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搜索: a143276-编号:a143276
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A000010号 欧拉指向函数phi(n):计数<=n,素数为n。
(原名M0299 N0111)
+10
3980
1、1、2、2、4、2、6、4、6、4、10、4、12、6、8、8、16、6、18、8、12、10、22、8、20、12、18、12、28、8、30、16、16、24、12、36、18、24、16、40、12、42、20、24、22、46、16、42、20、32、24、52、18、40、24、36、28、58、16、60、30、36、32、48、20、66、32、44 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1、3
评论
模数为n的约化残渣体系中元素的数量。
第n个分圆多项式的次数(参见。A013595号). -贝诺伊特·克洛伊特2002年10月12日
n阶循环群的不同生成元的数目。单位的本原n阶根的数目。(本原n次根x是这样的,当k=1,2,…,n-1,但x^n=1时,x^k不等于1。)-Lekraj Beedassy公司2005年3月31日
模n的复Dirichlet字符数;和{k=1..n}a(k)渐近于(3/Pi^2)*n^2-史蒂文·芬奇2006年2月16日
a(n)是不可约多项式除以1+x+x^2+…+的最高阶x^(n-1)=(x^n-1)/(x-1)-亚历山大·阿达姆楚克,2006年9月2日,2006年09月27日更正
素数p的a(p)=p-1。当n>2时,a(n)是偶数。对于n>2,a(n)/2=A023022号(n) =将n划分为2个有序相对素部分的数量-亚历山大·阿达姆楚克2007年1月25日
n阶循环群的自同构数-贝诺伊特·朱宾,2008年8月9日
a(n+2)等于长度为n的斯图尔曼回文单词的数量,这些单词是“双特殊”的,是两个长度为n+1的斯图尔曼单词的前缀或后缀-弗雷德·伦农2010年9月5日
假设a和n是互质正整数,那么根据欧拉的方向定理,n的任何因子都可以除以aφ(n)-1-雷舟(Lei Zhou)2012年2月28日
如果m有k个素因子(p_1,p_2,…,p_k),那么phi(m*n)=(Product_{i=1..k}phi(p_i*n))/phi(n)^(k-1)。例如,φ(42*n)=φ(2*n)*φ(3*n)*φ(7*n)/φ(n)^2-加里·德特利夫斯2012年4月21日
和{n>=1}a(n)/n!=1.954085357876006213144…该总和在普劳夫逆变器中引用-亚历山大·波沃洛茨基2013年2月2日(参见A336334飞机. -雨果·普费尔特纳2020年7月22日)
模n的乘法单位群的阶-迈克尔·索莫斯2013年8月27日
一个强可除序列,即所有正整数n和m的gcd(A(n),A(m))=A(gcd(n,m))-迈克尔·索莫斯2016年12月30日
发件人埃里克·德斯比亚2017年1月1日:(开始)
a(n)等于Ramanujan和c_n(n)(三角形第n行的最后一项A054533号).
a(n)等于Jordan函数J_1(n)(参见。A007434号A059376号A059377号,分别是Jordan函数J_2、J_3、J_4)。(结束)
对于n>1,a(n)似乎等于n的半弯曲解的数量,顶部拱正好包含2个山脉和2个长度为1的拱-罗杰·福特2017年10月11日
a(n)是能够通过切割和投影生成衍射图案具有n倍旋转对称性的准晶格的晶格的最小尺寸。在n=15的情况下,第一个n>1的简单定义失败了:“a(n)是n重旋转对称晶格的最小维数”-菲利克斯·弗利克2017年11月8日
第一行按升序排列的n阶循环拉丁正方形的数量-爱德华·瓦图丁2020年11月1日
a(n)是有理数p/q>=0(以最低值表示)的数目,使得p+q=n-雷米·西格里斯特2021年1月17日
发件人理查德·L·奥勒顿,2021年5月8日:(开始)
涉及a(n)和某些序列h(n)的Dirichlet卷积的许多OEIS条目的公式可以使用以下公式(n>=1)导出:
求和{d|n}φ(d)*h(n/d)=求和{k=1..n}h(gcd(n,k))[参见P.h.van der Kamp链接]=求和}d|n{h(d)*φ(n/d)=加和{k=1。同样,
求和{d|n}φ(d)*h(d)=求和{k=1..n}h(n/gcd(n,k))=求并{k=1..n}h。
一般来说,
Sum_{d|n}h(d)=Sum_{k=1..n}h(gcd(n,k))/phi(n/gcd(n,k))=Sum_{k=1..n}h(n/gcd(n,k))/phi(n/gcd(n,k))。
特别是,对于涉及Möbius变换的序列:
求和mu(d)*h(n/d)=求和{k=1..n}h(gcd(n,k))*mu(n/gcd(n,k))/phi=A008683号.
使用gcd(n,k)*lcm(n,k)=n*k和phi(gcd(n,k))*phi(lcm(n,k))=phi(n)*phi(k)提供了进一步的变化。(结束)
发件人理查德·L·奥勒顿,2021年11月7日:(开始)
可以使用替换h(n)=log(f(n))找到与上述总和对应的乘积公式,其中f(nA018804号和产品A067911型gcd(n,k)):
产品{d|n}f(n/d)^phi(d)=产品{k=1..n}f,
产品{d|n}f(d)^phi(d)=产品{k=1..n}f,
产品{d|n}f(d)=产品{k=1..n}f,
产品{d|n}f(n/d)^mu(d)=产品{k=1..n}f=A008683号.(结束)
a(n+1)是具有n个不同子序列的二进制字的数量(当n>0时)-拉多斯瓦夫·扎克2021年11月29日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准局应用数学。1964年第55辑(以及各种重印本),第840页。
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链接
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Paul Erdős、Andrew Granville、Carl Pomerance和Claudia Spiro,关于某些算术函数迭代的正规性《解析数论》,伯赫用户波士顿,1990年,第165-204页。
Paul Erdős、Andrew Granville、Carl Pomerance和Claudia Spiro,关于某些算术函数迭代的正规性《解析数论》,伯赫用户波士顿,1990年,第165-204页。[带A编号的注释副本]
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埃里克·魏斯坦的数学世界,莫比乌斯变换.
埃里克·魏斯坦的数学世界,Totient函数.
维基百科,欧拉函数.
维基百科,Ramanujan总和
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公式
φ(n)=n*Product_{不同素数p除以n}(1-1/p)。
和{d除以n}φ(d)=n。
phi(n)=Sum{d除以n}mu(d)*n/d,即自然数的Moebius变换;mu()=Moebius函数A008683号().
Dirichlet生成函数Sum_{n>=1}phi(n)/n^s=zeta(s-1)/zeta(s)。同时求和{n>=1}φ(n)*x^n/(1-x^n)=x/(1-x)^2。
与a(p^e)=(p-1)*p^(e-1)相乘-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
求和{n>=1}(φ(n)*log(1-x^n)/n)=-x/(1-x)for-1<x<1(cf。A002088号) -亨利·博托姆利2001年11月16日
a(n)=二项式(n+1,2)-和{i=1..n-1}a(i)*楼层(n/i)(参见A000217号用于反转)-乔恩·佩里2004年3月2日
这是一个经典的结果(Landau,1909),lim-inf n/phi(n)=1(取n为素数),lim sup n/(phi(n。例如,见Ribenboim,第319-320页彼得·莫雷,2004年9月10日
a(n)=Sum_{i=1..n}|k(n,i)|其中k(n、i)是Kronecker符号。同时a(n)=n-#{1<=i<=n:k(n,i)=0}-贝诺伊特·克洛伊特,2004年8月6日[修订人宋嘉宁2018年9月25日]
猜想:和{i>=2}(-1)^i/(i*phi(i))存在,约为0.558(A335319飞机). - Orges Leka(奥列卡(AT)学生,uni-mainz.de),2004年12月23日
发件人恩里克·佩雷斯·埃雷罗2010年9月7日:(开始)
a(n)=总和{i=1..n}层(sigma_k(i*n)/sigma_k(i)*sigma_ k(n)),其中sigma_2是A001157号.
a(n)=和{i=1..n}层(tau_k(i*n)/tau_k(i)*tau_k(n)),其中tau_3为A007425美元.
a(n)=总和{i=1..n}楼层(rad(i*n)/rad(i)*rad(n)),其中rad为A007947号.(结束)
a(n)=A173557号(n)*A003557号(n) ●●●●-R.J.马塔尔2011年3月30日
a(n)=A096396号(n)+A096397号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月24日
φ(p*n)=φ(n)*(floor((n+p-1)mod p)/(p-1))+p-1,对于素数p-加里·德特利夫斯2012年4月21日
对于奇数n,a(n)=2*A135303型(n-1)/2)*A003558号(n-1)/2)或φ(n)=2*c*k;Pedersen等人的Coach定理。A135303型. -加里·亚当森2012年8月15日
G.f.:总和{n>=1}mu(n)*x^n/(1-x^n)^2,其中mu(n)=A008683号(n) ●●●●-马穆卡·吉卜拉泽2015年4月5日
a(n)=n-余弦(n)=n-A051953号(n) ●●●●-奥马尔·波尔2016年5月14日
a(n)=lim{s->1}n*zeta(s)*(和{d除以n}A008683号(d) /(e^(1/d))^(s-1)),对于n>1-Mats Granvik公司2017年1月26日
猜想:当n>1时,a(n)=Sum_{a=1..n}Sum__{b=1..n{Sum_}c=1..n*1。总和大于a,b,c,因此n*c-a*b=1-本尼迪克特·欧文2017年4月3日
a(n)=求和{j=1..n}gcd(j,n)cos(2*Pi*j/n)=求和{j=1..n}gcd(j,n)exp(2*Pi*i*j/n),其中i是虚单位。注意Ramanujan的和c_n(k):=sum_{j=1.n,gcd(j,n)=1}exp(2*Pi*i*j*k/n)给出了a(n)=sum_{k|n}k*c(n/k)(1)=sum_{k|n}k*mu(n/k)-迈克尔·索莫斯,2018年5月13日
G.f.:x*d/dx(x*d/dx(log(Product_{k>=1}(1-x^k)^(-mu(k)/k^2))),其中mu(n)=A008683号(n) ●●●●-马穆卡·吉卜拉泽2018年9月20日
a(n)=和{d|n}A007431号(d) ●●●●-史蒂文·福斯特·克拉克2019年5月29日
G.f.A(x)满足(x)=x/(1-x)^2-Sum_{k>=2}A(x^k)-伊利亚·古特科夫斯基2019年9月6日
a(n)>=平方(n/2)(尼古拉斯)-雨果·普费尔特纳,2020年6月1日
a(n)>n/(exp(gamma)*log(log(n)))+5/(2*log-雨果·普费尔特纳2020年6月2日
发件人伯纳德·肖特2020年11月28日:(开始)
和{m=1..n}1/a(m)=A028415号(n)/A048049型(n) 当n->oo时->oo。
和{n>=1}1/a(n)^2=A109695号.
和{n>=1}1/a(n)^3=A335818飞机.
和{n>=1}1/a(n)^k是收敛的,如果k>1。
a(2n)=a(n)iffn是奇数,a(2n)>a(n。(结束)[实际上,对于偶数n,a(2n)=2*a(n)-宋嘉宁2022年9月18日]
a(n)=2*A023896号(n) /n,n>1-理查德·福伯格,2021年2月3日
发件人理查德·L·奥勒顿,2021年5月9日:(开始)
对于n>1,求和{k=1..n}φ^{(-1)}(n/gcd(n,k=A023900号.
当n>1时,求和{k=1..n}a(gcd(n,k))*mu(rad(n(k)))*rad(gcd。
对于n>1,求和{k=1..n}a(gcd(n,k))*mu(rad(n/gcd(n,k)。
求和{k=1..n}a(gcd(n,k))/a(n/gcd(n,k))=n(结束)
a(n)=Sum_{d|n,e|n}gcd(d,e)*mobius(n/d)*mobilus(n/e)(总和是n乘以Tóth的乘法函数,取n=p^e的素数幂p^e-p^(e-1))-彼得·巴拉2024年1月22日
和{n>=1}φ(n)*x^n/(1+x^n)=x+3*x^3+5*x^5+7*x^7+…=和{n>=1}φ(2*n-1)*x^(2*n-1)/(1-x^。关于第一个等式,见Pólya和Szegő,问题71,第126页-彼得·巴拉2024年2月29日
示例
G.f.=x+x ^2+2*x ^3+2*x ^4+4*x ^5+2*x^6+6*x ^7+4*x^8+6*x^9+4*x ^10+。。。
a(8)=4,{1,3,5,7}单位模为8。a(10)=4,{1,3,7,9}单位模为10-迈克尔·索莫斯2013年8月27日
发件人爱德华·瓦图丁,2020年11月1日:(开始)
第一行按升序排列的a(5)=4循环拉丁方为:
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3
2 3 4 0 1 4 0 1 2 3 1 2 3 4 0 3 4 0 1 2
3 4 0 1 2 1 2 3 4 0 4 0 1 2 3 2 3 4 0 1
4 0 1 2 3 3 4 0 1 2 2 3 4 0 1 1 2 3 4 0
(结束)
MAPLE公司
带有(数字理论):A000010号:=phi;[seq(φ(n),n=1..100)];#版本1
使用(数字理论):phi:=proc(n)局部i,t1,t2;t1:=系数(n)[2];t2:=n*mul((1-1/t1[i][1]),i=1..nops(t1));结束;#版本2
#无库功能的替代方案:
A000010列表:=proc(N)local i,j,phi;
φ:=数组([seq(i,i=1..N+1)]);
对于i从2到N+1 do
如果φ[i]=i,则
对于j,从i乘i到N+1 do
phi[j]:=phi[j]-iqoo(phi[j],i)od
光纤;
返回φ结束:
A000010列表(68)#彼得·卢什尼2023年9月3日
数学
数组[EulerPhi,70]
黄体脂酮素
(公理)[eulerPhi(n)代表1..100]
(岩浆)[EulerPhi(n):n in[1..100]];//谢尔盖·哈勒(Sergei(AT)Sergei-Haller.de),2006年12月21日
(PARI){a(n)=如果(n==0,0,eulerphi(n))}/*迈克尔·索莫斯2011年2月5日*/
(鼠尾草)
#euler_phi是Sage中的标准函数。
定义A000010号(n) :返回euler_phi(n)
定义A000010号_list(n):return[euler_phi(i)for i in range(1,n+1)]
#Jaap间谍2007年1月7日
(PARI){表示(n=1100000,写(“b000010.txt”,n,“”,eulerphi(n));}\\哈里·J·史密斯,2009年4月26日
(Sage)[范围(1,70)中n的euler_phi(n)]#零入侵拉霍斯,2009年6月6日
(Maxima)标记列表(totiten(n),n,0,1000)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月26日*/
(Haskell)a n=长度(滤波器(==1)(映射(gcd n)[1.n]))--艾伦·C·韦克斯勒2014年12月29日
(Python)
从理论意义到实践意义
打印([范围(1,70)中i的totiten(i)])#因德拉尼尔·戈什2017年3月17日
(Python)#另请注意中的实现A365339型.
(Julia)#计算序列的前N项。
函数A0000010列表(N)
phi=[i对于1:N+1]中的i
对于2中的i:N+1
如果φ[i]==i
对于i:i:N+1中的j
φ[j]-=div(φ[j],i)
端-端-端
返回φ端
println(A000010列表(68))#彼得·卢什尼2023年9月3日
交叉参考
囊性纤维变性。A002088号(部分金额),A008683号A003434号(达到1的步骤),A007755号A049108号A002202号(值),A011755号(总和k*phi(k))。
另请参阅A005277号(无提示数字)。有关反向,请参见A002181号A006511号A058277号.
Jordan函数J_k(n)是一个泛化-请参见A059379号A059380美元(J_k(n)值的三角形),此序列(J_1),A007434号(J_2),A059376号(J_3),A059377号(J_4),A059378号(J_5)。
囊性纤维变性。A054521号A023022号A054525号.
等于三角形的左右边界A159937号. -加里·亚当森2009年4月26日
素数幂p^e的值:A006093号(e=1),A036689号(e=2),A135177号(e=3),A138403号(e=4),A138407号(e=5),A138412号(e=6)。
完美幂n^e的值:A002618号(e=2),A053191号(e=3),A189393号(e=4),238533英镑(e=5),A306411型(e=6),A239442号(e=7),A306412型(e=8),2009年2月43日(e=9)。
囊性纤维变性。A003558号A135303型.
囊性纤维变性。A152455号A080737号.
囊性纤维变性。A076479号.
囊性纤维变性。A023900号(φ的Dirichlet逆),A306633型(s=3时的Dgf)。
关键词
容易的核心非n多重美好的听到
作者
状态
经核准的
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