显示找到的60个结果中的1-10个。
1, 2, 3, 4, 6, 10, 8, 12, 19, 18, 16, 24, 27, 36, 43, 32, 48, 59, 61, 67, 71, 64, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269
评论
n的素数指数是一个数m,使得素数(m)除以n。n的多素数指数集是A112798号.
序列(y_1,…,y_k)的加权和是sum_{i=1..k}i*y_i。
例子
12具有反转质数指数(2,1,1),加权和为7,并且没有数<12具有相同的反转质数指标加权和,因此a(7)=12。
数学
nn=20;
素数MS[n_]:=如果[n==1,{},扁平[Cases[FactorInteger[n],{p_,k_}:>表[PrimePi[p],{k}]]];
ots[y]:=总和[i*y[[i]],{i,长度[y]}];
seq=表[ots[Reverse[primeMS[n]]],{n,1,Prime[nn]^2}];
表[位置[seq,k][[1,1]],{k,0,nn}]
1, 2, 3, 5, 7, 11, 14, 22, 26, 34, 44, 55, 68, 85, 110, 130, 170, 190, 242, 290, 374, 418, 506, 638, 748, 836, 1012, 1276, 1364, 1628, 1914, 2090, 2552, 3190, 3410, 4070, 4510, 5060, 6380, 7018, 8140, 9020, 9922, 11396, 14036, 15004, 17908, 19844, 21692, 23452
评论
n的素数指数是一个数m,使得素数(m)除以n。n的多素数指数集是A112798号.
序列(y_1,…,y_k)的加权和是sum_{i=1..k}i*y_i。
例子
这些术语及其主要指数开始于:
1: {}
2: {1}
3: {2}
5: {3}
7: {4}
11: {5}
14: {1,4}
22: {1,5}
26: {1,6}
34: {1,7}
44: {1,1,5}
55: {3,5}
68: {1,1,7}
85: {3,7}
110: {1,3,5}
130: {1,3,6}
170: {1,3,7}
190: {1,3,8}
242: {1,5,5}
290: {1,3,10}
具有反向质数指数9的加权和的6个数及其质数指数:
18: {1,2,2}
23: {9}
25: {3,3}
28: {1,1,4}
33: {2,5}
34: {1,7}
因此a(9)=34。
数学
nn=10;
素数MS[n_]:=如果[n==1,{},扁平[Cases[FactorInteger[n],{p_,k_}:>表[PrimePi[p],{k}]]];
ots[y_]:=和[i*y[[i]],{i,长度[y]}];
seq=表[ots[Reverse[primeMS[n]]],{n,1,2^nn}];
表[位置[seq,k][[-1,1]],{k,0,nn}]
1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 19, 24, 27, 32, 36, 43, 48, 59, 61, 64, 67, 71, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269
评论
n的素数指数是一个数m,使得素数(m)除以n。n的多素数指数集是A112798号.
序列(y_1,…,y_k)的加权和是sum_{i=1..k}i*y_i。
例子
这些术语及其主要指数开始于:
1: {}
2: {1}
3: {2}
4: {1,1}
6: {1,2}
8: {1,1,1}
10: {1,3}
12: {1,1,2}
16: {1,1,1,1}
18: {1,2,2}
19: {8}
24: {1,1,1,2}
27: {2,2,2}
32: {1,1,1,1,1}
36: {1,1,2,2}
43: {14}
48: {1,1,1,1,2}
数学
nn=100;
素数MS[n_]:=如果[n==1,{},扁平[Cases[FactorInteger[n],{p_,k_}:>表[PrimePi[p],{k}]]];
ots[y]:=总和[i*y[[i]],{i,长度[y]}];
seq=表[ots[Reverse[primeMS[n]]],{n,1,nn}];
选择[范围[nn]、自由Q[seq[[范围[#-1]]]、seq[[#]]]和]
行读取的不规则三角形,给出Product_{k=1..n}(1+x^k)展开式中的系数。
+10 82
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4
评论
或者,按行读取三角形T(n,k),给出{1,2,…,n}的子集数和k。-罗杰CUCULIERE(cuculier(AT)imaginet.fr),2000年11月19日
第n行包括A000124号(n) 条款。这些也是连续向量(它们的非零元素),当一个从无穷向量(零的)开始,在某处插入1,然后将其移动一步(向右或向左)并与原始向量相加,然后将结果移动两步并相加,三步并相乘,等等-安蒂·卡图恩2002年2月13日
T(n,k)=将k划分为不同部分的数量<=n。Wilcoxon符号秩统计量的分布三角形-米奇·哈里斯2006年3月23日
T(n,k)=长度为n的二进制字的数目,其中0的位置之和为k。例如:T(4,5)=2,因为我们有0110(0的位置总和为1+4=5)和1001(0的位总和为2+3=5)-Emeric Deutsch公司2006年7月23日
一枚公平的硬币被掷了n次。在第i次翻转中,如果你“成功”,你将获得i美元,1<=i<=n。T(n,k)/2^n是你将恰好获得k美元的概率。你的期望是n(n+1)/4美元-杰弗里·克雷策,2010年5月16日
在偏移量为1的情况下,对于k=n.n(n+1)/2,其部分和加起来等于k的n的整数合成数。例如,第n=6行统计以下成分:
6 15 24 33 42 51 141 231 321 411 1311 2211 3111 12111 21111 111111
114 123 132 222 312 1131 1221 2121 11121 11211
213 1113 1122 1212 2112 1111
(结束)
参考文献
A.V.Yurkin,《新二项式和光理论的新观点》,(书),2013年,78页,未列出出版商。
链接
亚历山大·罗莎和什·特凡·扎姆,同余理论中的一个组合问题。(俄语),Mat.-Fys.Casopis Sloven。阿卡德。生于1965年15月49日至59日。[带注释的扫描副本]见表1。
配方奶粉
T(n,k)=T(n-1,k)+T(n-1,k-n),T(0,0)=1,T(0,k)=0,如果k<0或k>(n+1选择2),则T(n、k)=0。
G.f.:(1+x)*(1+x^2)**(1+x^n)。(结束)
例子
三角形开始:
1;
1, 1;
1, 1, 1, 1;
1, 1, 1, 2, 1, 1, 1;
1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1;
1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 1;
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1;
...
行n=4统计以下二进制字,其中k=零位置之和:
1111 0111 1011 0011 0101 0110 0001 0010 0100 1000 0000
1101 1110 1001 1010 1100
第n=5行计数k的以下严格分区,所有部分都<=n(0是空分区):
0 1 2 3 4 5 42 43 53 54 532 542 543 5431 5432 54321
21 31 32 51 52 431 432 541 5321 5421
41 321 421 521 531 4321
MAPLE公司
with(gfun,seriestolist);映射(op,[seq(序列列表(序列(mul(1+(z^i),i=1..n),z,二项式(n+1,2)+1)),n=0..10)])#安蒂·卡图恩2002年2月13日
#第二个Maple项目:
g: =进程(n)g(n):=`if`(n=0,1,展开(g(n-1)*(1+x^n)))结束:
T: =n->seq(系数(g(n),x,k),k=0..度(g(n))):
数学
表[系数列表[系列[产品[(1+t^i),{i,1,n}],{t,0,100}],t],{n,0,8}]//网格(*杰弗里·克雷策2010年5月16日*)
1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 9, 7, 7, 11, 11, 12, 16, 15, 15, 26, 22, 21, 29, 19, 30, 36, 31, 30, 66, 38, 42, 52, 56, 52, 47, 45, 57, 92, 77, 67, 77, 74, 101, 98, 135, 64, 137, 97, 176, 135, 109, 109, 118, 105, 231, 249, 97, 141, 181, 139, 297, 198, 385, 195, 269
例子
{1,1,2,3}的a(12)=11个多集分区:
{{1,1,2,3}}
{{1},{1,2,3}}
{{2},{1,1,3}}
{{3},{1,1,2}}
{{1,1},{2,3}}
{{1,2},{1,3}}
{{1},{1},{2,3}}
{{1},{2},{1,3}}
{{1},{3},{1,2}}
{{2},{3},{1,1}}
{{1},{1},{2},{3}}
数学
nrmptn[n_]:=联接@@MapIndexed[表[#2[[1]],{#1}]&,如果[n==1,{},展平[Cases[FactorInteger[n]//反转,{p_,k_}:>表[PrimePi[p],{k}]]];
facs[n_]:=如果[n<=1,{{}},连接@@表[Map[Prepend[#,d]&,Select[facs[n/d],Min@@#>=d&]],{d,Rest[Divisors[n]]}];
表[Length[facs[Times@@Prime/@nrmptn[n]],{n,60}]
黄体脂酮素
(平价)
permcount(v)={my(m=1,s=0,k=0,t);对于(i=1,#v,t=v[i];k=if(i>1&&t==v[i-1],k+1,1);m*=t*k;s+=t);s!/m}
sig(n)={my(f=因子(n));concat(向量(f~,i,向量(f[i,2],j,素数))}
计数(sig)={my(n=vecsum(sig
a(n)={if(n==1,1,my(s=sig(n));if(s=1,numbpart(s[1]),count(sig(n)))}\\安德鲁·霍罗伊德2018年12月10日
不规则三角形,其第n行是跨越正整数初始区间的多集,其重数等于A296150型(n的素数指数以弱降序排列)。
+10 44
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1
例子
第90行是{1,1,2,2,3,3,4},因为90=素数(3)*素数(2)*素数(2)*prime(1)。
三角形开始:
1:
2: 1
3: 1 1
4: 1 2
5: 1 1 1
6: 1 1 2
7: 1 1 1 1
8: 1 2 3
9: 1 1 2 2
10: 1 1 1 2
11: 1 1 1 1 1
12: 1 1 2 3
13: 1 1 1 1 1 1
数学
nrmptn[n_]:=联接@@MapIndexed[表[#2[[1]],{#1}]&,如果[n==1,{},展平[Cases[FactorInteger[n]//反转,{p_,k_}:>表[PrimePi[p],{k}]]];
数组[nrmptn,30]
按行读取的不规则三角形,其中T(n,k)是n的整数分区数,部分和求和为k,其中k的范围为n到n(n+1)/2。
+10 39
1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1
评论
序列(a、b、c…)的部分和是(a、a+b、a+b+c…)。
例子
三角形开始:
1
1
1 1
1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
例如,T(15,59)=5分区是:(8,2,2,1),(7,3,3,1,1),(6,5,2,1,1),,(4,3,2,2,2),(3,3,2,1)。
数学
表[Length[Select[Integer Partitions[n],Total[Accumulate[#]]==k&]],{n,0,8},{k,n,n*(n+1)/2}]
将n划分为不同部分的次数,使得连续部分的连续差异不增加,第一个差异<=第一部分。
+10 35
1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 2, 4, 3, 4, 5, 3, 5, 7, 4, 7, 8, 6, 8, 11, 7, 9, 13, 9, 11, 16, 12, 15, 18, 13, 17, 20, 17, 21, 24, 19, 24, 30, 22, 28, 34, 26, 34, 38, 30, 37, 43, 37, 42, 48, 41, 50, 58, 48, 55, 64, 53, 64, 71, 59, 73, 81, 69, 79, 89, 79, 90, 101, 87, 100, 111
评论
分区通常以降序书写,但如果以升序书写,则更容易“直观”检查条件。
分区“第二积分”的生成函数:给定一个按弱降序写的分区(p_1,…,p_s),写出序列B=(B_1,B_2,…,B_s)=(p_1,p_1+p_2,……,p_1+…+p_s)。序列给出了所有非负整数的所有分区上生成函数求和q^(b_1+…+b_s)的系数-威廉·基思2022年4月23日
等价地,a(n)是具有加权和n的多集数(正整数的弱递增序列)。例如,a(0)=1到a(15)=7多集的Heinz数为:
1 2 3 4 7 6 8 10 15 12 16 18 20 26 24 28
5 11 9 17 19 14 21 22 27 41 30 32
13 23 29 31 33 55 39 34
25 35 37 43 45
49 77 47
65
121
(结束)
配方奶粉
G.f.:和{k>=1}x^二项式(k,2)/Product_{j=1..k-1}-安德鲁·霍罗伊德2023年1月22日
例子
有一个(29)=15这样的分区29:
01: [29]
02: [10, 19]
03: [11, 18]
04: [12, 17]
05: [13, 16]
06: [14, 15]
07: [5, 10, 14]
08: [6, 10, 13]
09: [6, 11, 12]
10: [7, 10, 12]
11: [8, 10, 11]
12: [3, 6, 9, 11]
13: [5, 7, 8, 9]
14: [2, 4, 6, 8, 9]
15: [3, 5, 6, 7, 8]
有一个(30)=18这样的分区,30个:
01: [30]
02: [10, 20]
03: [11, 19]
04: [12, 18]
05: [13, 17]
06: [14, 16]
07: [5, 10, 15]
08: [6, 10, 14]
09: [6, 11, 13]
10: [7, 10, 13]
11: [7, 11, 12]
12: [8, 10, 12]
13: [3, 6, 9, 12]
14: [9, 10, 11]
15: [4, 7, 9, 10]
16: [2, 4, 6, 8, 10]
17: [6, 7, 8, 9]
18: [4, 5, 6, 7, 8]
数学
prix[n_]:=如果[n==1,{},扁平[Cases[FactorInteger[n],{p_,k_}:>表[PrimePi[p],{k}]]];
ots[y]:=总和[i*y[[i]],{i,长度[y]}];
表[Length[Select[Range[2^n],ots[prix[#]]==n&]],{n,10}](*古斯·怀斯曼2023年1月17日*)
黄体脂酮素
(红宝石)
定义分区(n,最小,最大)
如果n==0,则返回[[]]
[max,n].min.downto(min).flat_map{i|分区(n-i,min,i-1).map{rest|[i,*rest]}}
结束
定义f(n)
如果n==0,则返回1
cnt=0
分区(n,1,n).每个|
ary<<0
ary0=(1..ary.size-1).map{|i|ary[i-1]-ary[i]}
如果ary0.sort==ary0,则cnt+=1
}
碳纳米管
结束
(0..n).map{i|f(i)}
结束
(PARI)seq(n)={Vec(总和(k=1,(平方(8*n+1)+1),my(t=二项式(k,2));x^t/prod(j=1,k-1,1-x^(t-二项式)(j,2)\\安德鲁·霍罗伊德,2023年1月22日
由第n行列出n个素数指数的部分和的行读取的不规则三角形(第n行A112798号).
+10 34
1, 2, 1, 2, 3, 1, 3, 4, 1, 2, 3, 2, 4, 1, 4, 5, 1, 2, 4, 6, 1, 5, 2, 5, 1, 2, 3, 4, 7, 1, 3, 5, 8, 1, 2, 5, 2, 6, 1, 6, 9, 1, 2, 3, 5, 3, 6, 1, 7, 2, 4, 6, 1, 2, 6, 10, 1, 3, 6, 11, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 7, 1, 8, 3, 7, 1, 2, 4, 6, 12, 1, 9, 2, 8, 1, 2, 3, 6, 13
评论
n的素数指数是一个数m,使得素数(m)除以n。n的多素数指数集是A112798号.
例子
三角形开始:
2: 1
3: 2
4: 1 2
5: 3
6: 1 3
7: 4
8: 1 2 3
9: 2 4
10: 1 4
11: 5
12: 1 2 4
13: 6
14: 1 5
15: 2 5
16: 1 2 3 4
17: 7
18: 1 3 5
数学
素数MS[n_]:=如果[n==1,{},扁平[Cases[FactorInteger[n],{p_,k_}:>表[PrimePi[p],{k}]]];
表[累加[primeMS[n]],{n,30}]
1, 2, 3, 6, 5, 10, 7, 30, 21, 14, 11, 42, 13, 22, 33, 210, 17, 110, 19, 66, 39, 26, 23, 330, 65, 34, 273, 78, 29, 130, 31, 2310, 51, 38, 85, 546, 37, 46, 57, 390, 41, 170, 43, 102, 357, 58, 47, 2730, 133, 238, 69, 114, 53, 1870, 95, 510, 87, 62, 59, 714, 61
评论
分区的Heinz数(y_1,…,y_k)是质数(y_1)**质数(yk)。这给出了正整数和整数分区之间的双向对应。
例子
这些术语及其主要指数开始于:
1: {}
2: {1}
3: {2}
6: {1,2}
5: {3}
10: {1,3}
7: {4}
30: {1,2,3}
21: {2,4}
14: {1,4}
11: {5}
42: {1,2,4}
13: {6}
22: {1,5}
33: {2,5}
210: {1,2,3,4}
17: {7}
110: {1,3,5}
数学
素数MS[n_]:=如果[n==1,{},扁平[Cases[FactorInteger[n],{p_,k_}:>表[PrimePi[p],{k}]]];
表[Times@@Prime/@Accumulate[primeMS[n]],{n,100}]
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