显示找到的22个结果中的1-10个。
2, 1, -1, -2, 1, 6, -3, -34, 17, 310, -155, -4146, 2073, 76454, -38227, -1859138, 929569, 57641238, -28820619, -2219305810, 1109652905, 103886563462, -51943281731, -5810302084962, 2905151042481, 382659344967926
评论
第一行序列的数组A（n，k）=A（n-1，k+1）-A（n-1、k）和后续行中的高阶序列开始于：
2, 1, -1, -2, 1, 6, -3, ...
-1, -2, -1, 3, 5, -9, -31, ...
-1, 1, 4, 2, -14, -22, 82, ...
2, 3, -2, -16, -8, 104, 160, ...
1, -5, -14, 8, 112, 56, -1160, ...
-6, -9, 22, 104, -56, -1216, -608, ...
-3, 31, 82, -160, -1160, 608, 18880, ...
等。
a（n）是一个自动序列：它的二项式逆变换是序列（直到一个符号），这意味着差分数组中的顶行和左列具有相同的绝对值。
主对角线是第一条上对角线的两倍：A（n，n）=2*A（n、n+1）。
例子
a（0）=0-2*（-1）=2，
a（1）=-1-2*（-1）=1，
a（2）=-1-2*0=-1，
a（3）=0-2*1=-2，
a（4）=1-2*0=1，
a（5）=0-2*（-3）=6。
MAPLE公司
如果n=0，则
0;
其他的
泽塔（1-n）*2*n*（2^n-1）；
结束条件：；
结束进程：
数学
a[0]=2；a[1]＝1；a[n_]：=n欧拉E[n-1，0]-2（n+1）欧拉E[n，0]；
a（n）=-和{k=0..n}二项式（n，k）*A226158型（k） ●●●●。
+20
2
0, 1, 3, 6, 9, 10, 9, 14, 33, 18, -135, 22, 2097, 26, -38199, 30, 929601, 34, -28820583, 38, 1109652945, 42, -51943281687, 46, 2905151042529, 50, -191329672483911, 54, 14655626154768753, 58, -1291885088448017655, 62, 129848163681107302017, 66
评论
设T（n，k）表示a（n）的差分表。
（-1）^（k+1）*T（3，3+k）=T（k+3，3）对于k>=0。
0, 1, 3, 6, 9, 10, ...
1, 2, 3, 3, 1, -1, ...
1, 1, 0, -2, -2, 6, ...
0, -1, -2, 0, 8, 8, ...
-1, -1, 2, 8, 0, -56, ...
0, 3, 6, -8, -56, 0, ...
定义反映了恒等式2*（（1-2^n）*B（n，1）+n）=
2*Sum_{k=0..n}C（n，k）*（2^k-1）*B（k，1）其中B（n，x）表示伯努利多项式-彼得·卢什尼，2014年4月16日
配方奶粉
a（2n）可被3整除。
a（n）=2*（（1-2^n）*B（n，1）+n），B（n、x）伯努利多项式-彼得·卢什尼2014年4月16日
a（n）=（-2）^n*（B（n，-1/2）-B（n，0）），其中B（n、x）表示第n个伯努利多项式。更一般地，对于任何非零整数k，k^n*（B（n，1/k）-B（n，0））是n>=0的整数。囊性纤维变性。A083007号.
a（0）=0，对于n>=1，a（n）=1-1/（n+1）*Sum_{k=1..n-1}（-2）^（n-k）*二项式（n+1，k）*a（k）。
例如：2*x*exp（2*x）/（1+exp（x））=x+3*x^2！+6*x^3/3！+。。。。（结束）
a（n）=和{k=0..n-1}2^k*二项式（n，k）*Bernoulli（k，1）-彼得·卢什尼2021年8月17日
MAPLE公司
A239977号：=n->2*（（1-2^n）*bernoulli（n，1）+n）：
黄体脂酮素
（岩浆）[0，1]类[2*（（1-2^n）*Bernoulli（n）+n）：[2..40]]中的n//文森佐·利班迪2015年3月3日
0, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 4, -13, -13, 142, 142, -1931, -1931, 36296, 36296, -893273, -893273, 27927346, 27927346, -1081725559, -1081725559, 50861556172, 50861556172, -2854289486309, -2854289486309
评论
0, 1, 1, 0 -1, 0,
1, 0, -1, -1, 1, 3,
-1, -1, 0, 2, 2, -6,
0, 1, 2, 0, -8, -8,
1, 1, -2, -8, 0, 56,
0、-3、-6、8、56、0等。
在表格上，我们将主对角线延长了0，然后在同一行上延长了0。因此
0, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 1,
0, 1, 0, -1, -1, 1, 3, -3,
1, -1, -1, 0, 2, 2, -6, -14,
-2, 0, 1, 2, 0, -8, -8, 48,
2, 1, 1, -2, -8, 0, 56, 56,
-1, 0, -3, -6, 8, 56, 0, -608,
1、-3、-3、14、48、-56、-608、0等。
第一行a（n）等于其带符号的二项式逆变换，差分表的主对角线由0组成，因此它是第一类自动序列。
数学
最大值=24；p[0，_]=1；p[n，x_]：=（1+x）*（（1+x）^（n-1）+x^（n-1））/2；t=表[系数[p[n，x]，x，k]，{n，0，max+2}，{k，0，最大+2}]；a[n_]：=逆[t][[All，3]][[n+3]]；A133135号=表[a[n]，{n，0，max}]；联接[{0，0，0}，表[（-1）^n*A133135号[[n+1]]，{n，0，最大}]]
（*或*）
0, 0, 2, 3, 0, -5, 0, 21, 0, -153, 0, 1705, 0, -26949, 0, 573405, 0, -15802673, 0, 547591761, 0, -23302711005, 0, 1194695479813, 0, -72628776062025, 0, 5165901157067001, 0, -425013158488292213, 0
评论
自动序列是一个具有与符号序列相等的二项式逆变换的序列。如果主对角线为A000004号=0是第一种。如果主对角线是上对角线乘以2，则属于第二类。
1, 1/2, 0, -1/4, 0, 1/2, 0, -17/8, 0, 31/2,...
0, 1, 1, 0, -1, 0, 3, 0, -17, 0, 155,... = -A226158型（n）
0, 0, 2, 3, 0, -5, 0, 21, 0, -153, 0, 1705,... = a（n）。
a（n）是第二类自动序列。其差异表为：
0, 0, 2, 3, 0, -5, 0, 21, 0, -153,...
0, 2, 1, -3, -5, 5, 21, -21,...
2, -1, -4, -2, 10, 16, -42,...
-3, -3, 2, 12, 6, -58,..
0, 5, 10, -6, -64,...
5, 5, -16, -58,...
0, -21, -42,...
-21, -21,...
0,... .
a（n）是一个后基因组序列。
配方奶粉
1, -5/2, 5/2, 0, 0, -21/2, 21/2,... = b（n）。
c（n）=0,0,0,10，后跟2*（-1）^n*b（n）=0,00,0，2，5，5，0，0，21，21，-132，-132。自动排序。
a（n）=c（n+2）-c（n+1）。
例子
a（0）=0，a（1）=1*0=0，b（2）=2*1=2，b（3）=3*1=3，a（4）=4*0=O，a（5）=5*（-1）=-5。
反对偶读取数组T（n，k），其中T（0，k）=-A226158型（k） T（n+1，k）=2*T（n，k+1）-T（n，k）。
+20
0
0, 2, 1, 0, 1, 1, -6, -3, -1, 0, 0, -3, -3, -2, -1, 50, 25, 11, 4, 1, 0, 0, 25, 25, 18, 11, 6, 3, -854, -427, -201, -88, -35, -12, -3, 0, 0, -427, -427, -314, -201, -118, -65, -34, -17, 24930, 12465, 6019, 2796, 1241, 520, 201, 68, 17, 0
评论
取T（n，k）=-A226158型（k） 及其通过T（n+1，k）=2*T（n，k+1）-T（n，k）的变换：
0, 1, 1, 0, -1, 0, 3, 0, -17, ...
2, 1, -1, -2, 1, 6, -3, -34, ... =A230324型
0, -3, -3, 4, 11, -12, -65, ...
-6, -3, 11, 18, -35, -118, ...
0, 25, 25, -88, -201, ...
50, 25, -201, -314, ...
0, -427, -427, ...
-854, -427, ...
0, ...
a（n）是增加的反对偶数的三角形。
例子
三角形a（n）：
0,
2, 1,
0, 1, 1,
-6, -3, -1, 0,
0, -3, -3, -2, -1,
50, 25, 11, 4, 1, 0,
等。
数学
t[0,0]=0；t[0,1]=1；t[0，k_]：=-k*EulerE[k-1，0]；t[n，k]：=t[n，k]=-t[n-1，k]+2*t[n-1，k+1]；表[t[n-k，k]，{n，0，9}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年8月4日*）
0, 1, 1, -1, -3, 3, 17, -17, -155, 155, 2073, -2073, -38227, 38227, 929569, -929569, -28820619, 28820619, 1109652905, -1109652905, -51943281731, 51943281731, 2905151042481, -2905151042481, -191329672483963, 191329672483963, 14655626154768697, -14655626154768697
评论
这就产生了可能的Genocchi孪生数：-1，-1，然后是a（n）。
配方奶粉
a（n）=2*（2^（n+1）-1）*B+（n+1。
数学
a[n]：=（n+2）*EulerE[n+1，0]-（n+1）*Euler E[n，0]；a[0]=0；表[a[n]，｛n，0，30｝]（*或：*）
联接[{0}，数组[#*EulerE[#-1，0]&，32]//Differences//Rest]
基诺基数（第一类）；无符号系数给出x*tan（x/2）的展开式。
（原名M3041 N1233）
+10
76
-1, 1, -3, 17, -155, 2073, -38227, 929569, -28820619, 1109652905, -51943281731, 2905151042481, -191329672483963, 14655626154768697, -1291885088448017715, 129848163681107301953, -14761446733784164001387, 1884515541728818675112649, -268463531464165471482681379
评论
Genocchi数满足Seidel递推：对于n>1，0=Sum_{j=0..[n/2]}C（n，2j）*a（n-j）-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月17日
（n+1）st Genocchi数是2n个字母上第一类Dumont置换的数目。在第一类Dumont置换中，每个偶数后必须跟一个较小的整数，每个奇数后必须跟着一个较大的整数或是最后一个元素-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月26日
根据Hetyei[2017]的说法，“交替非循环锦标赛中，除了最大的一个顶点外，每个顶点都至少开始一次上升，这是由第一类Genocchi数计算的。”-丹尼·罗拉博2017年4月25日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第49页。
L.Euler，《微分学研究所》，第2卷（1755年），第。181
A.Fletcher、J.C.P.Miller、L.Rosenhead和L.J.Comrie，《数学表格索引》。卷。第1版和第2版，牛津大学布莱克威尔和艾迪森·韦斯利出版社，马萨诸塞州雷丁，1962年，第1卷，第73页。
A.Genocchi，Intorno all’espressione generale de’numeri Bernulliani，《科学年鉴》。材料费。，3 (1852), 395-405.
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年，第528页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见问题5.8。
链接
Dominique Dumont和Arthur Randrianarivony，Genocchi的范围和名称，离散数学。132 (1994), 37-49.
理查德·埃伦伯格（Richard Ehrenborg）和艾纳·斯坦格利姆松（Einar Steingrímsson），Genocchi数字的另一个三角形《欧洲联合杂志》21（2000），第5期，593-600。MR1771988（2001h:05008）。
I.M.Gessel，经典本影演算的应用，arXiv:math/0108121[math.CO]，2001年。
J.M.Hammersley，操纵本科生练习，数学。《科学家》，14（1989），1-23。
J.M.Hammersley，操纵本科生练习，数学。科学家，14（1989），1-23。（带注释的扫描副本）
加博尔·海泰伊，交替非循环锦标赛，arXiv:math/1704.07245[math.CO]，2017年。
T.Mansour，限制的132-数量排列，arXiv:math/0209379[math.CO]，2002年。
H.M.Terrill和E.M.Terrisl，与切线系数相关的数字表J.Franklin Inst.，第239页（1945年），第66-67页。
H.M.Terrill和E.M.Terrisl，与切线系数相关的数字表J.Franklin Inst.，第239页（1945年），第64-67页。[带注释的扫描副本]
Hans J.H.Tuenter，走进绝对总和，arXiv:math/0606080[math.NT]，2006年。发布版本于走进绝对总和《斐波纳契季刊》，40（2）：175-1802002年5月。
配方奶粉
a（n）=2*（1-4^n）*B_{2n}（B=Bernoulli数）。
x*tan（x/2）=和{n>=1}x^（2*n）*abs（a（n））/（2*n）！=x^2/2+x^4/24+x^6/240+17*x^8/40320+31*x^10/725760+O（x^11）。
例如：2*x/（1+exp（x））=x+Sum_{n>=1}a（2*n）*x^（2*n）/（2*m）！=-x^2/2！+x^4/4！-3 x ^6/6！+17 x ^8/8！+。。。
O.g.f.：求和{n>=0}n^2*（-x）^（n+1）/产品{k=1..n}（1-k^2*x）-保罗·D·汉纳2011年7月21日
a（n）=Sum_{k=0..2n-1}2^k*B（k）*二项式（2*n，k），其中B（k）是第k个伯努利数-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月31日
通用公式：-x/（1+x/（1+2x/（1A+4x/-菲利普·德尔汉姆2011年11月22日
例如：E（x）=2*x/（exp（x）+1）=x*（1-（x^3+2*x^2）/（2*g（0）-x^3-2*x^ 2））；G（k）=8*k^3+（12+4*x）*k^2+（4+6*x+2*x^2）*k+x^3+2*x-2*（x^2）*（k+1）*（2*k+1）*（x+2*k）*（x+2*k+4）/G（k+1）；（连分数，欧拉类型，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2012年1月18日
a（n）=（-1）^n*（2*n）*Pi^（-2*n）*4*（1-4^（-n））*Li{2*n}（1）-彼得·卢什尼2012年6月29日
渐近线：abs（a（n））~8*Pi*（2^（2*n）-1）*（n/（Pi*exp（1）））^（2*n+1/2）*exp（1/2+（1/24）/n-（1/2880）/n^3+（1/40320）/n^5+…）-彼得·卢什尼2013年7月24日
G.f.：x/（T（0）-x）-1，其中T（k）=2*x*k^2+4*x*k+2*x-1-x*（-1+x+2*x*k+x*k2）*（k+2）^2/T（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月17日
G.f.：-1+x/（T（0）+x），其中T（k）=1+（k+1）*（k+2）*x/（1+x*（kx2）^2/T（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月17日
a（n）=4*n*PolyLog（1-2*n，-1）-彼得·卢什尼2021年8月17日
MAPLE公司
A001469号：=进程（n:：整数）（2*n）*coeftayl（2*x/（exp（x）+1），x=0，2*n）结束过程：
数学
表[4 n PolyLog[1-2 n，-1]，{n，1，19}](*彼得·卢什尼2021年8月17日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，n*=2；2*（1-2^n）*bernfrac（n））
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=0，n，m！^2*（-x）^（m+1）/prod（k=1，m，1-k^2*x+x*O（x^n）），n）}/*保罗·D·汉纳2011年7月21日*/
（Sage）#L.Seidel的算法（1877）
#n->[a（1），…，a（n）]，对于n>=1。
D=[0]*（n+2）；D[1]=-1
R=[]；b=错误
对于（0..2*n-1）中的i：
h=i//2+1
如果b：
对于范围（h-1，0，-1）中的k：D[k]-=D[k+1]
其他：
对于范围（1，h+1，1）中的k：D[k]-=D[k-1]
b=不是b
如果不是b:R.append（D[h]）
返回R
（岩浆）[2*（1-4^n）*Bernoulli（2*n）：n in[1..25]]//文森佐·利班迪2018年10月15日
（Python）
来自sympy import bernoulli
定义A001469号（n） ：返回（2-（2<<（m:=n<<1））*伯努利（m）#柴华武2023年4月14日
a（n）=和{k=0..n}k！（n-k）！。
（原名M1496）
+10
37
1, 2, 5, 16, 64, 312, 1812, 12288, 95616, 840960, 8254080, 89441280, 1060369920, 13649610240, 189550368000, 2824077312000, 44927447040000, 760034451456000, 13622700994560000, 257872110354432000, 5140559166898176000, 107637093007589376000, 2361827297364885504000
评论
序列是单位电阻的（n+1）维超立方体对角之间的电阻乘以（n+1！）！。
n+1=1,2,3，…的电阻，。。。分别为1、1、5/6、2/3、8/15、13/30、151/420、32/105、83/315、73/315、1433/6930。。。（请参见A046878号/A046879号). （结束）
超八面体群中避免符号置换的{12,21*，2*1}个数。
a（n）是二项式系数C（n，k）的倒数之和，乘以n！；示例：a（4）=4*(1/1 + 1/4 + 1/6 + 1/4 + 1/1) = 64. -菲利普·德尔汉姆2005年5月12日
a（n）是[n+1]上避免模式13-2的排列数。1到3之间没有破折号表示“1”和“3”在排列中必须是连续的；竖线表示“2”必须出现在排列的末尾。例如，24153未能避免这种模式：243是一个冒犯性的亚置换-大卫·卡伦2005年11月2日
不/a（n）是（n+1）维超立方体上的随机游动在返回其起点之前访问对角相对顶点的概率。2^n*a（n）/n！是从（n+1）维超立方体的一个顶点到对角相对顶点的随机行走的预期长度（行走可以包括一次或多次通过起点）。这些“随机行走”示例是IBM 2006年4月推出的“思考这个”难题的解决方案-格雷姆·麦克雷2006年4月2日
a（n）是{1,2，…，n+1}的所有置换中的强不动点数（如果p（k）<j表示k<j，p（k。例如：a（2）=5，因为带有标记强不动点的{1,2,3}的置换为：1'2'3'、1'32、312、213'、231和321-Emeric Deutsch公司2008年10月28日
对于x->inf，exp（-2*x）*Ei（x）^2的渐近展开式中的系数，其中Ei（x）是指数积分-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年4月24日
参考文献
I.P.Goulden和D.M.Jackson，《组合枚举》，纽约州威利市，1983年，（1.1.11 b，第342页）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
Joerg Arndt，生成随机排列，博士论文，澳大利亚国立大学，堪培拉，澳大利亚，（2010年）。
托德·菲尔（Todd Feil）、加里·肯尼迪（Gary Kennedy）和大卫·卡伦（David Callan），问题E3467阿默尔。数学。月刊，100（1993），800-801。[来自Emeric Deutsch公司2008年10月28日]
T.Mansour和J.West，避免双字母签名模式，arXiv:math/0207204[math.CO]，2002年。
F.Nedemeyer和Y.Smorodinsky，多维立方体中的阻力《量子》7:1（1996）12-15和63。
R.Sprugnoli，二项式系数的倒数矩《整数序列杂志》，14（2011），#11.7.8。
配方奶粉
a（n）=n！+（n+1）/2）*a（n-1），n>=1-勒罗伊·奎特2002年9月6日
a（n）=（（3n+1）*a（n-1）-n^2*a（n-2））/2，n>=2-大卫·W·威尔逊2002年9月6日；已由更正N.佐藤2010年1月27日
例如：如果偏移量为1，则为log（1-x）/（x/2-1）。
a（n）=2*Integral_{t=0..oo}Ei（t）*exp（-2*t）*t^（n+1），其中Ei是指数积分函数-格鲁·罗兰2010年12月9日
a（n）=（n+1）/2^n*Sum_{k=0..n}2^k/（k+1）-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月27日
例如：2/（（x-1）*（x-2））+2*x/（x-2；（递归定义的连续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月14日
a（n）=-（n+1）*Re（Beta（2；n+2，0））/2^（n+1），其中Beta（z；a，b）是不完整的Beta函数。
a（n）=-2*（n+1）*Re（LerchPhi（2，1，n+2）），其中LerchPhi（z，s，a）是超越的Lerch。（结束）
a（n）=（n+1）*（H（n+1）+（n+1）*超几何（[1，1，-n]，[2，2]，-1））/2^（n+1，其中H（n）是调和数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年4月24日
连分式1/（1-x/（1-x/[1-2*x/（1-2*x/[（1-3*x/）（1-…））））的平方展开）-伊利亚·古特科夫斯基2017年4月19日
例如：x/（（1-x）*（2-x））-（2*log（1-x-弗拉基米尔·克鲁奇宁2022年12月17日
MAPLE公司
seq（添加（k！*（n-k）！，k=0..n），n=0..20）#G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
数学
表[Sum[k！（n-k）！，{k，0，n}]，{n，0，20}](*哈维·P·戴尔2012年3月28日*）
表[（n+1）！/2^n*和[2^k/（k+1），{k，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月27日*）
圆形@桌子[-2（n+1）！关于[LerchPhi[2，1，n+2]]，{n，0，20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月12日*）
表[（n+1）！*和[二项式[n+1，2*j+1]/（2*j+1），{j，0，n}]/2^n，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年12月4日*）
级数[Exp[-2x]ExpIntegralEi[x]^2，{x，无限，20}][[3]](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年4月24日*）
表[2*（-1）^n*总和[（2^k-1）*StirlingS1[n，k]*BernoulliB[k]，{k，0，n}]，{n，1，25}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2022年10月4日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=和（k=0，n，k！*（n-k）！）
（PARI）a（n）=如果（n<0，0，（n+1）*极系数（log（1-x+x^2*O（x^n））/（x/2-1），n+1）
（岩浆）F:=阶乘；[（&+[F（k）*F（n-k）：k in[0..n]]）：n in[0..20]]//G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
（Sage）f=阶乘；[（0..20）中n的（0..n）中k的总和（f（k）*f（n-k）]#G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
（间隙）F:=阶乘；；列表（[0..20]，n->总和（[0..n]，k->F（k）*F（n-k））#G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
基诺基数（第一类）：2*x/（exp（x）+1）的展开式。
+10
33
1, -1, 0, 1, 0, -3, 0, 17, 0, -155, 0, 2073, 0, -38227, 0, 929569, 0, -28820619, 0, 1109652905, 0, -51943281731, 0, 2905151042481, 0, -191329672483963, 0, 14655626154768697, 0, -1291885088448017715, 0, 129848163681107301953
评论
a（1）的符号取决于所选择的约定：B（n）=B_n（1）或B。给出的定义符合B（n）=B_n（0）。约定B（n）=B_n（1）对应于例如f.-2*x/（1+exp（-x））-彼得·卢什尼2013年6月28日
根据Hetyei[2017]，“交替非循环比赛中，除最大的顶点外，每个顶点都至少开始一次上升，这是以第一类Genocchi数计算的。”-丹尼·罗拉博2017年4月25日
以意大利数学家安吉洛·热那基（1817-1889）命名-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月6日
猜想：对于任何正整数n，-a（n+1）是n×n矩阵M的永久值，其中M（j，k）=floor（（2*j-k）/n），（j，k=1..n）-孙志伟2021年9月7日
参考文献
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第49页。
A.Fletcher、J.C.P.Miller、L.Rosenhead和L.J.Comrie，《数学表格索引》。卷。第1版和第2版，牛津大学布莱克威尔和艾迪森·韦斯利出版社，马萨诸塞州雷丁，1962年，第1卷，第73页。
罗纳德·格雷厄姆（Ronald L.Graham）、唐纳德·科努特（Donald E.Knuth）和奥伦·帕塔什尼克（Oren Patashnik），《具体数学》（Concrete Mathematics）。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年，第528页。
理查德·斯坦利（Richard P.Stanley），《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见问题5.8。
链接
Shreya Ahirwar、Susanna Fishel、Parikshita Gya、Pamela E.Harris、Nguyen Pham、Andrés R.Vindas-Meléndez和Dan Khanh Vo，键格中的最大链《电子组合数学》（2022）第29卷，第3期，第3.11页。
贝塔·贝尼（Beáta Bényi）和马蒂厄·约苏阿特·维格斯（Matthieu Josuat-Vergès），Genocchi数恒等式的组合证明，arXiv:2010.10060[math.CO]，2020年。
汉斯·克里斯蒂安·赫比格、丹尼尔·赫登和克里斯托弗·西顿，关于x^2/（1-x）的作文《美国数学学会学报》，第143卷，第11期（2015年），第4583-4596页；arXiv预印本，arXiv:1404.1022[math.SG]，2014年。
加博尔·海泰伊，交替非循环锦标赛《欧洲组合数学杂志》，第81卷（2019年），第1-21页；arXiv预印本，arXiv:math/1704.07245[math.CO]，2017年。
H.M.Terrill和E.M.Terrisl，与切线系数相关的数字表J.Franklin Inst.，第239页（1945年），第66-67页。
配方奶粉
例如：2*x/（exp（x）+1）。
a（n）＝2*（1-2^n）*B_n（B＝伯努利数）-贝诺伊特·克洛伊特2003年10月26日
2*x/（exp（x）+1）=x+和{n>=1}x^（2*n）*G{2*n}/（2*n）！。
a（n）=和{k=0..n-1}二项式（n，k）2^k*B（k）-彼得·卢什尼，2009年4月30日
例如：2*x/（exp（x）+1）=x-x^2/2*g（0），其中g（k）=1-x^2/（x^2+4*（2*k+1）*（2xk+3）/g（k+1））。
例如：2/（E（0）+1），其中E（k）=1+x/（2*k+1-x*（2*k+1）/（x+（2*k+2）/E（k+1）））。
G.f.：2-1/G（0），其中G（k）=1-x*（k+1）/（1+x*（k+1）/。
例如：2*x/（1+exp（x））=2*x-2-2*T（0），其中T（k）=4*k-1+x/（2-x/（4*k+1+x/（2-x/T（k+1））））。
一般公式：2-Q（0）/（1-x+x^2），其中Q（k）=1-x^4*（k+1）^4/（x^4x（k+1）^4-（1-x+x^2+2*x^2*k*（k+1））*（1-x+x^2+2*x^2*（k++）*（k+2））/Q（k+1。（结束）
当n>1时，a（n）=n*zeta（1-n）*（2^（n+1）-2）-彼得·卢什尼2013年6月28日
O.g.f.：x*Sum_{n>=0}n！*（-x）^n/（1-n*x）/Product_{k=1..n}（1-k*x）-保罗·D·汉纳2014年8月3日
a（n）=（-1）^n*2*n*PolyLog（1-n，-1）-彼得·卢什尼2021年8月17日
MAPLE公司
a:=n->n*euler（n-1，0）#彼得·卢什尼2009年7月13日
数学
范围[0，31]！系数列表[序列[2x/（1+Exp[x]），{x，0，32}]，x](*罗伯特·威尔逊v2012年10月26日*）
表[（-1）^n 2 n PolyLog[1-n，-1]，{n，1，32}](*彼得·卢什尼2021年8月17日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（2*x/（1+exp（x+x*O（x^n））），n））}/*迈克尔·索莫斯2005年7月23日*/
{a（n）=局部（a=1）；a=x*和（m=0，n，m！*（-x）^m/（1-m*x）/prod（k=1，m，1-k*x+x*O（x^n））；polcoff（a，n）}
对于（n=1,32，打印1（a（n），“，”）
（鼠尾草）#，a（1）=-1
[z*zeta（1-z）*（2^（z+1）-2）用于（1..32）中的z]#彼得·卢什尼2013年6月28日
（鼠尾草）
e、 f，R，C=4，1，[]，[1]+[0]*（透镜-1）
对于n in（2..len-1）：
对于范围（n，0，-1）中的k：
C[k]=C[k-1]/（k+1）
C[0]=-总和（（1..n）中k的C[k]）
R.附加（（2-e）*f*C[0]）
f*=n；e*=2
返回R
（Python）
来自sympy import bernoulli
反对偶阅读数组：n个女孩和k个男孩以女孩开始，以男孩结束的游行次数。
+10
12
1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 5, 1, 0, 0, 1, 13, 13, 1, 0, 0, 1, 29, 73, 29, 1, 0, 0, 1, 61, 301, 301, 61, 1, 0, 0, 1, 125, 1081, 2069, 1081, 125, 1, 0, 0, 1, 253, 3613, 11581, 11581, 3613, 253, 1, 0, 0, 1, 509, 11593, 57749, 95401, 57749, 11593, 509, 1, 0
评论
这个名字来源于唐纳德·克努特的一个命题，他描述了“男女游行”的设置，如下所示：“有m个女孩{g_1，…，g_m}和n个男孩{b_1，..，b_n}，其中g_i小于g_i+1}，b_j小于b_{j+1}。但我们对g_i和b_j的相对年龄一无所知。他们能以多少种方式排成一列，这样就不会有女孩前面是大女孩，也不会有男孩前面是大男孩？“[我们的符号：A<-D，n<-m，k<-n]。
在344920英镑，Worpitzky变换定义为序列到序列的变换WT:=a->B，其中B（n）=Sum_{k=0..n}A163626号（n，k）*A（k）。（如果A（n）=1/（n+1），则B（n）是伯努利数（B（1）=1/2）。）数组的行是幂次到符号（-1）^k的Worpitzky变换。
推测：表中第n+1行是第2^n行A136301号，其中给出了概率解释（参见下文Parsonnet论文的链接）。
链接
Beáta Bényi和Péter Hajnal，多贝努利族的组合性质，arXiv预印本arXiv:1602.08684[math.CO]，2016。参见D_{n，k}。
配方奶粉
A（n，k）=k！*[z^k]（n！*[w^n]1/（exp（w）+exp（z）-exp（w+z）））。
A（n，k）=k！*[w^k]（和{j=0..n}A075263号（n，n-j）*exp（j*w））。
A（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（j-k）*箍筋2（k+1，j+1）*j！*j^n号。
A（n，k）=总和{j=0..min（n，k）}（j！）^2*箍筋2（n，j）*箍筋1（k，j）。
A（n，k）=和{j=0..n}（-1）^（n-j）*A028246号（n，j）*j^k；这是明确的：
A（n，k）=Sum_{j=0.n}Sum_{m=0.n}二项式（n-m，n-j）*Eulerian1（n，m）*j^k*（-1）^（n-j），其中Eulerian1=A173018型.
对于n>0，A（n，k）=Sum_{j=0..k}二项式（k+[j>0]，j+1）*A（n-1，k-j）。
对于n，k>=1，A（n，k）=Sum_{j=1..n}二项式（n，j）*（A（n-j，k-1）+A（n-j+1，k-1））。
行n（>=1）满足线性递归：
A（n，k）=-总和{j=1..n}箍筋1（n+1，n+1-j）*A（n、k-j），如果k>n。
A（n，k）=[x^k]（和{j=0..n}A371762（n，j）*x^j）/（总和{j=0..n}箍筋1（n+1，n+1-j）*x^j）。
A（n，k）=A（k，n）。（根据二元指数g.f.的对称性）
设T（n，k）=A（n-k，k）和G（n）=Sum_{k=0..n}（-1）^k*T（n、k）是三角形的交替行和。然后G（n）=（n+2）*Euler（n+1，1）和移位后的Genocchi数G（n-A226158型（n+2）。
例子
阵列启动：
[0] 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
[1] 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
[2] 0, 1, 5, 13, 29, 61, 125, 253, 509, ...
[3] 0, 1, 13, 73, 301, 1081, 3613, 11593, 36301, ...
[4] 0, 1, 29, 301, 2069, 11581, 57749, 268381, 1191989, ...
[5] 0, 1, 61, 1081, 11581, 95401, 673261, 4306681, 25794781, ...
[6] 0, 1, 125, 3613, 57749, 673261, 6487445, 55213453, 431525429, ...
[7] 0, 1, 253, 11593, 268381, 4306681, 55213453, 610093513, 6077248381, ...
.
视为三角形T（n，k）=A（n-k，k）：
[0] 1;
[1] 0, 0;
[2] 0, 1, 0;
[3] 0, 1, 1, 0;
[4] 0, 1, 5, 1, 0;
[5] 0, 1, 13, 13, 1, 0;
[6] 0, 1, 29, 73, 29, 1, 0;
[7] 0, 1, 61, 301, 301, 61, 1, 0;
.
A（n，k）作为权力总和：
A（2，k）=-3+2*2^k；
A（3，k）=7-12*2^k+6*3^k；
A（4，k）=-15+50*2^k-60*3^k+24*4^k；
A（5，k）=31-180*2^k+390*3^k-360*4^k+120*5^k；
A（6，k）=-63+602*2^k-2100*3^k+3360*4^k-2520*5^k+720*6^k；
A（7，k）=127-1932*2^k+10206*3^k-25200*4^k+31920*5^k-20160*6^k+5040*7^k；
MAPLE公司
egf:=1/（exp（w）+exp（z）-exp（w+z））：血清：=n->系列（egf，w，n+1）：
#返回长度为len（>0）的第n行（>=0）：
R:=n->len->local k；
序列（k！*coeff（序列（n！*coff（serw（n），w，n），z，len），z，k），k=0..len-1）：
序列（l打印（R（n）（9）），n=0..7）；
#使用Stirling2显式：
A:=（n，k）->局部j；加上（j！^2*箍筋2（n，j）*搅拌筋2（k，j），j=0.分钟（n，k））：seq（lprint（seq（A（n，k），k=0..8）），n=0..7）；
#使用无符号的Worpitzky变换。
WT:=（a，len）->局部n，k；
seq（加上（（-1）^（n-k）*k*箍筋2（n+1，k+1）*a（k），k=0..n），n=0..len-1）：
Arow：=n->WT（x->x^n，8）：seq（lprint（Arow（n）），n=0..8）；
#两次复发：
A:=proc（n，k）选项记忆；局部j；如果k=0，则返回k^n-fi；
加法（二项式（n，j）*（A（n-j，k-1）+A（n-j+1，k-1
A:=proc（n，k）选项记忆；局部j；如果n=0，则0^k其他
加法（二项式（k+`if`（j=0，0，1），j+1）*A（n-1，k-j），j=0..k）fi结束：
数学
（*使用无符号Worpitzky变换。*）
取消保护[电源]；功率[0,0]=1；
W[n_，k_]：=（-1）^（n-k）k！箍筋S2[n+1，k+1]；
WT[a_，len_]：=表[Sum[W[n，k]a[k]，{k，0，n}]，{n，0，len-1}]；
A371761行[n_，len_]：=WT[#^n&，len]；
表[A371761行[n，9]，{n，0，8}]//矩阵形式
（*行n>=1线性递归：*）
RowByLRec[n_，len_]：=线性递归[Table[-StirlingS1[n+1，n+1-k]，{k，1，n}]，
A371761行[n，n+1]，长度]；表[RowByLRec[n，9]，{n，1，8}]//矩阵形式
黄体脂酮素
（SageMath）
定义A371761飞机（n，k）：返回和（（-1）^（j-k）*阶乘（j）*stirling_number2（k+1，j+1）*j^n对于范围（k+1）中的j）
对于范围（9）中的n：打印([A371761（n，k）对于范围（8）中的k）
（Python）
从functools导入缓存
从二项式的数学导入梳
@高速缓存
定义A（n，k）：
如果n==0：返回int（k==0）
返回和（二项式（k+int（j>0），j+1）*A（n-1，k-j）
对于范围内的j（k+1））
对于范围（8）中的n：打印（[A（n，k）对于范围（8）中的k]）
（Python）
#功率的Akiyama-Tanigawa算法生成行。
定义ATPowList（n，len）：
A=[0]*长度
R=[0]*长度
对于范围内的k（len）：
对于范围（k，0，-1）中的j：
R[j-1]=j*（R[j]-R[j-1]）
A[k]=R[0]
返回A
对于范围（8）中的n：打印（[n]，ATPowList（n，9））
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