x<=y<=z||x>=y>=z]&]]，{n，100}]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000041号,A000607号,A000961号,A001222号,A003242号,A026424号,A028260型,A049774号,A103919号,A181796号,A343938型,A344652型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A002095号
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| 将n划分为非素数部分的数目。
（原名M0271 N0094）
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+10
47
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1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 8, 8, 12, 13, 17, 19, 26, 28, 37, 40, 52, 58, 73, 79, 102, 113, 139, 154, 191, 210, 258, 284, 345, 384, 462, 509, 614, 679, 805, 893, 1060, 1171, 1382, 1528, 1792, 1988, 2319, 2560, 2986, 3304, 3823, 4231, 4888, 5399, 6219, 6870
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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参考文献
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L.M.Chawla和S.A.Shad，《关于三组配分函数及其表》，《自然科学与数学杂志》，9（1969），87-96。
A.Murthy，《一些新的Smarandache序列、函数和分区》，《Smarandache概念期刊》第11卷第1-2-3期，2000年春（但要小心错误）。
阿玛纳斯·穆尔西（Amarnath Murthy）和查尔斯·阿什巴赫（Charles Ashbacher），广义分割与数论和Smarandache序列的一些新思想，海克斯（Hexis），凤凰（Phoenix）；美国2005年。见第2.6节。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：产品{i>0}（1-x^prime（i））/（1-x*i）-弗拉德塔·乔沃维奇2004年7月31日
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例子
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分区6=1+1+1+1+1+1的a（6）=3=4+1+1。
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MAPLE公司
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g： =乘积（（1-x^ithprime（j））/（1-x*j），j=1.60）：gser:=系列（g，x=0,60）：seq（系数（gser，x，n），n=0..55）#Emeric Deutsch公司2006年4月19日
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数学
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非素数[n_Integer]：=固定点[n+PrimePi[#]&，n+PrimPi[n]]；系数列表[级数[1/积[1-x^非素数[i]，{i，1，50}]，{x，0，50}]，x]
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a002095=p a018252_list其中
p _ 0=1
p ks'@（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks'（m-k）+p ks m
（PARI）第一（n）=我的（x='x+O（'x^（n+1）），pr=1）；对于素数（p=2，n+1，pr*=（1-x^p））；pr/prod（i=1，n+1，1-x^i）\\查尔斯·R·Greathouse IV2017年6月23日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 1, 1, 3, 2, 6, 6, 10, 16, 20, 35, 46, 72, 105, 152, 232, 332, 501, 732, 1081, 1604, 2352, 3493, 5136, 7595, 11212, 16534, 24442, 36039, 53243, 78573, 115989, 171264, 252754, 373214, 550863, 813251, 1200554, 1772207, 2616338, 3862121, 5701553
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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参考文献
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S.R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第292-295页。
Silvia Heubach和Toufik Mansour，《成分和单词组合学》，CRC出版社，2010年。
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链接
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S.R.Finch，卡尔马组成常数2003年6月5日。[经作者许可，缓存副本]
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 参见第43、298页
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配方奶粉
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a（n）=a（0）=1的和{素数p<=n}a（n-p）-亨利·博托姆利2000年12月15日
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例子
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2; 三；4 = 2+2; 5 = 2+3 = 3+2; 6 = 2+2+2 = 3+3; 7 = 2+2+3 = 2+3+2 = 3+2+2 = 2+5 = 5+2; 等。
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MAPLE公司
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a： =proc（n）选项记住`如果`（n=0，1，添加(
`如果`（i素数（j），a（n-j），0），j=1..n））
结束时间：
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数学
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系数列表[级数[1/（1-和[x^素数[i]，{i，15}]），{x，0，45}]，x]
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黄体脂酮素
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（PARI）{my（n=60）；Vec（1/（1-和（k=1，n，if（isprime（k），x^k，0）））+O（x*x^n））}\\安德鲁·霍罗伊德2017年12月28日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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