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Totient函数

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totiten函数φ（n）,也称为Euler的totient函数，定义为积极的整数 <=n是的相对质数到（即不包含任何与）相同的因素n个，其中1被视为相当地首要的所有数字。因为一个小于或等于和的数字相当地首要的对给定的数字称为累加的，的指向函数φ（n）可以简单地定义为总计属于n个例如，有八个总计24（1、5、7、11、13、17、19和23），因此φ（24）=8.

totient函数在沃尔夫拉姆语言作为EulerPhi公司[n个].

数字nφ（n）被称为共音的属于n个并给出了正整数的个数<=n至少有一个素因子与n个.

φ（n）总是即使对于n> =3.按照惯例，φ（0）=1,虽然Wolfram语言定义EulerPhi公司[0]等于0以与其一致因子整数[0]命令。的前几个值φ（n）对于n=1, 2, ... 是1，1，2，2，4，2，6，4，6，4，10。。。（组织环境信息系统A000010号). totient函数由下式给出这个莫比乌斯变换第1、2、3、4…页。。。（斯隆和普劳夫，1995年，第22页）。φ（n）上面绘制的是小n个.

对于首要的 第页,

φ（p）=p-1，
(1)

因为所有数字都小于第页是相对质数到第页.如果m=p^α是一个权力的首要的,然后是与米是的倍数第页:第页,2便士, ...,（p^（字母-1））p。有p^（字母-1）所以因子的数量相对质数到p^阿尔法是

φ（p^α）=p^字母-p^（alpha-1）
(2)
=p^（字母-1）（p-1）
(3)
=p^α（1-1/p）。
(4)

现在以将军为例米可被……除尽第页.让phip（米）是的数字正整数 <=米不可除尽的通过第页如前所述，第页,2便士, ...,（米/磅）有共同的因素，所以

phip（米）=米/磅
(5)
=米（1-1/p）。
(6)

现在让我们q个成为其他人首要的划分米. The整数可被……除尽q个是q个,第2季度, ...,（m/q）个但是这些复制品pq值,2个像素, ...,（m/（pq））pq因此，必须从phi_p公司以获得phi（pq）是

德尔塔皮克（m）=m/q-m/（pq）
(7)
=m/q（1-1/p），
(8)

和

phi（pq）（米）=phi_p（m）-德尔塔菲_q（m）
(9)
=米（1-1/p）-米/平方米（1-1/p）
(10)
=米（1-1/p）（1-1/q）。
(11)

通过归纳，一般情况是

φ（n）=n乘积（p|n）（1-1/p）
(12)
=n（1-1/（p_1））（1-1/（p_2））。。。（1-1/（p_r）），
(13)

产品覆盖所有质数第页划分n个.一个有趣的身份相关φ（n^k）到φ（n）由提供

φ（n^k）=n^（k-1）φ（n）
(14)

（A.Olofsson，pers.comm.，2004年12月30日）。

另一个身份与约数 d日属于n个到n个通过

总和φ（d）=n。
(15)

totient函数连接到莫比乌斯函数 μ（n）通过总和

总和（d）dmu（n/d）=φ（n），
(16)

其中总和超过的除数n个，可以通过归纳证明n个事实上亩（n）和φ（n）乘法（Berlekamp 1968，第91-93页；vanLint和Nienhuys，1991年，第123页）。

totient函数具有迪里克莱生成函数

总和（n=1）^系数（φ（n））/（n^s）=（zeta（s-1））/
(17)

对于s> 2个（Hardy和Wright，1979年，第250页）。

totient函数满足不平等

φ（n）>=sqrt（n）
(18)

为所有人n个除了n=2和n=6（Kendall和Osborn，1965年；Mitrinović和Sándor，1995年，第9页）。因此，的唯一值n个对于其中φ（n）=2是n=3,4和6。此外，对于复合材料n个,

φ（n）<=n-sqrt（n）
(19)

（Sierpinski和Schinzel，1988年；Mitrinović和Sándor，1995年，第9页）。

TotientFunctionInequality公司

φ（n）也满足了

lim-inf_（n->infty）phi（n）（lnlnn）/n=e^（-γ），
(20)

哪里伽马射线是Euler-Mascheroni常数. The的值n个对于其中φ（n）<e^（-γ）n/（lnlnn）由3、4、5、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20、22。。。（组织环境信息系统A100966号).

这个除数函数满足同余

nsigma（n）=2（模φ（n））
（21）
={0（mod phi（n）），如果φ（n）=2
（22）

为所有人素数 p> =5而且没有混合成的除了4、6和22，其中西格玛（n）是除数函数.Subbarao（1974）证明了这一事实，尽管有相反的含义，“无限多个复合物是真的吗？”n个?,“Guy（1994年，第92页）中指出，随后的一项查询摘自Guy（2004年，第142页）。不混合成的解决方案目前已知

n-1=0（模φ（n））
(23)

（Honsberger 1976年，第35页）。

一个推论Zsigmondy定理导致以下一致性，

φ（a^n+b^n）=0（模n）
(24)

（Zsigmondy 1882，Moree 2004，Ruiz 2004ab）。

最初的几个n个对于其中

phi（n）=phi（n+1）
(25)

由1、3、15、104、164、194、255、495、584、975。。。（组织环境信息系统A001274号)，具有共同的价值观φ（n）=1, 2, 8, 48, 80, 96, 128, 240, 288, 480, ... （组织环境信息系统A003275号).

唯一的n<10^（10）对于其中

φ（n）=φ（n+1）=φ
(26)

是n=5186,给

φ（5186）=φ（5187）=phi（5188）=2^53^4
(27)

（Guy 2004，第139页）。

的值φ（n）共享给n个紧密相连的包括

φ（25930）=φ（25935）=φ（25940）=φ
(28)
=2^73^4
（29）
φ（404471）=φ（404473）=φ（404777）
(30)
=2^83^25^27
(31)

（Guy 2004，第139页）。麦克拉尼发现了一个由六个数字组成的等差数列，

φ（583200）=φ（583230）=φ=φ（583320）=φ（58 3350）=155520，
（32）

以及从1166400、1749600开始的六个数字的其他级数。。。（组织环境信息系统A050518号).

如果哥德巴赫猜想为true，则对于每个正整数米，有素数 第页和q个这样的话

φ（p）+φ（q）=2米
(33)

（Guy 2004，第160页）。Erdős询问这是否适用于第页和q个不一定是质数，但这种宽松的形式尚未得到验证（Guy 2004，第160页）。

Guy（2004年，第150页）讨论了

φ（σ（n））=n，
(34)

哪里西格玛（n）是除数函数F.Helenius已经找到365个这样的解决方案，其中第一个是2、8、12、128、240、720、6912、32768、，142560, 712800, ... （组织环境信息系统A001229号).

另请参见

Cototent公司,Dedekind函数,欧拉的托蒂恩法则,费马的小定理,莱默的图腾问题,Leudesdorf定理,无意识,非totient,西尔弗曼常量,托特语,托蒂恩求和函数,总配价函数 探索此主题在数学世界教室里

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/EulerPhi/

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参考Wolfram | Alpha

Totient函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Totient函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/TotientFunction.html

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