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A001469号 |
| 基诺基数(第一类);无符号系数给出x*tan(x/2)的展开式。 (原名M3041 N1233)
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76
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-1, 1, -3, 17, -155, 2073, -38227, 929569, -28820619, 1109652905, -51943281731, 2905151042481, -191329672483963, 14655626154768697, -1291885088448017715, 129848163681107301953, -14761446733784164001387, 1884515541728818675112649, -268463531464165471482681379
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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Genocchi数满足Seidel递推:对于n>1,0=Sum_{j=0..[n/2]}C(n,2j)*a(n-j)-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月17日
(n+1)st Genocchi数是2n个字母上第一类Dumont置换的数目。在第一类Dumont置换中,每个偶数后必须跟一个较小的整数,每个奇数后必须跟着一个较大的整数或是最后一个元素-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月26日
根据Hetyei[2017]的说法,“交替非循环锦标赛中,除了最大的一个顶点外,每个顶点都至少开始一次上升,这是由第一类Genocchi数计算的。”-丹尼·罗拉博2017年4月25日
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参考文献
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L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第49页。
L.Euler,《微分学研究所》,第2卷(1755年),第。181
A.Fletcher、J.C.P.Miller、L.Rosenhead和L.J.Comrie,《数学表格索引》。卷。第1版和第2版,牛津大学布莱克威尔和艾迪森·韦斯利出版社,马萨诸塞州雷丁,1962年,第1卷,第73页。
A.Genocchi,Intorno all’espressione generale de’numeri Bernulliani,《科学年鉴》。材料Fis。,3 (1852), 395-405.
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《具体数学》。Addison-Wesley,马萨诸塞州雷丁,1990年,第528页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
R.P.Stanley,《枚举组合数学》,剑桥,第2卷,1999年;参见问题5.8。
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链接
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Dominique Dumont和Arthur Randrianarivony,Genocchi的范围和名称,离散数学。132 (1994), 37-49.
理查德·埃伦伯格(Richard Ehrenborg)和艾纳·斯坦格利姆松(Einar Steingrímsson),Genocchi数字的另一个三角形《欧洲联合杂志》21(2000),第5期,593-600。MR1771988(2001h:05008)。
I.M.Gessel,经典本影演算的应用,arXiv:math/0108121[math.CO],2001年。
J.M.Hammersley,操纵本科生练习,数学。《科学家》,14(1989),1-23。
J.M.Hammersley,操纵本科生练习,数学。《科学家》,14(1989),1-23。(带注释的扫描副本)
加博尔·海泰伊,交替非循环锦标赛,arXiv:math/1704.07245[math.CO],2017年。
T.Mansour,限制的132-数量排列,arXiv:math/0209379[math.CO],2002年。
H.M.Terrill和E.M.Terrisl,与切线系数相关的数字表J.Franklin Inst.,第239页(1945年),第66-67页。
H.M.Terrill和E.M.Terrisl,与切线系数相关的数字表J.Franklin Inst.,第239页(1945年),第64-67页。[带注释的扫描副本]
Hans J.H.Tuenter,走进绝对总和,arXiv:math/0606080[math.NT],2006年。发布版本于走进绝对总和《斐波纳契季刊》,40(2):175-1802002年5月。
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配方奶粉
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a(n)=2*(1-4^n)*B_{2n}(B=Bernoulli数)。
x*tan(x/2)=和{n>=1}x^(2*n)*abs(a(n))/(2*n)!=x^2/2+x^4/24+x^6/240+17*x^8/40320+31*x^10/725760+O(x^11)。
例如:2*x/(1+exp(x))=x+Sum_{n>=1}a(2*n)*x^(2*n)/(2*m)!=-x^2/2!+x^4/4!-3 x ^6/6!+17 x ^8/8!+。。。
O.g.f.:求和{n>=0}n^2*(-x)^(n+1)/产品{k=1..n}(1-k^2*x)-保罗·D·汉纳2011年7月21日
a(n)=Sum_{k=0..2n-1}2^k*B(k)*二项式(2*n,k),其中B(k)是第k个伯努利数-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月31日
通用公式:-x/(1+x/(1+2x/(1A+4x/-菲利普·德尔汉姆2011年11月22日
例如:E(x)=2*x/(exp(x)+1)=x*(1-(x^3+2*x^2)/(2*g(0)-x^3-2*x^ 2));G(k)=8*k^3+(12+4*x)*k^2+(4+6*x+2*x^2)*k+x^3+2*x^2+2*x-2*(x^2;(连分数,欧拉类型,1步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年1月18日
a(n)=(-1)^n*(2*n)*Pi^(-2*n)*4*(1-4^(-n))*Li{2*n}(1)-彼得·卢什尼2012年6月29日
渐近线:abs(a(n))~8*Pi*(2^(2*n)-1)*(n/(Pi*exp(1)))^(2*n+1/2)*exp(1/2+(1/24)/n-(1/2880)/n^3+(1/40320)/n^5+…)-彼得·卢什尼2013年7月24日
G.f.:x/(T(0)-x)-1,其中T(k)=2*x*k^2+4*x*k+2*x-1-x*(-1+x+2*x*k+x*k2)*(k+2)^2/T(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月17日
G.f.:-1+x/(T(0)+x),其中T(k)=1+(k+1)*(k+2)*x/(1+x*(kx2)^2/T(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月17日
a(n)=4*n*PolyLog(1-2*n,-1)-彼得·卢什尼2021年8月17日
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MAPLE公司
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A001469号:=进程(n::整数)(2*n)*coeftayl(2*x/(exp(x)+1),x=0,2*n)结束过程:
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数学
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表[4 n PolyLog[1-2 n,-1],{n,1,19}](*彼得·卢什尼2021年8月17日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n<1,0,n*=2;2*(1-2^n)*bernfrac(n))
(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=0,n,m!^2*(-x)^(m+1)/prod(k=1,m,1-k^2*x+x*O(x^n)),n)}/*保罗·D·汉纳2011年7月21日*/
(Sage)#L.Seidel的算法(1877)
#n->[a(1),…,a(n)],对于n>=1。
D=[0]*(n+2);D[1]=-1
R=[];b=错误
对于(0..2*n-1)中的i:
h=i//2+1
如果b:
对于范围(h-1,0,-1)中的k:D[k]-=D[k+1]
其他:
对于范围(1,h+1,1)中的k:D[k]-=D[k-1]
b=非b
如果不是b:R.append(D[h])
返回R
(岩浆)[2*(1-4^n)*Bernoulli(2*n):n in[1..25]]//文森佐·利班迪2018年10月15日
(Python)
来自sympy import bernoulli
定义A001469号(n) :返回(2-(2<<(m:=n<<1))*伯努利(m)#柴华湖2023年4月14日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,美好的
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作者
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已批准
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