基本相同序列的族。N、 斯隆(njasloane@gmail.com)2021年3月24日摘要:在整数序列的在线百科全书(OEIS)中有许多例子,其中一个序列以几种不同的形式出现,通过简单的转换(如取差分、为每个项添加一个常量等)而与每种形式不同。这里我们描述四个这样的家庭。第一种是基于黄金比率,由序列组成,这些序列可以通过简单的变换从A000201导出。第二个基于sqrt(2)(“银比”)和A003151,第三个基于Euler的toient函数和a00010。第四种是基于完全二部图K{n,n}和a15004中的区域计数。这些列表上的任何序列都可以被视为“已解决”。0.介绍。----------------从OEIS中看一个条目是“容易”还是“难”并不总是很清楚,尽管这通常是最基本的问题。所有这些都很简单。这些序列都可以从父序列(A000201,A003151,…)中获得通过一系列本质上可逆的变换。所考虑的转换是如下操作及其逆操作的组合。假设A是“已知的”,我们得到B。那么我们认为B是“已知的”,如果::B=A的第一个差分或部分和:B是通过在A中添加或删除初始项来获得的:B是通过将常数(或n的简单函数)加到a的项上得到的:B通过将A乘以或除以常数(或n的简单函数)得到:如果A严格递增,B是A在自然数中的补码:如果A在有限字母表上,而B是通过字母排列得到的:B是通过一个标准可逆变换(如二项式或Moebius变换)从A获得的。:B是A的特征函数在某些情况下,由于一个非平凡定理,B与A是相同的。此外,我们还允许::*B是a的二等分*用星号(*)标记的转换是不可逆的。笔记:------这个项目不打算太正式。我们的目标是理解。这些操作应该适度运用,否则“本质上等同于”将成为“远亲”。我们只考虑无限序列这些清单当然不完整,需要检查。请将对类似列表的任何更正、添加或建议发送至njasloane@gmail.com在下面的列表中,条目可以从列表中较高的条目派生。在一些情况下,依赖关系只是推测的(并且是这样表示的)。R、 J.Mathar友好地对这些族进行了图形化可视化:可以在条目A000010、A000201、A003151和A115004的链接部分看到它们。1.A000201或Golden Ratio系列。--------------------------------------A000201 a(n)=楼层(n*phi),一个Beatty序列,下Wythoff序列:1,3,4,6,8,9,11,12,14,16,17,19,21,22,24,25,27,29,30。。。A001950 a(n)=楼层(n*phi^2),上Wythoff序列,A000201的补充A001468=A000201=前面有1的{2,1}上的Fibonacci字的第一个差异A022342=从A000201的项中减去1A001030=交换A001468中的1和2A014675=Fibonacci字在{1,2}=删除A001468的第一项A003622 a(n)=A022342(n)+nA004641=从A001030的项中减去1A003849=光纤。word on{0,1}=从A014675的项中减去1A003842=交换A014675中的1和2A088462=A004641的部分和A005614=交换A003849中的0和1A124841=A000201的二项式逆变换,也是A005614的二项式逆变换A096270=A005614,有初始条件A114986=带初始项的A000201特征函数A276854*=A000201(2*n)A342279*=A000201(2*n+1)A001962*=A001950(2*n)A001966*=A001950(2*n+1)A001961*=A001962的补码2.A003151或银比系列。--------------------------------------A003151=[n*(1+sqrt(2)],一个好的序列2、4、7、9、12、14、16、19、21、24、26、28、31、33、36、38、41、43、45。。。A003152=A003151的补码A276862=A003151的第一个差异A097509=向A276862添加初始项(定理)A082844=从A276862中删除初始项(推测)A245219=A097509(推测)A001951=[n*sqrt(2)]=A003151(n)-nA001952=A001951的补码A006337=A001951的第一个差异=从A276862中减去1=Hofstadter eta序列A159684=从A006337中减去1=从A276862中减去2A080763=交换A006337中的1和2A188037=0后接A159684A197878*=A003151(2*n)A215247*=A003151(2*n-1)A001954*=A003152(2*n+1)A001953*=A001954的补码A022842*=A001951(2*n)A342281*=A001951(2*n+1)A187393*=A001952(2*n)A342280*=A001952(2*n+1)A187394*=A187393的补充3.基于Euler ToClient(或phi)函数A000010的序列。------------------------------------------------------------------a00010=phi(n)=个数<=n且相对质数为n1,1,2,2,4,2,6,4,6,4,4,12,6,8,8,16,6,18,8,12。。。A057000=φ(n)的第一个差值A002088=φ(n)的部分和A092249=A002088无前导项A109606=功率因数(n)-1A039649=功率因数(n)+1A051953=n-φ(n)A140434=2*phi(n),对于n>1A023022=phi(n)/2,对于n>1A127473=φ(n)^2A005728=A002088(n)+1A063985=A051953的部分和A062790=A051953的Moebius变换A018805=A140434的部分和A049643=A005728第一项不同A062570*=A000010(2*n)A037225*=A000010(2*n+1)4.A115004和完全二部图K{n,n}中的计数区域。-----------------------------------------------------------------A115004:z(n)=和{i=1..n,j=1..n,gcd(i,j)=1}(n+1-i)*(n+1-j)1、8、31、80、179、332、585、948、1463、2136、3065、4216、5729、7568。。。A088658=4*z(n-1)A114043=2*z(n-1)+2*n^2-2*n+1A114146=2*A114043(n)A115005=z(n-1)+n*(n-1)A141255=2*z(n-1)+2*n*(n-1)A290131=z(n-1)+(n-1)^2A306302=z(n)+n^2+2*nA331771=4*A115005A331759*=z(2*n+1)A331760*=z(2*n)/4(结束)